Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund für Theoretische Informatik nationales Algorithmische Forschungszentrum Methoden in der Helmholtz-Gemeinschaft für schwere Optimierungsprobleme www.kit.edu
Wiederholung Packungsprobleme sind allgegenwärtig in Industrie, Handel, Logistik, etc. Wir können nun unser Sägeproblem mit Hilfe von BIN-PACKING lösen 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Wiederholung Packungsprobleme sind allgegenwärtig in Industrie, Handel, Logistik, etc. Wir können nun unser Sägeproblem mit Hilfe von BIN-PACKING lösen BIN-PACKING ist streng N P-vollständig Mehrere Greedy-Heuristiken garantieren bereits relative Güte 2 Es gibt bessere Approximationsalgorithmen und sogar ein (strenges) asymptotisches Approximationsschema 2 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Vorlesung 2 Programm des Tages: mit Bergsteigeralgorithmus Online- 3 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik
Inhalt Metaheuristik Online- 4 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Metaheuristiken Heuristiken: Optimierung mit intuitiven, problemspezifischen Methoden Stochastische Optimierung: Klasse von zufallsbasierten Algorithmen und Methoden zur bestmöglichen Lösung von schweren Problemen 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Metaheuristiken Heuristiken: Optimierung mit intuitiven, problemspezifischen Methoden Stochastische Optimierung: Klasse von zufallsbasierten Algorithmen und Methoden zur bestmöglichen Lösung von schweren Problemen Beschreibung Metaheuristik Metaheuristiken (MH): Teilgebiet der stochastischen Optimierung MH bilden die allgemeinste Art der o.g. Algorithmen MH können meist auf eine ganze Reihe von Problemen angewandt werden Anzuwenden, wenn wenig über Struktur des Problems bekannt ist 5 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Unsere erste Metaheuristik Bergsteigeralgorithmus (hill climbing algorithm) [http://www.swissmoto.org/pub/uploads/editor/images/hill-climbing-motocross.jpg] 6 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigeralgorithmen 1. Startlösung gegeben (zum Bsp. zufällig) 2. Betrachte beste (oder eine verbessernde ) Lösung L aus der Nachbarschaft 3. Wenn Verbesserung möglich, dann setze L als neue Lösung fest und gehe zu Schritt 2 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigeralgorithmen 1. Startlösung gegeben (zum Bsp. zufällig) 2. Betrachte beste (oder eine verbessernde ) Lösung L aus der Nachbarschaft 3. Wenn Verbesserung möglich, dann setze L als neue Lösung fest und gehe zu Schritt 2 NB: Nachbarschaft bezieht sich auf Lösungsraum [http://cdn.wolfire.com/blog/solutionspace4.png] 7 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigeralgorithmen Diskussion Diskussion Vorteile? Nachteile? 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigeralgorithmen Diskussion Diskussion Vorteile? Nachteile? Hauptvorteil Einfach zu entwerfen und implementieren Hauptnachteil Bleibt in lokalen Optima hängen, die sehr schlecht sein können 8 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Ein Bergsteigerverfahren für Gruppierungsprobleme Literaturverweis Rhyd Lewis: A general-purpose hill-climbing method for order independent minimum grouping problems: A case study in graph colouring and bin packing. Computers & Operations Research, Volume 36, Issue 7, July 2009, Pages 2295-2310. ist ein Gruppierungsproblem, bei dem die Reihenfolge der Behälter egal ist Trotz Metaheuristik: Wissen über Problemstruktur selbst bei allgemeiner Problemstellung hilfreich 9 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Struktur einer Lösung Welchen Einfluss spielen verschiedene Permutationen? Theorem B: Zulässige Lösung für eine -Instanz B : Ergebnis von FIRSTFIT bei folgender Reihenfolge der Eingabe: Alle Behälter B j für j = 1,..., k nacheinander betrachten und dabei alle Elemente a B j hintereinander Dann: B B Beweis: Übung 10 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Anzahl optimaler Lösungen Corollary Sei k die minimale Anzahl von Behältern einer -Instanz. Dann gibt es mindestens k! k j=1 B j! Möglichkeiten, eine optimale Lösung zu kodieren. Frage: Warum? 