Lineare Algebra I Abschlussklausur

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1 Dr. Peter Philip Wintersemester 2018/2019 Kilian Rückschloß, Pascal Stucky 7. Februar 2019 Lineare Algebra I Abschlussklausur Nachname: Matrikelnr.: Vorname: Fachsemester: Abschluss: Bachelor Master Version der Prüfungsordnung (Jahreszahl): Diplom Anderes: Hauptfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Nebenfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Anrechnung der Credit Points für das Hauptfach Nebenfach (Bachelor / Master) Bitte schalten Sie Ihr Mobiltelefon aus und legen es nicht auf den Tisch; legen Sie bitte Ihren Personalausweis oder Reisepass sichtbar auf den Tisch. Bitte überprüfen Sie, ob Sie 5 Aufgaben erhalten haben. Schreiben Sie bitte nicht in den Farben rot oder grün. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Nachnamen und Vornamen. Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Falls der Platz nicht ausreicht, verwenden Sie bitte die leeren Seiten am Ende und vermerken dies auf dem Angabenblatt der entsprechenden Aufgabe. Bitte achten Sie darauf, dass Sie zu jeder Aufgabe nur eine Lösung abgeben; streichen Sie deutlich durch, was nicht gewertet werden soll. Sie haben 90 Minuten Zeit, um die Klausur zu bearbeiten. Erlaubte Hilfsmittel: Schreibstifte und Radierer, sonst keine. Lösungen: Rechnungen und Beweise sollten mit allen Zwischenschritten klar aufgeschrieben werden. Resultate ohne hinreichende, folgerichtige Begründungen werden nicht akzeptiert (wenn in der Aufgabenstellung nicht anders angegeben). Falls sich Ergebnisse in Form von Brüchen, Wurzeln oder Ähnlichem ergeben, so lassen Sie sie in dieser Form, und versuchen Sie nicht, sie als gerundete Dezimalzahlen zu schreiben. Viel Erfolg! Aufgabe A1 A2 A3 A4 A5 Σ max. Punkte

2 Aufgabe A 1. [15 Punkte] Zeigen Sie mit einem Induktionsbeweis, dass für alle n N mit n 3 gilt, dass 2n+1 < n 2.

3 Aufgabe A 2. [25 Punkte] Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Sei U V. (a) (5 Punkte) Geben Sie die Definition davon an, dass U ein Untervektorraum von V ist. (b) (5 Punkte) Geben Sie einen Satz aus der Vorlesung an, der eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür liefert, dass U ein Untervektorraum von V ist (es genügt, eine der beiden Äquivalenzen des Satzes anzugeben). (c) (5 Punkte) Es sei K := R, V := R 4 und U := {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) V : x 1 x 2 = x 3 x 4 }. Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. (d) (10 Punkte) Finden Sie in der Situation von (c) eine Basis von U, die (1,0,1,0) enthält und zeigen Sie, dass die von Ihnen gefundene Menge wirklich eine Basis von U ist.

4 Aufgabe A 3. [25 Punkte] (a) (9 Punkte) Eine Relation R auf der Menge A heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Geben Sie die Definition von reflexiv (3 Punkte), symmetrisch (3 Punkte) und transitiv (3 Punkte) an. (b) (16 Punkte) Sei A := {1,2,3,4,5}. Finden Sie die kleinste Menge R A A so, dass R eine Äquivalenzrelation ist und (1, 2) R und (2, 3) R (begründen Sie kurz die Korrektheit der von Ihnen gefundenen Menge) (8 Punkte). Geben Sie explizit alle Elemente der Quotientenmenge A/R an (4 Punkte) sowie f(1) und f(5), wenn f die zugehörige Quotientenabbildung bezeichnet (4 Punkte).

5 Aufgabe A 4. [20 Punkte] (a) (13 Punkte) Geben Sie die Definitionen der Begriffe Ring, Ring mit Eins und Körper an, wobei Sie die Begriffe Gruppe und Kommutativität voraussetzen dürfen. (b) (7 Punkte) Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen, wenn man die Rollen der normalen Addition und Multiplikation vertauscht, kein Ring ist.

6 Aufgabe A 5. [15 Punkte] Sei V ein R-Vektorraum. Wir nennen eine Menge C V konvex genau dann, wenn a,b C λ [0,1] λa+(1 λ)b C. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (a) (10 Punkte) Für jede Familie (C i ) i I konvexer Teilmengen von V ist C := i I C i wieder konvex. (b) (5 Punkte) Für jede Familie (C i ) i I konvexer Teilmengen von V ist C := i I C i wieder konvex.

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