Hohere mathematische Methoden. Ingenieure und Physiker

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1 Hochschultext

2 Peter Plaschka Klaus Brad Hohere mathematische Methoden fur Ingenieure und Physiker Mit 89 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo 1989

3 Priv.-Doz. Dr.-Ing. Peter Plaschko Hermann-F6ttinger-lnstitut for Thermo- und Fluiddynamik Technische Universitat Berlin MUlier-Breslau-StraBe Berlin 12 Dr. rer. nat. Klaus Brad Institut flirtechnische Akustik Technische Universitat Berlin Einsteinufer Berlin 10 ISBN-13: : / e-isbn-13: CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Plaschko, Peter: H5here mathematische Methoden fur Ingenieure und Physiker 1 Peter Plaschko ; Klaus Brod. Berlin; Heidelberg; New York ; London; Paris; Tokyo: Springer, 1989 (Hochschultext) N E: Brod, Klaus: Dieses Werk ist urheberrechtlich geschutzt. Die dadurch begrundeten Rechte, insbesondere die der Obersetzung,des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen,der Funksendung, der Mikroverfilmung oderdervervielfaltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nurauszugsweiserverwertung, vorbehalten. Eine Vervielfaltigung dieses Werkes odervon Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen dergesetzlichen Bestimmungen des UrheberrechtsgesetzesderBundesrepublik Deutschland yom 9. September 1965 in de& Fassung yom 24.Juni 1985 zulassig. Sie ist grundsatzlich vergutungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1989 Softcover reprint of the hardcover 1 st edition 1989 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen,Warenbezeichnungen USW. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nichtzu der Annahme,daB solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.b. DIN, VDI, VDE) Bezug genom men oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann derverlag keine Gewahr fur Richtigkeit, Volistandigkeit oder Aktualitat Ubernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls fur die eigenen Arbeiten die vollstandigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils giiltigen Fassung hinzuzuziehen. 2068/ Gedruckt auf saurefreiem Papier

4 Filr Annedore Weiland, deren Mitwirkung meinen Beitrag zu diesem Buch ermoglichte. Peter Plaschko

5 Vorwort Ziel dieses Buches ist es, mathematische Methoden zur Berechnung der LOsungen von Differentialgleichungen zu entwickeln. Von besonderem Interesse sind dabei Naherungsverfahren. Es wendet sieh an Studenten der Ingenieurwissenschaften und der Physik im Hauptstutlium und an in der Forschung arbeitende Wissenschaftler. ErfahrungsgemaB bringen nur wenige Studenten aus dem Grundstudium die mathematischen Hihigkeiten mit, die zur Erarbeitung des Wissensstandes der modernen N aturwissenschaftell (Kontinuumsmechanik, Stromungslehre, Thermodynamik, Festkorperphysik, Quantenmechanik usw.) benotigt werden. Auch ist es fur Ingenieure und Physiker meistens nicht einfach, sieh die mathematischen Methoden anzueignen, die zur Losung der Probleme benotigt werden, die im Studium bzw. in der ForschungsHitigkeit auftreten. Mathematische Bucher arbeiten oft mit einem sehr hohen Abstraktionsgrad und widmen haufig der strengen Beweisfiihrung groben RaUffi. Hinzu kommt, dab diese Bucher nur selten auf physikalische Fragestellungen eingehen und auch die Methoden auber Acht lassen, die in der Praxis besonders wiehtig sind. Andererseits legen Lehrbticher der Naturwissenschaften mehr Wert auf die Entwicklung der physikalischen Theorien als auf die Darlegung der mathematischen Methoden. 1m vorliegenden Buch wird versucht, diese Lticke zwischen mathematischer und physikalischer Literatur zu schlieben. Es ist fur theoretisch arbeitende Ingenieure und Physiker konzipiert, richtet sieh aber auch an andere Naturwissenschaftler, die sieh mit Problemen der LOsung komplizierter Differentialgleiehungen beschaftigen. Viele der hier vorgefiihrten Methoden sind asymptotische Verfahren, die zur Anwendung kommen, wenn in einem Problem ein Parameter bzw. eine Koordinate sehr kleine oder sehr grobe Werte annimmt. Man berechnet dann Naherungslosungen durch Storentwicklungen. Dabei st5bt man haufig auf singulare St5rprobleme, bei denen die auf direktem oder "klassischem" Weg hergeleitete Approximationslosung nieht gleichmabig giiltig ist. In physikalischen Anwendungen stellen singulare Storprobleme eher die Regel als die Ausnahme dar. Daher resultieren viele Fortschritte der mathematischen Physik aus Untersuchungen tiber die Ursache des Versagens klassischer Methoden und aus der Suche nach neuen Vorgehensweisen, die es gestatten, die bei den klassischen Verfahren auftretenden Probleme zu tiberwinden. Numerische Methoden werden im Rahmen dieses Buches nieht behandelt, da sie heute in Forschung und Lehre den analytischen Methoden gleichgestellt sind und

