Rückblick auf die letzte Vorlesung 1 Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme Ausblick auf die heutige Vorlesung 1 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Alternative Verfahren 4 Superpositionsprinzip
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Gegeben sei eine skalare, lineare Differentialgleichung n ter Ordnung: L[y] = y (n) (t) + a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 0 (t)y(t) = h(t) wobei a k (t), k = 0,,n 1 stetige Funktionen auf R seien Gleichungen dieser Art lassen sich stets als lineare Differentialgleichungssysteme d dt y 1 y 2 y n = 0 1 0 0 1 0 0 1 a 0 a 1 a n 1 y 1 y 2 y n (3) Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung II mit schreiben y k (t) := y (k 1) (t), k = 1, 2,,n
Die homogene Differentialgleichung Definition Ein Funktionensystem (y 1 (t),,y n (t)) heißt ein Fundamentalsystem der Differentialgleichung L[y] = h, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt sind: 1) Die Funktion y k (t) löst die homogene Gleichung, dh L[y k ] = 0, k = 1,,n Die homogene Differentialgleichung II Definition 2) Für die Wronski Determinante W(t) = det y 1 y n y 1 y n y (n 1) 1 y n (n 1) gilt: W(t 0 ) 0 für mindestens ein t 0 R
Wronski Determinante Bemerkung 1) Ist W(t 0 ) 0, so gilt auch für alle t R: W(t) 0 2) Die Funktion W(t) genügt der Differentialgleichung W (t) = a n 1 (t)w(t) und daher folgt direkt W(t) = W(t 0 ) exp t a n 1 (τ)dτ Sei C(t) die zugehörige Koeffizientenmatrix vgl (3) Dann gilt n detc(t) = c ii (t) = a n 1 (t) i=1 t 0 Fundamentalsysteme und homogene Gleichung Bemerkung (Fortsetzung) 3) Ein Fundamentalsystem (y 1,,y n ) läßt sich durch Lösen der folgenden n Anfangswertaufgaben (k = 1,, n) bestimmen: L[y k ] = 0 y (i) k (t) = { 0 : i k 1 1 : i = k 1 (i = 0,,n 1) 4) Ist (y 1,,y n ) ein Fundamentalsystem, so lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung n y(t) = y p (t) + c k y k (t) k=1 mit einer spezielle Lösung y p (t) der inhomogenen Gleichung
Reduktionsverfahren Ähnlich wie den Systemem erster Ordnung kann man ein Reduktionsverfahren angeben, darauf wollen wir aber verzichten Die inhomogene Differentialgleichung Ist das Funktionensystem (y 1,,y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix y (0) 1 y (0) n Y(t) = y (n 1) 1 y n (n 1) eine Fundamentalmatrix des zugehörigen Systems erster Ordnung Die Methode der Variation der Konstanten ergibt dann das lineare Differentialgleichungssystem:
Inhomogene Differentialgleichung Variation der Konstanten y (0) 1 y n (0) y (n 2) 1 y n (n 2) y (n 1) 1 y n (n 1) c 1 c n 1 c n = 0 0 h(t) Greenschen Funktion bzw Grundlösungsverfahren Gegeben sei die inhomogene Gleichung n ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten L[y] = y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 0 y(t) = h(t)
Greenschen Funktion bzw Grundlösungsverfahren II Satz Sei w(t) die Lösung der Anfangswertaufgabe L[w] = 0, w (k) (t 0 ) = { 0 : k = 0,,n 2 1 : k = n 1 Dann ist eine spezielle Lösung y p (t) der inhomogenen Gleichung gegeben durch y p (t) = t G(t, τ)h(τ)dτ t 0 G(t, τ) = w(t τ + t 0 ) Lineare Gleichungen n ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Gegeben sei die homogenen Gleichung L[y] = 0 mit a i R, i = 0,,n 1 und a n = 1 Ansatz zur Berechnung eines Fundamentalsystems: Daraus folgt y(t) = e λt (4) ( n ) L[y] = a k λ k k=0 Der Ansatz (4) liefert also eine Lösung, falls λ eine Nullstelle der so genannten charakteristischen Gleichung e λt p(λ) := n a k λ k = 0 k=0 ist
