Der Zapfhahnalgorithmus nach Rabinowitz & Wagon

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1 Der Zapfhahnalgorithmus nach Rabinowitz & Wagon Seminar Computeralgebra: Pi von zur Gathen & Nüsken Florian Schoppmann Fakultät für Elektrotechnik, Mathematik und Informatik Universität Paderborn 13. Dezember 24 Wintersemester 24/5 Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

2 Motivation Ludolph Van Ceulen * , Hildesheim, Leiden (Niederlande) Professor für Arithmetik, Vermessungskunde und Festungsbau an der Ingenieurs-Schule Leiden (ab 16) Verbrachte einen Großteil seines Lebens damit, 35 Dezimalstellen von π mit geometrischer Methode zu berechnen In Deutschland bis ca. Erster Weltkrieg: Ludolph sche Zahl Hätte Van Ceulen einfacher rechnen und Jahre seines Lebens sparen können? Lässt sich ein einfacher Algorithmus formulieren? Angaben übernommen von: Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

3 Ein Zapfhahnalgorithmus für π Veröffentlicht von Rabinowitz und Wagon 1995 Basiert auf Reihendarstellung π = i= (i!) 2 2 i+1 (2i + 1)! = 2 i! (2i + 1)!! i= Einfach implementierbar: Verwendet nur Ganzzahl-Arithmetik Keine externen Bibliotheken extrem kurze Implementierungen möglich: C-Programm für 15 Stellen von π a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h; main(){for(;b=c-=14;h=printf("%4d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;} Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

4 Reihendarstellung von π ein technisches Lemma Lemma Seien i, j N. Dann gilt: Beweis. 1 1 x i (1 x) j dx = x i (1 x) j dx = 1 i + 1 x i+1 (1 x) j 1 = j i Induktiv und mit 1 x i+j dx = 1 i+j+1 i! j! (i + j + 1)! 1 x i+1 (1 x) j 1 dx j i + 1 x i+1 (1 x) j 1 dx folgt daraus das Lemma. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

5 Reihendarstellung von π ein technisches Lemma Lemma Seien i, j N. Dann gilt: Beweis. 1 1 x i (1 x) j dx = x i (1 x) j dx = 1 i + 1 x i+1 (1 x) j 1 = j i Induktiv und mit 1 x i+j dx = 1 i+j+1 i! j! (i + j + 1)! 1 x i+1 (1 x) j 1 dx j i + 1 x i+1 (1 x) j 1 dx folgt daraus das Lemma. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

6 Reihendarstellung von π Satz Die eingangs angegebene Reihendarstellung von π ist korrekt: π = i= 2 i! (2i + 1)!! Beweis. (i!) 2 2 i+1 (2i + 1)! = 1 2 i+1 x i (1 x) i dx i= = 2 i= 1 (2x) i (1 x) i dx = 2 i= = 2 arctan 2x 1 1 = π (nach Lemma) x(1 x) dx Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

7 Reihendarstellung von π Satz Die eingangs angegebene Reihendarstellung von π ist korrekt: π = i= 2 i! (2i + 1)!! Beweis. (i!) 2 2 i+1 (2i + 1)! = 1 2 i+1 x i (1 x) i dx i= = 2 i= 1 (2x) i (1 x) i dx = 2 i= = 2 arctan 2x 1 1 = π (nach Lemma) x(1 x) dx Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

8 Darstellungen mit variabler Basis Die letzte Formel auseinander gezogen: π = i= 2 i! (2i + 1)!! = ( ( 3( ))) Ist eine einfache Umrechnung in Dezimaldarstellung möglich? Ja, aber es ist noch etwas Hintergrundwissen nötig... Definition 1. Darstellung bezüglich einer variablen Basis b := (b n ) n N, (b n ) Folge positiver rationaler Zahlen 2. Kurzschreibweise (a ; a 1, a 2,... ) b 3. fixe Basis Im Folgenden: Darstellungen zur Basis c := ( 1 3, 2 5, 3 7,... ) Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

9 Darstellungen mit variabler Basis Die letzte Formel auseinander gezogen: π = i= 2 i! (2i + 1)!! = ( ( 3( ))) Ist eine einfache Umrechnung in Dezimaldarstellung möglich? Ja, aber es ist noch etwas Hintergrundwissen nötig... Definition 1. Darstellung bezüglich einer variablen Basis b := (b n ) n N, (b n ) Folge positiver rationaler Zahlen 2. Kurzschreibweise (a ; a 1, a 2,... ) b 3. fixe Basis Im Folgenden: Darstellungen zur Basis c := ( 1 3, 2 5, 3 7,... ) Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

