8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 1

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1 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 1 81 Matrizen und quadratische Formen 811 Definition: Matrizen a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A := a m,1 a m,2 a m,n ist eine m n-matrix mit a µ,ν IR m ist die Zahl der Zeilen: ( ) a µ,1 a µ,2 a µ,n ist eine 1 n-matrix n ist die Zahl der Spalten: a 1,ν a 2,ν a m,ν ist eine m 1-Matrix 812 Rechenregeln für Matrizen 1 Für C := A + B gilt: c µ,ν := a µ,ν + b µ,ν 2 Für C := λa gilt: c µ,ν := λa µ,ν 3 Sei A eine m n-matrix und B eine n p-matrix Dann ist C := A B eine m p-matrix mit c µ,ϱ = für µ = 1,, m und ϱ = 1,, p a µ,ν b ν,ϱ 813 Transponierte Matrizen Die Transponierte von A (siehe oben) ist a 1,1 a m,1 A T a 1,2 a m,2 := a 1,n a m,n Wenn x IR n ist, wird oft x T = (x 1,, x n ) 1 Version 184 vom 13 Februar

2 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung geschrieben Dies ist als Spaltenvektor gemeint: 814 Skalarprodukt ist das Skalarprodukt im IR n 815 Matrizennorm x T y = (x 1,, x n ) x 1 x 2 x = x n y 1 y n = x 1 y x n y n = x y Sei A eine m n-matrix, n eine Norm im IR n und m eine Norm im IR m Dann ist A := sup{ A x m : x IR n, x n = 1} die von n und m erzeugte Matrixnorm Beachte: Ax m A x n für alle x IR n 816 Beispiele (1) Beidesmal die Euklidnorm: Zeige (als Aufgabe) A µ=1,,m,,n a 2 µ,ν (2) Beidesmal Maximumnorm: Für y = Ax ist Es gilt dann y µ = a µ,ν x ν y µ a µ,ν x ν }{{} x ( ) a µ,ν x Also ist ( ) m y max a µ,ν x µ=1 196

3 81 Matrizen und quadratische Formen Es ist damit Zeige, daß für ( ) Gleichheit gilt: Sei Setze Dann ist und damit A ( ) m max µ=1 x ν = m max µ=1 a µ,ν = a µ,ν a ϱ,ν { 1 wenn a ϱ,ν 0 1 wenn a ϱ,ν < 0 a ϱ,ν x ν = A a ϱ,ν x }{{} =1 a ϱ,ν Aus und ( ) folgt insgesamt die Gleichheit bei ( ) 817 Definition: Quadratische Formen Sei A eine symmetrische n n-matrix (A = A T, a µ,ν = a ν,µ ) Dann heißt Q A : IR n IR, Q A (x) := x T Ax = a µ,ν x µ x ν quadratische Form µ, 818 Bemerkung Wenn A T = A ist, sind alle Eigenwerte λ 1,, λ n reell Man kann die Eigenvektoren x (1),, x (n) orthonormal wählen, d h es gilt x (j) x (k) = x (1),, x (n) bilden eine Orthonormalbasis des IR n Sei nun x IR n Dann gilt: x = ξ j x (j) und Ax = j=1 { 1 j = k 0 j k ξ j λ j x (j) j=1 Damit ist x T Ax = x (Ax) = λ j ξj 2 j=1 197

4 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 819 Definition: positiv/negativ (semi-)definit A heißt positiv definit negativ definit positiv semidefinit negativ semidefinit indefinit > 0 für x 0 < 0 für x 0 x T Ax 0 für x 0 0 für x 0 sonst alle λ j > 0 alle λ j < 0 alle λ j 0 alle λ j 0 mind ein λ j > 0, ein λ j < Bemerkungen A ist positiv definit ( A > 0 ) a 11 a 1k > 0 für k = 1, 2,, n, a k1 a kk bzw negativ definit ( A < 0 ) a 11 a 1k ( 1) k > 0 für k = 1, 2,, n a k1 a kk Es gilt A > 0 ( A) < 0 Ohne Beweis Insbesondere ist die Matrix ( ) a b b c genau dann positiv definit, wenn a > 0 und ac > b 2, bzw genau dann negativ definit, wenn a < 0 und ac > b 2 ist 8111 Beispiele (1) 1 1 A = ist positiv semidefinit, d h A ( ) 2 x T Ax = x µ x ν = x µ x ν = x ν 0 µ, µ=1 = 0 x ν = 0 198

5 81 Matrizen und quadratische Formen (2) A = Q A (x) = x x x 2 3 2x 1 x 2 + 2x 2 x 3 = (x 1 x 2 ) 2 + x x x 2 x 3 = (x 1 x 2 ) 2 + (x 2 + x 3 ) 2 + 2x 2 3) 0 = 0 x 3 = 0 x 2 + x 3 = 0 x 1 x 2 = 0 x = 0 IR 3 A > Definition: Landau-Symbole Sei E IR n, ξ Häufungspunkt von E, ϕ: E IR m und ψ : E IR (a) ϕ(x) = O(ψ(x)) für x ξ bedeutet: Es gibt ein C > 0 und ein δ > 0 mit ϕ(x) Cψ(x) in x E, 0 < x ξ < δ (b) ϕ(x) = o(ψ(x)) für x ξ bedeutet: Zu jedem ε > 0 existiert ein δ > 0 mit ϕ(x) εψ(x) in x E, 0 < x ξ < δ 8113 Beispiele 1 Sei ϕ(x) = x T Ax Es gilt: φ(x) = O( x 2 ) für x 0 Äquivalent ist: x T Ax C x 2 für x < δ 2 Sei f : E IR m stetig in ξ E Zu ε > 0 ex ein δ > 0 mit x T Ax 2 = x (Ax) 2 CSU x 2 (Ax) 2 x 2 (C x 2 ) = C 2 x 4 x T Ax C x 2 für x IR n f(x) f(ξ) < ε für x ξ < δ, x E f(x) f(ξ) =: ϕ(x) mit ϕ(x) 0 für x ξ f(x) f(ξ) = o(1) für x ξ f(x) = f(ξ) + o(1) für x ξ 199