6 VIII daher eigene Lehrbucher benotigen. Es soli aber darauf hingewiesen werden, dab es immer von Vorteil ist, wenn man die numerischen Losungen fiir Extremfalle mit den Ergebnissen asymptotischer Verfahren vergleichen kann. Auch haben die analytischen Methoden in den letzten J ahren durch Computerprogramme fur mathematische Symbolverarbeitung wie REDUCE oder MACSYMA wieder an Bedeutung gewonnen; diese werden zunehmend auch in Hybridform zusammen mit herkommlichen numerischen Programmiersprachen wie z.b. FORTRAN oder PASCAL eingesetzt. Dariiber hinaus dienen die Ergebnisse der Startheorie in numerischen Rechnungen haufig als erste Approximationen. Das Buch ist im wesentlichen in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil, in den Kapiteln 1 bis 7, werden vor ahem klassische Methoden zur Losung linearer, gewohnlicher Differentialgleichungen vorgestellt. Neben der Erarbeitung dieser Methoden und deren Anwendung auf einige physikalische Beispiele ist es auch Ziel dieses ersten Absc;;hnitts, dem Leser einen gewissen Grundbestand an Kenntnissen einiger in der Praxis wichtigen hoheren transzendenten Funktionen zu vermitteln. Der zweite Tell befabt sich vor allem mit den Stormethoden zur LOsung von niehtlinearen, partiellen Differentialgleiehungen. Diese Verfahren wurden von Ingenieuren bzw. Physikem fiiilngenieure und Physiker entwickelt. Eine strenge, mathematische Fundierung dieser Methoden steht bis heute in den meisten Fallen noch aus. Deshalb wird hier auf die Wiedergabe komplizierter Beweise, die haufig nur Teilfragen khiren bzw. nur unter stark einschrankenden Bedingungen gultig sind, verzichtet, und es wird gegebenenfalls mit Hypothesen gearbeitet. Diese Methoden werden an Hand von einfachen Modellbeispielen eingefuhrt, auf kompliziertere mathematische Problemstellungen angewandt, und schlieblich zur Losung physikalischer Probleme herangezogen. Es soli allerdings betont werden, dab keines dieser Verfahren ein "Allheilmittel" darstellt, und es wird durch die Beispiele gezeigt, unter welchen Bedingungen die entsprechenden Methoden versagen. SchlieBlich wird im letzten Kapitel das aktuelle Thema des deterministischen Chaos behandelt, fiir das ebenfalls noch eine vollstiindige, mathematisch rigorose Fundierung aussteht und das immer noch eine offene Disziplin mit vielen "losen Enden" ist. Wert wird dabei gelegt auf die Darstellung der geometrischen und analytischen Methoden und deren Verknupfung. Hier, bei der Behand.lung hochgradig niehtlinearer Systeme, labt sieh dann auch die Benutzung numerischer Verfahren, die haufig in erster Linie der geometrischen Veranschaulichung unterschied.lichen Losungsverhaltens dienen, nicht mehr vermeiden. Das Buch ist in si~h abgeschlossen. Nur in wenigen Ausnahmefallen wird bei langwierigen Herleitungen oder bei aufwendiger BeweisfUhrung auf andere Bucher verwiesen. Es mussen auch nieht Tabellenwerke herangezogen werden; die zur Losung der Probleme gegebenenfalls notwendigen hoheren transzendenten Funktionen werden im ersten Teil besprochen. Auf die Herleitung der physikalischen Grundgleiehungen wird allerdings nieht eingegangen; hier mub auf die entsprechende naturwissenschaft Hche Literatur verwiesen werden.