10 Reguläre Darstellungen Definition Eine Darstellung (a ; a 1, a 2, a 3,... ) c heißt: 1. regulär, wenn a N und für i = 1, 2, 3,... gilt: a i 2i. Dabei: a i maximale Ziffer : a i = 2i 2. abbrechend, wenn N N : i N : a i = Bezeichnung normalisiert bewusst nicht verwendet, denn Darstellungen bezüglich der Basis c sind nicht eindeutig. Beispiel: (; 2,,,,... ) c = 2 3 = (;, 2, 3, 4,... ) c Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

11 Ganzzahlteil einer regulären Darstellung Satz (; 2, 4, 6,... ) c = 2. Demnach liegen reguläre Darstellungen der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) c im Interval [, 2]. Beweis. Setze S n := n i= (2i)i! (2i + 1)!! Zeige: lim n S n = 2. Induktion: 2 S n = 2n+1 ) = ( 2n+1 n 2(n + 1)! (2n + 1)!! (1) Da der Ausdruck (1) offensichtlich für n gegen strebt, folgt die Behauptung. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

12 Ganzzahlteil einer regulären Darstellung Satz (; 2, 4, 6,... ) c = 2. Demnach liegen reguläre Darstellungen der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) c im Interval [, 2]. Beweis. Setze S n := n i= (2i)i! (2i + 1)!! Zeige: lim n S n = 2. Induktion: 2 S n = 2n+1 ) = ( 2n+1 n 2(n + 1)! (2n + 1)!! (1) Da der Ausdruck (1) offensichtlich für n gegen strebt, folgt die Behauptung. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

13 Fehlerabschätzung der Partialreihe Satz Sei π m := (2; 2, 2, 2,..., 2) }{{} c für ein m N. Dann gilt: m Ziffern Beweis. π π m = i=m < π π m < m/1 (2) (i!) 2 2 i+1 (2i + 1)! < (m!)2 2 m+2 (2m + 1)! m < m/1 Folglich: Mit m := 1n 3 gilt π π m < n, denn (2) π π m < 8 1n /1 8 1n /1 = n Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

14 Fehlerabschätzung der Partialreihe Satz Sei π m := (2; 2, 2, 2,..., 2) }{{} c für ein m N. Dann gilt: m Ziffern Beweis. π π m = i=m < π π m < m/1 (2) (i!) 2 2 i+1 (2i + 1)! < (m!)2 2 m+2 (2m + 1)! m < m/1 Folglich: Mit m := 1n 3 gilt π π m < n, denn (2) π π m < 8 1n /1 8 1n /1 = n Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

15 Ein hypothetischer Algorithmus zur Darstellungsumrechnung Wenn jede reguläre abbrechende Darstellung der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) c stets < 1 wäre: Umrechnung in die Dezimaldarstellung Eingabe: (a ; a 1, a 2, a 3,..., a n,,... ) c. Ausgabe: Gewünschte Stellen der Dezimaldarstellung. 1: Wiederhole 2: Gebe den Ganzzahlteil aus (also a ). Setze: a. 3: Multipliziere mit 1 wie folgt: Multipliziere alle a i mit 1 und regularisiere anschließend von recht nach links (Reduktion jeder Ziffer, Weiterreichung von Überträgen nach links). 4: Speichere regularisierte Darstellung wieder in (a ; a 1, a 2, a 3,... ) c. 5: Bis gewünschte Genauigkeit erreicht Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

16 Umrechnung in Dezimaldarstellung Problem: Zu frühe Ausgabe des Ganzzahlteils Mögliche Abhilfe: Nach Multiplikation mit 1 und Regularisierung: Ausgabe von Ziffern nur im Falle (a mod 1) < 9 Im weiteren Schleifen-Durchäufen nur Änderung derzeitiger Einer-Ziffer des Ganzzahlteils möglich Ausgabe von a /1, Anschließend Reduktion von a modulo 1 Bei vielen aufeinander folgenden 9en könnte a groß werden. Daher leicht andere Implementierung: Zehner-Stelle entscheidet, ob Ausgabe der Ziffern links von ihr Nach Subtraktion der ausgegebenen Ziffern: Speicherung der Ziffern vor der Einer-Stelle als Vorziffern Vorziffern stets speicherbar als Ziffer gefolgt von 9en Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

