Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Ortsumgehungen planen - ein kontextorientierter Zugang zum Ableitungsbegriff

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1 Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Ortsumgehungen planen - ein kontextorientierter Zugang zum Ableitungsbegriff Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de

2 S 1 Ortsumgehungen planen ein kontextorientierter Zugang zum Ableitungsbegriff Udo Mühlenfeld, Hiddenhausen Flurbereinigung Rommerskirchen für die Umgehungsstraße B 59 Homepage der Bezirksregierung Düsseldorf Klasse: 10 (Einführungsphase) Dauer: Inhalt: Ihr Plus: 4 Stunden Gestaltung von Ortsumgehungen unter mathematischen Gesichtspunkten; Tangentenbegriff; Tangentensteigung; den Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion im Kontext herstellen Realitätsnahe Kontexte führen zum Tangentenbegriff; Visualisierung mithilfe einer Geometriesoftware; Auswertung von Daten mit dem CASIO ClassPad Bei nahezu allen Ortsumgehungen weisen die Übergangsstücke zur alten Trassenführung Gemeinsamkeiten auf. Untersuchen Sie mit Ihren Schülern diese Gemeinsamkeiten, und führen Sie den Tangentenbegriff mithilfe einer schrittweisen Abstrahierung ein.

3 S 2 Didaktisch-methodische Hinweise Es ist nicht Aufgabe des Mathematikunterrichts, die Schüler zu Straßenplanern auszubilden. Dafür ist die Planung zu komplex. Sie ist heutzutage ohne den Einsatz einer leistungsfähigen Software nicht zu bewältigen. Dennoch ist es lohnend, sich mit dem prinzipiellen Verlauf einer Ortsumgehung auseinanderzusetzen. Die Schüler üben an dieser Problemstellung, eine reale Situation mit mathematischen Begriffen zu beschreiben. Sie übersetzen den Straßenverlauf und insbesondere die Übergänge zwischen einzelnen Streckenabschnitten in einfache mathematische Modelle und decken so exemplarisch Zusammenhänge auf. Es sei eingeräumt, dass z. B. die der Software zugrunde liegenden Funktionen weitaus komplexer sind als die den Schülern hier zugänglich gemachten ganzrationalen Funktionen. Relektieren Sie mit Ihren Schülern diese Problematik. Der zunehmende Durchgangsverkehr führt in vielen Gemeinderäten zu der Überlegung, den Ortskern zu entlasten und Ortsumgehungen zu bauen. Doch die Pläne sind nicht unumstritten. Viele Bewohner sind gegen die Ortsumgehung. So hat sich z. B. in Bad Oeynhausen in Ostwestfalen das Planungsverfahren für den Lückenschluss zwischen der A 2 und der A 30 über einen Zeitraum von vierzig Jahren hingezogen. Gegner und Befürworter schienen gewichtige Argumente gehabt zu haben, bevor im Jahr 2008 endlich mit dem Bau der Ortsumgehung begonnen wurde. Der hier dargestellte Zugang ist für die Einführungsphase der gymnasialen Oberstufe (Klasse 10) geeignet und bietet zudem die Möglichkeit, in der Qualiikationsphase im Leistungskurs das Thema wieder aufzugreifen und zu vertiefen. So ist es möglich, in einem LK beispielsweise die Konstruktion eines Autobahnkreuzes zu erarbeiten, wobei neben der hier thematisierten Knickfreiheit des Übergangs auch der ruckfreie Übergang und die Geschwindigkeit im Übergangsbogen berücksichtigt werden müssen. Darüber hinaus erweist sich der gleiche Kontext als tragfähig und sinnstiftend, wenn es in späteren Phasen des Unterrichts um Flächenberechnungen und Bogenlängen geht. In den folgenden Abschnitten wird deutlich, welche Möglichkeiten die Schüler anhand der Betrachtung der Ortsumgehungen haben, an Alltagserfahrungen anzuknüpfen, selbstständig zu arbeiten, zu argumentieren und über Strategien zu diskutieren, ihre individuellen Lösungswege einzubringen, Ergebnisse zu präsentieren, zu modellieren und Vorwissen gewinnbringend zu vernetzen. Zur Regression setzen wir die Geometriesoftware GeoGebra und einen graischen Taschenrechner (CASIO ClassPad) ein. Ablauf M 2 Ortsumgehungen besondere Merkmale beschreiben In einem ersten Schritt beleuchten Ihre Schüler mithilfe einer Mindmap oder mit der Ich-Du-Wir -Methode die verschiedenen Pro- und Contra-Argumente einer Ortsumgehung und tauschen sich in einem Streitgespräch darüber aus. Unterstützen Sie diese Phase durch die Farbfolie (M 1). Bei diesem Gespräch sollten Sie Ihren Schülern deutlich machen, dass viele Punkte von großer Bedeutung sind, im nachfolgenden Unterricht aber exemplarisch nur ein Aspekt genauer untersucht werden kann, nämlich die Gestaltung des Übergangs von alten Straßen zu Neubaustrecken.

