Biostatistik, WS 2015/2016 Exkurs: Ein Beispiel zur Diskriminanzanalyse

Transkript

1 1/55 Biostatistik, WS 2015/2016 Exkurs: Ein Beispiel zur Diskriminanzanalyse Matthias Birkner

2 3/55 photo (c) Thermos ein Kleinspecht (Picoides minor)

3 4/55 Man kann die Geschlechter optisch unterscheiden. Frage: Geht es auch akustisch?

4 5/55 Ruf des Kleinspechts: Längen der letzten fünf Pausen und Laute p1 p2 p3 p4 p5 ki ki ki ki ki ki ki l1 l2 l3 l4 l5

5 6/55 Frage: Kann man aus den Längen der Pausen und der Laute (p1, p2, p3, p4, p5, l1, l2, l3, l4, l5) das Geschlecht bestimmen?

6 7/55 Daten: 62 Rufe von Kleinspechten 18 Rufe von Männchen 44 Rufe von Weibchen Daten von Dr. Kerstin Höntsch, Frankfurt (siehe aufbereitet von Dr. Brooks Ferebee, Frankfurt

7 Die Daten in computergerechter Form: G p1 p2 p3 p4 p5 l1 l2 l3 l4 l /55

8 9/55 Gesucht: eine dem menschlichen Gehirn gerechte Darstellung des Vektors (p1, p2, p3, p4, p5, l1, l2, l3, l4, l5) Vorschlag: p1 p2 p3 p4 p5 l1 l2 l3 l4 l5

9 10/55 Alle 62 Rufe: rot=männchen, schwarz=weibchen

10 11/55 Mit dem Auge kann man Unterschiede erkennen:

11 12/55 Männchen oder Weibchen? (Männchen)

12 13/55 Männchen oder Weibchen? (Weibchen)

13 14/55 Männchen oder Weibchen? (Männchen)

14 15/55 Manchmal ist es schwierig: Männchen oder Weibchen? Weibchen (untypisch)

15 16/55 Das Auge (das Gehirn) sieht Unterschiede. Schafft es der Computer (mit Hilfe der Mathematik) auch?

16 Modell 18/55 Die 10 Zahlen (p1, p2, p3, p4, p5, l1, l2, l3, l4, l5) fassen wir als die Koordinaten eines Punktes im 10-dimensionalen Raum R 10 auf. Jeder Ruf entspricht einem Zufallspunkt im R 10 : Männchenrufe aus einer Population mit Dichte f m Weibchenrufe aus einer Population mit Dichte f w Gesucht: Eine Regel, die jeden neuen Punkt x = (p1, p2,p3, p4,p5, l1, l2, l3, l4, l5) einer der beiden Populationen zuweist.

17 19/55 Verfahren Modell 1 Schätze f m und f w 2 Ordne x der Population mit dem größeren f -Wert zu. Wir benutzen für f m und f w mehrdimensionale Normalverteilungen. Vorteil: Leicht anzupassen. Wir müssen nur Mittelwert(svektor) und Varianz (mehrdimensional: die Kovarianzmatrix) schätzen.

18 Modell 20/55 Erinnerung: Eindimensionale Normalverteilung Dichte Mittelwert Standardabweichung

19 Dichte Modell Dichte einer zweidimensionalen Normalverteilung y x /55

20 Modell 22/55 Zur Beschreibung einer mehrdimensionalen Normalverteilung benötigt man Einen Mittelwertvektor µ Ein Achsenkreuz (die Hauptachsen ) Standardabweichungen in den Achsenrichtungen

21 Modell 23/ Dichte y x y x

22 25/55 In unserem Problem gibt es 10 Dimensionen. Wir beginnen eindimensional. Frage: Welche eine der 10 Variablen sollen wir wählen?

23 Länge der Laute bei Männchen (rot) und Weibchen (schwarz) Länge (Sek) l1 l2 l3 l4 l5 Laut Keine gute Trennung der Geschlechter 26/55

24 Bei den Männchen sind die Pausen typischerweise länger 27/55 Länge der Pausen bei Männchen (rot) und Weibchen (schwarz) Länge (Sek) p1 p2 p3 p4 p5 Pause

25 28/55 Wie gut läßt sich das Geschlecht anhand von p2, der Länge der zweiten Pause, bestimmen?

