SWP Funktionale Programme (2. Teil)

Transkript

1 SWP Funktionale Programme (2. Teil) Bernhard Aichernig Institut für Softwaretechnologie Institute for Software Technology

2 Inhalt Einfache Ausdrücke (Sprachen A +, B bin +, C Mult, VA Var ) Datentypen (Integer, Real, String, BinStack), Sprachen (T, COND) Rekursive funktionale Sprache Interpreter für funktionale Sprache Halteproblem Semantik Institute for Software Technology 2

3 Bisher: Sprache EXP (Expressions) Terme Konditionale Funktionen vordefiniert (Built-in Functions) Aber keine Iterativen Konstrukte Unterprogramme Institute for Software Technology 3

4 Funktionsvariablen Zur Darstellung programmdefinierter Funktionen FVS Menge der Funktionsvariablen Funktionsvariable = Name der Funktion Arität von Funktionen r: FVS N 0 Wenn r(x)=n dann ist X eine n-stellige Funktion Institute for Software Technology 4

5 Beispiel (nicht aus EXP) function X (x: integer, y: real) :real; var i := integer; begin for i:=1 to x do y:=2*y; X := y; end; X.. Funktionsvariable r(x) = 2 Institute for Software Technology 5

6 Anmerkung 2 Arten von Funktionen: Funktionssymbole: Eingebaute Funktionen (+, -, ) Funktionsvariable: Benutzerdefinierte Funktionen Institute for Software Technology 6

7 Syntax von EXP 1. IVS EXP (Variablen) 2. Γ EXP (Konstantensymbole) 3. Ist f ein n-stelliges Funktionensymbol und sind t i EXP (für i=1..n), dann f(t 1,..,t n ) EXP. 4. Ist p ein n-stelliges Prädikatensymbol, sind u i EXP (für i=1..n) und ist t 1,t 2 EXP dann ist if p(u 1,.., u n ) then t 1 else t 2 EXP. 5. Ist F eine n-stellige Funktionsvariable und ist t i EXP (für i=1..n) dann ist F(t 1,..,t n ) EXP. Institute for Software Technology 7

8 Semantikdefinition? Syntax wurde erweitert! auch Semantik muss erweitert werden. Insbesondere benötigen wir eine Interpretation der benutzerdefinierten Ausdrücke F(t 1,..,t n ) Zugriff auf die Definition der Funktion notwendig. Institute for Software Technology 8

9 Funktionsumgebungen (I) function X (x: integer):integer; begin X := (((x*x) + 1) x) * x; end; Wie Variablenumgebungen führen wir Funktionsumgebungen ein FENV.. Menge der Funktionsumgebungen FVS.. Menge der Funktionsvariablen δ: FVS EXP (δ FENV) δx.. Body der Funktion X Institute for Software Technology 9

10 Funktionsumgebungen (II) Zugriff auf Funktionsdefinition über Funktion δ Weitere Annahme: Alle Variablen im Body sind formale Parameter der Funktion. Zum Beispiel ist die Variable x im letzten Beispiel ein formaler Parameter der Funktion X. Ist r(x)=n so gibt es maximal n Variablen in δx (Body von X). Institute for Software Technology 10

11 Funktionsumgebungen (III) Keine explizite Funktionsdeklaration Definition: FENV ist die Menge aller δ mit δ: FVS EXP, sodass δf keine anderen IVS als x 1,..,x n enthält, falls r(f)=n gilt. Institute for Software Technology 11

12 Semantik von EXP 1. I(δ,ω,v) = ω(v) für v IVS 2. I(δ,ω,c) = c 0 für c Γ und c 0 ist die Konstante zu c 3. I(δ,ω,f(t 1,..,t n )) = f 0 (I(δ,ω,t 1 ),..,I(δ,ω,t n )) (f 0 ist Funktion zu f) 4. Für Konditionale gilt: Ist p o (I(δ,ω,u 1 ),..,I(δ,ω,u n ))=T, dann I(δ,ω,if p(u 1,..,u n ) then t 1 else t 2 ) = I(δ,ω,t 1 ) Ist p o (I(δ,ω,u 1 ),..,I(δ,ω,u n ))=F, dann I(δ,ω,if p(u 1,..,u n ) then t 1 else t 2 ) = I(δ,ω,t 2 ) Institute for Software Technology 12

