Lineare Algebra I Abschlussklausur

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1 Dr. Peter Philip Wintersemester 2018/2019 Kilian Rückschloß, Pascal Stucky 7. Februar 2019 Lineare Algebra I Abschlussklausur Nachname: Matrikelnr.: Vorname: Fachsemester: Abschluss: Bachelor Master Version der Prüfungsordnung (Jahreszahl): Diplom Anderes: Hauptfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Nebenfach: Mathematik Wirtschaftsm. Inf. Phys. Stat. Anrechnung der Credit Points für das Hauptfach Nebenfach (Bachelor / Master) Bitte schalten Sie Ihr Mobiltelefon aus und legen es nicht auf den Tisch; legen Sie bitte Ihren Personalausweis oder Reisepass sichtbar auf den Tisch. Bitte überprüfen Sie, ob Sie 5 Aufgaben erhalten haben. Schreiben Sie bitte nicht in den Farben rot oder grün. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Nachnamen und Vornamen. Lösen Sie bitte jede Aufgabe auf dem dafür vorgesehenen Blatt. Falls der Platz nicht ausreicht, verwenden Sie bitte die leeren Seiten am Ende und vermerken dies auf dem Angabenblatt der entsprechenden Aufgabe. Bitte achten Sie darauf, dass Sie zu jeder Aufgabe nur eine Lösung abgeben; streichen Sie deutlich durch, was nicht gewertet werden soll. Sie haben 90 Minuten Zeit, um die Klausur zu bearbeiten. Erlaubte Hilfsmittel: Schreibstifte und Radierer, sonst keine. Lösungen: Rechnungen und Beweise sollten mit allen Zwischenschritten klar aufgeschrieben werden. Resultate ohne hinreichende, folgerichtige Begründungen werden nicht akzeptiert (wenn in der Aufgabenstellung nicht anders angegeben). Falls sich Ergebnisse in Form von Brüchen, Wurzeln oder Ähnlichem ergeben, so lassen Sie sie in dieser Form, und versuchen Sie nicht, sie als gerundete Dezimalzahlen zu schreiben. Viel Erfolg! Aufgabe A1 A2 A3 A4 A5 Σ max. Punkte

2 Aufgabe A 1. [15 Punkte] Zeigen Sie mit einem Induktionsbeweis, dass für alle n N mit n 3 gilt, dass 2n+1 < n 2. Lösung: Induktionsverankerung (n = 3): Für n = 3 ergibt sich die Aussage = 7 < 3 2 = 9, welche wahr ist. Für den Induktionsschritt sei n N, n 3. Unter Annahme der Induktionsvoraussetzung 2n+1 < n 2, erhält man 2(n+1)+1 = 2n+2+1 Ind. vor. < n 2 +2 < n 2 +2n+1 = (n+1) 2, was zeigt, dass die Aussage auch für n+1 gilt und somit den Induktionsbeweis abschließt.

3 Aufgabe A 2. [25 Punkte] Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Sei U V. (a) (5 Punkte) Geben Sie die Definition davon an, dass U ein Untervektorraum von V ist. (b) (5 Punkte) Geben Sie einen Satz aus der Vorlesung an, der eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür liefert, dass U ein Untervektorraum von V ist (es genügt, eine der beiden Äquivalenzen des Satzes anzugeben). (c) (5 Punkte) Es sei K := R, V := R 4 und U := {(x 1,x 2,x 3,x 4 ) V : x 1 x 2 = x 3 x 4 }. Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von V ist. (d) (10 Punkte) Finden Sie in der Situation von (c) eine Basis von U, die (1,0,1,0) enthält und zeigen Sie, dass die von Ihnen gefundene Menge wirklich eine Basis von U ist. Zu (a): U ist nach Definition genau dann ein Untervektorraum von V, wenn (U,+, ) ein K- Vektorraum ist, wobei + und die Einschränkungen der jeweiligen Verknüpfung auf V V bzw. auf K V auf U U bzw. auf K U bedeuten. Zu (b): Nach dem Satz ist U genau dann ein Untervektorraum von V, wenn U und u,v U λ,µ K λu+µv U. Zu (c): Wegen (0,0,0,0) U ist U. Sei u = (u 1,...,u 4 ),v = (v 1,...,v 4 ) U sowie λ,µ R. Dann ist u 1 u 2 = u 3 u 4 und v 1 v 2 = v 3 v 4, also λu 1 +µv 1 (λu 2 +µv 2 ) = λ(u 1 u 2 )+µ(v 1 v 2 ) = λ(u 3 u 4 )+µ(v 3 v 4 ) = λu 3 +µv 3 (λu 4 +µv 4 ), also λu+µv U, so dass U nach (b) ein Untervektorraum von V ist. Zu (d): Es ist u := (1,0,1,0) U. Sei a := (1,1,0,0), b := (0,0,1,1). Dann ist B := {a,b,u} linear unabhängig: Ist αa+βb+γu = 0 mit α,β,γ R, so folgt α+0+γ = 0, α+0+0 = 0, 0+β +γ = 0, 0+β +0 = 0 Aus der zweiten und vierten Gleichung folgt α = β = 0 und dann folgt aus der ersten Gleichung auch γ = 0. Wegen (0,1,1,0) / U ist U V. Also ist, da U nach (c) Untervektorraum von V, dimu 3. Da B U linear unabhängig ist, folgt dimu = 3 und B ist eine Basis von U.

