Tiramisu Deklarativ Aus Eigelb, Mascarpone und in Likör und Kaffee getränkten Biskuits hergestellte cremige Süßspeise

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1 Kapitel 3 Logik-Programmierung 3.1 Einführung Was statt Wie am Beispiel von Tiramisu Folie 145 Tiramisu Deklarativ Aus Eigelb, Mascarpone und in Likör und Kaffee getränkten Biskuits hergestellte cremige Süßspeise (aus: DUDEN, Fremdwörterbuch, 6. Auflage) Tiramisu Imperativ 1/4 l Milch mit 2 EL Kakao und 2 EL Zucker aufkochen. 1/4 l starken Kaffee und 4 EL Amaretto dazugeben. 5 Eigelb mit 75 g Zucker weißschaumig rühren, dann 500 g Mascarpone dazumischen. ca 200 g Löffelbiskuit. Eine Lage Löffelbiskuit in eine Auflaufform legen, mit der Flüssigkeit tränken und mit der Creme überziehen. Dann wieder Löffelbiskuit darauflegen, mit der restlichen Flüssigkeit tränken und mit der restlichen Creme überziehen. Über Nacht im Kühlschrank durchziehen lassen und vor dem Servieren mit Kakao bestäuben. (aus: Gisela Schweikardt, handschriftliche Kochrezepte) Folie November 2014 Seite 95

2 Der große Traum der Informatik Imperative Vorgehensweise: Beschreibung, wie das gewünschte Ergebnis erzeugt wird Wie Deklarative Vorgehensweise: Beschreibung der Eigenschaften des gewünschten Ergebnisses Was Traum der Informatik: Möglichst wenig wie, möglichst viel was D.h.: Automatische Generierung eines Ergebnisses aus seiner Spezifikation Realität: Datenbanken: Deklarative Anfragesprache ist Industriestandard (SQL) Software-Entwicklung: Generierungs-Tools Programmiersprachen: Logik-Programmierung, insbes. Prolog ABER: Imperativer Ansatz überwiegt in der Praxis Folie 147 Logik-Programmierung Logik-Programmierung bezeichnet die Idee, Logik direkt als Programmiersprache zu verwenden. Logik-Programmierung (in Sprachen wie Prolog) und die verwandte funktionale Programmierung (in Sprachen wie LISP, ML, Haskell) sind deklarativ, im Gegensatz zur imperativen Programmierung (in Sprachen wie Java, C, Perl). Die Idee er deklarativen Programmierung besteht darin, dem Computer lediglich sein Wissen über das Anwendungsszenario und sein Ziel mitzuteilen und dann die Lösung des Problems dem Computer zu überlassen. Bei der imperativen Programmierung hingegen gibt man dem Computer die einzelnen Schritte zur Lösung des Problems vor. Folie 148 Seite November 2014

3 Prolog Prolog ist die wichtigste logische Programmiersprache, geht zurück auf Kowalski und Colmerauer (Anfang der 1970er Jahre, Marseilles), steht für (franz.) Programmation en logique. Mitte/Ende der 1970er Jahre: effiziente Prolog-Implementierung durch den von Warren (in Edinburgh) entwickelten Prolog-10 Compiler. Aus Effizienzgründen werden in Prolog die abstrakten Ideen der logischen Programmierung nicht in Reinform umgesetzt, Prolog hat auch nichtlogische Elemente. Prolog ist eine voll entwickelte und mächtige Programmiersprache, die vor allem für symbolische Berechnungsprobleme geeignet ist. Folie 149 Anwendungen Die wichtigsten Anwendungsgebiete sind die künstliche Intelligenz und die Computerlinguistik. Beispiele. Das Interface für natürliche Sprache in der International Space Station wurde von der NASA beim IBM Watson System, das in 2011 die Jeopardy! Man vs. Machine Challenge gewonnen hat, wurde in Prolog implementiert. Mehr Informationen dazu finden sich z.b. unter und natural-language-processing-with-prolog-in-the-ibm-watson-system/ Folie November 2014 Seite 97