6 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 8114 Regeln für Landau-Symbole (Die Regeln unter (a) und (b) gelten sowohl für O als auch für o) (a) Sei ϕ j (x) = O(ψ(x)) für x ξ und j = 1,, k Dann ist k ϕ j (x) = O(ψ(x)) für x ξ j=1 Anwendungsbeispiel: Seien f 1 und f 2 stetig in ξ Dann ist f 1 + f 2 stetig in ξ, denn: f j (x) = f j (ξ) + o(1) für j = 1, 2 f 1 (x) + f 2 (x) = f 1 (ξ) + f 2 (ξ) + o(1) (b) Sei ϕ j (x) = O(ψ(x)) für x ξ und j = 1,, k Dann gilt ϕ(x) = k max 1 ϕ j (x) ϕ(x) = O(ψ(x)) für x ξ (c) Gilt ϕ(x) = o(ψ(x)) für x ξ, dann ist auch ϕ(x) = O(ψ(x)) für x ξ Dies gilt i A aber nicht umgekehrt 8115 Beispiel Sei f C k ( r, r) Dann ist für x 0 f(x) = k j=0 82 Differenzierbare Funktionen { f (j) (0) x j o( x k ), falls f C k ( r, r) + j! O( x k+1 ), falls f C k+1 ( r, r) Für diesen Abschnitt ist D IR n ein Gebiet Funktionen D IR m werden üblicherweise mit f, g, ψ, ϕ, bezeichnet Funktionen D IR werden üblicherweise mit u, v, w, bezeichnet ist die Euklidnorm 821 Definition: Differenzierbarkeit f : D IR m heißt differenzierbar in x D, wenn es eine m n-matrix A gibt mit Äquivalent hierzu ist: Interpretation: : Affine Funktion von h : Fehlerterm: < ε h für h < δ f(x + h) f(x) Ah = o( h ) für h 0 (h IR n ) f(x + h) f(x) A h lim = 0 h 0 h f(x + h) = f(x) + A h + o( h ) }{{}}{{} 200

7 82 Differenzierbare Funktionen 822 Bemerkungen (a) Sei n = m = 1: f(x + h) f(x) = a h + o( h ) f(x + h) f(x) lim = a =: f (x) h 0 h (b) Man nennt A die Ableitung von f und schreibt f (x) = A Andere Schreibweise: 823 Beispiele A = f x (1) Sei f(x) = c konstant mit c IR m Dann ist f (x) = 0 die m n-nullmatrix, denn f(x + h) f(x) 0 h = 0 = o( h ) (2) Sei f(x) = Ax mit einer m n-matrix A also ist f (x) = A für x IR n ist die Jacobi-Matrix f(x + h) f(x) = A h = A h + o( h ), (3) Sei f(x) = x T Ax mit einer symmetrischen n n-matrix A Es ist f : IR n IR Also ist f (x) eine 1 n-matrix, ein Zeilenvektor f(x + h) f(x) = (x + h) T A(x + h) x T Ax Da h T Ah = O( h 2 ) = o( h ) für h 0 ist, ist = x T Ah + h T Ax + h T Ah = (x T A)h + (x T A T )h + h T Ah = (x T A)h + (x T A)h + h T Ah f (x) = x T A + x T A = 2x T A = 2(Ax) T 824 Satz f = f 1 f m : D IR m ist genau dann in x differenzierbar, wenn alle f µ : D IR in x differenzierbar sind Es gilt: f 1 f (x) (x) = f m(x) 201

8 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung Beweis: Sei A = f (x) und a µ := f µ(x) : f (x) existiere nach Voraussetzung Dann ist Also ist f µ(x) = a µ f µ (x + h) f µ (x) a µ h f(x + h) f(x) A h : f µ(x) = a µ existieren nach Voraussetzung Setze A = a 1 a m = o( h ) für h 0, µ = 1,, m ist m n Matrix Also ist f (x) = A f(x h) f(x) a h m f µ (x + h) f µ (x) a µ h }{{} =o( h ) µ=1 = o( h ) für h Satz: Die Ableitung ist eindeutig Die Ableitung ist eindeutig bestimmt Ist f differenzierbar in x, so ist f auch stetig in x Beweis: Eindeutigkeit: Sei Subtraktion der beiden Gleichungen liefert: f(x + h) = f(x) + A h + o( h ) f(x + h) = f(x) + B h + o( h ) IR m 0 = (A B) h + o( h ) für h 0, h IR n Folgt daraus A = B? Setze h = t e mit t IR, e IR n und e = 1 Es gilt: h 0 t 0 t(a b)e = o( t ) für t 0 Für t 0 gilt dann: Also ist A B = 0, d h A = B (A B)e = 1 o( t ) = o(1) für t 0 t (A B) e = 0 für alle e IR n mit e = 1 202

9 82 Differenzierbare Funktionen Stetigkeit: f(x + h) f(x) = A h + o( h ) Setze nun y = x + h Dann ist Also ist f stetig A h + ε h für h < δ bei vorgegebenem ε = const h für h < δ 826 Regeln für differenzierbare Funktionen f(y) f(x) const x y für x y < δ Sind f, g : D IR m differenzierbar in x, so auch f + g, λ f (λ IR) und f g : D IR (Skalarprodukt) Im Punkt x gilt: (f + g) = f + g (λf) = λf (f g) = f T g + g T f Vergleiche mit den eindimensionalen Regeln (413, Seite 70) Beweis: Als Aufgabe 827 Kettenregel für differenzierbare Funktionen Zur Wiederholung zuerst die Kettenregel im 1-dimensionalen: Seien f, g : IR IR Dann ist d dx f(g(x)) = f (g(x)) g (x) Sei nun g : D IR n G IR m differenzierbar in x D und f : G IR p sei differenzierbar in y = g(x) Dann ist f g : D IR p differenzierbar in x mit (f g) (x) = f (y) g (x) mit y = g(x) Beweis: Sei Φ = f g, B = g (x) und A = f (y) Dann ist g(x + h) = g(x) + B h + o( h ) für h 0 und f(y + k) = f(y) + A k + o( k ) für k 0 Es ist y = g(x), y + k = g(x + h), also k = g(x + h) g(x) Damit ist Φ(x + h) = f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + A k + o( k ) für k 0 = f(g(x)) + A (g(x + h) g(x)) + o( g(x + h) g(x) ) für h 0 = Φ(x) + A (g(x + h) g(x)) + o( g(x + h) g(x) ) für h 0 Außerdem ist k = O( h ) für h 0 Dann gilt: Φ(x + h) = Φ(x) + A (B h + o( h )) + o(o( h )) = Φ(x) + A B h + o( h ) + o( h ) }{{} =o( h ) = Φ(x) + A B h + o( h ) = Φ(x) + f (y)g (x)h + o( h ) Also ist Φ (x) = f (y)g (x) mit y = g(x) 203