4 S 3 Grundlegende Eigenschaften von Graphen; Graphen beschreiben; Graphen skizzieren; Begriff der Tangente M 3 Tangenten nach Augenmaß kürzeste Verbindungen Leiten Sie Ihre Schüler dazu an, den Entwicklungsprozess eines Streckenübergangs Schritt für Schritt zu mathematisieren. Die Vorüberlegungen (M 2) motivieren Ihre Schüler, diesen Übergang von einer Kurve zu einer Geraden sinnvoll zu gestalten. Dabei bedeutet sinnvoll aus Sicht des Autofahrers, knickfrei von der Kurve in den geraden Teil zu wechseln und umgekehrt. Im weiteren Verlauf des Unterrichts haben Ihre Schüler die Aufgabe, diese vage Beschreibung mithilfe der Mathematik zu präzisieren. Erst zu einem späteren Zeitpunkt weisen Sie Ihre Schüler darauf hin, dass der Autofahrer den Übergang nicht nur knickfrei, sondern auch ohne ruckartige Lenkbewegungen (vgl. M 2, b) befahren möchte. In Material M 3 versuchen Ihre Schüler, nach Augenmaß an verschiedenen Stellen der Kurve Geraden anzulegen, die den oben genannten Kriterien gerecht werden. Tangente; Berührpunkt einer Tangente mit einer Kurve, Tangenten mit Lineal nach Augenmaß skizzieren M 4 Tangenten skizzieren abhängig vom Punkt des Graphen Das Material M 4 dient zur Sicherung und Vertiefung der bisher erarbeiteten Ergebnisse: Ihre Schüler besitzen eine intuitive Vorstellung von einem knickfreien Übergang. Sie wissen ferner, dass die Lage einer sinnvollen Geraden auch von der Stelle abhängt, an der man die Kurve verlässt. Die Ergebnisse von Material M 4 führen zwangsläuig zu der Fragestellung, wie die Steigung der mit Blick auf die Knickfreiheit sinnvollen Geraden mit der Lage des Punktes auf dem Graphen zusammenhängt, ob also sogar eine Berechnung möglich ist, wenn der Straßenverlauf mithilfe von Funktionen modelliert worden ist. Tangenten mit Lineal nach Augenmaß zeichnen, Funktionsgraphen und (Halb-)Geraden mit einer Geometriesoftware zeichnen M 5 Graphen und Tangentensteigungen numerisch erfassen Die Schüler haben die Aufgabe, abhängig vom Term der Funktion, deren Graph die Straße beschreibt, einen Term zu inden, mit dessen Hilfe man die Steigungen der sinnvollen Geraden berechnen kann. Zusammen mit dem Punkt auf dem Graphen lässt sich dann die Gleichung für die sinnvolle Gerade berechnen. Die Unterrichtserfahrung zeigt, dass die Schüler aufgrund ihrer Vorerfahrungen am Kreis dazu neigen, diese sinnvolle Gerade als Tangente zu bezeichnen. Im Folgenden wird die zu untersuchende Straße nicht mehr durch eine freihändig gezeichnete Kurve dargestellt, sondern durch eine bestimmte Parabel. Ziel ist es, den Zusammenhang zwischen der Steigung der Tangente in verschiedenen Punkten und dem Verlauf der Parabel, also algebraischen Eigenschaften des Funktionsterms, zu ermitteln. Um dieses Ziel zu erreichen, können die Schüler mit Geodreieck und Papier arbeiten. Experimente mit der Geometriesoftware sind hier lohnend. Graphen ganzrationaler Funktionen, Steigung von Geraden, Steigungsdreieck, Tabellen interpretieren; Erfahrung mit dem CASIO ClassPad.

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