4 Diese Vorlesung gibt eine Einführung in die Grundlagen der Logik-Programmierung. Auf die Hauptunterschiede zwischen allgemeiner Logik-Programmierung und Prolog werden wir im Laufe dieses Kapitels eingehen. Spezielle Aspekte der Prolog-Programmierung und Programmiertechniken werden aber eine eher untergeordnete Rolle spielen. Alle Beispiele von Logikprogrammen aus der Vorlesung sind voll lauffähige Prologprogramme. 3.2 Syntax und Semantik Folie 151 Logikprogramme Logikprogramme sind Wissensbasen, bestehend aus einer endlichen Menge von Fakten und Regeln. Eine Berechnung eines Logik-Programms besteht aus der Ableitung der Konsequenzen, die aus den Fakten und den Regeln des Programms hergeleitet werden können. Man führt ein Programm aus, indem man Anfragen an die Wissensbasis stellt. Fakten beschreiben Relationen zwischen Objekten. Beispiele: vater(abraham,isaak), plus(3,5,8), woman(mia), party. Relationen haben eine Stelligkeit k 0. Nullstellige Relationen sind einfach Aussagen (z.b. besagt party., dass die Party stattfindet). Folie 152 Seite November 2014

5 Anfragen Anfragen sehen aus wie Fakten, allerdings fragt man jetzt, ob diese Fakten in der Wissenbasis gelten, d.h., ob sie aus der Wissensbasis ableitbar sind. Erlaubt sind als Anfragen auch durch Kommas getrennte Listen von Fakten, die wir als Konjunktion der Fakten interpretieren (wir Fragen also, ob alle Fakten in der Liste gelten). Beispiele: vater(abraham,isaak) plus(1,2,abraham) playsairguitar(yolanda), party Beispiele. Im Folgenden geben wir drei Logikprogramme namens bibel1.pl, party1.pl und plus1.pl an, die nur aus Fakten bestehen. Folie 153 Folie 154 Programm 3.1: bibel1.pl vater(terach,abraham). vater(terach,nahor). vater(terach,haran). vater(abraham,isaak). vater(haran,lot). vater(haran,milka). vater(haran,jiska). mutter(sarah,isaak). maennlich(terach). maennlich(abraham). maennlich(nahor). maennlich(haran). maennlich(isaak). maennlich(lot). weiblich(sarah). weiblich(milka). weiblich(jiska). Anfragen an bibel1.pl: 19. November 2014 Seite 99

6 ?- vater(abraham,isaak).?- vater(abraham,isaak), mutter(sarah,isaak).?- vater(abraham,lot).?- vater(abraham,paul).?- bruder(abraham,nahor). Folie 155 Programm 3.2: party1.pl woman(mia). woman(jody). woman(yolanda). playsairguitar(jody). party. Anfragen an party1.pl:?- party.?- party(jody). Folie 156 Programm 3.3: plus1.pl plus(0,0,0). plus(0,1,1). plus(0,2,2). plus(0,3,3). plus(1,0,1). plus(1,1,2). plus(1,2,3). plus(1,3,4). plus(2,0,2). plus(2,1,3). plus(2,2,4). plus(2,3,5). plus(3,0,3). plus(3,1,4). plus(3,2,5). plus(3,3,6). Anfragen an plus1.pl:?- plus(3,2,5).?- plus(4,2,6). Folie 157 Seite November 2014