4 Aufgabe A 3. [25 Punkte] (a) (9 Punkte) Eine Relation R auf der Menge A heißt Äquivalenzrelation genau dann, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Geben Sie die Definition von reflexiv (3 Punkte), symmetrisch (3 Punkte) und transitiv (3 Punkte) an. (b) (16 Punkte) Sei A := {1,2,3,4,5}. Finden Sie die kleinste Menge R A A so, dass R eine Äquivalenzrelation ist und (1, 2) R und (2, 3) R (begründen Sie kurz die Korrektheit der von Ihnen gefundenen Menge) (8 Punkte). Geben Sie explizit alle Elemente der Quotientenmenge A/R an (4 Punkte) sowie f(1) und f(5), wenn f die zugehörige Quotientenabbildung bezeichnet (4 Punkte). Zu (a): Eine Relation R A A heißt nach Definition reflexiv genau dann, wenn a A (a,a) R; R heißt nach Definition symmetrisch genau dann, wenn a,b A ( ) (a,b) R (b,a) R (es ist auch okay, wenn man statt schreibt); R heißt nach Definition transitiv genau dann, wenn ( ) (a,b) R (b,c) R (a,c) R. a,b,c A Zu (b): Die gesuchte Menge ist R = { (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1) } : Keine echte Teilmenge von R erfüllt die Bedingung: Wegen reflexiv sind alle (i,i) R (i = 1,...,5), wegen transitiv ist (1,3) R, wegen symmetrisch sind dann auch (2,1),(3,2),(3,1) R. R ist Äquivalenzrelation: reflexiv ist klar; symmetrisch gilt, da {(1,2),(2,1)} R, {(2,3),(3,2)} R, {(1,3),(3,1)} R. Ist (a,b) R und (b,c) R, so ist a,b,c {1,2,3} oder a = b = c. In jedem Fall ist (a,c) R, also R transitiv. Es ist { } A/R = {4},{5},{1,2,3}, sowie f(1) = {1,2,3}, f(5) = {5}.

5 Aufgabe A 4. [20 Punkte] (a) (13 Punkte) Geben Sie die Definitionen der Begriffe Ring, Ring mit Eins und Körper an, wobei Sie die Begriffe Gruppe und Kommutativität voraussetzen dürfen. (b) (7 Punkte) Zeigen Sie, dass die Menge der reellen Zahlen, wenn man die Rollen der normalen Addition und Multiplikation vertauscht, kein Ring ist. Zu (a): Eine Ring ist nach Definition eine nichtleere Menge R mit zwei Verknüpfungen + und, also Abbildungen +, : R R G so, dass (R,+) eine kommutative Gruppe ist, (R, ) assoziativ ist, und so, dass Distributivität gilt, also a,b,c R ( ) (a+b)c = ac+bc a(b+c) = ab+ac. Ein Ring heißt Ring mit Eins genau dann, wenn R ein neutrales Element bezüglich enthält. Ein Ring heißt Körper genau dann, wenn (R\{0}, ) eine kommutative Gruppe ist. Zu (b): (R,,+) ist kein Ring, da zum Beispiel keine Distributivität gilt: 7 = 1+(2 3) (1+2) (1+3) = 12. Alternativ kann man bemerken, dass (R, ) gar keine Gruppe ist, da 0 bezüglich kein inverses Element hat.

6 Aufgabe A 5. [15 Punkte] Sei V ein R-Vektorraum. Wir nennen eine Menge C V konvex genau dann, wenn a,b C λ [0,1] λa+(1 λ)b C. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen: (a) (10 Punkte) Für jede Familie (C i ) i I konvexer Teilmengen von V ist C := i I C i wieder konvex. (b) (5 Punkte) Für jede Familie (C i ) i I konvexer Teilmengen von V ist C := i I C i wieder konvex. Lösung: (a) Sei I eine beliebige Indexmenge, und für jedes i I sei C i eine konvexe Teilmenge von V. Wir zeigen, dass dann auch C := i IC i eine konvexe Menge ist: Seien a,b C und λ [0,1]. Dann gilt i I a,b C i. Da alle C i konvex sind, folgt i I λa+(1 λ)b C i. Also ist λa+(1 λ)b C, was zeigt, dass C konvex ist. (b) Die Mengen{0} und{1} sind konvexe Teilmengen vonv := R, aber A := {0} {1} = {0,1} ist nicht konvex, da = 1 / A. 2 Somit sind Vereinigungen konvexer Mengen i.a. nicht konvex.