10 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 828 Mittelwertsatz I Sei u: D IR n IR und S sei eine Strecke in D mit Anfangspunkt a und Endpunkt b Ist u differenzierbar in D, so gibt es ein ξ S \ {a, b} mit u(b) u(a) = u (ξ)(b a) Beweis: Sei ϕ(t) := u(a + t (b a)) für 0 t 1 Nach dem 1-dimensionalen Mittelwertsatz (424, Seite 74) gibt es ein τ (0, 1) mit Mit der Kettenregel gilt dann: 829 Mittelwertsatz II ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (τ)(1 0) u(b) u(a) = u (a + τ(b a) ) (b a) }{{} =:ξ Ist f : D IR m differenzierbar und sind a, b und S wie im MWS I, so gilt: f(b) f(a) = J(ξ 1,, ξ m ) (b a) Dabei ist J(ξ 1,, ξ m ) = f 1 (ξ1 ) f 2 (ξ2 ) f m(ξ m ) mit ξ1,, ξ m S \ {a, b} Beweis: Mittelwertsatz I anwenden auf f µ : Dabei ist ξ µ S \ {a, b} für µ = 1,, m Daraus folgt dann die Behauptung f µ (b) f µ (a) = f µ(ξ µ )(b a) 8210 Definition: Integrierbarkeit von Matrizen Seien a µ,ν : [0, 1] IR für µ = 1,, m und ν = 1,, n integrierbar und A(t) = (a µ,ν (t)) µ=1,,m Man setzt 1 0 A(t) dt := 1 0 a µ,ν (t) dt und nennt A integrierbar Das Ergebnis ist eine m n-matrix 8211 Mittelwertsatz III Ist f : D IR m differenzierbar, sind a, b und S wie im MWS I und ist f (a + t (b a)) integrierbar über [0, 1], dann gilt: f(b) f(a) = 1 0 f (a + t(b a)) dt (b a) } {{ } m n-matrix,,n 204

11 83 Partielle Ableitungen Beweis: Hier für m = 1 Sei u: D IR Setze ϕ(t) = u(a + (b a)t) Es ist ϕ (t) = u (a + t(b a)) (b a) Mit dem Hauptsatz gilt dann also 8212 Satz 1 ϕ(1) ϕ(0) = ϕ (t) dt, 0 1 u(b) u(a) = u (a + t(b a)) (b a) dt 0 Ist D IR n ein Gebiet und f : D IR m differenzierbar mit f (x) = 0 in D, so ist f konstant Beweis: Zuerst als Erinnerung für m = n = 1: f(y) f(x) = f (ξ)(y x) = 0 }{{} =0 Seien nun x, y D und sei s ein achsenparalleler Streckenzug in D von x nach y Die Ecken von s seien x = a 1, a 2,, a k = y Es gilt: Daraus folgt: Also ist f konstant f(a j f(a j 1 ) f(y) f(x) = f(a k ) f(a 1 ) = MWS II = J(ξ 1,, ξ m ) (a j a j 1 ) = 0 k f(a j ) f(a j 1 ) = 0 j=2 83 Partielle Ableitungen 831 Vorüberlegungen Sei u: D IR n IR differenzierbar in x Dann ist und mit h = h 1 h n u (x) = (a 1, a 2,, a n ) = a u(x + h) = u(x) + a h + o( h ) = u(x) + a 1 h a n h n + o( h ) Was ist dann a 1? 205

12 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung Setze h = (t, 0,, 0) Dann gilt h 0 genau für t 0 Es ist u(x 1 + t, x 2,, x n ) u(x 1,, x n ) = a 1 t + o( t ) u(x 1 + t, x 2,, x n ) u(x 1,, x n ) = a 1 + o( t ) t t a 1 = u(x 1 + t, x 2,, x n ) u(x 1,, x n ) + o(1) für t 0 [ t ] u(x1 + t, x 2,, x n ) u(x 1,, x n ) a 1 = lim + o(1) t 0 t 832 Definition: Partielle Ableitung, Gradient Sei u: D IR, D IR n offen und x D Dann heißt u(x 1,, x ν 1, x ν + t, x ν+1,, x n ) u(x 1,, x n ) lim t 0 t partielle Ableitung von u nach x ν Sie wird bezeichnet mit Existieren alle partiellen Ableitungen, so heißt der Gradient von u D ν u(x) oder u x ν (x) oder u xν (x) grad u(x) := (u (x1 )(x),, u (xn)(x)) Bemerkung: Der Gradientenvektor ist ein Zeilenvektor 833 Satz Ist u differenzierbar in x, so ist u (x) = grad u(x) Beweis: Oben in Definition: Richtungsableitung Sei u: D IR, D IR n offen, x D und e IR n mit e = 1 Dann heißt die Richtungsableitung von u in Richtung e Spezialfall: Für e = e ν ist u e = u ν x ν 835 Satz u u(x + te) u(x) (x) := lim e t 0 t Ist u: D IR in x differenzierbar, so existieren alle Richtungsableitungen u e (x) und es ist u (x) = e grad u(x) e 206