7 Variablen Fakten, Anfragen (und Regeln, die auf der nächsten Folie eingeführt werden) dürfen an Stelle von Objekten auch Variablen enthalten. Eine Variable in einem Faktum bedeutet, dass die entsprechende Aussage für alle Objekte an Stelle der Variablen gilt. Beispiel: plus(0,x,x) Eine Variable in einer Anfrage fragt nach einem bzw. allen Objekten, die die Anfrage erfüllen. Beispiel: vater(abraham,x), mutter(sarah,x) Konvention: Variablen beginnen mit Großbuchstaben oder Unterstrich. Beispiele. Anfragen an bibel1.pl und plus1.pl: Folie 158?- vater(abraham,x), mutter(sarah,x).?- plus(1,2,x).?- plus(x,y,3). Folie 159 Regeln Eine Regel besteht aus einem Faktum (dem Kopf der Regel), gefolgt von :- (in der Literatur wird an Stelle von :- oft auch geschrieben) und einer durch Kommas getrennten Liste von Fakten (dem Rumpf). Wir interpretieren die Regel als Implikation: Wenn alle Fakten im Rumpf gelten, dann gilt auch das Faktum im Kopf. Beispiele: plus(x,y,z) :- plus(y,x,z) grossvater(x,z) :- vater(x,y), vater(y,z) 19. November 2014 Seite 101

8 Es ist oft bequem, Fakten als spezielle Regeln mit leerem Rumpf aufzufassen. Dann besteht ein Logikprogramm nur aus Regeln. Beispiele. Im Folgenden geben wir drei Logikprogramme namens plus2.pl, bibel2.pl und bibel3.pl an, die Fakten, Variablen und Regeln besitzen. Folie 160 Folie 161 Programm 3.4: plus2.pl plus(0,x,x). plus(1,1,2). plus(1,2,3). plus(1,3,4). plus(2,2,4). plus(2,3,5). plus(3,3,6). plus(x,y,z) :- plus(y,x,z). Folie 162 Programm 3.5: bibel2.pl vater(terach,abraham). vater(terach,nahor). vater(terach,haran). vater(abraham,isaak). vater(haran,lot). vater(haran,milka). vater(haran,jiska). mutter(sarah,isaak). maennlich(terach). maennlich(abraham). maennlich(nahor). maennlich(haran). maennlich(isaak). maennlich(lot). weiblich(sarah). weiblich(milka). weiblich(jiska). grossvater(x,z) :- vater(x,y), vater(y,z). grossvater(x,z) :- vater(x,y), mutter(y,z). Folie 163 Programm 3.6: bibel3.pl Seite November 2014

9 vater(terach,abraham). vater(terach,nahor). vater(terach,haran). vater(abraham,isaak). vater(haran,lot). vater(haran,milka). vater(haran,jiska). mutter(sarah,isaak). maennlich(terach). maennlich(abraham). maennlich(nahor). maennlich(haran). maennlich(isaak). maennlich(lot). weiblich(sarah). weiblich(milka). weiblich(jiska). elternteil(x,y) :- vater(x,y). elternteil(x,y) :- mutter(x,y). grossvater(x,z) :- vater(x,y), elternteil(y,z). grossmutter(x,z) :- mutter(x,y), elternteil(y,z). Beispiel. Wir können das Programm bibel3.pl um eine Regel ergänzen, die ausdrücken soll, dass X eine Schwester von Y ist: Folie 164 schwester(x,y) :- elternteil(z,x), elternteil(z,y), weiblich(x). Problem: Dann wird auf die Anfrage?- schwester(milka,x). ausgegeben, dass milka die Schwester von lot, milka und jiska ist. Die Definition der schwester-relation erfordert ein Ungleichheitsprädikat. Wir können dieses, wie im Programm bibel4.pl explizit definieren. Folie 165 Allerdings gibt es in Prolog ein eingebautes Ungleichheitsprädikat \==, das wir künfig verwenden werden, und zwar in Infixnotation; siehe dazu das Programm bibel5.pl. Achtung: \== ist nicht zu verwechseln mit \=, auf dessen Bedeutung wir später eingehen werden. Folie 166 Programm 3.7: bibel4.pl 19. November 2014 Seite 103

