2 Syntax versus Semantik

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1 2 Syntax versus Semantik There are 10 types of people: those that understand binary, and those that don t. Bisher haben wir lediglich die Syntax von Sprachen sowie verschiedene Methoden zu ihrer Spezifikation betrachtet. In diesem Kapitel beschreiben wir einen Ansatz, wie man Zeichenketten bestimmte Bedeutungen zuordnen kann. Wir definieren zu jeder Sprache, die interpretiert werden soll, eine Auswertungsfunktion. Diese Funktion berechnet zu jedem Wort der Sprache einen Wert, der die Bedeutung (Semantik) des Wortes darstellt. Die so behandelten Sprachen reichen dabei von sehr einfachen arithmetischen Ausdrucksmengen (Abschnitt 2.1), über allgemeine Termsprachen (Abschnitt 2.3) und logische Formeln (Abschnitt 2.4) bis zu einer einfachen Programmiersprache (Abschnitt 2.5). 2.1 Arithmetische Ausdrücke als einfaches Beispiel Additive Terme Als Ausgangspunkt betrachten wir die additiven Terme über den Ziffern 0 bis 9. Sei T = L(G), wobei G = {T }, {(, ), +, 0,...}, P, T und P = { T 0 9 ( T + T ) } T enthält Worte wie etwa ((1+2)+3). Um diesen Zeichenketten ihre natürliche Bedeutung zuzuordnen, definieren wir die Funktion M: T ω, die jedem additiven Term eine natürliche Zahl zuordnet: 1 M(0) = 0,..., M(9) = 9 M(( t 1 + t 2 )) = M(t 1 ) + M(t 2 ) Damit lässt sich nun der Wert von ((1+2)+3) berechnen: für t 1, t 2 T M(((1+2)+3)) = M((1+2)) + M(3) = M(1) + M(2) + M(3) = = 6 Eine solche Berechnung bezeichnet man auch als (Top-Down-)Auswertung. 1 Die Bezeichnung M für die Semantikfunktion leitet sich vom englischen Wort meaning ab; ω bezeichnet die Menge aller natürlichen Zahlen {0, 1, 2...}. 1

2 Terme mit Variablen Die Erweiterung der additiven Terme um Variablen, wie es sie in praktisch jeder Programmiersprache gibt, ist vom syntaktischen Standpunkt einfach: man muss lediglich entsprechende Produktionen zur Grammatik hinzufügen, etwa T x y z Wenn wir an die üblichen Programmiersprachen denken, dann repräsentiert jeder Variablenname eine Speicherzelle, ist also eine symbolische Adresse dieser Zelle. Wird der Wert der Variablen in einem Ausdruck benötigt, so muss zu diesem Zeitpunkt die Belegung der Speicherzelle abgefragt und dieser Wert statt der Variablen im Ausdruck verwendet werden. Formal gesehen ist die Speicherbelegung eine Abbildung von Variablennamen auf gespeicherte Werte, in unserem Beispiel auf natürliche Zahlen: {x, y, z,...} ω. Derartige Abbildungen werden im Folgenden auch Variablenbelegungen oder Environments genannt. Sei ENV die Menge aller möglichen Variablenbelegungen. Wir erweitern die Semantikfunktion um einen Parameter und erhalten die Funktion M: ENV T ω definiert durch: M(I, 0) = 0,..., M(I, 9) = 9 M(I, v) = I(v) für v {x, y, z,...} M(I, ( t 1 + t 2 )) = M(I, t 1 ) + M(I, t 2 ) für t 1, t 2 T 2.1 Beispiel Wir werten den Ausdruck ((x+2)+y) in der Variablenbelegung I(x) = 1 und I(v) = 3 für alle v x aus: M(I, ((x+2)+y)) = M(I, (x+2)) + M(I, y) = M(I, x) + M(I, 2) + M(I, y) = I(x) I(y) = = 6 Wählen wir eine andere Variablenbelegung, etwa J(x) = 5, J(y) = 2, J(v) = 0 sonst, erhalten wir auch einen anderen Wert: M(J, ((x+2)+y)) = M(J, (x+2)) + M(J, y) Grammatik versus Induktive Definition = M(J, x) + M(J, 2) + M(J, y) = J(x) J(y) = = 9 Die Produktionen kontextfreier Grammatiken haben Ähnlichkeiten mit den Abschlussbedingungen induktiver Definitionen. Zu diesen Bedingungen lassen sich wiederum parallel die Gleichungen rekursiver Funktionen spezifizieren, die auf der Sprache operieren sollen, etwa ihre Semantik berechnen sollen. 2