13 83 Partielle Ableitungen Es gilt dann: grad u(x) u (x) grad u(x) e Falls grad u(x) 0 ist, so ist Gleichheit nur für grad u(x) e = ± grad u(x) Beweis: u ist differenzierbar Damit ist u(x + h) = u(x) + u (x) h + o( h ) für h 0 Setze h = t e mit e IR n, e = 1 und t IR Damit ist Beweis der Ungleichung: Falls grad u 0 ist, gilt: u(x + te) u(x) = tu (x)e + o( t ) für t 0 u(x + te) u(x) t = u (x) e + o(1) für t 0 u e (x) = u (x) e = grad u(x) e u e u e CSU = grad u e grad u e }{{} =1 CSU = grad u e grad u = grad u und e sind linear abhängig e = λ grad u mit λ IR Für positives λ liegt rechts, für negatives λ liegt links Gleichheit vor Es ist also λ = ± 1 grad u 836 Satz Ist f : D IR n IR m differenzierbar, so ist f grad f 1 (x) 1 f grad f 2 (x) (x) = = x 1 f m grad f m (x) x 1 f 1 x n f m x n Beweis: Ohne 837 Beispiele 1 Sei u(x, y) = e x cos(y x) Dann ist u x = e x cos(y x) + e x ( sin(y x)) ( 1) = e x (cos(y x) + sin(y x)) und Frage: Ist u nun differenzierbar? u y = e x sin(y x) 207

14 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 2 Sei u(x, y) = { x 2 y für y > x 2 0 sonst u und u sind unstetig in (0, 0) Alle Richtungsableitungen u e existieren in (0, 0) Es ist denn für e = (±1, 0) ist u (0, 0) = e und für e = (a, b) mit b 0 ist { 0 für e = (±1, 0) a 2 b für e = (a, b), a 2 + b 2 = 1, b 0, u(±t, 0) u(0, 0) t u(at, bt) u(0, 0) t = = 0 0 t a 2 t 2 bt 0 t = a2 b a2 b 0 für t 0 für kleines t für t 0 Zeige nun, daß u in (0, 0) nicht stetig ist: Es ist u(x, 0) = 0 und u(x, 2x 2 ) = x2 = 1 2x 2 2 Also ist u nicht stetig und damit nicht differenzierbar in (0, 0) 838 Satz Existiert grad u von u: D IR und sind u x1,, u xn im Punkt x stetig, so ist u in x differenzierbar Beweis: Sei h = (h 1,, h n ) und h ν = (h 1,, h ν, 0,, 0) Insbesondere sind dann: h 0 = (0,, 0) h 1 = (h 1, 0,, 0) h 2 = (h 1, h 2, 0,, 0) Es gilt dann: u(x + h) u(x) grad u(x) h = u(x + h ν ) u(x + h ν 1 ) u }{{} xν (x)h ν h νu xν (x+ξ ν) = h ν [u xν (x + ξ ν ) u xν (x)] Sei ε > 0 Dazu existiert (Stetigkeit des Gradienten) ein δ > 0 mit grad u(x) grad u(y) < ε für x y < δ Setze nun y = x + h mit h < δ Dann ist u(x + h) u(x) grad u(x) h CSU h n (u xν (x + ξ ν ) u xν (x)) 2 Also ist u (x) = grad u(x) < ε h für h < δ 208

15 84 Höhere Ableitungen 839 Bemerkungen Sei u: D IR n IR differenzierbar im Punkt x Dann gilt u(x + h) = u(x) + u (x) h + o( h ) Für n = 1 ist z = u(x) + u (x) t die Gleichung der Tangenten an den Graphen an der Stelle x Für n 2 ist z = u(a) + u (a) (x a) die Gleichung einer Hyperebene im IR n+1 = IR n IR T a := { (x, z) IR n IR: z = u(a) + u (a) (x a) } ist eine Tangentialhyperebene Für diese Ebene gilt Setze nun Für (x, z) T a gilt nun x 1 a 1 ν x n a n = 0, z u(a) (z u(a)) u (a) (x a) = 0 u x1 (a) ν = u xn (a) IRn+1 1 Also ist ν Normalenvektor zur Tangentialhyperebene 84 Höhere Ableitungen 841 Definition: Stetig differenzierbar ν ist orthogonal zu x 1 a 1 x n a n z u(a) Sei u: D IR mit D IR n offen, Gebiet u heißt stetig differenzierbar, wenn u x1,, u xn in D stetig sind: u C 1 (D) f : D IR m heißt stetig differenziervar, wenn f 1,, f m C 1 (D) sind: f C 1 (D, IR m ) 842 Definition: Mehrfach stetig differenzierbar u: D IR heißt k-mal stetig differenzierbar, geschrieben: u C k (D), wenn alle Ableitungen D j1 D j2 D jk u für j 1,, j k {1,, n} in D stetige Funktionen sind 843 Beispiele 1 Es ist z B D 1 D 2 u = (u x2 ) x1 =: u x2 x 1 und D 3 D 7 D 4 u = ((u x4 ) x7 ) x3 =: u x4 x 7 x 3 2 Sei u(x, y) = x 2 e xy Dann ist u x = 2x ye xy u xx = 2 y 2 e xy u y = xe xy u xy = e xy xye xy u yy = x 2 e xy u yx = e xy xye xy 209

16 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 844 Satz von H A Schwarz (1 Version) Sei D IR 2 offen, u: D IR, u C 1 (D) und u xy existiere in D und ist stetig in (a, b) D Dann existiert auch u yx (a, b) = u xy (a, b) Beweis: Für (a, b) = (0, 0): Es gilt Daraus folgt: Für y 0 ist damit R(x, y) := (u(x, y) u(x, 0)) (u(0, y) u(0, 0)) = x [u x (ξ, y) u x (ξ, 0)] mit ξ aus dem MWS zwischen 0 und x = x y u xy (ξ, η) mit η zwischen 0 und y (MWS) u xy (ξ, η) = = 1 x R(x, y) xy = u(x, y) u(x, 0) u(0, y) + u(0, 0) xy (u(x, y) u(x, 0)) (u(0, y) u(0, 0)) y 1 x (u y(x, 0) u y (0, 0)) und danach für x 0: u yx (0, 0) Dabei geht die linke Seite wegen der Stetigkeit von u x,y gegen u xy (0, 0) 845 Satz von H A Schwarz (2 Version) Ist u C k (D), so ist D j1 D j2 D jk u für j 1,, j k {1,, n} unabhängig von der Reihenfolge der Differentiation Beweis: Als Aufgabe 846 Definition und Regeln: Multiindex p IN n 0 heißt Multiindex Es gilt: p = (p 1, p 2,, p n ) mit p ν IN 0 p := p 1 + p p n ist die Länge von p p! := p 1! p 2! p n! Für x IR n gilt: x p := x p 1 1 xp 2 2 xpn n 210