10 vater(terach,abraham). vater(terach,nahor). vater(terach,haran). vater(abraham,isaak). vater(haran,lot). vater(haran,milka). vater(haran,jiska). mutter(sarah,isaak). maennlich(terach). maennlich(abraham). maennlich(nahor). maennlich(haran). maennlich(isaak). maennlich(lot). weiblich(sarah). weiblich(milka). weiblich(jiska). elternteil(x,y) :- vater(x,y). elternteil(x,y) :- mutter(x,y). grossmutter(x,z) :- mutter(x,y), elternteil(y,z). grossvater(x,z) :- vater(x,y), elternteil(y,z). schwester(x,y) :- elternteil(z,x), elternteil(z,y), weiblich(x), ungleich(x,y). ungleich(terach,abraham). ungleich(terach,haran). ungleich(terach,lot). ungleich(terach,jiska). ungleich(abraham,terach). ungleich(abraham,haran). ungleich(abraham,lot). ungleich(abraham,jiska). ungleich(nahor,terach). ungleich(nahor,haran). ungleich(nahor,lot). ungleich(nahor,jiska). ungleich(haran,terach). ungleich(haran,nahor). ungleich(haran,lot). ungleich(haran,jiska). ungleich(isaak,terach). ungleich(isaak,nahor). ungleich(isaak,lot). ungleich(isaak,jiska). ungleich(lot,terach). ungleich(lot,nahor). ungleich(terach,nahor). ungleich(terach,isaak). ungleich(terach,milka). ungleich(terach,sarah). ungleich(abraham,nahor). ungleich(abraham,isaak). ungleich(abraham,milka). ungleich(abraham,sarah). ungleich(nahor,abraham). ungleich(nahor,isaak). ungleich(nahor,milka). ungleich(nahor,sarah). ungleich(haran,abraham). ungleich(haran,isaak). ungleich(haran,milka). ungleich(haran,sarah). ungleich(isaak,abraham). ungleich(isaak,haran). ungleich(isaak,milka). ungleich(isaak,sarah). ungleich(lot,abraham). ungleich(lot,haran). Seite November 2014

11 ungleich(lot,isaak). ungleich(lot,jiska). ungleich(milka,terach). ungleich(milka,nahor). ungleich(milka,isaak). ungleich(milka,jiska). ungleich(jiska,terach). ungleich(jiska,nahor). ungleich(jiska,isaak). ungleich(jiska,milka). ungleich(sarah,terach). ungleich(sarah,nahor). ungleich(sarah,isaak). ungleich(sarah,milka). ungleich(lot,milka). ungleich(lot,sarah). ungleich(milka,abraham). ungleich(milka,haran). ungleich(milka,lot). ungleich(milka,sarah). ungleich(jiska,abraham). ungleich(jiska,haran). ungleich(jiska,lot). ungleich(jiska,sarah). ungleich(sarah,abraham). ungleich(sarah,haran). ungleich(sarah,lot). ungleich(sarah,ysicah). bruder(x,y) :- elternteil(z,x), elternteil(z,y), maennlich(x), ungleich(x,y). tante(x,y) :- elternteil(z,y), schwester(x,z). onkel(x,y) :- elternteil(z,y), bruder(x,z). Programm 3.8: bibel5.pl vater(terach,abraham). vater(terach,nahor). vater(terach,haran). vater(abraham,isaak). vater(haran,lot). vater(haran,milka). vater(haran,jiska). mutter(sarah,isaak). maennlich(terach). maennlich(abraham). maennlich(nahor). maennlich(haran). maennlich(isaak). maennlich(lot). weiblich(sarah). weiblich(milka). weiblich(jiska). elternteil(x,y) :- vater(x,y). elternteil(x,y) :- mutter(x,y). grossmutter(x,z) :- mutter(x,y), elternteil(y,z). grossvater(x,z) :- vater(x,y), elternteil(y,z). Folie November 2014 Seite 105