3 Grammatik Induktive Definition Rekursive Definition der Semantik T = L(G) T ist kleinste Menge mit: M: ENV T ω T 0 9 {0,... 9} T M(I, 0) = 0,... T x y z {x, y, z} T M(I, x) = I(x),... T ( T + T ) t 1, t 2 T ( t 1 + t 2 ) T M(I, ( t 1 + t 2 )) = M(I, t 1 ) + M(I, t 2 ) Ein wesentlicher Unterschied besteht allerdings zwischen Grammatik einerseits und induktiver Definition andererseits: Verschiedene Vorkommnisse eines Nonterminals, etwa T, entsprechen verschiedenen mathematischen Variablen in der induktiven Definition, hier t 1 und t 2. Werden gleiche Nonterminale in gleiche mathematische Variablen übersetzt, erhalten wir im Allgemeinen eine andere Sprache. Wird etwa im Beispiel oben die letzte Abschlusseigenschaft der induktiven Definition ersetzt durch t T ( t + t ) T ist T nicht mehr kontextfrei! Ein weiteres Problem kann bei der Definition rekursiver Funktionen auftreten, die sich an induktiven Definitionen orientieren. Die folgende Sprache E und ihre Semantik ist analog zu den additiven Ausdrücken weiter oben definiert. Grammatik Induktive Definition Rekursive Definition der Semantik E = L(G) E ist kleinste Menge mit: M: E ω E 0 9 {0,... 9} E M(0) = 0,... E E + E e 1, e 2 E e 1 + e 2 E M(e 1 + e 2 ) = M(e 1 ) + M(e 2 ) E E E e 1, e 2 E e 1 e 2 E M(e 1 e 2 ) = M(e 1 ) M(e 2 ) Man beachte, dass man die Klammersymbole aus der Sprache der additiven Terme eliminieren kann ohne die Eindeutigkeit des Wertes M(t) für einen entsprechenden Term t zu gefährden. Erweitert man dann allerdings die Sprache um ein Multiplikationssymbol so zeigt sich, dass die Definition von M im Allgemeinen nicht eindeutig ist, wenn sie in strikter Analogie zur induktiven Definition der Sprache erfolgt. Die Berechnung des Wertes von ist mehrdeutig: M(2 3+4) = M( 2 3 ) + M( 4 ) = M( 2 ) M( 3+4 ) = (M( 2 ) M( 3 )) + 4 = 2 ((M( 3 ) + M( 4 )) = (2 3) + 4 = 2 (3 + 4) = 10 = 14 M liefert also für eine Eingabe zwei verschiedene Ergebnisse, und ist somit keine wohldefinierte Funktion. Intuitiv würde man die linke Berechnungsfolge bevorzugen, da sie die höhere Priorität der Multiplikation gegenüber der Addition berücksichtigt. Diese Information steckt aber nicht in der induktiven Definition von E bzw. M. Es gibt zwei Auswege: 1. Man lässt die Definition von E, wie sie ist, und fügt lediglich eine informelle Bemerkung hinzu, dass Multiplikationen vor Additionen ausgewertet werden müssen. Der 3

