Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 9 Mathematik Nichttechnik - S II - Lösung Beim Glücksspiel "Roulette" verwendet man eine drehbare Scheibe mit 3 abwechselnd roten und schwarzen Nummernfächern sowie einem. (grünen) Fach für die Null. Die Gewinnzahl wird mit Hilfe einer Kugel ermittelt, die nach Drehung der Scheibe in einem Nummernfach liegen bleibt, wobei alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit getroffen werden können. Im Folgenden verstehen wir unter der Faerbe einer Zahl die Farbe des zugehörigen Nummernfaches, es gibt also grüne Zahl sowie 8 schwarze und 8 rote Zahlen. Eigenes Foto: ETH Zürich (7 BE) Berechnen Sie auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei siebenmaligen Werfen der Kugel a) genau fünfmal eine rote Zahl erscheint. b) höchstens fünfmal eine rote Zahl erscheint. c) genau beim ersten, dritten und fünften Wurf eine rote Zahl erscheint. Gegeben: n 7 p 8 q 9 7 5 8 9 Teilaufgabe a) P = PX ( = 5) = =.59 P 5 =.59 Teilaufgabe b) P = PX ( 5) = B7 8 k 5 = B7 8 B7 8 7 Nebenrechnung: Wk ( ) dbinom( k n p) W ( ).477 W7 ( ).4 ( W( 7) W ( )).9459 P =.9459 AP 9, Mathematik Nichttechnik. Klasse, S II - Lösung Seite von 5
3 4 8 9 Teilaufgabe c) P 3 P 3.8 ( BE) Berechnen Sie ebenfalls auf 4 Nachkommastellen gerundet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaligen Werfen der Kugel a) mindestens einmal eine Zahl aus dem ersten Dutzend, das heißt von bis, erscheint. b) keine Zahl aus dem ersten Dutzend zweimal erscheint. Gegeben: P( kein_mal) = p 5 = n = 5 Teilaufgabe a) P 4 = PX ( ) = P( X = ) P 4 P 4.5435 Teilaufgabe b) Gegenereignis E : "Zweimal die selbe Zahl aus dem. Dutzend", also (,) ; (,) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (,) ; (7,7) ; (8,8) ; (9,9) ; (,) ; (,) ; (,) PE = P 5 = PE ( ) PE = P 5 P 5.99 3. Von den Zahlen des ersten Dutzends sind genau sechs rot und sechs schwarz gefärbt. Folgende Ereignisse werden betrachtet: E : Eine Zahl aus dem ersten Dutzend erscheint. E : Eine rote Zahl erscheint. 3. ( BE) Erstellen Sie in Bezug auf E und E eine Vierfeldertafel und begründen Sie rechnerisch, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind. Gegeben: PE E E E E 8 8 = PE = E E 8 PE PE = =.578 8 E ergänzt: PE E = =. 3 9 E PE PE PE E 5 E und E sind stoch. abhängig 3. ( BE) Berechnen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit: P(E E ) = PE PE PE E PE E = 8 4 = =.48 AP 9, Mathematik Nichttechnik. Klasse, S II - Lösung Seite von 5
4. Lord Grips setzt immer nur auf das Ereignis "Zahl aus dem ersten Dutzend", das heißt, seine Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt bei jedem Spiel p G =. Lord Grips setzt nun dreimal nacheinander den gleichen Einsatz e auf "Zahl aus dem ersten Dutzend". Falls er in einem Spiel gewinnt, beträgt sein Reingewinn e, andernfalls geht sein Einsatz verloren ( e). Die Zufallsgröße X gibt den Gesamtgewinn für alle drei Spiele in Euro an. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X lässt sich mit Hilfe folgender Tabelle angeben: a x PX ( = x) 3 e 3e e 4. (7 BE) Übernehmen Sie die Tabelle und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Zufallswerte z. B. mit Hilfe eines Baumdiagramms auf vier Nachkommastellen. x PX ( = x) 3 e.3847.444 3e.3 e.34 AP 9, Mathematik Nichttechnik. Klasse, S II - Lösung Seite 3 von 5
4. (4 BE) Setzen Sie nun e = und berechnen Sie den Erwartungswert EX ( ) sowie die zugehörige Standardabweichung. Tabelle "X" "P(X=x)" "x P(X=x)" "x^" "x^ P(X=x)" 3.38 9.54 9 77.3.444 3.3 3.9 9 989.8.34.4 3 79. "Summe" 8.9 "/" 593.7 EX ( ) 8.9 in Var( X) 5.93 4 ( EX ( )) Var( X) 594. σ 594. σ 43.4 in 5. Im Folgenden werden Spiele, bei denen die erscheint, außer Acht gelassen. Dann sollte das Ereignis Zahl aus dem ersten Dutzend im Schnitt in einem drittel aller Spiele eintreten. Lord Grips vermutet, dass dieses Ereignis bei einem bestimmten Roulette-Tisch im Casino von Nepphausen mit zu geringer Häufigkeit erscheint (Gegenhypothese). Daher beobachtet er Kugelwürfe in Hinblick auf erstesdutzend. 5. (5 BE) Geben Sie zu diesem Test die Testgröße sowie Null- und Gegenhypothese an und ermitteln Sie deren größtmöglichen Ablehnungsbereich, wenn das Signifikanzniveau 5% betragen soll. Testgröße: Anzahl der Ereignisse "Zahl aus. Dutzend" bei n. Nullhypothese H : p Annahmebereich: A = { k; k+;... ; } 3 Gegenhypothese H : p Ablehnungsbereich: A = { ; ;... ; k } 3 Testart: linksseitiger Signifikanztest Signifikanzniveau: α =.5 Ansatz: PA.5 k B i.5 3 i ---------------------------------->.453 k = 55 Tabellenwerk Seite 4 Ablehnungsbereich: A = { ; ;... ; 55 } AP 9, Mathematik Nichttechnik. Klasse, S II - Lösung Seite 4 von 5
5. (3 BE) Erklären Sie kurz, worin bei diesem Beispiel der Fehler. Art besteht und begründen Sie kurz, weshalb man dessen Wahrscheinlichkeit hier nicht berechnen kann. Es wird vermutet, dass der Roulette-Tisch in Ordnung ist, obwohl das in Wirklichkeit nicht stimmt. P( β) ist nicht berechenbar, da die Wahrscheinlichkeit p der Gegenhypothese nicht bekannt ist. AP 9, Mathematik Nichttechnik. Klasse, S II - Lösung Seite 5 von 5