17 Der Zapfhahnalgorithmus für π Zapfhahnalgorithmus Eingabe: Gewünschte Anzahl Stellen n. Ausgabe: n Stellen der Dezimaldarstellung von π 1n/3. 1: A := (a ; a 1, a 2,..., a 1n/3 1 ) c (2; 2, 2,..., 2) c. Vorziffern. 2: Für i 1, 2,..., n erledige 3: Multipliziere jedes Element von A mit 1 und regularisiere. 4: Reduziere a modulo 1. q sei Quotient. 5: Wenn q = 9, Vorziffern Vorziffern q. Wenn q = 1, addiere 1 auf jede Vorziffer, gebe Vorziffern aus, Vorziffern. Andernfalls gebe alle Vorziffern aus, Vorziffern q. 6: Ende von Für 7: Wenn letzte Vorziffer = 9, addiere 1 auf jede Vorziffer. Andernfalls addiere 1 nur auf die letzte Vorziffer. Gebe alle Vorziffern aus. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

18 Korrektheit Lemma 1. Der Zapfhahnalgorithmus ist korrekt. Insbesondere liefert er n Stellen von π mit einem Fehler < n. 2. Er hat lineare Konvergenz sowie bezüglich der Eingabe n Laufzeit O(n 2 ) und Speicherplatz-Bedarf O(n). Beweis (nur 1): Der Algorithmus liefert Näherung π m von π m. π m ist wiederum Näherung von π. Addiere maximale Fehler. Weitere Eigenschaften des Algorithmus: Untere Schranke für Anzahl korrekt ausgegebener Ziffern bestimmbar Prinzipiell mit einer Tabellenkalkulation implementierbar Live-Demo... Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

19 Erweiterungen des Zapfhahnalgorithmus Laufzeitverbesserungen um einen konstanten Faktor n: In jedem Schleifendurchlauf Multiplikation mit 1 n (und nicht mehr nur mit 1) Berechnung der Stellen links der Einer-Stelle jeweils im (1 n )er-system Änderung mehr als einer Vorziffer nur, wenn n + 1 aufeinander folgende Nullen an einer durch n teilbaren Position der Dezimaldarstellung von π m (notwendige Bedingung) Im Fall n = 4 (Multiplikation mit 1): Änderung mehr als einer Vorziffer nur, wenn 5 aufeinander folgende Nullen an einer durch 4 teilbaren Position Abwarten auf immer nur eine neue Vorziffer für 5. Stellen ausreichend, da selbst für 4 Nullen erst bei Position zum ersten Mal der Fall (in der Dezimaldarstellung von π) Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

20 Zapfhahnalgorithmus für die Euler sche Zahl Gibt es andere Basis, so dass der hypothetische Algorithmus funktionieren würde? Ja, zumindest für Euler sche Zahl. Zapfhahnalgorithmus seit 1968 bekannt (Sale): e = (2; 1, 1, 1,... ) b mit Basis b := ( 1 2, 1 3, 1 4,... ) Lemma (; 1, 2, 3,... ) b = 1. Demnach liegen reguläre und abbrechende Darstellungen der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) b im Interval [, 1). Beweis. (; 1, 2, 3,... ) b = i=2 i 1 i! = 2 1 2! ! +... = 1 1 2! + 1 2! 1 3! + 1 3! = 1 Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

21 Zapfhahnalgorithmus für die Euler sche Zahl Gibt es andere Basis, so dass der hypothetische Algorithmus funktionieren würde? Ja, zumindest für Euler sche Zahl. Zapfhahnalgorithmus seit 1968 bekannt (Sale): e = (2; 1, 1, 1,... ) b mit Basis b := ( 1 2, 1 3, 1 4,... ) Lemma (; 1, 2, 3,... ) b = 1. Demnach liegen reguläre und abbrechende Darstellungen der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) b im Interval [, 1). Beweis. (; 1, 2, 3,... ) b = i=2 i 1 i! = 2 1 2! ! +... = 1 1 2! + 1 2! 1 3! + 1 3! = 1 Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