17 84 Höhere Ableitungen 847 Definition: Polynom, Taylorpolynom a p x p mit festem k und a p = a p1,,p n p k ist ein Polynom in x IR n Z B ist für n = 2 a 00 + a 10 x 1 + a 01 x 2 + a 20 x a 11 x 1 x 2 + a 02 x 2 2 Sei nun u C k (D) und p IN n 0 mit der Länge p = k Dann bedeutet k u x p = k u x p 1 1 xp 2 2 xpn n differenziere p 1 -mal nach x 1, differenziere p 2 -mal nach x 2, differenziere p n -mal nach x n Sei nun u C k (D) und a D Dann ist mit das k-te Taylorpolynom von u an der Stelle a 848 Satz von Taylor Ist u C k (D) und ist a D, so gilt: für x a Beweis: Setze T k (x; a) := c p (x a) p p k c p := 1 p! p u x p (a) u(x) T k (x; a) = o( x a k ) Wähle r > 0 so, daß K(a, r) D ist Sei dann x K(a, r) ϕ(t) := u(a + t(x a)) für 0 t 1 Es ist ϕ C k ([0, 1]) Damit ist nach dem eindimensionalen Satz von Taylor (445, Seite 87): ϕ(1) = = k 1 l=0 k l=0 ϕ (l) (0) l! ϕ (l) (0) l! Mit Induktion (wird weiter unten gezeigt) gilt dann: 1 l + ϕ(k) (τ) 1 k mit 0 < τ < 1 k! + ϕ(k) (τ) ϕ (k) (0) k! ϕ (l) (t) = 1 l! p! l u x p (a + t(x a))(x a)p (81) p =l 211

18 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung Wenn (81) gilt, dann folgt: Es gilt: weil k 1 u(x) = p! l u (a)(x a)p xp l=0 p =l + ( 1 k ) u p! x p (a + τ(x a)) k u x p (a) (x a) p p =k R k (x; a) = T k (x; a) + R k (x; a) p =k 1 p! k u x p (a + τ(x a)) k u x p (a) x a k, h p = h p 1 1 hpn n h p 1+p 2 + +p n = h p Sei nun ε > 0 Dazu existiert (wegen der Stetigkeit) ein δ > 0 mit Für x a < δ gilt dann: k u x p (a + h) k u x p (a) < ε für h < δ R k (x; a) ε x a l (#Anzahl der Summanden) Beweise nun die Gleichung (81): Hier für a = 0 l = 1: Es ist l l + 1 k: ϕ(t)! = u(tx) ( ϕ (l+1) (l + 1)! (t) = 1 ϕ (l) (t) l + 1 l! = 1 l + 1 = 1 l + 1 p =l 1 p! p =l ) 1 p! l u x ν x p (tx) x νx p l+1 u x p+eν (tx)x p+eν mit e ν, dem ν-ten Einheitsvektor Es gilt: p + e ν = p + 1 = l + 1 Sei nun q ein Multiindex der Länge l + 1 Dann ist M q := {p: p = l und q = p + e ν für ein ν} Mit 1 p! = p ν + 1 = q ν q! q! = 1 (l + 1) q! p M q q ν>0 q ν>0 212

19 84 Höhere Ableitungen gilt dann: ϕ (l+1) (l + 1)! (t) = 1 l + 1 = 1 l + 1 = q =l+1 1 q =l+1 p M q q =l+1 p! l+1 u x q (tx)xq 1 q! l+1 u x q (tx)xq (l + 1) 1 q! l+1 u x q (tx)xq 849 Spezialfall für den Satz von Taylor Sei u C 2 (D) und a D Dann ist u(x) =u(a) + u xν (a)(x ν a ν ) µ, + o( x a 2 ) u xνx µ (a)(x ν a ν )(x µ a µ ) 8410 Definition: Hesse-Matrix Für u C 2 (D) heißt H u (a) := u x1 x 1 u x1 x 2 u x1 x n (a) u xnx 1 u xnx 2 u xnx n Hesse-Matrix H u ist symmetrisch, da u xµx ν = u xνx µ Setze man Q u (h) := h T H u (a)h, dann gilt mit Taylor: u(a + h) = u(a) + u (a) h Q u(h) + o( h 2 ) 8411 Definition: Extremum Sei u: D IR a D IR n heißt Stelle eines Maximums bzw Minimums (zusammen: Extremums) der Funktion u, wenn u(x) u(a) bzw u(x) u(a) für alle x a < δ 8412 Satz Sei u: D IR und a D (1) Ist a Stelle eines Extremums und existiert u (a), so ist u (a) = 0 (2) Ist sogar u C 2 (D), so gilt im Falle eines Maximums bzw Minimums, daß H u (a) negativ bzw positiv semidefinit ist 213