7 IX Jedem Kapitel schliebt sich eine Sammlung von Beispielen an, wobei zu schwierigen oder aufwendigeren Problemstellungen LOsungshinweise gegeben werden. Zu jedem Kapitel werden schlieblich weiterftihrende Lehrbiicher und die wichtigsten Artikel in Fachzeitschriften angefiihrt. Der Text des Buches wurde vollstiindig auf einem Apple Macintosh Plus mit dem Textverarbeitungssystem MS Word 1.15 und dem Formel-Schreibprogramm Mac.I:.qn 2.0 erstellt. Beratende Hinweise dazu lieferte uns Herr Th. Altmann. Herr Prof. Dr. A. Michalke hat wertvolle Anregungen zu einzelnen Kapiteln gegeben; Frau I. Gereke, Frau P. Pereira dos Ramos und Frau B. Tapfer haben die Reinzeichnungen der Bilder angefertigt. TImen gilt unser herzlicher Dank. Dies Buch entstand in Zusammenhang mit Vorlesungen, die wir an der University of Houston{fexas und an der Technischen Universitat Berlin gehalten haben. Je nach Auswahl des Stoffes und der Beispiele liibt es sich zum Aufbau von ein- oder zweisemestrigen Vorlesungen mit je vier Wochenstunden heranziehen. Berlin, imnovember 1988 Klaus Brod Peter Plaschko

8 Liste der verwendeten Abkiirzungen AAE AB AE AF DE DGL GGE GS GSD GSE ID KSAB KSAN LM MPI MSP PK RB WL angepabte asymptotische Entwicldung Anfangsbedingung asymptotische Entwicldung asymptotische Folge direkte Entwicldung Differentialgleichung gleichma6ig giiltige Entwicldung Grenzschicht Grenzschichtdicke Grenzschicht-Entwicldung Integraldarstellung Kurve steilsten Abstiegs Kurve steilsten Anstiegs Laplace-Methode Methode partieller Integrationen Methode stationarer Phasen Parabolische Koordinaten Randbedingung Watsonsches Lemma

9 Inhaltsverzeichnis 1 Einfi:ihru.ng Die linearisierte Wellengleichung...'" Emission von Schallwellen durch eine oszillierende Kugel Streuung von Schallwellen an Zylindern Aufgaben Formale Theorie asymptotischer Entwicklungen Definitionen Eindeutigkeit asymptotischer Entwicklungen Konvergenz und Genauigkeit asymptotischer Entwicklungen GleichmaBige Giiltigkeit Mathematische Operationen mit asymptotischen Entwicklungen Linearkombinationen Integratio~ Multiplikation Differentiation Koordinaten-Entwicklungen Stokessches Phiinomen Aufgaben Reihenansatze zur Losung von linearen gewohnlichen Differentialgleichungen... ; Reihenentwicklungen an Stellen der Bestimmtheit Zusammenfallende LOsungen der determinierenden Gleichung DerFalla:z=al -N...: Inhomogene Differentialgleichungen Die Rayleigh-Gleichung Differentialgleichungen hoherer Ordnung... 43

10 XII 3.3 LOsungen in Umgebungen von Stellen der Unbestimmtheit Summation divergenter Reihen Aufgaben Integraltransfonnationen zur LOsung linearer gewohnlicher Differentialgleichungen VerallgemeinerteLaplace- bzw. Fourier-T~sformationen Die vera11gemeinerten Fehlerfunktionen...; Die Airy-Funktionen Vera11gemeinerte Airy-Funktionen..., Parabolische Zylinderfunktionen Eulersche Integraltransformationen Somm~ldsche Integraldarstellungen der Bessel-Funktionen Die Gamma-Funktion und verwandte Funktionen Aufgaben...: Asymptotische Entwicklung von Integralen Die Methode partieller Integrationen (MPI) Das Watsonsche Lemma (WL) Die Laplace-Methode ~M) Die Methode stationiirer Phasen (MSP) Die Sattelpunktsmethode Asymptotische Entwicklung der Gamma-Funktion fur x ~ Asymptotische Entwicklung der vera11gemeinerten Airy Funktionen fur I x I ~ bel Asymptotische Entwicklung der parabolischen Zylinderfunktionen fur Ixl ~ Aufgaben Die Wiener-Hopf-Methode Wellen-Reflexion und -Transmission auf einer Saite an einer Unstetigkeit der Dichte HerleitungderWiener-Hopf-Gleichung LOsung derwiener-hopf-gleichung Inversion des Fourier-Integrals Wellen-Reflexion und -Transmission auf einem Balken Zweidimensionale Halbebenen-Probleme Die halbunendliche Platte mit Ladung