11 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Beispiel zum Theorem FIRSTFIT angewandt auf zulässige Lösung 98 R. Lewis / Computers & Operations Research 36 (2009) 2295 --2310 10 8 6 4 2 0 Solution (a) (5 bins/groups) d a e b i h c g k j l f m 10 8 6 4 2 0 Solution (b) (4 bins/groups). 2. Two candidate solutions for a bin packing problem. In this instance, bin capacity C = 10 and the sizes of items a through to m (respectively) are: 4, 3, 2, 5, 4, 1, 4, 2 2, 2, 2, and 5. Here, the right solution is using the optimal (minimum) number of groups which, in this case, is four. Abbildung: [R. Lewis: A general..., p. 2298.] f d a c e b l i h g m k j Links: Zulässige (Start)Lösung B Rechts: B := FIRSTFIT(B) 12 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigen für Notwendige Elemente Entwurfsfrage: Wie nutzen wir diese Eigenschaft algorithmisch aus? Wdh. Bergsteiger-Prinzip 1. Startlösung gegeben (zum Bsp. zufällig) 2. Betrachte beste (oder eine verbessernde ) Lösung L aus der Nachbarschaft 3. Wenn Verbesserung möglich, dann setze L als neue Lösung fest und gehe zu Schritt 2 Brauchen Startlösung Müssen Nachbarschaft definieren Ideen? 13 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigen für Entwurf Startlösung Problemspezifische Heuristik wie FFD (oder jedes Element in eigenem Behälter) Nachbarschaft Sehr einfache Arten (machen wir hier nicht): Tausche Elemente in zwei Behältern, beachte Zulässigkeit oder Verschiebe Element in anderen Behälter, wenn der neue Behälter dadurch voller wird als der alte (beachte Zulässigkeit) 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Bergsteigen für Entwurf Startlösung Problemspezifische Heuristik wie FFD (oder jedes Element in eigenem Behälter) Nachbarschaft Statt dessen: Wähle eine kleine Zahl von Behältern, packe sie in Menge ρ Nicht gewählte Behälter gehören zur Menge π Wende Heuristik an, die verbessernde Tauschoperationen durchführt, die Behälter von π voller macht, dabei die Zulässigkeit beachtet Füge ρ und π wieder zu einer Lösung zusammen und wende nach Randomisierung eine problemspez. Heuristik wie FIRSTFIT darauf an 14 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
10 8 6 i Bergsteigen fürh 10 8 e c Beispiel, 4 [R. Lewis:..., p. 2298.] 2 0 Solution (a) (5 bins/groups) d a b g k j l f m 6 4 2 0 Solution (b) (4 bins/groups) f d a c e b l i h g m k j. Two candidate solutions for a bin packing problem. In this instance, bin capacity C = 10 and the sizes of items a through to m (respectively) are: 4, 3, 2, 5, 4, 1, 2, 2, and 5. Here, the right solution is using the optimal (minimum) number of groups which, in this case, is four.. High-level description of the hill-climbing method. For clarity, an example is provided in the figure that uses the Solution 1 from Fig. 2 as a basis for the starting solu moves, a group in ρ is emptied by transferring all of its items is similar in fashion to the greedy algorithm (Fig. 1) though existing groups in π. The second opportunity occurs in Step each iteration, the next node chosen to be coloured is determi hen a permutation is formed that, when fed into the greedy dynamically by choosing the uncoloured node that currently has rithm, results in a new solution that uses fewer groups than largest number of distinct colours assigned to adjacent nodes ( redecessor. Note that our exploitation of the underlying OIMGP are then broken by choosing the node with the highest degr ture 15in these Henning operators Meyerhenke, means that Institut the number für Theoretische of groupsinformatik cannot We choose this particular algorithm because it is generally abl ase, thusalgorithmische providing the Methoden method's HC für schwere characteristics. Optimierungsprobleme Of course, produce high-quality solutions in short amounts Metaheuristik of time, thus
