Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C1 Eine Werbeagentur ermittelte durch eine Umfrage im Auftrag eines Kosmetikunternehmens vor Beginn einer Werbekampagne den Bekanntheitsgrad eines Kosmetikprodukts bei Personen über 18 Jahre. Das Ergebnis der Umfrage ist in folgender Tabelle dargestellt: Teilaufgabe a. (14 BE) Veranschaulichen Sie die Ergebnisse aus der Tabelle an einem Baumdiagramm. Berechnen Sie den Bekanntheitsgrad des Produktes bei Personen über 18 Jahren. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person, die das Produkt kennt, aus der Gruppe III kommt. Teilaufgabe b. (5 BE) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 zufällig ausgewählten Personen der Gruppe I weniger als 25 das Produkt nicht kennen, der Gruppe III mehr als 45, aber höchstens 55 das Produkt kennen, der Gruppe IV mindestens 36 das Produkt kennen. Teilaufgabe c. (4 BE) Bei einer Berechnung zur Gruppe III aus obiger Tabelle verwendete man den Ansatz P (X 1) > 0, 99. Im Laufe des Rechengangs erhielt man 1 0, 5 n > 0, 99 und als Lösung n > 6. Erläutern Sie, was hier berechnet wurde. Abitur Hessen 2007 GK Stochastik Aufgabe C1
http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Teilaufgabe d. (7 BE) Das Kosmetikunternehmen verspricht der Werbeagentur eine Sonderprämie, wenn der Bekanntheitsgrad des Produktes bei älteren Personen ansteigt. Nach der Werbekampagne hat die Werbeagentur den Eindruck, dass der Bekanntheitsgrad des Produktes bei den älteren Männern (Gruppe IV) gestiegen ist. Sie befragt daher 100 zufällig ausgewählte Männer dieser Altersgruppe. Entwickeln und formulieren Sie für die Vergabe der Sonderprämie ein Entscheidungsverfahren mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5 %. Beschreiben Sie Ihre Vorgehensweise. c Abiturloesung.de
Seite 1 Abiturloesung.de - Abituraufgaben Abitur 2007 Mathematik GK Stochastik Aufgabe C2 Im Lande Magrebinien gilt laut Statistik für die Verteilung der Haushalte und Haushaltsgrößen: Teilaufgabe a. (6 BE) Berechnen Sie die durchschnittliche Haushaltsgröße und bestimmen Sie die Einwohneranzahl von Magrebinien unter der Voraussetzung, dass die Gesamtzahl der Haushalte 2 Millionen beträgt. Fünf Haushalte werden zufällig ausgewählt. Teilaufgabe b.1 (6 BE) Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat: ( 5 2 ) 0, 25 2 0, 75 3 = 0, 2637 Teilaufgabe b.2 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer davon ein 2-Personen-Haushalt ist. Für eine Befragung durch ein Marktforschungsinstitut werden 100 Haushalte zufällig ausgewählt. Teilaufgabe c.1 (10 BE) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass - mehr als 40, - mehr als 34, aber höchstens 55 2-Personen-Haushalte ausgewählt werden. Abitur Hessen 2007 GK Stochastik Aufgabe C2
http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Teilaufgabe c.2 Aus Erfahrung weiß das Institut, dass nur in 75 % der ausgewählten Haushalte jemand zur Befragung angetroffen wird. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in mehr als 80 Haushalten eine Person zur Befragung angetroffen wird. Laut Statistischem Bundesamt verteilen sich die Haushaltstypen in Deutschland für das Jahr 2004 gemäß nachstehender Tabelle. Teilaufgabe d.1 (8 BE) Berechnen Sie eine mögliche durchschnittliche Haushaltsgröße unter der Annahme, dass alle in der letzten Zeile der Tabelle genannten Haushalte aus 5 Personen bestehen. Begründen Sie, warum eine exakte Berechnung der mittleren Haushaltsgröße nicht möglich ist. Teilaufgabe d.2 In Deutschland gab es laut Statistischem Bundesamt 2004 insgesamt 82, 501 Millionen Einwohner. Es sei angenommen, dass alle Haushalte mit mehr als 5 Personen 6-Personen- Haushalte waren. Bestimmen Sie die Anzahl der 6-Personen-Haushalte. c Abiturloesung.de