22 Zapfhahnalgorithmus für die Euler sche Zahl Gibt es andere Basis, so dass der hypothetische Algorithmus funktionieren würde? Ja, zumindest für Euler sche Zahl. Zapfhahnalgorithmus seit 1968 bekannt (Sale): e = (2; 1, 1, 1,... ) b mit Basis b := ( 1 2, 1 3, 1 4,... ) Lemma (; 1, 2, 3,... ) b = 1. Demnach liegen reguläre und abbrechende Darstellungen der Form (; a 1, a 2, a 3,... ) b im Interval [, 1). Beweis. (; 1, 2, 3,... ) b = i=2 i 1 i! = 2 1 2! ! +... = 1 1 2! + 1 2! 1 3! + 1 3! = 1 Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

23 Anderer Reihendarstellungen von π Gibt es auch für π bessere Basen? Ja, Gosper (1974): π = ( 2 3 ( ( i(2i 1) ( )))) i (3i + 1)(3i + 2) π = (3; 8, 13, 18,... ) d mit d := ( 1 6, 6 168, 15 33,... ) Darstellung mit maximalen Ziffern (; a 1, a 2, a 3,... ) d 1,92... Rabinowitz und Wagon: within 1% of spigot-perfection Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

24 Anderer Reihendarstellungen von π Gibt es auch für π bessere Basen? Ja, Gosper (1974): π = ( 2 3 ( ( i(2i 1) ( )))) i (3i + 1)(3i + 2) π = (3; 8, 13, 18,... ) d mit d := ( 1 6, 6 168, 15 33,... ) Darstellung mit maximalen Ziffern (; a 1, a 2, a 3,... ) d 1,92... Rabinowitz und Wagon: within 1% of spigot-perfection Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

25 Ein Streaming-Algorithmus zur Berechnung von π Gibt es einen Zapfhahnalgorithmus, bei dem keine vorherige Festlegung auf die Anzahl zu berechnender Stellen notwendig ist? Ja, Gibbons (24): Bislang vorherige Festlegung der zu berechnenden Stellen notwendig aufgrund der Art der Regularisierung Neu: Streaming-Algorithmus zum Regularisieren bezüglich einer unendlichen variablen Basis n Stellen von π bereits im ersten Anlauf sofort mit Wahrscheinlichkeit 1% exakt berechenbar (bislang: Letzte Ziffern unter Umständen inkorrekt, da nur Genauigkeit n garantierbar) Jedoch: Ganzzahl-Arithmetik mit unbeschränkter Genauigkeit notwendig Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

26 Ein Streaming-Algorithmus zur Berechnung von π Gibt es einen Zapfhahnalgorithmus, bei dem keine vorherige Festlegung auf die Anzahl zu berechnender Stellen notwendig ist? Ja, Gibbons (24): Bislang vorherige Festlegung der zu berechnenden Stellen notwendig aufgrund der Art der Regularisierung Neu: Streaming-Algorithmus zum Regularisieren bezüglich einer unendlichen variablen Basis n Stellen von π bereits im ersten Anlauf sofort mit Wahrscheinlichkeit 1% exakt berechenbar (bislang: Letzte Ziffern unter Umständen inkorrekt, da nur Genauigkeit n garantierbar) Jedoch: Ganzzahl-Arithmetik mit unbeschränkter Genauigkeit notwendig Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

27 Zusammenfassung Zapfhahnalgorithmus: Ausgabe bereits während des Ablaufs Sehr einfache Grundidee (siehe Algorithmus für e). Erschwernis bei π: (Noch) keine optimale Zapfhahn -Basis bekannt Dennoch: Zapfhahnalgorithmus leicht implementierbar, nur Ganzzahl-Arithmetik Van Ceulen hätte 35 Dezimalstellen mühelos auch auf Papier in relativ kurzer Zeit ermitteln können. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19

28 Zum Weiterlesen... Jörg Arndt & Christoph Haenel (2). π Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2nd edition. Jeremy Gibbons (24). Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of π. gibbons/publications/spigot.pdf. Stanley Rabinowitz & Stan Wagon (1995). A Spigot Algorithm for the Digits of π. American Mathematical Monthly 12(3), %2912%3A3%3C195%3AASAFTD%3E2..CO%3B2-H. Universität Paderborn Florian Schoppmann / 19