Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Kapitel 5 Gewöhnliche Differentialgleichungen In diesem Kapitel werden numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung behandelt. Dabei werden sowohl einfache Verfahren wie Euler oder Leapfrog als selbst geschriebene Funktionen verwendet als auch die in MatLab implemetierten Solver für ODEs (ODE = ordinary differential equation = gewöhnliche Differentialgleichung). Systeme von Differentialgleichungen werden im folgenden Kapitel behandelt. 5.1 Zur Erinnerung Numerische Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung finden stets nur Lösungen für Differenzengleichungen 1. Ordnung. Jedes numerische Verfahren besteht daher aus zwei Schritten: 1. Überführung der DGL n-ter Ordnung in ein System von n-dgls 1. Ordnung, 2. simultane Lösung der aus den DGLs 1. Ordnung abgeleiteten Differenzengleichungen. Die Numerik von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung bildet daher die Grundlage für numerische Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen beliebiger Ordnung ebenso wie zur Lösung partieller Differentialgleichungen, die ebenfalls in Systeme gewöhnlicher DGLs zerlegt werden können (vgl. Kap. 8). Daher wird der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen hier besondere Aufmerksamkeit gewidmet Differenzengleichung Das einfachste Beispiel für eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung ist die Zerfallsoder Wachstumsgleichung. Die Differentialgleichung für den radioaktiven Zerfall dn dt = λn wird überführt in eine Differenzengleichung N t = λn oder umgeschrieben N = λn t. Auf diese Weise wird die Idee der numerischen Lösung einer DGL anschaulich: wir können aus der DGL für jedes Intervall t die Zahl N der zerfallenden Atome bestimmen und damit aus der Zahl N i der am Anfang des Intervalls vorhandenen Atome die Zahl N i+1 = N i + N bestimmen. 51

2 52 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN In allgemeinerer Form können wir den Übergang von der Differential- zur Differenzengleichung auch schreiben als m = x t = x i x i 1 (5.1) t i t i t oder x = x i x i 1 t i t i t t. Diese Darstellung entspricht der Verwendung des Differentials zur Beschreibung der Änderung einer Funktion dx = ẋ dt oder x = ẋ t. Diese Änderung kann verwendet werden, um den nächsten Funktionswert zu bestimmen: x i = x i 1 + x oder unter Verwendung der durch (5.1) gegebenen Steigung des Funktionsgraphen x i = x i 1 + m t = x i 1 + x i x i 1 t i t i t t. Hierbei wird das Problem des numerischen Verfahrens deutlich: die Steigung m kann nicht innerhalb des betrachteten Intervalls bestimmt werden (eben durch die Differenz der Werte an den Gitterpunkten t i 1 und t i ) sondern kann bestenfalls durch eine auf den Werten an der unteren Intervallgrenze basierende Näherung Numerische Integration einer DGL Im Folgenden wollen wir ein Cauchy-Problem betrachten: finde eine Lösung x in einem Intervall I derart, dass x (t) = f(x(t)) t I und x(t o ) = x o. Ein derartiges Problem wird auch als Anfangswertproblem bezeichnet. Diese DGL lässt sich schreiben als dx dt = f(x(t)). Analytisch würden wir diese DGL lösen durch Trennung der Variablen dx = f(x(t)) dt und anschließende Integration t+ t t dx = t+ t t f(x(t)) dt. Die Integration auf der linken Seite lässt sich direkt ausführen: x(t + t) x(t) = t+ t Umstellen der Terme liefert x(t + t) = x(t) + t t+ t t f(x(t)) dt. f(x(t)) dt. Die numerische Lösung einer DGL 1. Ordnung ist damit auf die numerische Integration der Funktion f(x(t)) zurück geführt. 1 Diese Aussage ist nur korrekt für Vorwärts-Verfahren, d.h. bei Verfahren, die in Richtung der unabhängigen Koordinate voran schreiten. Wir werden am Beispiel des Euler-Verfahrens auch Rückwärts- Verfahren kennen lernen, d.h. Verfahren, bei denen von der oberen Intervallgrenze extrapoliert wird. 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