12 schwester(x,y) :- elternteil(z,x), elternteil(z,y), weiblich(x), X \== Y. bruder(x,y) :- elternteil(z,x), elternteil(z,y), maennlich(x), X \== Y. tante(x,y) :- elternteil(z,y), schwester(x,z). onkel(x,y) :- elternteil(z,y), bruder(x,z). Folie 168 Einfache Terme Konstanten Atome sind die Grundbausteine von Logikprogrammen. Sie werden bezeichnet durch Zeichenketten, die mit einem Kleinbuchstaben beginnen oder die in einfachen Anführungszeichen stehen (und repräsentieren Individuen). Beispiele: abraham, Abraham, logikinderinformatik Zahlen in Logikprogrammen sind entweder ganze Zahlen oder reelle Zahlen in Gleitkommadarstellung. Beispiele: 42, 1.2e-3 Konstanten sind Atome oder Zahlen. Variablen Variablen werden durch Zeichenketten bezeichnet, die mit einem Großbuchstaben oder einem Unterstrich beginnen. Eine Variable repräsentiert ein nicht-spezifiziertes Individuum. (Man beachte den Gegensatz zur imperativen Programmierung, bei der eine Variable für eine Speicherzelle steht, in der Werte gespeichert und verändert werden können). Beispiele: Mutter, mutter, RUD26 Folie 169 Seite November 2014

13 Terme Die Menge der Terme ist rekursiv wie folgt definiert: Einfache Terme: Alle Konstanten und Variablen sind Terme. Zusammengesetzte Terme: Ist f ein Atom, ist k N mit k 1 und sind θ 1,..., θ k Terme, so ist ein Term. f(θ 1,...,θ k ) Das Atom f spielt in diesem Term die Rolle eines k-stelligen Funktors, den wir mit f/k bezeichnen. Spezialfall k = 0: Jedes Atom g ist ein 0-stelliger Funktor, der mit g/0 bezeichnet wird, und der ein (einfacher) Term ist. Beispiele: party, vater(abraham,isaak), plus(3,2,x), vorlesung(name(logikinderinformatik), zeit(mi,9,11), ort(gebaeude(rud26),raum(0110))). Folie 170 Die Rolle der Terme Terme sind in Logikprogrammen die universelle Datenstruktur. Je nach Kontext spielen sie die Rolle von Fakten oder von Objekten, über die die Fakten sprechen. Folie 171 Substitutionen Definition. Eine Substitution ist eine partielle Abbildung von der Menge der Variablen auf die Menge der Terme. Beispiel: S := { X c, Y f(x,g(c)), Z Y } bezeichnet die Substitution mit Definitionsbereich def(s) = {X, Y, Z}, für die gilt: S(X) = c, S(Y) = f(x,g(c)), S(Z) = Y. 19. November 2014 Seite 107

14 Notation. Für eine partielle Funktion f schreiben wir def(f) um den Definitionsbereich von f zu bezeichnen. D.h. def(f) ist die Menge aller Objekte x, für die der Wert f(x) definiert ist. Definition. Eine Substitution für eine Menge V von Variablen ist eine Substitution S mit def(s) V. Folie 172 Anwendung von Substitutionen Anwendung Durch Anwenden einer Substitution S auf einen Term θ erhalten wir den Term θs, der aus θ durch simultanes Ersetzen jeder Variablen X def(s) durch den Term S(X) entsteht. Beispiel: Sei und Dann ist θ := h(f(x,x), Y, f(y,g(z))) S := { X c, Y f(x,g(c)), Z Y }. θs = h(f(c,c), f(x,g(c)), f(f(x,g(c)), g(y))). Instanzen von Termen Ein Term θ ist eine Instanz eines Terms θ, wenn es eine Substitution S gibt, so dass θ = θs. Folie 173 Grundterme Ein Grundterm ist ein Term, der keine Variable(n) enthält. Eine Grundinstanz eines Terms θ ist eine Instanz von θ, die ein Grundterm ist. Beispiele: h(c,c,f(c)) und h(f(f(c,c),g(d)),d,f(g(g(c)))) sind Grundinstanzen des Terms h(x,y,f(z)). Seite November 2014