13 Semantik von EXP (cont.) 5. Interpretation von F(t 1,..,t n ) a. Aufruf durch Wert (call-by-value) Definiere neues ω als ω (xi)=i(δ,ω,t i ) für i=1..n wobei x1,..,xn die formalen Parameter in δf sind. I(δ,ω, F(t 1,..,t n )) = I(δ,ω, δf) b. Aufruf durch Name (call-by-name) I(δ,ω, F(t 1,..,t n )) = I(δ,ω, δf[x1 t 1,..,xn t n ]) (die Ausdrücke t i werden statt xi in den Body eingesetzt) Institute for Software Technology 13

14 Anmerkungen zur Semantik Bei call-by-value werden die Argumentausdrücke zuerst ausgewertet und bestimmen das Variablenenvironment während der Auswertung des Funktionenbodies. Bei call-by-name werden die Argumentausdrücke in den Body der Funktion eingesetzt und danach wird der modifizierte Body ausgewertet. Institute for Software Technology 14

15 Beispiel EXP-1 Datentyp S (Stacks) t = F(sub(x)) δf = if ist0?(x1) then sub(x1) else add1(x1) Werte t für ω(x)=100 aus, d.h., berechne I(δ,ω,t)=? Institute for Software Technology 15

16 Beispiel EXP-1: Call by Value I(δ,ω,F(sub(x))) = I(δ,ω, if ist0?(x1) then sub(x1) else add1(x1)) mit I(δ,ω,sub(x)) = = 00 =ω (x1) Bedingung des Konditionals ist0?(x1): I(δ,ω,ist0?(x1)) = ist0?(i(δ,ω,x1))= ist0?(ω (x1)) = ist0?(00) = T = I(δ,ω,sub(x1)) = = 0 Institute for Software Technology 16

17 Beispiel EXP-1: Call by Name I(δ,ω,F(sub(x))) = I(δ,ω, if ist0?(sub(x)) then sub(sub(x)) else add1(sub(x))) Bedingung des Konditionals ist0?(sub(x)): I(δ,ω,ist0?(sub(x))) = ist0?(i(δ,ω,sub(x)) = ist0?(sub(i(δ,ω,x))) = ist0?(sub(ω(x))) = ist0? (sub(100)) = ist0?(00)=t = I(δ,ω, sub(sub(x))) = = 0 Institute for Software Technology 17

18 Beispiel EXP-2 Datentyp der natürlichen Zahlen inkl. Null ℵ = (N 0,+,--,*,=0?,0,1) Programm: t = F(x) δf = if =0?(x1) then 1 else *(x1,f(--(x1,1))) ω(x) = 3 Institute for Software Technology 18

19 Datentyp der Listen Listen enthalten Atome und andere Listen Atome: Menge At, wir schreiben Atome immer in Großbuchstaben Beispiele: ABC, ATOM, NAME,... Induktive Definition der Menge der Listen L 1. At L 2. [ ] L (Leere Liste) 3. Ist l 1,..,l k in L, dann ist auch [ l 1... l k ] L Institute for Software Technology 19

20 Beispiele Listen: [ NAME [ NAME ] ] NAME [ ], [ [ ] ],... Keine Liste NAME NAME [ NAME Institute for Software Technology 20

21 Definierte Funktionen first: Liefert das erste Element einer Liste rest: Liefert alle Listen einer Liste mit Ausnahme des 1. Elements build: Baut eine Liste aus 2 gegebenen Listen auf Institute for Software Technology 21

22 first Formale Definition der Funktionen first(a) = [ ] für a At first([ ]) = [ ] first([ l 1... l k ]) = l 1 für l i L rest rest(a) = [ ] für a At rest([ ]) = [ ] rest([ l 1... l k ]) = [ l 2... l k ] für l i L, k >1 rest([ l 1... l k ]) = [ ] für l i L, k = 1 Institute for Software Technology 22