3 5.2. NUMERISCHE VERFAHREN HANDGESTRICKT Numerische Verfahren handgestrickt Numerische Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen können in jeder Programmiersprache realisiert werden. Als Vorübung dazu werden wir die in der Vorlesung besprochenen Verfahren selbst als Routinen in MatLab darstellen. Dazu gehen wir von einer Differentialgleichung aus, die in der Form ẋ = f(t, x) gegeben ist. Diese Differentialgleichung ist im Intervall von t 1 bis t 2 zu integrieren. Die Zahl der bei der Integration verwendeten Schritte n steht mit der Schrittweite t in Beziehung gemäß t = t 2 t 1 n. Beispiel 1 Als einfaches numerisches Beispiel wählen wir die Differentialgleichung tẋ x = t oder aufgelöst nach ẋ ẋ = t x t. Die Gleichung ist für die Randbedingung x(1) = 2 im Intervall von +1 bis +5 zu lösen. Die allgemeine analytische Lösung dieser DGL ist x = t ct. Aus der Anfangsbedingung ergibt sich für die Integrationskonstante c = 5 und damit als Lösung der DGL für die gegebenen Anfangsbedingungen x = t t. (5.2) Die folgenden MatLab-Beispiele sind auf verschiedene Weisen realisiert als Skripte für die Funktion aus Beispiel 1 mit Vergleich mit der theoretischen Lösung oder als MatLab- Funktionen, die für beliebige Differentialgleichungen aufgerufen werden können. In letzterem Fall zwar mit graphischer Darstellung der numerischen Lösung aber natürlich ohne den Vergleich mit der analytischen Lösung, da MatLab diese nicht bestimmen kann Euler sches Streckenzugverfahren Das Euler sche Streckenzugverfahren (oder kurz Euler-Verfahren) extrapoliert die gesuchte Funktion x(t) mit Hilfe der durch f(t, x) gegebenen Steigung: x(t i+1 ) = x(t i ) + t f(x i, t i ) mit x(t o ) = x o und t i = t o + i t. Darin ist t die Schrittweite in t. Diese Gleichung ist, von der Anfangs- bzw. Randbedingung ausgehend, n-mal zu iterieren, bis das Ende des Integrationsintervalls erreicht ist. Euler Vorwärts Die numerische Lösung dieser DGL erfolgt durch wiederholtes Durchlaufen einer Schleife, d.h. wir benötigen in MatLab eine for-anweisung. Das Verfahren ist im Skript eulerskript gegeben, die für die Numerik entscheidenden Schritte sind die Festlegung der Parameter sowie die anschließende Schleife: fh=@(t,x) (t. 2+4+x)/t; tl=1.; tr=5.; dt=.2; x=[tl:dt:tr]; x(1)=2; for i=2:length(t); x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1)); end eulerskript c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

4 54 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 6 4 rot: analytisch blau: numerisch Euler Verfahren x 2 relative Abweichung Zeit t.4 Zeit t Abbildung 5.1: Numerische Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung tẋ x = t mit Hilfe des Euler schen Streckenzugverfahrens (oben) und relativer Fehler des Verfahrens (unten) length eulervorwaerts In der ersten Zeile wird die Funktion einem Handle fh zugewiesen, der später an feval übergeben wird. Außerdem werden die Grenzen des Integrationsintervalls sowie die Schrittweite festgelegt, der Vektor x der x-achse bestimmt und der Anfangswert vorgegeben. Das eigentliche numerische Verfahren ist in den drei Zeilen darunter enthalten: sie enthalten die zu durchlaufende Schleife, wobei diese bei 2 beginnt (der Anfangswert ist ja bereits gesetzt) und insgesamt die gleiche Länge haben muss wie der Vektor in x; daher ist das Ende der Zählschleife durch die Länge length von x gegeben. 