4 Vorteil dieser Methode liegt in der einfachen Definition, die alle für einen menschlichen Leser notwendigen Informationen enthält. Wie wir gesehen haben, liegt der Nachteil darin, dass M nicht systematisch aus der induktiven Definition abgeleitet werden kann. 2. Man formuliert die Definition von E so um, dass zwar immer noch dieselbe Menge definiert wird, aber die natürliche Auswertungsreihenfolge reflektiert wird. Damit kann M automatisch aus der Definition von E abgeleitet werden, allerdings wird letztere schwerer konstruier- und lesbar. Eine Definition von E, die Multiplikation und Addition unterscheidet, könnte unter Verwendung einer Hilfsmenge H folgendermaßen aussehen. E ist die kleinste Menge, für die gilt: (a) H E (b) Wenn e 1, e 2 E, dann e 1 + e 2 E. H ist die kleinste Menge, für die gilt: (a) {0, 1,..., 9} H (b) Wenn e 1, e 2 H, dann e 1 e 2 H. Für jede der beiden Mengen ist eine eigene Auswertungsfunktion erforderlich, die aber völlig parallel zur induktiven Definition von E und H festgelegt werden kann: M E (e) = M H (e) falls e H M E (e 1 + e 2 ) = M E (e 1 ) + M E (e 2 ) M H (0) = 0,..., M H (9) = 9 M H (e 1 e 2 ) = M H (e 1 ) M H (e 2 ) M E und M H sind wohldefinierte Funktionen. Als einzigen Wert von erhält man: 2.2 Modellstrukturen M E (2 3+4) = M E (2 3) + M E (4) = M H (2 3) + M H (4) = M H (2) M H (3) + 4 = = 10 Wir haben in den vorangehenden Beispielen zur Definition der Semantik an ein informelles Verständnis einfacher arithmetischer Funktionen über Zahlen appelliert. Der Bereich bzw. Datentyp der ganzen Zahlen wird auch weiterhin unser wichtigstes Beispiel für eine Struktur bleiben, auf die wir uns in der exakten Definition der Bedeutung von formalsprachlichen Ausdrücken beziehen wollen. Es sollte aber klar sein, dass dies eben nur ein Beispiel für eine semantische Struktur ist. Wir definieren daher zunächst den allgemeinen Begriff einer Modellstruktur. 2.2 Definition (Modellstruktur) Eine Modellstruktur ist ein 4-Tupel D, F, P, K deren Bestandteile wie folgt sind: D ist eine nichtleere Menge, genannt Gegenstandsbereich von D, 4

5 F ist eine endliche Menge von totalen Funktionen des Typs D k D l mit k, l > 0, P ist eine endliche Menge von totalen Prädikaten des Typs D k {t, f} mit k > 0, K D ist eine Menge von Konstanten. In einer Modellstruktur wird also eine Menge mit bestimmten auf ihr definierten Funktionen und Prädikaten zusammengefasst. Prädikate werden dabei als Funktionen in die Menge der Wahrheitswerte t (für true ) und f (für false ) aufgefasst. Mehrstellige Prädikate werden auch Relationen genannt. Modellstrukturen finden als abstrakte Datentypen ihre Entsprechung in der modularen bzw. objekt-orientierten Programmierung. Dabei werden Datenstrukturen etwa Stacks, binäre Bäume oder Listen mit den zugehörigen Zugriffsprozeduren in Module gekapselt bzw. formen eigene Objekte. Allerdings ist der Begriff der Modellstruktur allgemeiner und grundlegender als diese programmierungsbezogene Sichtweise vermuten lässt: In der Prädikatenlogik, die wir in Abschnitt 4 behandeln werden, repräsentieren Modellstrukturen beliebige Gegenstandsbereiche der Welt (bzw. der Informatik oder Mathematik) über die wir exakte Aussagen treffen wollen. 