Tauschheuristik Idee Grundidee: Bewege Elemente zwischen ρ und π derart, dass die Behälter in π voller werden, aber die Zahl ihrer Elemente nicht steigt (kleinere Elemente in π durch größere tauschen) 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Tauschheuristik Idee Grundidee: Bewege Elemente zwischen ρ und π derart, dass die Behälter in π voller werden, aber die Zahl ihrer Elemente nicht steigt (kleinere Elemente in π durch größere tauschen) Pseudocode grobgranular Wiederhole für jeden Behälter in π: 1. Tausche ein Paar von Elementen aus einem Behälter in π mit einem Paar aus ρ 2. Tausche ein Elementpaar aus π mit einem einzelnen Element aus ρ 3. Tausche ein einzelnes Element aus π mit einem einzelnen Element aus ρ 16 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Tauschheuristik Pseudocode feingranular, [R. Lewis: A general..., p. 2306.] 2306 R. Lewis / Computers & Operations Research 36 (2009) 2295 --2310 Fig. 12. The improvement procedure used in the bin packing application. Here, G(π) representsthenumberofgroupsthatarecontainedinthepermutationπ (similarly for ρ). Table 2 Number of extra bins (beyond χ) used in the best solutions generated by the various algorithms, averaged across the available instances. Korrektur: Klammern um s[i] + s[j] in Zeilen (5) und (11) Type Inst. n χ(μ ± σ) Cut FFD IG HC HGGA MT a HACO b BISON c 17 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Unif. 20 120 49.1 ± 1.6 10 10 0.7 0.7 0.1 0 0.05 0 Metaheuristik Unif. 20 200 101.6 ± 2.2 10 11 1.5 1.45 0.25 0 0.55 0.1
Tauschheuristik Beispiel Siehe Tafel! 18 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Experimentelle Ergebnisse Fig. 12. The improvement procedure used in the bin packing application. Here, G(π) representsthenumberofgroupsthatare Table 2 Number of extra bins (beyond χ) used in the best solutions generated by the various algorithms, averaged across the availa Type Inst. n χ(μ ± σ) Cut FFD IG HC HGGA Unif. 20 120 49.1 ± 1.6 10 10 0.7 0.7 0.1 0 Unif. 20 200 101.6 ± 2.2 10 11 1.5 1.45 0.25 0 Unif. 20 500 201.2 ± 3.3 20 11 2.7 2.7 0.15 0 Unif. 20 1000 400.6 ± 4.7 30 11 4.85 4.85 0.2 0 Trip. 20 60 20 ± 0.0 10 10 3.2 2.45 0.85 0.6 Trip. 20 120 40 ± 0.0 10 10 5.8 5.3 1.0 0.85 Trip. 20 249 83 ± 0.0 10 11 12.1 11.25 1.0 0 Trip. 20 501 167 ± 0.0 20 11 23.05 22.4 1.0 0 Hard 10 200 56.2 ± 0.7 10 11 3.4 2.3 0 0.1 The Inst column indicates the number of different instances that exist in each set; Cut indicates the cut-off points used Abbildung: Letzte drei Spalten: Durchschnittliche Zahl der Behälter zusätzlich zur optimalen Anzahl χ. a MT: Martello and Toth's branch-and-bound procedure [4]. Resultsforthehardinstancesaretakenfrom[21], theremai b HACO: hybrid ant colony optimisation approach of Levine and Ducatelle [15]. c The BISON method of Scholl et al. [21]. 4.2. IG and GGA setup In this case the IG algorithm was applied using the same experimental conditions as the previous graph colouring experiments, with 19 Henning an initial Meyerhenke, solutioninstitut being fürproduced Theoretischeusing Informatik the FFD heuristic. For the GGA, meanwhile, we used a hybrid version of the algorithm (HGGA), where G represents the num This function is more fine-g fitness function, and therefo tained for longer during a ru it favours solutions with ex Metaheuristik accentuated by the squaring
