................ Note Name Vorname I II Matrikelnummer Studiengang 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik Klausur Funktionentheorie MA2006 (BSc) Prof. Dr. R. König 2. Juli 206, 8:30 9:30 Uhr Hörsaal:............. Reihe:............. Platz:............. 5 6 I................ Erstkorrektur II................ Zweitkorrektur Hinweise: Überprüfen Sie die Vollständigkeit der Angabe: 6 Aufgaben Bearbeitungszeit: 60 min Hilfsmittel: Ein selbsterstelltes Din A4 Blatt Bei Aufgaben mit Kästchen werden nur die Resultate in diesen Kästchen berücksichtigt. Nur von der Aufsicht auszufüllen: Hörsaal verlassen von........ bis........ Vorzeitig abgegeben um........ Besondere Bemerkungen: Musterlösung
. Komplexe Wegintegrale [8 Punkte] Gegeben ist die Menge M := {z C Im (z) > 0, z < 2}. (a) Geben Sie unter Beachtung der Umlaufrichtung eine Parametrisierung von durch zwei Wege an. γ (t) = 2e it, t [0, π] γ 2 (t) = t, t [ 2, 2] (b) Berechnen Sie den Wert des Integrals zdz. zdz = zdz + zdz = γ γ 2 π 0 2 π 2e it 2ie it dt + tdt = 4i dt + 0 = 4πi. 2 0 (c) Berechnen Sie den Wert des Integrals e iz3 z 2 + dz. e iz3 z 2 + dz = 2πi Res i( eiz 3 4 ei ) = 2πi z 2 + 2i = πe, wegen Residuensatz, denn der Integrand ist holomorph auf C \ {±i}. umschließt aber nur die isolierte Singularität bei +i. s.o.
2. Existenz einer Stammfunktion [6 Punkte] Sei f(z) = cos z e 2z. (a) Berechnen Sie das Residuum von f bei 0. (b) Entscheiden Sie mit Begründung, ob f auf B (0) \ {0} eine Stammfunktion besitzt. (a) Res 0 (f) = cos(0) 2e 2 0 = 2. (b) f besitzt keine Stammfunktion auf B (0) \ {0}, Annahme: Es sei F eine Stammfunktion von f. Dann müsste für jeden geschlossenen Weg γ in B (0) \ {0} C gelten, dass γ f(z)dz = 0 ist. Aber nach (a) gilt mit dem Residuensatz z = 2 f(z)dz = 2πiRes 0 (f) = πi 0 3. Identitätssatz [6 Punkte] Entscheiden Sie jeweils mit Begründung, ob es eine holomorphe Funktion f : B (0) C mit der folgenden Eigenschaft gibt: (a) Für alle n N gilt f( n ) = n n 2. (b) Für alle n N gilt f( n ) = { n 2 n 2 falls n eine Primzahl ist, sonst. (a) Für z = n, n N, n >, muss f(z) = f( n ) = n n 2 = z = z 2 z z 2 z z 2 gelten. Somit gilt: Ja, die Funktion f : B (0) C, f(z) = erfüllt die genannte Bedingung. Als Lösung wird auch akzeptiert: Eine solche Funktion kann es nicht geben, da die Bedingung für n = nicht erfüllt werden kann. (b) Es gibt keine solche Funktion. Denn: Sei (p k ) k N die Folge der unendlich vielen Primzahlen. Dann ist p k eine Nullfolge und für die Funktion f(z) = z 2 gilt f( p k ) =. p 2 k Nach dem Identitätssatz ist dies die einzige auf B (0) holomorphe Funktion mit dieser Eigenschaft. Nach Voraussetzung gilt aber weiter f( 4 ) = 6 im Widerspruch zu f( 4 ) = 6.
4. Fortsetzung zu einer ganzen Funktion [8 Punkte] Sei Q := {z C Re (z) [0, ], Im (z) [0, ]} und f : Q C mit f(t) = f(t+i) und f(it) = f(+it) für t [0, ]. Zeigen Sie: Kann f zu einer ganzen Funktion f : C C fortgesetzt werden, so gilt: (a) für alle z C ist f(z) = f(z + i), (b) für alle z C ist f(z) = f(z + ), (c) f ist konstant. (a) Sei f : C C ganz mit f Q = f. Da [0, ] einen Häufungspunkt hat und f(z) = f(z + i) für z [0, ], folgt mit dem Identitätssatz aus f(t) = f(t+i) für t [0, ] schon, dass f(z) = f(z +i) für alle z C. (b) Analog folgt f(z) = f(z + ) für alle z C, da f(z) = f(z + ) für z i[0, ]. (c) Zu z C gibt es immer n, m Z und ein w Q, so dass z = n + im + w ist. Somit ist f(c) f(q). Da f stetig ist, ist letztere Menge kompakt. Somit ist f beschränkt. Nach Liouville ist also f und damit auch f konstant. 5. Windungszahl [5 Punkte] Sei f(z) = z n mit n N. Zeigen Sie: Für einen geschlossenen Weg γ mit 0 im(γ) gilt W f γ (0) = nw γ (0). Ist der geschlossene Weg γ auf [a, b] definiert, so gilt: 2πiW f γ (0) = f γ z dz = b a dt = γ f (γ(t))γ (t) f(γ(t) f (z) f(z) dz = n γ z dz = 2πinW γ(0)
6. Satz von Rouché und Vielfachheit von Nullstellen [0 Punkte] (a) Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen (mit Vielfachheit gezählt) von e 2z 0z 7 auf B (0). (b) Bestimmen Sie die genaue Anzahl von Lösungen der Gleichung e 2z = 0z 7 für die z < gilt. Begründen Sie Ihre Antwort. (a) Wir wählen f(z) = 0z 7 und g(z) = 0z 7 e 2z. Dann gilt für alle z =, dass f(z) g(z) = e 2z = e 2Re (z) e 2 < 0 = f(z). Nach dem Satz von Rouché besitzen g und f gleich viele Nullstellen in B (0), bzw., B (0), nämlich 7 (mit Vielfachheit gezählt). (b) Die Gleichung e 2z = 0z 7 hat höchstens 7 Lösungen in der Kreisscheibe B (0). Es sind sogar genau 7, da alle Nullstellen von g(z) = 0z 7 e 2z einfach sind. Denn aus g(z) = 0 folgt g (z) = 70z 6 2e 2z = 70z 6 + 20z 7 = 0z 6 (7 + 2z). g (z) = 0 ist dann also gleichbedeutend mit z = 0 oder z = 7 2. Letzteres ist außerhalb von B (0) und 0 ist offensichtlich keine Nullstelle von g. Aus g(z) = 0 und z < folgt also g (z) 0.