2.3 Beispiel Die Modellstruktur der ganzen Zahlen: Z = Z, {+,, }, {<, =}, Z, wobei Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die Menge aller ganzen Zahlen bezeichnet. Weiters bezeichnen +, und die üblichen arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation, sowie < und = die üblichen kleiner als - und gleich -Relationen. Zur Erinnerung: Die beiden Relationen werden als (infix-notierte) Funktionen vom Typ Z 2 {t, f} aufgefasst. Wir schreiben daher, z.b., (3 < 4) = f und (3 = 3) = t. 2.4 Beispiel Die Modellstruktur der natürlichen Zahlen: N = ω, {+,., }, {<, =}, {0, 1}, wobei ω = {0, 1, 2, 3,...} die Menge der natürlichen Zahlen bezeichnet und weiters (wie für Z) +,, < und = die übliche Addition, Multiplikation bzw. die kleiner als - und gleich -Relation repräsentieren. Da die Subtraktion auf den natürlichen Zahlen keine totale Funktion ist, wird sie in N durch die Funktion. ersetzt, die wie folgt definiert ist: x. { x y für x y y = 0 für x < y Man beachte außerdem, dass wir in N im Gegensatz zu Z nicht jedes Element des Gegenstandsbereichs, sondern nur 0 und 1 als Konstanten vorsehen. 2.5 Beispiel Die Modellstruktur der binären Stacks: S = S, {push0, push1, pop}, {ist0?, ist1?, istleer?}, {ε}, 5

6 wobei S = {0, 1} ; d.h., jeder binäre Stack wird als eine Zeichenkette bestehend aus 0 und 1 aufgefasst. Das obere Ende des Stacks ist jeweils der Anfang der Zeichenkette, wie folgende Definition der Funktionen und Prädikate von S deutlich macht (s, s S, b {0, 1}): push0(s) = 0s push1(s) = 1s { ε für s = ε pop(s) = s für s = bs ist0?(s) es gibt ein s S mit s = 0s ist1?(s) es gibt ein s S mit s = 1s istleer?(s) s = ε 2.6 Beispiel Eine Modellstruktur zu Familie X: FamX = Personen X, {Vater, Mutter }, {Geschwister, Onkel, weiblich, männlich, =}, {Abdul, Berta, Chris, Dorlan, Ege,...}. Wir haben uns bei dieser Modellierung der Familie X also dazu entschieden Vater und Mutter als Funktionen aufzufassen. So bezeichnet beispielsweise Mutter(Vater(Berta)) die Großmutter väterlicherseits von Berta. Da alle Funktionen total sein müssen, sollte die Menge Personen X entweder unendlich sein oder ein Fehlerelement Unbekannt enthalten, für das Mutter(Unbekannt) = Vater(Unbekannt) = Unbekannt gilt. Geschwister und Onkel sind jeweils zweistellige Relationen; weiblich und männlich sind einstellige Prädikate. Das zweistellige Prädikat = drückt die Gleichheit von Personen aus. Wenn Abdul ein Onkel von Chris ist, dann ist Onkel(Abdul,Chris) wahr. Hingegen könnte gleichzeitig Geschwister(Abdul,Mutter(Chris)) falsch sein. 2.3 Terme über Modellstrukturen Um nun formal und auf allgemeine Weise über eine beliebige Modellstruktur D sprechen zu können werden wir zwei kontextfreie Sprachen definieren: T (D), die Menge der Terme über D, sowie, darauf aufbauend, im Abschnitt 2.4 die Sprache BA(D) der Booleschen Ausdrücke über D. Dazu benötigen wir zunächst ein Alphabet, das Symbole zur Repräsentation der Funktionen, Prädikate und Konstanten von D enthält. 2.7 Definition (Signatur) Eine Signatur zu einer Modellstruktur D = D, F, P, K besteht aus folgenden drei Bestandteilen: eine Menge FS(D), die zu jeder Funktion in F ein entsprechendes Funktionssymbol enthält, eine Menge PS(D), die zu jedem Prädikat in P ein entsprechendes Prädikatensymbol enthält, sowie 6