23 Definitionen (cont.) build(l,a) = a für a At und l L build(l,[ ]) = [ l ] für l L build(l, [ l 1... l k ] ) = [ l l 1... l k ] für l, l i L Institute for Software Technology 23

24 Prädikate auf Listen atom?: Liefert T, wenn das Argument ein Atom ist und F, sonst. atom?(x) = T, wenn x At atom?(x) = F, wenn x At eq?: Liefert T, wenn die beiden Argumente gleich sind. eq?(x,y) = T, wenn x=y eq?(x,y) = F, wenn x y Institute for Software Technology 24

25 Listen L - Zusammenfassung L = (L,first,rest,build,atom?,eq?,[ ],...) Alle Atome sind Konstanten Sprache EXP über L [... ] wird repräsentiert durch [... ] nil für [ ] Beispiel: reverse soll Liste umkehren Institute for Software Technology 25

26 Reverse Funktion δreverse = if atom?(x1) then x1 else reverse2(x1,nil) δreverse2 = if eq?(x1,nil) then x2 else reverse2(rest(x1),build(first(x1),x2)) Ohne Anwendung einer Interpretationsfunktion: reverse2([a B C D], []) reverse2([b C D], [A]) reverse2([c D], [B A]) reverse2([d], [C B A]) reverse2([], [D C B A]) à [D C B A] Institute for Software Technology 26

27 Bisheriger Inhalt Ein Rückblick Datentypen Sprachen über Datentypen Konditionale, Rekursionen Unterscheidung zwischen eingebauten und benutzerdefinierten Funktionen Semantikdefinition Institute for Software Technology 27

28 Erweiterung Sprache über mehrere Datentypen Beispiel: L + N (Listen + Zahlen) Liste L mittels N 0 erweitern Funktionen, die nicht auf Argumenten definiert sind, liefern konstanten Wert Prädikate, die nicht auf Argumenten definiert sind, liefern T oder F. Die erweiterte Menge des Datentyps ist nun L N 0. Die Operationen first, rest, build operieren auch auf Listen von Elementen aus N 0. Institute for Software Technology 28

29 Erweiterungen (cont.) Die Variablensymbole brauchen nicht typisiert zu werden, denn x bezeichnet eine Zahl, wenn I(x) N 0. Beispiel: Funktion NTH liefert n-tes Element einer Liste. δnth = if eq?(x1,nil) then ERROR else if =(x2,1) then first(x1) else NTH(rest(x1),--(x2,1)) Nur sinnvoll für x2>0 Institute for Software Technology 29

30 Repräsentation von Datentypen Im Grunde kann jeder Datentyp R mit abzählbarem Bereich in L repräsentiert werden. Für Datentyp R = (A, f 1,..,f n, p 1,..,p m, c 1,..,c k ) konstruiere Codierung π: A L Für Funktionen f i konstruiere π[f i ] über L Für Prädikate p i konstruiere π[p i ] über L Für Konstante c i konstruiere π[c i ] L Institute for Software Technology 30

31 Codierungseigenschaften Es muß gelten: 1. π[f i ] (π[a]) = π(f i (a)) für a A 2. π[p i ] (π[a]) p i (a) für a A A f i A A p i {T,F} π π π L π[f i ] L L π[p i ] {T,F} Institute for Software Technology 31

32 Beispiel Abbildung des Datentyps der natürlichen Zahlen inkl. Null auf Listen π[0]=[], π[x] = build(1,π[x-1]) π[+(x,y)] = union(π[x], π[y]) π[-(x,y)] = diff(π[x], π[y])... union und diff müssen definiert werden (z.b. als EXP Programm). Institute for Software Technology 32

33 Beispiel (cont.) Die Zahl 3 wird repräsentiert als [ ]. +(2,1) soll auf Funktion abgebildet werden, die [ ] zurückliefert. Institute for Software Technology 33