Charakteristische Gleichung Satz 1) Ist λ k eine r k fache reelle Nullstelle von p(λ), so existieren die folgenden Lösungen der homogenen Gleichung y k1 (t) = e λ kt y k2 (t) = t e λ kt y k,rk (t) = t r k 1 e λ kt 2) Ist λ k eine r k fache komplexe Nullstelle, λ k / R, so sind die reellen Lösungen mit λ k = α k + iβ k gegeben durch Charakteristische Gleichung II Satz (Fortsetzung) 2) Ist λ k eine r k fache komplexe Nullstelle, λ k / R, so sind die reellen Lösungen mit λ k = α k + iβ k gegeben durch y kj (t) = t j 1 e α kt cos(β k t) y lj (t) = t j 1 e α kt sin(β k t) und j = 1,,r k 3) Die nach 1) und 2) gebildeten Lösungen bilden ein Fundamentalsystem von L[y] = 0
Beispiel einer homogenen Gleichung Beispiel 1) Gegeben sei die homogene Gleichung vierter Ordnung y (4) + 2y + y = 0 Die zugehörige charakteristische Gleichung lautet dann: λ 4 + 2λ 2 + 1 = 0 und besitzt die Nullstellen λ 1,2 = i, λ 3,4 = i Ein Fundamentalsystem ist daher y 1 (t) = cos t y 2 (t) = sint y 3 (t) = t cos t y 4 (t) = t sint Beispiel einer homogenen Gleichung II Beispiel (Fortsetzung) 2) Die homogenen Gleichung y 2y + y = 0 besitzt die charakteristische Gleichung λ 2 2λ + 1 = 0 mit der doppelten Nullstelle λ = 1 Die allgemeine Lösung ist daher y h (t) = c 1 e t + c 2 te t
Eine inhomogene Gleichung Beispiel Wir betrachten nun die inhomogene Gleichung y 2y + y = et t 2 Variation der Konstanten verwendet den Ansatz: y p (t) = c 1 (t)e t + c 2 (t)te t Gelöst werden muss dann das DGL System c 1e t + c 2te t = 0 c 1e t + c 2(1 + t)e t = et t 2 Eine inhomogene Gleichung II Beispiel (Fortsetzung) Man berechnet direkt: Eine spezielle Lösung ist daher ( y p (t) = c 1 (t) = ln t c 2 = 1 t ) ln t + 1 e t
Methode der Greenschen Funktion im Beispiel Beispiel Wir betrachten wieder die inhomogene Gleichung y 2y + y = et t 2 und verwenden die Methode der Greenschen Funktion: Die Lösung von w 2w + w = 0, w(1) = 0, w (1) = 1 ist gegeben durch w(t) = (t 1)e t 1 Also gilt für die Greensche Funktion G(t, τ) = w(t τ + 1) = (t τ)e t τ Methode der Greenschen Funktion im Beispiel II Beispiel (Fortsetzung) Daraus folgt y p (t) = t 1 t τ eτ (t τ)e τ 2dτ = e t ( 1 + t ln t )
Spezieller Ansatz bei speziellen Inhomogenität Bei Inhomogenitäten der Form m h(t) = e µt β j t j kann man spezielle Ansätze zur Bestimmung von y p (t) verwenden: 1) Ist µ keine Nullstelle der charakteristischen Gleichung p(λ): j=0 m y p (t) = e µt γ j t j j=0 mit den freien Parametern γ j 2) Ist µ eine r fache Nullstelle von p(λ): m y p (t) = e µt t r γ j t j j=0 Spezieller Ansatz Beispiel Wir betrachten die Gleichung y y = te t Die charakteristische Gleichung ist p(λ) = λ 2 1 = 0 und µ = 1 ist eine einfache Nullstelle Ansatz: y p (t) = e t (γ 0 t + γ 1 t 2 ) Einsetzen in die DGL ergibt (2(γ 0 + γ 1 ) + (γ 0 + 4γ 1 )t + γ 1 t 2 )e t (γ 0 t + γ 1 t 2 )e t = te t Umsortieren: (2(γ 0 + γ 1 ) + 4γ 1 t)e t = te t
Spezieller Ansatz II Beispiel (Fortsetzung) Daraus folgt γ 0 = γ 1 = 1/4 und y p (t) = t 4 (t 1)et Das Superpositionsprinzip Gegeben sei eine inhomogene DGL der Form L[y] = h(t) = h 1 (t) + h 2 (t) (5) Sind y 1 (t) und y 2 (t) spezielle Lösungen von L[y] = h 1 (t) und L[y] = h 2 (t), so ist y p (t) := y 1 (t) + y 2 (t) eine spezielle Lösung von (5) Komplexe Differentialgleichungen Ist h(t) der Real oder Imaginärteil einer komplexwertigen Funktion w(t), h(t) = Re (w(t)) bzw h(t) = Im(w(t)) und ist z(t) eine (komplexe) Lösung von L[z] = w, so ist y(t) = Re(z(t)) bzw y(t) = Im (z(t)) eine (reelle) Lösung von der DGL L[y] = h(t)
Anwendung des Superpositionsprinzips Beispiel Ein spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung y + 2y + 5y = e t( ) cos t + sin(2t) ist gegeben durch ( 1 y p (t) = e t 3 cos t 1 ) 4 t cos(2t) 1) Beim Superpositionsprinzip betrachtet man die beiden Gleichungen Anwendung des Superpositionsprinzips II Beispiel (Fortsetzung) 1) y + 2y + 5y y + 2y + 5y = e t cos t = e t sin(2t) 2) Beide Gleichungen löst man durch Übergang auf komplexe Zahlen: z + 2z + 5z z + 2z + 5z = e ( 1+i)t = e ( 1+2i)t