7 eine Menge KS(D), die zu jeder Konstante in K ein entsprechendes Konstantensymbol enthält. Jedem Funktions- und Prädikatensymbol wird eine Zahl n 1 zugeordnet, die der Stelligkeit, also der Anzahl der Argumente der jeweiligen Funktion bzw. des Prädikats entspricht. FS n und PS n bezeichnen jene Teilmengen von FS bzw. PS, die genau die n-stelligen Symbole enthalten. Als Symbole verwenden wir auch weiterhin meist die unterstrichenen Namen der Funktionen, Prädikate und Konstanten. Für die oben beschriebenen Modellstrukturen Z, N, S und FamX erhalten wir: Signatur zu den ganzen Zahlen: FS 2 (Z) = {+,, }, PS 2 (Z) = {<, =}, KS(Z) = {..., 2, 1, 0, 1, 2...}, FS n (Z) = {} und PS n (Z) = {} für n 2. Signatur zu den natürlichen Zahlen: FS 2 (N) = {+,., }, PS 2 (N) = {<, =}, KS(N) = {0, 1}, FS n (N) = {} und PS n (N) = {} für n 2. Signatur zu den binären Stacks: FS 1 (S) = {push0, push1, pop}, PS 1 (S) = {ist0?, ist1?, istleer?}, KS(S) = {leer}, FS n (S) = {} und PS n (S) = {} für n > 1. Signatur zur Familie X: FS 1 (FamX) = {Vater, Mutter}, FS n (FamX) = {} für n > 1, PS 1 (FamX) = {weiblich, männlich}, PS 2 (FamX) = {Geschwister, Onkel, =}, PS n (FamX) = {} für n > 2. KS(FamX) = {Abdul, Berta, Chris, Dorlan, Ege,...} Das Alphabet der Sprache der Terme über D enthält neben den Elementen von FS(D) und KS(D) auch die Menge IVS = {x, y, z, x 1, x 2, x 3,...} der Individuenvariablensymbole 2 (kurz: Variablen), sowie die Hilfssymbole ( und ) und,. 2.8 Definition (Syntax von Termen) Die Menge T (D) der Terme über einer Modellstruktur D ist die kleinste Menge, für die gilt: (T1) IVS T (D); 2 Um das Alphabet endlich zu halten, müssten wir eigentlich IVS, aber auch die Menge der Konstantenund Funktionssymbole auf eine endliche Menge beschränken. Der Einfachheit halber wollen wir hier aber von dieser Einschränkung absehen. 7

8 (T2) KS(D) T (D); (T3) f (t 1,...,t n ) T (D), wenn f FS n (D) und t 1,..., t n T (D); Genau genommen müssten wir von den Termen über einer Signatur zu einer Modellstruktur sprechen. Da wir hier aber jeder Modellstruktur eine eindeutige Signatur zuordnen, ist die knappere Sprechweise von Definition 2.8 gerechtfertigt. 2.9 Beispiel Wir zeigen, dass push0(push1(pop(x))) T (S) gilt, d.h., dass der Ausdruck ein Term über der Modellstruktur der binären Stacks ist. Um die Zugehörigkeit eines Ausdruckes zu einer Sprache nachzuweisen, muss gezeigt werden, wie er mittels der Regeln gebildet werden kann, die diese Sprache definieren. Wir verwenden A = B C als Abkürzung für C folgt aus A mittels Regel B. x IVS = T 1 x T (S) pop FS 1 (S), x T (S) = T 3 pop(x) T (S) push1 FS 1 (S), pop(x) T (S) = T 3 push1(pop(x)) T (S) push0 FS 1 (S), push1(pop(x)) T (S) = T 3 push0(push1(pop(x))) T (S) 2.10 Beispiel push0( push1( 10)) ist kein Term über den binären Stacks. Die Menge der Symbole, die in einem Term auftreten können, umfasst die Variablen-, die Konstantenund die Funktionssymbole sowie die drei Hilfssymbole. Im Fall der Modellstruktur S ist das die Menge IVS {leer, push0, push1, pop, (,,, )}. Es fehlen also die Symbole 0 und 1, die aber im Ausdruck der Aufgabe auftreten. Gemäß Definition 2.8 ist +(1,x ) ein Term über Z, aber (1+x ) nicht. Wir wollen aber die vertrautere Infix-Notation für Terme über den ganzen Zahlen ebenfalls zulassen. Dazu brauchen wir die offizielle