11 XIII IIarmonische Schallwellen Schall-Reflexion und -Transmission in KanaIen mit Stromung Anwendung der Wiener-Hopf-Methode auf Integralgleichungen Aufgaben Variationsrechnung Variationsmethoden flirdiskrete Systeme Das Konzept der Variation eines Funktionals Verallgemeinerung des einfachsten Variationsproblems Hinreichende Bedingungen Natiirliche Randbedingungen auf freien Riindern Umkehrung des Variationsproblems Der Hamilton-Formalismus Die kanonischen Oleichungen..., Das Hamiltonsche Prinzip Variationsprobleme mit Nebenbedingungen... " Die Hamilton-Jacobi-Theorie Variationsmethoden fur Kontinua Das Hamiltonsche Prinzip fur Kontinua Eine Bemerkung tiber dissipative Systeme Die allgemeine Wellengleichung der Akustik bei Potentialstromung Aufgaben ReguUire und singuuire Storprobleme Potentialstr"Omung urn einen leicht deformierten Kreiszylinder Griinde ffir das Versagen direkter Entwicklungen Mathematische Griinde Physikaliscpe Griinde Aufgaben Die WKB-Methode Ein singuufres Storproblem zweiter Ordnung Ein spezielles singulares Srorproblem zweiter Ordnung WKB-Ansatze zur LOsung der Wellengleichung und der Schrodinger- Oleichung WKB-Ansatze zur Koordinaten-Entwicklung der LOsungen von DOLn. 228 WKB-LOsungen der Orr-Sommerfeld-Oleichung Wendepunktsprobleme

12 XIV Der Tunneleffekt Partielle Differentialgleichungen...,. 242 Aufgaben AngepaBte Asymptotische Entwicklungen (Gewohnliche Differentialgleichungen) Die Modell-Grenzschicht Asymptotische Anpassungsregeln GleichmaBig giiltige, zuammengesetzte Entwicklungen Uberlappung von innerer und iiu8erer Entwicklung und Zwischenentwicklungen Lineare Grenzschichtprobleme zweiter Ordnung Grenzsehichten an Interva1Iriindern..., Interne Orenzschichten..., Randwertprobleme mit singuiaren Koeffizientenfunktionen Hydrodynamische Stabilitatstheorie Nichtlineare Grenzschichtprobleme Aufgaben AngepaBte asymptotische Entwicklungen (partielle Differentialgleichungen) Lineare singullire Differentialgleichungen zweiter Ordnung Elliptische Differentialgleichungen Warmeubergang bei groben Peclet-Zahlen ParabolisChe Differentialgleichungen Singulare Randbedingungen PotentialstrOmung durch ein Rohr mit einer Einschniirung Streuung ~anger Schallwellen an starren Kugeln Optiroale Koordinaten in der hydrodynamischen Grenzschichttheorie Aufgaben Die Vielvariablen-Methode und verwandte Verfahren Ein VergleicheinigerMethoden Direkte Entwicklungen Das Lindstedt-Poincare-Verfahren Die Vielvariablen-Methode Die Mittelwertsmethode und das Verfahren von Krylow, Bogoljubow und Mitropolski

13 xv Verallgemeinerungen Die Methode verzerrter Koordinaten... '" Hydrodynamische Stabilitatstheorie schwach divergenter Stromungen Aufgaben..., '" Deterministisches Chaos - Eine Einfiihrung Dynamische Systerne..., Phasendiagramme, Attraktoren...:..., Kontinuierliche dynamische Systeme Diskrete dynamische Systeme Allgemeine Betrachtungen Chaotisches Verhalten dynamischer Systeme Diskrete S steme Kontinuierliche Systeme Geometrische Verfahren Bifurkationen (oder Verzweigungen) Verzweigring Fixpunkt ~ Grenzzyklus Transkritische Verzweigung Pitchfork-Bifurkation Hopf-Bifurkation Sattel-Knoten-Verzweigung Periodenverdoppelungs-Verzweigung..." Subkritische Bifurkationen Selbstiihnlichkeit AnalytischJNumerische Verfahren Dynamische Systeme Verhalten des eingeschwungenen Systems, Attraktoren Informationszuwachs in kontinuierlichen Systemen Die Poincare-Abbildung Stabilitat, Lyapunov-Exponent Dimension Hausdorff-Dimension Informations-Dimension Korrelations-Dimension Kaplan-Yorke-Dimension (auch Lyapunov-Dimension) Vergleich der verschiedenen Dimensionsbegriffe Zusammenhang verschiedener orogen am Beispiel der logistischen Parabel Wege in's Chaos Hopf-Verzweigungs-Routen DerRuelle-Takens-Newhouse-Weg DerCurry-Yorke-Weg

14 XVI Sattel-Knoten-Bifurkations-Route: derpomeau-manneville-weg Perioden-Verdoppelungs-Route: der Peigenbaum-Weg Das Chaos als Zustand hochster Ordnung? Aufgaben Literatur Sachverzeichnis