Fazit zur Metaheuristik Bergsteigen Benötigen Startlösung und Nachbarschaftsoperator Kein globales Wissen erforderlich Einfach zu implementieren Je nach Problemstruktur kann die Lösung recht gut werden Aber: Gefangen in lokalen Optima 20 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Fazit zur Metaheuristik Bergsteigen Benötigen Startlösung und Nachbarschaftsoperator Kein globales Wissen erforderlich Einfach zu implementieren Je nach Problemstruktur kann die Lösung recht gut werden Aber: Gefangen in lokalen Optima Eine nichttriviale Variante bringt für gute experimentelle Ergebnisse Auch anwendbar auf ähnliche Problemstellungen 20 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Metaheuristik
Inhalt Metaheuristik Online- 21 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Modellierungsaufgabe Szenario: Sie helfen Freunden beim Umzug und packen die Umzugskartons. Wenn Sie ein Teil in einen Karton gepackt haben, bekommen Sie ein neues Teil in die Warteschlange (der Größe 1). Also: Sie kennen beim Packen noch nicht die gesamte Eingabe. Ziel: Verbrauchen Sie möglichst wenige Umzugskartons! Nebenbedingung: Nicht zu viele offene Kartons zur gleichen Zeit! Aufgabe: Modellieren Sie das Problem algorithmisch! 22 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Problemstellung Eingabe: Liste nichtnegativer Zahlen a 1,..., a n 1, eine nach der anderen Ausgabe: Anzahl Kartons k N und eine Zuordnung f : {1,..., n} {1,..., k} mit i:f (i)=j a i 1 für alle j {1,..., k} Optimierungsziel: Minimierung von k NB: Höchstens b offene Kartons 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Problemstellung Eingabe: Liste nichtnegativer Zahlen a 1,..., a n 1, eine nach der anderen Ausgabe: Anzahl Kartons k N und eine Zuordnung f : {1,..., n} {1,..., k} mit i:f (i)=j a i 1 für alle j {1,..., k} Optimierungsziel: Minimierung von k NB: Höchstens b offene Kartons Zu berücksichtigen: Online-Problem! Frage (Online-Abstimmung): Welche bereits vorgestellten Algorithmen funktionieren im Online-Fall, welche nicht? NF FF FFD Algo II: Asymptotisches Approximationsschema 23 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Qualitätskriterium Asymptotic performance ratio Definition (Asymptotische Leistungsrate) { } A(I) RA = lim sup OPT (I) = n n I OPT (I) Leistungsmaß für -Algorithmen Ähnlich zur relativen Güte (Vorlesung 1) und zur competitive ratio (Vergleich offline online, s. Algo II) Idee: Vergleiche Zahl der Behälter/Kartons mit optimaler Anzahl, für große Eingaben 24 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Asymptotische Leistungsrate Eine andere Sichtweise Definition (Asymptotische Leistungsrate) Infimum RA, für das für jede Instanz I gilt: A(I) RA OPT (I) + c, wobei c eine nichtnegative Konstante ist, die nicht von der Eingabe abhängt. Wir berechnen immer noch das Verhältnis zwischen den Kosten von A und den Kosten von OPT Aber: A bekommt einige Kartons umsonst 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Asymptotische Leistungsrate Eine andere Sichtweise Definition (Asymptotische Leistungsrate) Infimum RA, für das für jede Instanz I gilt: A(I) RA OPT (I) + c, wobei c eine nichtnegative Konstante ist, die nicht von der Eingabe abhängt. Wir berechnen immer noch das Verhältnis zwischen den Kosten von A und den Kosten von OPT Aber: A bekommt einige Kartons umsonst Bekannt: R FF = 1.7 NB: Auch BESTFIT (verpacke Element in Karton so, dass am wenigsten Platz bleibt) hat diese Rate 25 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Asymptotische Leistungsrate Eine andere Sichtweise Definition (Asymptotische Leistungsrate) Infimum RA, für das für jede Instanz I gilt: A(I) RA OPT (I) + c, wobei c eine nichtnegative Konstante ist, die nicht von der Eingabe abhängt. Wir berechnen immer noch das Verhältnis zwischen den Kosten von A und den Kosten von OPT Aber: A bekommt einige Kartons umsonst Bekannt: R FF = 1.7 NB: Auch BESTFIT (verpacke Element in Karton so, dass am wenigsten Platz bleibt) hat diese Rate 26 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Da war doch noch was... Platzbeschränkte Algorithmen Platzbeschränkte Algorithmen