Definition von T (Z) gar nicht zu ändern, sondern vereinbaren, dass ein Term der Form (t 1,t 2 ), wobei FS 2 (Z), ab nun auch als ( t 1 t 2 ) geschrieben werden darf. (Dieselbe Vereinbarung gilt sinngemäß auch für T (N).) Zur Festlegung der Bedeutung von Termen beziehen wir uns auf Variablenbelegungen; das sind Zuordnungen von Elementen des Gegenstandsbereichs einer Modellstruktur D zu Individuenvariablensymbolen, also Funktionen des Typs IVS D. Vor allem im Kontext von Programmiersprachen werden Variablenbelegungen, wie bereits erwähnt, auch Environments oder Speicherbelegungen genannt. ENV bezeichnet die Menge aller Variablenbelegungen Definition (Semantik von Termen) Die Semantik von T (D) wird durch die Funktion M T : ENV T (D) D festgelegt, die wie folgt definiert ist: (MT1) M T (I, v) = I(v) für v IVS; (MT2) M T (I, c ) = c für c KS(D), wobei c die Konstante zum Symbol c ist; 8

9 (MT3) M T (I, f (t 1,...,t n )) = f(m T (I, t 1 ),..., M T (I, t n )), wobei f die Funktion zum Symbol f FS n (D) ist Beispiel Wir berechnen den Wert von t = +( (x,1),y) über der Modellstruktur Z in der Variablenbelegung I(x) = 0, I(y) = 2. (Zur Verdeutlichung wird hier die offizielle Präfixnotation für Terme beibehalten.) M T (I, t) MT 3 = M T (I, (x,1)) + M T (I, y) = M T (I, (x,1)) + I(y) MT 3 = (M T (I, x) M T (I, 1)) + 2 = (I(x) M T (I, 1)) + 2 MT 2 = (0 1) + 2 = = 1 Im Gegensatz dazu ist der Wert von t = +(. (x,1),y) über der Modellstruktur N in der Variablenbelegung I(x) = 0, I(y) = 2 wie folgt bestimmt: M T (I, t) MT 3 = M T (I, (x,1)). + M T (I, y) = M T (I, (x,1)). + I(y) MT 3 = (M T (I, x). M T (I, 1)) + 2 = (I(x). M T (I, 1)) + 2 MT 2 = (0. 1) + 2 = = Beispiel Wir berechnen den Wert von t = push0( pop( x)) in der Variablenbelegung I(x) = 11. MT 3 M T (I, t) = push0(m T (I, pop(x))) MT 3 = push0(pop(m T (I, x))) = push0(pop(i(x))) = push0(pop(11)) = push0(1) = 01 Bei der semantischen Auswertung formalsprachlicher Ausdrücke sind offensichtlich immer zwei Sprachebenen zu unterscheiden: Die syntaktische Ebene nennt man dabei auch Objektsprache, während die übliche mathematische Sprache, in der man auf die Semantik direkt Bezug nimmt, in diesem Zusammenhang als Metasprache bezeichnet wird. 2.4 Boolesche Ausdrücke über Modellstrukturen Terme beziehen sich nur auf die Funktionen und Konstanten einer Modellstruktur und stehen immer für einzelne Elemente des Gegenstandsbereichs. Um darüberhinaus einfache Aussagen über Modellstrukturen bilden zu können, müssen wir auch Prädikatensymbole sowie einfache logische Verknüpfungen in eine entsprechende Sprache einbauen. 9

10 2.14 Definition (Syntax von Booleschen Ausdrücken) Die Menge BA(D) der Booleschen Ausdrücke über der Modellstruktur D ist die kleinste Menge, für die gilt: (BA1) p (t 1,...,t n ) BA(D), wenn p PS n (D) und t 1,..., t n T (D); p (t 1,...,t n ) heißt Atomformel; (BA2) F BA(D), wenn F BA(D); (BA3) (F G) BA(D), wenn F, G BA(D); (BA4) (F G) BA(D), wenn F, G BA(D). Die neuen Symbole,, und sollen die vertrauten logischen Operationen nicht, und, bzw. oder repräsentieren. Daher definieren wir die Bedeutung Boolescher Ausdrücke wie folgt als Funktion mit den beiden