Aufgabe C1 Landesabitur Hessen 2007 GK a. bekannt) = 0,15 0,7 + 0,4 0,6 + 0,15 0,5 + 0,3 0, 3 =51% III bekannt) III bekannt) = bekannt) 0,5 0,15 14,7% 0,51 = bekannt III) bekannt) b. Es handelt sich binomialverteilte Bernoulli-Experimente mit n=100. X=k bedeutet, dass k Personen das Produkt kennen. p=0,7: P ( X > 75) = 1 X 75) = 1 0, 8864 =11,36% aus einer Binomialtabelle oder p=0,3: X 24) = 11,36% aus einer Binomialtabelle oder Näherung mit 24 30 μ=30;σ=4,583: Φ = Φ( 1,309) = 8, 23 % 4,58 p=0,5: 46 X 55) = X 55) X 45) = 68,03% aus einer Binomialtabelle oder Näherrung mit 55 50 45 50 μ=50;σ=5: Φ Φ = Φ() 1 Φ( 1) = 0,8413 0,1587 = 68,26% 5 5 p=0,3: X > 35) = 1 X 35 ) =1 0,8839=11,61% aus einer Binomialtabelle oder 35 30 Näherrung mit μ=30;σ=4,583:1 Φ = 1 Φ 1,09 = 1 8621 4,58 ( ) = 13,79% n 0 n n c. p=0,5; n gesucht : X 1) = 1 X = 0) = 1 0,5 0,5 = 1 0,5 > 0, 99 0 n n ln 0,01 0,5 > 0,01 0,5 < 0, 01 n ln 0,5 < ln 0, 01 n > 6, 6 ln 0,5 Berechnet wird hier: Wie viele Personen müssen befragt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Person der Gruppe III das Produkt kennt, mehr als 99% beträgt. d. Wir entwickeln einen rechtsseitigen Hypothesentest: Prüfhypothese H : p 0,3 ; Gegenhypothese H : p 0, 3 mit α=0,05 und n=100. 0 = 0 > Die Entscheidungsregel entwickeln wir aus der Wahrscheinlichkeit X k) > 0,95: Aus einer Binomialtabelle entnehmen wir P ( X 37) = 0, 94 und X 38) = 0,96. Die Entscheidungsregel lautet damit: Die Prüfhypothese wird abgelehnt bzw. die Gegenhypothese akzeptiert, wenn mehr als 38 von 100 Maännern >35 das Produkt als bekannt angeben. Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de
Aufgabe C2 Landesabitur Hessen 2007 GK a. z = 1 0,1 + 2 0,4 + 3 0,25 + 4 0,15 + 5 0,1 = 2, 75 ist die durchschnittliche Haushaltsgröße Einwohner = Haushalte*durchschnittliche Haushaltsgröße:5,5Millionen b. Es handelt sich um ein binomialverteilte Bermnoulli-Experiment mit n=5 5 2 3 1. p=0,25; X = 2) = 0,25 0,75 beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass 2 von den 5 genau 2 Haushalte aus 3 Personen bestehen. 5 0 5 2. p=0,4; X > 0) = 1 0,4 0,6 = 1 0,07776 = 92, 224% 0 c. Es handelt sich auch hier um ein binomialverteilte Bermnoulli-Experiment mit n=100 1. p=0,4; X=k bedeutet, dass k Haushalte 2 Pesonen haben P ( X > 40) = 1 X 40) = 1 0,4620 = 53,80% aus der F(n;p;k)-Binomialtabelle oder Näherung mit μ=40 und σ=4,89: 1 Φ( 0) = 1 0,5 = 50% 35 X 55) = X 55) X 34) = 0,9991 0,1303 = 86,88% oder 55 40 34 40 Φ Φ 4,89 4,89 Näherung = Φ( 3,06) Φ( 1,225) = 1 0,11 = 89% 2. p=0,75; X=k bedeutet, dass k Haushalte angetroffen werden: P ( X > 80) = 1 X 80) = 1 0,90 = 10% oder Näherung mit μ=75 und 80 75 Φ 4,33 σ=4,33: 1 = 1 Φ( 1,154) = 1 0,8758 = 12,42% d. 1 14566 + 2 13335 + 3 5413 + 4 4218 + 5 1590 1. = 2, 1 ist eine mögliche 39122 durchschnittliche Haushaltsgröße, eine genaue Angabe ist nicht möglich, weil man nicht weiß, wie viel Haushalte 5,6,... Personen haben. 2. Es ist aus der Tabelle der Anteil der Haushalte mit 5 und mehr Personen mit 1590 von 39122 bekannt. Dieser kann aber ohne weitere Information nicht aufgeschlüsselt werden. Gerd Schluckebier - zur Verfügung gestellt über Abiturloesung.de