20 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung Beweis: (1) ϕ(t) = u(a 1 +t, a 2,, a n ) hat Extremum für t = 0, d h ϕ (0) = 0 = u x1 (a), also ist u (a) = 0 (2) Gilt: Z B für das Minimum: Sei h δ: Minimum: ϕ (0) 0 u x1 x 1 (a) 0 Maximum: ϕ (0) 0 u x1 x 1 (a) 0? u(a) u(a + h) = u(a) + u (a) h + 1 }{{} 2 Q u(h) + o( h 2 ) =0 1 2 Q u(h) + o( h 2 ) 0 für h < δ Wähle nun e IR n und setze h = te mit kleinem t IR Dann ist o 1 ( ) 1 2 Q u(te) + o( te 2 ) = }{{} t 2 2 Q u(e) + o(1) >0 }{{} 0 für t 0 Für t 0 ist damit dann Q u (e) 0 für e IR n, d h Q u ist positiv semidefinit 8413 Satz Sei u C 2 (D), a D, u (a) = 0 und H u (a) positiv bzw negativ definit Dann ist a Stelle eines Minumums bzw Maximums Ist H u indefinit, so liegt in a weder ein Maximum noch ein Minimum Beweis: Sei Q u positiv definit Dann ist Also ist in a ein Minimum 8414 Beispiele u(a + h) u(a) = 1 2 Q u(h) + o( h 2 ) }{{}}{{} α h 2 < α 2 h 2 mit α>0 für h <δ ( α α ) h 2 > 0 für 0 < h < δ 2 (1) Sei u(x, y) = x 2 y 2 Dann ist u x = 2x und u y = 2y u = 0 gilt genau für (x, y) = (0, 0) Es ist u xx = 2, ( u xy = 0 ) = u yx und u yy = Also ist H u = H 0 2 u ist indefinit Also gibt es keine Extrema (2) Sei u(x, y) = xy(1 x xy) Dann ist u x = y(1 x y) + xy( 1) = y(1 2x y) und u y = x(1 2y x) u x = 0, u y = 0 (x, y) {(0, 0), (1, 0), (0, 1), ( 1 3, 1 3 )} Es ist u xx = 2y, u yy = 2x und u xy = u yx = 2x 2y 214

21 85 Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen ( ) 0 1 H u (0, 0) = ist indefinit 1 0 ( ) 0 1 H u (1, 0) = ist indefinit 1 2 ( ) 2 1 H u (0, 1) = ist indefinit 1 0 ( H u ( 1 3, ) = 3 1 ) ist negativ definit, also liegt ein Maximum vor 3 (3) Sei u(x, y, z) = x 2 + y 2 xy x + z 2 z Es sind dann u x = 2x y 1 u y = 2y x y z = 2z 1 = 0 Es ist (u x, u y, u z ) = (0, 0, 0) für (x, y, z) = ( 2 3, 1 3, 1 ) und H u = ist positiv definit, also liegt in ( 2 3, 1 3, 2) 1 ein Minimum vor 85 Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen 851 Beispiel Die Gleichung x y = y x hat für x, y > 0 z B folgende Lösungen: y = x x = 4, y = 2 y = 4, x = 2 Gibt es weitere Lösungen? 852 Schreibweisen Im Folgenden ist IR n+m := IR n IR m Für 853 Satz über implizit definierte Funktionen Es sei U = K(x 0, r) IR n und V = K(y 0, ϱ) IR m Außerdem sei f : U V IR m mit f(x 0, y 0 ) = 0 gegeben f sei stetig, f 1 f 1 y 1 y m f y := ( ) x oder (x, y) ist x IR n und y IR m y f m y 1 sei stetig und det f y (x 0, y 0 ) 0 Dann gibt es Kugeln U 0 = K(x 0, r 0 ) und V 0 = K(y 0, ϱ 0 ), sowie eine stetige Funktion g : U 0 V 0 mit {(x, y): x U 0, y V 0, f(x, y) = 0} = {(x, g(x)): x U 0 } f m y m 215

22 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung Ist f x stetig, so ist g C 1 (U 0, IR m ) und in U 0 ist g (x) = (f y (x, g(x))) 1 f x (x, g(x)) Beweis: Sei OBdA x 0 = 0 IR n und y 0 = 0 IR m (sonst betrachte f(x 0 +x, y 0 +y) = f(x, y) = 0) Setze A := (f y (0, 0)) 1 Dann ist f(x, y) = 0 y = y Af(x, y) =: F (x, y) Beachte: Es ist F (0, 0) = 0 IR m und F y (0, 0) = 0 ist (m n)-nullmatrix Wähle nun U 0 und V 0 so, daß F (x, 0) < ϱ 0 /2 für x U 0 ist (dies ist wegen der Stetigkeit von F möglich), und daß F y (x, y) < 1 2 ist für (x, y) U 0, V 0 Eindeutigkeit von g: Zeige: Zu x U 0 gibt es höchstens ein y V 0 mit f(x, y) = 0 Annahme: Es gibt y, z V 0 mit f(x, y) = f(x, z) = 0 Es gilt dann: Nach Subtraktion gilt dann: y = F (x, y) z = F (x, z) y z = F (x, y) F (x, z) MWS III = 1 0 F y (x, ty + (1 t)z) dt (y z) Daraus folgt dann: y z 1 0 F y (x, ty + (1 t)z) dt }{{} y z < y z, 2 also ist y = z Existenz von g: Setze M = {u: u ist stetig in U 0, u: U 0 V 0, u(0) = 0} Definiere folgende Metrik auf M: d(u, v) := sup { u(x) v(x) : x U 0 } Anmerkung zur Definition dieser Norm: Sei B = {u C(u 0, IR m ): u(0) = 0} Auf B ist folgende Norm definiert: u := sup { u(x) : x U 0 } B ist ein Banachraum M ist abgeschlossene Teilmenge von B mit d(u, v) = u v 216

23 85 Implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Also ist M vollständig Definiere nun eine Kontraktion T auf M: { u M T u T : (T u)(x) := F (x, u(x)) Zeige nun: 1 T : M M, T ist Selbstabbildung 2 d(t u, T v) 1 2d(u, v), T ist eine Kontraktion Dann gibt es nach dem Banachschen Fixpunktsatz (755, Seite 176) (genau) ein u M, stetig mit u = T u, d h u(x) = F (x, u(x)) = u(x) Af(x, u(x)) f(x, u(x)) = 0 in U 0 Setze dann g = u Beweise nun, daß T eine Selbstabbildung (1) und Kontraktion(2) ist: (1) ū(x) := (T u)(x) = F (x, u(x)) ist wohldefiniert, da u(x) < ϱ 0 ist, und da F in U 0 V 0 definiert ist Es gilt: ū(0) = F (0, 0) = 0 ū ist stetig Ist ū < ϱ 0, d h gilt ū: U 0 V 0? ū(x) F (x, 0) + F (x, u(x)) F (x, 0) < ϱ u(x) 0 < ϱ 0 (2) Beweis der Kontraktion: Seien u, v M, ū = T u und v = T v Dann ist für alle x U 0 Also ist d(ū, v) 1 2d(u, v) ū(x) v(x) = F (x, u(x)) F (x, v(x)) 1 2 u(x) f(x) 1 d(u, v) 2 Differenzierbarkeit von g (zunächst in x = 0) (Es ist F C 1 (U 0 V 0, IR m )) Es gilt die Approximation F (x, y) = F x (0, 0)x + o( (x, y) ) für (x, y) (0, 0) Beachte dabei, daß F y (0, 0) = 0 ist Insbesondere gilt: g(x) = F (x, g(x)) = F x (0, 0)x + o( (x, g(x)), also ist g(x) = O( x ) für x 0 Es ist dann g(x) F x (0, 0)x = o( (x, g(x)) ) = o( x ) für x 0 g(x) g(0) F x (0, 0)x = o( x ), 217

