Didaktische Ausarbeitung und Funktion des Projekt Photovoltaikanlage

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1 Didaktische Ausarbeitung und Funktion des Projekt Photovoltaikanlage Für viele Menschen sowie auch für die meisten Schülerinnen und Schüler (SuS) haben die Natur und die Mathematik auf den ersten Blick sehr wenig miteinander gemeinsam. Durch unser Projekt Photovoltaikanlage möchten wir den SuS bewusst machen, dass natürliche Gegebenheiten durchaus im Zusammenhang mit der Mathematik stehen können. In diesem Fall möchten wir die SuS insbesondere darauf aufmerksam machen, dass die Änderung der täglichen Sonnenscheindauer in einem mathematischen Zusammenhang steht. Um dieses Bewusstsein schaffen zu können, haben wir im Rahmen des Seminares Anwendungsorientierter Mathematikunterricht an der TU Darmstadt einen Projekt mit problemorientierten Aufgaben zur Photovoltaikanlage entwickelt. Die Primäre Funktion der Unterrichtsreihe ist das Wiederholen des gelernten Wissens und die Erweiterung der Kompetenzen im Umgang mit trigonometrischen Funktionen. Die sekundäre Funktion ist die Etablierung der trigonometrischen Funktionen in die Differentialund Integralrechnung. Die SuS untersuchen und arbeiten mit trigonometrischen Funktionen, welche eine Weiterentwicklung und Vertiefung hinsichtlich von Funktionsuntersuchungen ist. Dazu bietet sich die Projektaufgabe Photovoltaikanlage als anwendungsorientierte Fragestellung an. Da der Umgang mit trigonometrischen Funktionen etwas komplexes für die SuS ist, empfiehlt es sich diesen Unterrichtsversuch in einem Leistungskurs durchzuführen. Das mathematische Thema der vier Unterrichtsstunden wird in das Teilgebiet der Analysis II zugeordnet und kann in der Jahrgangsstufe Q1 durchgeführt werden. In den Unterrichtsstunden werden Inhalte der Funktionsuntersuchungen und Integralrechnung angewendet. Zunächst recherchieren die SuS reale Daten zur Sonnenscheindauer und bearbeiten diese soweit bis diese zur Auswertung bereit stehen. Anschließend entwickeln die SuS mit diesen Daten eine Funktion, mit der sie zukünftige Prognosen aufstellen können. Die SuS arbeiten mit realen Daten, welche die Problemlösung in einem authentischen Zusammenhang stehen lässt. Im zweiten Teil des Projektes bearbeiten die SuS Aufgaben zu Differential- und Integralrechnung mit trigonometrischen Funktionen. Dieser Teil des Projektes dient als Erweiterung des Funktionsbegriffs hinsichtlich von trigonometrischen Funktionen im Zusammenhang von der Differential- und Integralrechnung, sowie die Wiederholung von mathematischen Rechengesetzen zu den genannten Funktionen. Der Abschluss des Projektes ist eine offene Aufgabenstellung, welche durch einen Modellierungsprozess erarbeitet werden kann. Für den Modellierungsprozess sollen auch Daten aus den beiden ersten Teilaufgaben genutzt werden.