15 Bemerkung. Grundterme sind wichtig, weil sie in dem Modell, das dem Logikprogramm zu Grunde liegt, eine unmittelbare Bedeutung haben. Variablen hingegen haben keine direkte Bedeutung, sondern sind nur Platzhalter für Objekte. Folie 174 Ableitungen aus Logikprogrammen Eine Ableitung aus einem Logikprogramm Π ist ein Tupel (θ 1,..., θ l ) von Termen, so dass l N mit l 1 ist und für jedes i [l] eine der beiden folgenden Möglichkeiten zutrifft: θ i ist eine Instanz eines Faktums in Π. Es gibt eine Regel ϕ :- ψ 1,..., ψ m in Π, eine Substitution S und Indizes i 1,..., i m {1,..., i 1}, so dass gilt: θ i = ϕs und θ ij = ψ j S für jedes j [m]. Eine Ableitung eines Terms θ (aus Π) ist eine Ableitung (θ 1,..., θ l ) aus Π mit θ l = θ. Ein Term θ ist ableitbar aus Π, wenn es eine Ableitung von θ aus Π gibt. Folie 175 Darstellung von Ableitungen An Stelle von (θ 1,..., θ l ) schreiben wir Ableitungen der besseren Lesbarkeit halber oft zeilenweise, also (1) θ 1 (2) θ 2. (l) θ l und geben am Ende jeder Zeile eine kurze Begründung an. Ableitungen werden oft auch als Bäume dargestellt; man bezeichnet diese als Beweisbäume. 19. November 2014 Seite 109

16 Beispiel. Ableitung von onkel(nahor,issac) aus dem Programm bibel5.pl: Folie 176 (1) vater(terach,abraham) Faktum in Zeile 1 (2) elternteil(terach,abraham) Regel in Zeile 12 und (1) (3) vater(terach,nahor) Faktum in Zeile 1 (4) elternteil(terach,nahor) Regel in Zeile 12 und (3) (5) nahor \== abraham Faktum (6) maennlich(nahor) Faktum in Zeile 7 (7) bruder(nahor,abraham) Regel in Zeile 22 und (4),(2),(6),(5) (8) vater(abraham,isaak) Faktum in Zeile 2 (9) elternteil(abraham,isaak) Regel in Zeile 12 und (8) (10) onkel(nahor,isaak) Regel in Zeile 27 und (9),(7) Baumdarstellung: onkel(nahor,isaak) elternteil(abraham,isaak) bruder(nahor,abraham) vater(abraham,isaak) elternteil(terach,nahor) maennlich(nahor) elternteil(terach,abraham) nahor \== abraham vater(terach,nahor) vater(terach,abraham) Folie 177 Beweisbäume Sei Π ein Logikprogramm und sei θ ein Term. Ein Beweisbaum für θ aus Π ist ein endlicher Baum, dessen Knoten mit Termen beschriftet sind, so dass gilt: die Wurzel ist mit dem Ziel θ beschriftet, Seite November 2014

17 jedes Blatt ist mit einer Instanz eines Faktums in Π beschriftet, und für jeden inneren Knoten u und dessen Kinder v 1,..., v m gilt: Es gibt eine Regel ϕ :- ψ 1,..., ψ m in Π und eine Substitution S, so dass für die Beschriftung θ u von u und die Beschriftungen θ v1,..., θ vm der Knoten v 1,..., v m gilt: θ u = ϕs, θ v1 = ψ 1 S, θ v2 = ψ 2 S,..., θ vm = ψ m S. Man sieht leicht, dass es genau dann einen Beweisbaum für θ aus Π gibt, wenn θ aus Π ableitbar ist. Folie 178 Deklarative Semantik von Logikprogrammen Sei Π ein Logikprogramm. Die Bedeutung von Π ist die Menge B(Π) aller Grundterme, die aus Π ableitbar sind. Die Antwort auf eine Anfrage α der Form α 1,..., α n an Π ist die Menge aller Substitutionen S für die in α vorkommenden Variablen, so dass gilt: α 1 S,..., α n S sind Grundterme, die aus Π ableitbar sind. Hier repräsentiert die leere Menge die Antwort falsch. 3.3 Rekursive Programme und Datentypen Beispiel (Vorfahren und Nachkommen). Programm 3.9: bibel6.pl 19. November 2014 Seite 111