24 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung d h g (0) = +F x (0, 0) = Af x (0, 0) = (f y (0, g(0))) 1 f x (0, g(0)) Also gilt die Behauptung für x = 0 Differenzierbarkeit von g für ξ U 0 : Es ist zu zeigen: g (ξ) = (f y (ξ, g(ξ))) 1 f x (ξ, g(ξ)) für ξ U 0 Die Rolle, die (x 0, y 0 ) gespielt hat, kann jeder Punkt (ξ, g(ξ)) übernehmen 854 Beispiel Für n = 2 und m = 1 Die Gleichung sin(x + z) + sin(y + z) = z ist in einer Umgebung von (x, y) = (0, 0) in der Form z = g(x, y) aufzulösen, wobei g(0, 0) = 0 ist Überprüfe die Voraussetzungen: Es ist f(x, y, z) = sin(x + z) + sin(y + z) z f(0, 0, 0) = 0 Außerdem ist f z (x, y, z) = cos(x + z) + cos(y + z) 1 f z (0, 0, 0) = = 1 0 Also existiert eine Funktion g : U 0 V 0 mit g(0, 0) = 0 und f(x, y, g(x, y)) = 0 für alle (x, y) U 0 Dabei ist U 0 = K((0, 0), r 0 ) IR 2 und V 0 = ( ϱ, ϱ) Berechne nun g x (0, 0) und g y (0, 0): Es ist f(x, y, g(x, y)) = 0 in U 0 Differenziere nach x und y Dann ist f x + f z g x = 0 und f y + f z g y = 0 In (x, y) = (0, 0), z = 0 gilt dann: 1 g x (0, 0) = f x (0, 0, 0) = cos(0 + 0) = 1 1 g y (0, 0) = f y (0, 0, 0) = cos(0 + 0) = Satz über die Umkehrfunktion Sei f : D IR n, D IR n Gebiet, f C 1 (D, IR n ) Außerdem sei ξ D und det f (ξ) 0 Dann gibt es in einer Kugel V 0 = K(η, r) eine Umkehrfunktion g von f mit g(η) = ξ g ist dadurch eindeutig bestimmt und es gilt: g (y) = (f (x)) 1 x=g(y) 218

25 86 Extrema mit Nebenbedingungen Beweis: Setze F : D IR n IR n mit F (x, y) := f(x) y F C 1 (D IR n, IR n ) und F (ξ, η) = 0 F x (x, y) = f (x), also ist det F x (ξ, η) = det f (ξ) 0 Nach dem Satz über implizite Funktionen existiert V 0 sowie g C 1 (V 0, IR n ) mit und Es gilt: Daraus folgt die Behauptung für g (y) 856 Definition: Diffeomorphismus g(η) = ξ F (g(y), y) = 0 für alle y V 0 f(g(y)) y = 0, g = f 1 in V 0 f(g(y)) = y f (g(y)) g (y) = I = diag(1,, 1) Eine bijektive C 1 -Funktion f : D G mit f 1 C 1 (G, IR n ) heißt Diffeomorphismus 857 Satz über die Gebietstreue Ist f C 1 (D, IR n ) mit einem Gebiet D IR n und regulärem f (x) in D, so ist f(d) wieder ein Gebiet (f (x) ist regulär, wenn die Determinante ungleich Null ist) Beweis: G = f(d) ist zusammenhängend, weil D zusammenhängend und weil f stetig ist Sei nun η G = f(d) und η = f(ξ) Da det f (ξ) 0 ist, existiert eine Kugel V 0 = K(η, r 0 ) sowie f 1 : V 0 D Es gilt: V 0 f(d), η ist innerer Punkt, beliebig Also ist f(d) = G offen 86 Extrema mit Nebenbedingungen 861 Allgemeines Problem Sei D IR n ein Gebiet, f : D IR und g : D IR m mit m < n Gesucht sind Maxima bzw Minima von f auf M = {x: g(x) = 0} Extremum von f unter der Nebenbedingung g = Konkrete Probleme (a) A sei eine symmetrische n n-matrix Maximiere bzw Minimiere x T Ax auf der Menge {x: x = 1} Hier: f(x) = x T Ax, D = IR n, g(x) = x 2 1 (b) Maximiere x 1 x 2 x n unter der NB x x n = n, alle x ν > 0 Hier: f(x) = x 1 x n, g(x) = x x n n, D = {x: x 1 > 0,, x n > 0} 219