halten nur eine beschränkte (meist konstante) Anzahl von Kartons offen zu jedem beliebigen Zeitpunkt, erzeugen einen konstanten Ausgabestrom (durch Schließen von Kartons), 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Da war doch noch was... Platzbeschränkte Algorithmen Platzbeschränkte Algorithmen halten nur eine beschränkte (meist konstante) Anzahl von Kartons offen zu jedem beliebigen Zeitpunkt, erzeugen einen konstanten Ausgabestrom (durch Schließen von Kartons), Oft gemeinsame Idee: Ähnliche Elemente zusammenpacken 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Da war doch noch was... Platzbeschränkte Algorithmen Platzbeschränkte Algorithmen halten nur eine beschränkte (meist konstante) Anzahl von Kartons offen zu jedem beliebigen Zeitpunkt, erzeugen einen konstanten Ausgabestrom (durch Schließen von Kartons), Oft gemeinsame Idee: Ähnliche Elemente zusammenpacken Frage: Welchen platzbeschränkten Online-Algorithmus kennen Sie? 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Da war doch noch was... Platzbeschränkte Algorithmen Platzbeschränkte Algorithmen halten nur eine beschränkte (meist konstante) Anzahl von Kartons offen zu jedem beliebigen Zeitpunkt, erzeugen einen konstanten Ausgabestrom (durch Schließen von Kartons), Oft gemeinsame Idee: Ähnliche Elemente zusammenpacken Frage: Welchen platzbeschränkten Online-Algorithmus kennen Sie? Ziel: Platzbeschränkter Online-Algorithmus mit R A < 1.7 27 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Algorithmus HARMONIC b Ein platzbeschränkter Online-Algorithmus mit R A < 1.7 Der Algorithmus HARMONIC b unterteilt die Elemente in b verschiedene Klassen aufgrund ihrer Größe: Größe ( 1 2, 1]: Typ 1, 1 Element pro Karton des Typs 1 Größe ( 1 3, 2 1 ]: Typ 2, 2 Elemente pro Karton des Typs 2... Größe ( b 1, 1 b 1 ]: Typ b 1, b 1 Element pro Karton des Typs b 1 Größe (0, b 1 ]: Benutze NEXTFIT für diesen Typ 28 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Beispiel Siehe Tafel! 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Beispiel Siehe Tafel! Hinweise Elemente verschiedenen Typs werden unabhängig voneinander verpackt Präzise Größe der Elemente ist irrelevant, nur der Typ ist wichtig Wichtig: Letzteres gilt nicht für optimale Lösung! 29 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Laufzeit Theorem (Laufzeit) Die Laufzeit von HARMONIC b ist O(n log b). Beweis. Jedes der n Elemente kann in Zeit log b klassifiziert werden. 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Laufzeit Theorem (Laufzeit) Die Laufzeit von HARMONIC b ist O(n log b). Beweis. Jedes der n Elemente kann in Zeit log b klassifiziert werden. Rest: Wie zeigen wir jetzt, dass HARMONIC b besser als FF ist? 30 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Anteilsfunktion Definition g : R R weise jedem Element seinen Anteil an einem Karton zu Sei W := n i=1 g(a i) die Gesamtsumme aller Anteile Wert von g g(a i ) = { 1/j, falls a i vom Typ j, 1 j b 1 b b 1 a i, falls a i vom Typ b In geschlossenem Karton vom Typ j sind j Elemente Passt ein Element nicht in Karton vom Typ b, dann ist der Karton mindestens b 1 b voll; Anteil ergibt sich aus Kehrwert und Gewicht 31 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Maximale Kartonzahl Lemma HARMONIC b benötigt höchstens W + b Kartons. Beweis. Sei n j die Anzahl der Elemente vom Typ j Sei m j die Anzahl der benutzten Kartons vom Typ j nj m 1 = n 1 und für 2 j < b : m j = j m b < SUM(ai a i vom Typ b) (b 1)/b HARMONIC b (I) < n 1 + n 2 2 + + n b 1 = n i=1 g(a i) + b = W + b b 1 + b SUM(a i a i vom Typ b) b 1 + b 32 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (1) HARMONIC b (I) < W +b OPT (I) k Asymptotische Leistungsrate: Maximiere Wert von g für jeden Offline-Karton, um dadurch W zu maximieren Wieviel passt in einen Offline-Karton? 