2 Uns ist es wichtig den Umgang mit neuen Medien zu fördern, weshalb wir uns, für den Einsatz von GeoGebra in unserem Projekt entschieden haben. So haben sie die Gelegenheit Funktionen dynamisch zu veranschaulichen und damit zu arbeiten (Darstellungswechsel). Beschreibung der Aufgaben des Projekts Zur 1.Aufgabe: In der 1. Aufgabe verarbeiten die SuS gegebene Daten über den Sonnenauf- und Sonnenuntergang von Januar 2011 bis März Aufgabe der SuS ist es, Datenpunkte in ein Koordinatensystem einzutragen, eine geeignete Funktion für die bestmögliche Beschreibung der Datenpunkte zu finden und eine Prognose für ein zukünftiges Ereignis mithilfe der Funktion zu treffen. Zur 2. Aufgabe: In der 2. Aufgabe beschäftigen sich die SuS mit einer trigonometrischen Funktionsuntersuchung, welche ebenfalls in einem Sachzusammenhang mit der Änderung der Sonnenscheindauer steht. Die SuS bestimmen die genaue Funktionsgleichung dieser Funktion, untersuchen Extremstellen, berechnen Intervalle und schätzen ab, wie genau das angegebene Modell im Vergleich zur Realität ist. Dazu sind grundlegende Fähigkeiten der Differential- und Integralrechnung elementar. Für die Abschätzung können die erarbeiteten Daten aus der 1. Aufgabenstellung herangezogen werden. Zur 3. Aufgabe: In der 3. Aufgabe modellieren die SuS den Rentabilitätsprozess einer Solaranlage. Dabei müssen die SuS recherchieren, welche Kosten bei der Installation einer Photovoltaik Anlag 1 entstehen und welche Erträge möglich sind. Mathematisch werden die SuS an den Umgang mit Integralen in Anwendungszusammenhängen herangeführt. Entwicklung der Leitideen L1:Algorithmus und Zahl Während der Interpretation der Ergebnisse, wird die Leitidee der Zahl im grundlegenden Anforderungsbereich geschult. Dabei müssen die SuS ihr Ergebnis interpretieren und überprüfen ob das Ergebnis im Sachzusammenhang sinnvoll ist. Außerdem sollen sie in der 2. Aufgabe ein geeignetes Verfahren zur Lösung eines Gleichungssystems auswählen und anwenden. Die Aufgaben befinden sich im grundlegendem Anforderungsniveau. L4:Funktionaler Zusammenhang Anhand der Verarbeitung realen Daten über die Sonnenscheindauer erkennen die SuS eine Gesetzmäßigkeit. Diese Erkenntnis dient in dem Prozess von einem Realmodell zu einem mathematischen Modell als Grundlage. Durch den Einsatz von Aufgaben mit 1 PVA

3 trigonometrischen Eigenschaften wird die Vorstellung des Funktionsbegriffs erweitert und vertieft. Durch den Umgang mit trigonometrischen Gleichungen wird die Anforderung auf ein höheres Niveau gehoben. Des Weiteren werden Inhalte der Analysis I und II gefordert, sowie die Nutzung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für die Bestimmung von bestimmten Integralen von trigonometrischen Funktionen. L5:Daten und Zufall Die SuS stellen Daten graphische dar und werten sie algebraisch aus unter Verwendung von dynamischer Software. Das Anforderungsniveau in diesem Bereich ist im Grundbereich. Kompetenzentwicklung Das Projekt soll zur Entwicklung der Kompetenzen gemäß den Bildungsstandards beitragen. Mathematisch Argumentieren In der 1. Aufgabe wird die Kompetenz Mathematisch Argumentieren im Anforderungsbereich I der SuS beansprucht. Die SuS müssen die bisherige mathematische Situation, aus einer Alltagssituation, erfasst haben und auf dieser Grundlage mathematische Vermutungen äußern. Ebenso ist es ihre Aufgabe die Lösung zu reflektieren und die Plausibilität des Ergebnisses zu prüfen. Auch in der Teilaufgabe 5 der 2. Aufgabe wird die Anwendung dieser Kompetenz gefordert. Die 3. Aufgabe soll zudem so formuliert werden, dass sie letzten Endes als eine Argumentation genutzt werden kann. Probleme mathematisch lösen In Aufgabe 1 Teil 3 und 4 sollen die SuS anhand der gegebenen Daten eine Funktion erkennen und diese grafisch darstellen. Dieser Arbeitsschritt ist für die Entwicklung der Kompetenz Probleme mathematisch lösen vorhergesehen. Der Anforderungsbereich dabei ist im Primärbereich, da Lösungswege einfacher Aufgaben durch Identifikation gefunden werden sollen. Auch viele Aufgaben der 2. Aufgabe benötigen für die Lösung Problemlösekompetenz, da bekannte mathematische Anwendungen genutzt werden müssen. Mathematisch Modellieren Die mathematische Modellierungskompetenz wird in der dritten Aufgabe verstärkt gefordert. Die SuS lösen die Aufgabe in dem sie Annahmen treffen und Reduktion für komplexe Realsituationen durchführen, um anschließend die Problemstellung mathematisch bearbeiten zu können. Sie nutzen für die Bearbeitung der Modellierungsaufgabe mathematische Modelle aus den beiden vorhergehenden Aufgaben. Abschließend soll das mathematische Ergebnis so interpretiert werden, dass sie auf die Realsituation übertragen werden kann. Auch soll jederzeit klar sein welchen Einfluss die Veränderung einer Variablen auf das Ergebnis hat. Der Anforderungsbereich kann hier nicht eindeutig festgelegt werden, er befindet sich zwischen dem zweiten und dem dritten. In der ersten Teilaufgabe wird ebenso eine mathematische Modellierung vorgenommen jedoch passiert dies unter einer