26 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 863 Lagrangesche Multiplikationsregel f C 1 (D) habe in ξ D ein Extremum unter der Nebenbedingung g(x) = 0, wobei g C 1 (D, IR m ) und rg g (ξ) = m, m < n Dann gibt es ein λ 0 IR m mit: Die Ableitung von H : D IR m IR verschwindet in (ξ, λ 0 ) λ 0 heißt Lagrangemultiplikator H(x, λ) := f(x) λ g(x) Beweis: Sei rg g (ξ) = m ( Dann enthält die m n-matrix eine reguläre m m-matrix Nach gµ Umnumerierung sei OBdA x ν )µ,,,m regulär Schreibe x = (y, z) und ξ = (η, ζ) Dabei ist y = (x 1,, x m ) IR m, z = (x m+1,, x n ) IR n m, η IR m und ζ IR n m Es ist g(y, z) = 0, g(η, ζ) = 0 und g y (η, ζ) regulär Nach dem Satz über implizite Funktionen gibt es eine Kugel U = (ζ, r) IR n m und h C 1 (U, IR m ) mit g(h(z), z) = 0 in U g(y, z) 0 für z U, y h(z) Φ(z) = f(h(z), z), definiert in U, hat Extremum in z = ζ U, also Φ (ζ) = 0 Es ist Φ (z) = f y (h(z), z) h (z) + f z (h(z), z) und g(h(z), z) = 0 in U g y (h(ζ), ζ) = g y (η, ζ) ist regulär Mit Einsetzen von (2) in (1) ergibt sich g y (h(z), z) }{{} h (z) }{{} +g z (h(z), z) = 0 m n-matrix m (n m) h (ζ) = (g y (η, ζ)) 1 g z (η, ζ) f y (η, ζ) (g y (η, ζ)) 1 g z (η, ζ) + f z (η, ζ) = 0 f y (ξ) (g y (ξ)) 1 g z (ξ) + f z (ξ) = 0 Setze (λ 0 ) T := f y (ξ) (g y (ξ)) 1 IR m Daraus folgt dann: f z + λ 0 g z = 0 in ξ f y + λ 0 g y = 0 in ξ 864 Beispiel Maximiere bzw Minimiere x T Ax unter der NB x 2 = 1 (1) S n 1 = { x 2 = 1} ist kompakt Also existieren Maximum und Minimum von x T Ax auf S n 1 220

27 86 Extrema mit Nebenbedingungen (2) Setze Es ist m = 1 < n, g(x) = x 2 1 = ( x 2 ν ) 1 g (x) = (2x 1, 2x 2,, 2x n ) 0 auf S n 1 und rg g (x) = 1 (3) Es ist (( H(x, λ) = a νν x µ x ν λ ν, x 2 ν ) ) 1 Dann ist H xϱ = H λ = a ϱν x ν + (( ) )! a µϱ x µ 2λx ϱ = 2 a ϱν x ν λx ϱ = 0 für ϱ = 1,, n µ=1 x 2 ν 1 =! 0 Ax λx = 0 und x 2 = 1 Minimum und Maximum von x T Ax werden nur in Eigenvektoren auf S n 1 angenommen Dabei ist λ der zugehörige Eigenwert min max Sn 1, S xt Ax { x T Ax: x S n 1, x Eigenvektor } n 1 max, min x T Ax =größter bzw kleinster Eigenwert 865 Praktisches Vorgehen Gesucht: Extremum von f(x) unter der NB g(x) = 0 1 Ansatz: H(x, λ) := f(x) + λg(x) 2 Ableitung berechnen und gleich 0 setzen: H x = f + λg! = 0 H λ = g! = 0 Dies sind n + m Gleichungen mit n + m Unbekannten 3 Auflösen nach (x, λ) λ nicht unbedingt explizit erforderlich: Lösungen (ξ, λ) 4 Ist rg g (ξ) = m? Hat f unter NB überhaupt Extrema? Wenn ja, suche unter den Werten f(ξ) 221

28 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 866 Beispiele 1 Maximiere x 1 x 2 x n unter der NB x 1 + x x n = n (x 1,, x n > 0) Es ist f(x) = x 1 x n, g(x) = x x n n und D = {x: x ν > 0 für ν = 1,, n} Ansatz: H(x, λ) = x 1 x n + λ(x x n n) H xj = x 1 x n + λ =! 0 für alle j x j H λ = x x n n = 0 Also ist x 1 = x 2 = = x n = 1, da x x n = n ist und alle x ν gleich sein müssen Es ist ξ = (1,, 1) Ist f(ξ) = 1 1 = 1 = Maximum unter NB? Es ist g (x) = (1,, 1) 0 und rg g (x) = 1 = m Existenz des Maximums: {x: x x n = n, x 1,, x n > 0} ist kompakt Darauf hat f ein Maximum Es wird nicht angenommen, wenn ein x ν = 0, also angenommen, wo alle x ν > 0 sind, also in D 2 A sei eine n n-matrix mit µ, Gesucht ist A, so daß det A maximal wird a 2 µ,ν = n (a) {(a 11,, a 1n, a 21,, a 2n,, a n1,, a nn ): a µ, ν IR} = IR (n2 ) (b) {a µ,ν : a 2 µν = n} ist kompakt µ, (c) A det A ist stetig Somit existiert das Maximum (d) Es gilt det A = n a jk A jk (LaPlace scher Entwicklungssatz) k=1 (e) Setze f(a) = det A und g(a) = Ansatz: n µ, a 2 µν n H(A, λ) = det A + λ H a jl = k=1 = µ, a jk A jk + λ k=1 a 2 µν n µ, a 2 µν n a jk a jl A jk + 2λa jl = A jl + 2λa jl = 0 A jl = (2λ)a jl det A = a jl A jl = 2λ l=1 l=1 a 2 jl 222

29 86 Extrema mit Nebenbedingungen für j = 1,, n Dann ist n det A = 2λ a 2 jl = n( 2λ) l=1 j=1 det A = 2λ Es gilt: 1 det A 11 A n1 A 1n A nn = A 1 2λ det A AT = A 1 A 1 = A T A ist Orthogonalmatrix, also ist det A = Satz Unter allen n n-matrizen mit µ, a 2 µ,ν = n haben genau die Orthogonalen maximale Determinanten det A = 1 Hadamardsche Determinantengleichung: Sei A eine n n-matrix: (det A) 2 = genau dann, wenn n a jk a lk = 0 ist für j l k=1 Beweis: Ist ok, wenn det A = 0 ist Sei det A > 0 und setze Es ist S j > 0 Setze Dann ist j,k=1 S 2 j := n j=1 k=1 a 2 jk k=1 b jk = a jk x j a 2 jk b 2 jk = n (det B)2 1 (det A) 2 = s 2 1 x 2 n(det B) 2 x 2 1 s 2 n Gleichheit ist dabei genau für orthogonales B Rest als Aufgabe 223

30 8 Mehrdimensionale Differentialrechnung 224