Wahrheitswerten als Wertebereich: 2.15 Definition (Semantik von Booleschen Ausdrücken) Die Semantik von BA(D) wird durch die Funktion M BA : ENV BA(D) {t, f} festgelegt, die definiert ist durch: (MBA1) M BA (I, p (t 1,...,t n )) = p(m T (I, t 1 ),..., M T (I, t n )), wobei p das Prädikat zum Symbol p PS n (D) ist. { t falls MBA (I, F ) = f (MBA2) M BA (I, F ) = f falls M BA (I, F ) = t { (MBA3) M BA (I, (F G)) = t falls MBA (I, F ) = t und M BA (I, G) = t f sonst { (MBA4) M BA (I, (F G)) = t falls MBA (I, F ) = t oder M BA (I, G) = t f sonst Wir erinnern an dieser Stelle an die vereinbarte Zulässigkeit der Infixnotation für Terme über Z und N. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit verwenden wir außerdem auch folgende Schreibvereinfachungen: Infixnotation auch für Atomformeln: ( t 1 = t 2 ) bzw. ( t 1 < t 2 ) steht für = ( t 1, t 2 ) bzw. für < ( t 1, t 2 ). (t 1 <t 2 ) kann auch als (t 2 >t 1 ) geschrieben werden. Statt (t 1 <t 2 ), (t 1 =t 2 ) etc. schreiben wir t 1 t 2, t 1 t 2 usw. Klammern können entfallen, sofern dadurch der Wirkungsbereich von Prädikatenund Funktionssymbolen ersichtlich bleibt Beispiel Wir bestimmen den Wahrheitswert des Booleschen Ausdrucks B = (x. y 0) (x>y) über N in einer Variablenbelegung I mit I(x) = 3 und I(y) = 4. Um die schrittweise Anwendung der Definitionen 2.15 und 2.11 besser zu verstehen, 10

11 sollte man sich daran erinnern, dass B in offizieller Syntax, also ohne die vereinbarten Schreibvereinfachungen, die Form ( =(. (x,y),0) <(y,x)) hat. M BA (I, B) MBA4 = t falls M BA (I, ((x y) 0)). = t oder M BA (I, (x>y)) = t Daher bestimmen wir zunächst M BA (I, ((x. y) 0)): M BA (I, ((x. y) 0)) M BA (I, ((x y)=0)). MBA2 = t falls M BA (I, ((x y)=0)). = f MBA1 = (M T (I, (x y)). = M T (I, 0)) MT 3,MT 2 = (M T (I, x). M T (I, y) = 0) = (3. 4 = 0). Def. Def.= = (0 = 0) = t daher: M BA (I, ((x. y) 0)) = f Es muss also noch M BA (I, (x>y)) bestimmt werden: M BA (I, (x>y)) = M BA (I, (y<x)) Zusammenfassend ergibt sich daher M BA (I, B) = f. MBA1 = (M T (I, y) < M T (I, x)) = (4 < 3) = f 2.5 Syntax und Semantik von ALI Boolesche Ausdrücke werden unter anderem als Bedingungen in if-anweisungen und Schleifenkonstruktionen eingesetzt. Außerdem können Terme als jene Ausdrücke aufgefasst werden, die auf der rechten Seite einer Zuweisungsinstruktion vorkommen dürfen. Entsprechend können wir T (Z) und BA(Z) als Bestandteile einer einfachen imperativen Programmiersprache ALI verwenden, deren einziger Datentyp die Modellstruktur der ganzen Zahlen Z ist. (ALI steht für Assignment Language für Integers.) 2.17 Definition (Syntax von ALI) Die Menge ALI der Statements (Programme) über Z ist die kleinste Menge, für die gilt: (AL1) (AL2) (AL3) (AL4) Ist v IVS und t T (Z), dann ist v t AL(Z). Sind α, β ALI, dann ist begin α ; β end ALI. Ist B BA(Z) und sind α, β ALI, dann ist if B then α else β ALI. Ist B BA(Z) und α ALI, dann ist while B do α ALI Beispiel Folgendes ist ein syntaktisch wohlgeformtes ALI-Programm: 11