33 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (1) HARMONIC b (I) < W +b OPT (I) k Asymptotische Leistungsrate: Maximiere Wert von g für jeden Offline-Karton, um dadurch W zu maximieren Wieviel passt in einen Offline-Karton? Dazu suchen wir eine Menge von Elementen, deren Gesamtgröße 1 ist (Kartongröße) und deren Wert bzgl. g maximiert wird. 33 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (1) HARMONIC b (I) < W +b OPT (I) k Asymptotische Leistungsrate: Maximiere Wert von g für jeden Offline-Karton, um dadurch W zu maximieren Wieviel passt in einen Offline-Karton? Dazu suchen wir eine Menge von Elementen, deren Gesamtgröße 1 ist (Kartongröße) und deren Wert bzgl. g maximiert wird. Frage: Wie quetschen wir Elemente a i mit hohem g(a i ) in einen Karton? 33 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (1) HARMONIC b (I) < W +b OPT (I) k Asymptotische Leistungsrate: Maximiere Wert von g für jeden Offline-Karton, um dadurch W zu maximieren Wieviel passt in einen Offline-Karton? Dazu suchen wir eine Menge von Elementen, deren Gesamtgröße 1 ist (Kartongröße) und deren Wert bzgl. g maximiert wird. Frage: Wie quetschen wir Elemente a i mit hohem g(a i ) in einen Karton? Für jeden Typ die kleinstmögliche Größe verwenden (z. B. 1 2 + ɛ für Typ 1, ɛ 0) 33 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (2) Quotient aus Größe und Wert bzgl. g: Für Typ j: ( 1 j )/( j+1 1 ) = (j + 1)/j für j = 1,..., b 1 Für Typ b: b/(b 1), Element der Größe x hat Anteil b/(b 1) x Diese Raten fallen streng monoton von Typ 1 bis Typ b: 2; 3/2; 4/3;... ; b/(b 1); b/(b 1) 34 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (2) Quotient aus Größe und Wert bzgl. g: Für Typ j: ( 1 j )/( j+1 1 ) = (j + 1)/j für j = 1,..., b 1 Für Typ b: b/(b 1), Element der Größe x hat Anteil b/(b 1) x Diese Raten fallen streng monoton von Typ 1 bis Typ b: 2; 3/2; 4/3;... ; b/(b 1); b/(b 1) Algorithmus zur Berechnung einer Menge mit maximalem Wert bzgl. g: Starte mit Element vom Typ 1 (Größe 1 2 + ɛ) Füge iterativ das größte noch passende Element hinzu 34 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Analyse Qualität: Vergleich mit Offline-Fall (3) Algorithmus zur Berechnung einer Menge mit maximalem Wert bzgl. g: Starte mit Element vom Typ 1 (Größe 1 2 + ɛ) Füge iterativ das größte noch passende Element hinzu Typ Größe Wert bzgl. g 1 1/2 + ɛ 1 2 1/3 + ɛ 1/2 3 1/4 + ɛ 4 1/5 + ɛ 5 1/6 + ɛ 6 1/7 + ɛ 1/6... Summe 1.691... Tabelle: Instanz mit maximalem Wert bzgl. g 35 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Fazit zu Harmonic b Theorem (Asymptotische Leistungsrate von HARMONIC) RH b =1 + 1 2 + 1 2 3 + 1 6 7 + 1 42 43 +... =1.6910... 36 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Fazit zu Harmonic b Theorem (Asymptotische Leistungsrate von HARMONIC) RH b =1 + 1 2 + 1 2 3 + 1 6 7 + 1 42 43 +... =1.6910... Harmonic b : Platzbeschränkter Online-Algorithmus mit besserer as. Leistungsrate/Güte als NF (sogar als der nicht platzbeschränkte FF) Gruppieren von Elementen mit ähnlicher Größe Beweis betrachtet Anteil jedes Elements an Kartongröße 36 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Zusammenfassung und Ausblick : N P-schweres Problem mit vielen Variationen, hohe praktische Relevanz Einfache Heuristiken wiederholt: NF, FF, FFD Neu: Harmonic b, platzbeschränkt, online-fähig Neu: Bergsteiger-Metaheuristik, einfach, aber ggf. mit schlechten lokalen Optima 37 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-
Zusammenfassung und Ausblick : N P-schweres Problem mit vielen Variationen, hohe praktische Relevanz Einfache Heuristiken wiederholt: NF, FF, FFD Neu: Harmonic b, platzbeschränkt, online-fähig Neu: Bergsteiger-Metaheuristik, einfach, aber ggf. mit schlechten lokalen Optima Ausblick Vertiefung in den Übungen TSP: Heuristiken und Metaheuristiken 37 Henning Meyerhenke, Institut für Theoretische Informatik Online-