4 Anleitung, welche nicht dem selben Anforderungsniveau entspricht wie in der dritten Aufgabe. Mathematische Darstellungen verwenden Die Kompetenz Mathematische Darstellungen verwenden wird in fast allen Aufgaben gefördert. In der 1. Aufgabe findet ein Darstellungswechsel von Tabellenform in Graphenform statt. In der 3. Aufgabe kann diese Kompetenz beansprucht werden, das kommt jedoch auf die Arbeitsweise der SuS an. Der Anforderungsbereich befindet sich zwischen dem primären und sekundären Bereich, da gegebene Darstellungen interpretiert und Schlussfolgerungen daraus gezogen werden sollen. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Die Kompetenz Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen, wird bei der Lösung der 2. Aufgabe beansprucht. Es müssen elementare Lösungsverfahren von trigonometrischen Funktionen genutzt werden. Der Anforderungsbereich ist primär. Mathematisch Kommunizieren Für die Bearbeitung der 1. und 3. Aufgabe wird die Nutzung der Kompetenz Mathematisch Kommunizieren benötigt. Denn die SuS müssen Informationen aus Quellen entnehmen. Vor allem in der 3. Aufgabe müssen sie sich in alltägliche Texte einarbeiten und diese dementsprechend mathematisch verwerten. Der Anforderungsbereich liegt hier im Sekundären, da die Lösungen verständliche erfasst werden müssen. Dadurch sollen sie Überlegungen für die Ergebniserstellung treffen. Differierungsmöglichkeiten des Projektes Das Projekt wurde von uns so konstruiert, dass auch SuS mit wenig Modellierungskenntnissen das Projekt bearbeiten können. Dafür werden vor allem für die 3 Aufgabe viele Hilfestellungen angeboten die von den SuS genutzt werden können. Leistungsstarke und mit Modellierungsaufgaben erfahrende SuS müssen die Hilfestellungen nicht nutzen. Inhaltliches und methodisches Vorwissen für das Projekt Inhaltliches Vorwissen Um die geplante Unterrichtsreihe durchzuführen sollten die Schüler und Schülerinnen die Lerninhalte der Analysis 1 und 2 und grundlegende Rechenoperationen mit trigonometrischen Funktionen beherrschen. Die SuS sollten die Einführung in die Integralrechnung abgeschlossen haben, damit sie das nötige Vorwissen haben um diese in Sachzusammenhängen anzuwenden. Das heißt sie sollten die Eigenschaften und Anwendungen des bestimmten Integrals kennen, den Begriff der Stammfunktion, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bis hin

5 zur Stammfunktionsintegralen, Funktionsuntersuchungen durchführen können sowie das Auf- und Ableiten von trigonometrischen Funktionen. Methodisches Vorwissen Um einen reibungslosen Ablauf des Unterrichts zu gewähren sollten die SuS auch den Umgang mit Tabellenkalkulationsprogramms Excel und die dynamische Geometriesoftware GeoGebra beherrschen. Die SuS müssen mindestens in der Lage sein die verschiedenen Ansichten zu nutzen, eine Liste mit Punkten zu erzeugen und diese in einem Koordinatensystem darzustellen, die Achsen des Koordinatensystems anzupassen und zu beschriften, Datenpunkte mithilfe einer Funktion approximieren, die Funktionsgleichung eines Graphen anzeigen lassen. Der Umgang mit offenen Aufgaben und die und Modellierfähigkeit sind notwendige Bedingungen für das Bearbeiten des Projektes. Um sicherzustellen, dass die SuS das methodische Vorwissen beherrschen, werden auf der Website zum Projekt zwei PDF Daten angeboten. Die eine PDF beschreibt den Umgang mit GeoGebra und die andere den Umgang mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Excel. Lernziele Die SuS können Daten mit GeoGebra mathematische auswerten. Die SuS erkennen den trigonometrischen Zusammenhang in der Sonnenscheindauer. Die SuS wenden Integral- und Differentialrechnung an trigonometrischen Funktionen an. Das Hauptziel der Unterrichtssequenz ist die Modellierungskompetenz der SuS zu fördern, in dem sie ein alltägliches Phänomen mathematisch interpretieren und versuchen diese mit mathematischen Modellen umzusetzen (K3).