12 begin z 0 ; while (0<y) do begin z (z+x) ; y (y 1) end end Beachten Sie, dass wir von der vereinbarten Infixnotation für arithmetische Ausdrücke Gebrauch machen. Dass dieses Programm tatsächlich in ALI liegt, lässt sich an Hand der induktiven Definition überprüfen: z IVS, 0 T (Z) = AL1 α 1 = z 0 ALI z IVS, (z+x) T (Z) = AL1 α 2 = z (z+x) ALI y IVS, (y 1) T (Z) = AL1 α 3 = y (y 1) ALI α 2, α 3 AL = AL2 β = begin α 2 ; α 3 end ALI (0<y) BA(Z), β ALI = AL4 γ = while (0<y) do β ALI α 1, γ ALI = AL2 begin α 1 ; γ end ALI In der Sprache ALI bestehen begin-end Blöcke aus nur jeweils zwei Anweisungen. Für längere Anweisungsketten sind geschachtelte Blöcke vorgesehen. Das erleichtert die semantische Analyse, ist aber unpraktisch in der Formulierung konkreter Programme. Ohne die offizielle Syntax von ALI zu ändern, vereinbaren wir folgende abkürzende Schreibweise (für alle n > 2): α 1 ; α 2 ;... ; α n steht für α 1 ; begin α 2 ; begin... ; α n end end Die intendierte Bedeutung des obigen Beispiel-Programms besteht in der Multiplikation zweier positiver Zahlen, die anfangs in den Variablen x und y gespeichert sind. Nach Ende des Programms enthält die Variable z das Ergebnis. Diese Intention kann jedoch erst durch eine entsprechende Definition der Semantik von ALI adäquat bestätigt werden. Die Semantik von Programmen legt fest, was jeweils berechnet wird. Um zu einer kompakten Definition zu gelangen, fassen wir die Bedeutung eines ALI-Programms als eine Funktion von (Anfangs-)Variablenbelegungen in (End-)Variablenbelegungen auf. Dabei hilft folgende Notation: 2.19 Definition Für ein Variablensymbol v IVS heißen zwei Assignments I, I ENV äquivalent modulo v in Zeichen: I v I wenn für alle w IVS mit w v gilt, dass I(w) = I (w) ist. (I und I unterscheiden sich also höchstens im Wert der Variablen v.) 2.20 Definition (Semantik von ALI) Die Semantik der Statements aus ALI wird durch die Funktion M AL : ENV ALI ENV festgelegt, die definiert ist durch: 12

13 (MAL1) M AL (I, v t) = I, wobei I (v) = M T (I, t) und I (w) = I(w) für alle w IVS mit w v, d.h. I v I. (MAL2) M AL (I, begin α ; β end) = M AL (M AL (I, α), β) { MAL (I, α) falls M (MAL3) M AL (I, if B then α else β) = BA (I, B) = t M AL (I, β) falls M BA (I, B) = f { MAL (M (MAL4) M AL (I, while B do α) = AL (I, α), while B do α) für M BA (I, B) = t I für M BA (I, B) = f 2.21 Beispiel Wir berechnen das Ergebnis des Programms aus Beispiel 2.18 für eine Variablenbelegung I mit I(x) = 3, I(y) = 1 und I(z) = 1, wobei wir folgende Abkürzungen verwenden: β = begin z (z+x) ; y (y 1) end und γ = while (0<y) do β. M AL (I, begin z 0 ; γ end) MAL2 = M AL (M AL (I, z 0), γ) MAL1 = M AL (I, γ) wobei I (z) = M T (I, 0) = 0 und I (v) = I(v) für v z = M AL (I, while (0<y) do β) [ MBA (I, (0<y)) = (M T (I, 0)<M T (I, y)) = (0<I ] (y)) = (0<I(y)) = (0<1) = t MAL4 = M AL (M AL (I, β), while (0<y) do β) MAL2 = M AL (M AL (M AL (I, z (z+x)), y (y 1)), while (0<y) do β) MAL1 = M AL (M AL (I, y (y 1)), while (0<y) do β) wobei I (z) = M T (I, (z+x)) = M T (I, z) + M T (I, x) = I (z) + I (x) = 0 + I(x) = = 3 I (v) = I (v) für v z MAL1 = M AL (I, while (0<y) do β) wobei I (y) = M T (I, (y 1)) = M T (I, y) M T (I, 1) = I (y) 1 = I (y) 1 = I(y) 1 = 1 1 = 0 I (v) = I (v) für v y [ MBA (I, (0<y)) = (M T (I, 0)<M T (I ], y)) = (0<I (y)) = (0<0) = f MAL4 = I 13