26 29/55 Die p2-werte (mit Jitter) p2

27 30/55 p2-werte (nur Männchen) Mittelwert µ m = 0,1316, Standardabweichung σ m = 0,0150 p2

28 Wir approximieren f m durch die Normalverteilung mit Mittelwert µ m und Standardabweichung σ m p2-werte (Männchen) und (geschätztes) f m p2 31/55

29 32/55 p2-werte (nur Weibchen) Mittelwert µ w = 0,0938, Standardabweichung σ m = 0,0201 p2

30 Wir approximieren f w durch die Normalverteilung mit Mittelwert µ w und Standardabweichung σ w p2-werte (Weibchen) und (geschätztes) f w p2 33/55

31 34/55 Klassifikationsregel: f m größer Männchen f w größer Weibchen

32 35/55 p2-werte 'Weibchen' 'Männchen' p2

33 36/55 Falsch klassifiziert: 1 Männchen 6 Weibchen p2

34 37/55 Zur Verbesserung der Klassifikation nehmen wir mehr Information hinzu, z.b. eine weitere Variable. Wir betrachten: Erste Variable = p2 Zweite Variable = l2

35 l2 Beobachtung: l2 allein trennt die Geschlechter sehr schlecht. 38/55

36 Aber: l2 zusammen mit p2 gibt zusätzliche Information: p2 l2 Beispielsweise zeigt die Hinzunahme von l2, dass die 5 Punkte oben rechts besser zu den Weibchen passen. 39/55

37 40/55 Wir approximieren die Verteilungen von (p2, l2) bei Männchen und bei Weibchen durch zweidimensionale Normalverteilungen.

38 41/55 (p2, l2), Männchen l p2

39 42/55 Wie im eindimensionalen Fall schätzen wir den (zweidimensionalen) Mittelwert und die (zweidimensionale) Varianz (d.h. die sog. Kovarianzmatrix) und approximieren f m durch eine zweidimensionale Normalverteilung mit dem geschätzten Mittelwert und der geschätzten Varianz.

40 43/55 (p2, l2) für Männchen und f m l p2

41 Viele der Weibchen passen schlecht zu f m : p2 l2 44/55

42 45/55 Analog für die Weibchen: (p2, l2) für Weibchen und f w l p2

43 Viele der Männchen passen schlecht zu f w : p2 l2 46/55

44 47/55 Klassifikation: Für jeden Punkt berechnen wir f m (x) und f w (x). f m (x) größer Männchen f w (x) größer Weibchen

45 48/55 log(f w ) gegen log(f m ) und Diagonale: log(fw) 'Weibchen' 'Männchen' log(fm)

46 49/55 log(f w ) gegen log(f m ) und Diagonale, Ausschnittvergrößerung: log(fw) 'Weibchen' 'Männchen' log(fm)

47 50/55 Falsch klassifiziert: 1 Männchen, 1 Weibchen (und eigentlich 2 unentschieden ) log(fw) 'Weibchen' 'Männchen' log(fm)

48 Welche Fälle wurden falsch zugeordnet? p2 l2 Wenn man nur p2 und l2 kennt, ist es sehr verständlich, dass diese Fälle falsch klassifiziert werden. 51/55

49 52/55 Wir verfahren genauso mit allen Variablen (p1, p2, p3, p4, p5, l1, l2, l3, l4, l5) gemeinsam mathematisch analog, allerdings geometrisch sehr schwierig darzustellen.

50 Ergebnis: log(f w ) gegen log(f m ) und Diagonale (basierend auf allen 10 Variablen): log(fm) log(fw) 53/55

51 log(f w ) gegen log(f m ) und Diagonale (basierend auf allen 10 Variablen, Ausschnittvergrößerung): log(fw) log(fm) Die zwei mit (p2,l2) falsch klassifizierten Fälle wurden nun 54/55

52 Falsch klassifiziert Die beiden falsch klassifizierten Rufe: sie sehen ziemlich männlich aus. 55/55