2 Die Zeile in der Zählschleife ist nur eine Umsetzung von (5.2.1) in die Terminologie von MatLab. Der numerisch bestimmte Funktionsverlauf ist im oberen Teil von Abb. 5.1 zusammen mit der analytischen Lösung gezeigt: die numerische Lösung reproduziert den Verlauf der analytischen Lösung selbst bei dieser relativ geringen Zahl von 2 Integrationsschritten bereits recht genau. Allerdings erkennen wir auch eine Eigenart aller numerischen Verfahren: die Abweichungen von der analytischen Lösungen nehmen mit zunehmender Zeit zu. Eine Möglichkeit, die Qualität des Lösungsverfahrens zu überprüfen, ist die Bildung von Residuen d = x num x analytisch als absoluten Abweichungen der numerischen Lösung von der analytischen oder der relativen Residuen d rel = x num x analytisch x analytisch. Das Ergebnis ist im unteren Teil von Abb. 5.1 gezeigt: der relative Fehler ist anfangs sehr gering und nimmt mit zunehmender Zeit zu, zum Ende des Integrationsintervalls ist er aber immer noch kleiner als 4%. Die Funktion eulervorwaerts basiert auf dem Skript eulerskript, jedoch abgespeckt um den Vergleich mit der analytischen Funktion. Eingabeparameter sind die Funktion, die Grenzen des Integrationsintervalls, die Schrittweite sowie der Anfangswert. Die Ausgabe erfolgt graphisch, außerdem werden die Werte der und die Funktionswerte an den Stützstellen zurück gegeben. Vor dem Funktionsaufruf müssen die Eingabeparameter im Kommandofenster oder einem Skript vereinbart sein, z.b. in der Form 2 Im Prinzip können wir auch die Zahl der Schritte ausrechnen gemäß n = (x 2 x 1 )/ x und dieses n als Grenze in der for-schleife verwenden. Dabei gehen Sie allerdings das Risiko von Rundungsfehlern ein. Mit der Verwendung von length(x) dagegen wird in jedem Fall ein Vektor von y-werten erstellt, der die gleiche Länge hat wie der Vektor der x-werte. 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

5 5.2. NUMERISCHE VERFAHREN HANDGESTRICKT 55 >> (x. 2+4+y)./x;x=2; >> [X,T]=eulervorwaerts(f,a,b,dx,x); Euler Rückwärts Das Euler-Verfahren kann auf zwei unterschiedliche Weisen realisiert werden. In der bisher betrachteten Darstellung wird jeweils die Steigung an der unteren Grenze des Integrationsintervalls verwendet: x(t i+1 ) = x(t i ) + t f(t i, x i ) mit x(t ) = x und t i = t + i t. Dieses Verfahren wird als Vorwärts-Methode bezeichnet. Beim Vorwärts-Verfahren hängt der Wert x(t i+1 ) nur vom vorher bestimmten Wert x(t i ) ab. Dieses Verfahren wird daher als explizites Verfahren bezeichnet. Alternativ können wir auch die Steigung am Ende des Integrationsintervalls verwenden: x(t i+1 ) = x(t i ) + t f(t i+1, x i+1 ) mit x(t ) = x und t i = t + i x. Dieses Verfahren wird als Rückwärts-Methode bezeichnet. Im Gegensatz zum Vorwärts- Verfahren hängt der Wert x(t i+1 ) nicht nur vom vorher bestimmten Wert x(t i ) ab sondern über f(t i+1, x i+1 ) auch vom zu bestimmenden Wert. Das Verfahren wird daher als implizites Verfahren bezeichnet. Das implizite Euler-Verfahren konfrontiert uns mit dem Problem, dass der zu bestimmende Wert x(t i+1 ) zu seiner Bestimmung benötigt wird. Daher muss eine Annäherung an x(t i+1 ) vorgenommen werden bevor dieser Wert überhaupt bestimmt werden kann. Dazu gibt es ein einfaches näherungsweises Verfahren und ein komplexeres Verfahren durch Iteration. Die näherungsweise Berechnung erfolgt in zwei Schritten: 1. im Prädikatorschritt wird der Wert an der Stelle i+1 entsprechend dem Vorwärtsverfahren berechnet: x P (t i+1 ) = x(t i ) + t f(t i, x i ). 2. im Korrektorschritt wird dieser Wert zur Bestimmung der Steigung verwendet und damit der eigentlich gesuchte Wert an der Stelle i + 1 bestimmt: x(t i+1 ) = x(t i ) + t f(t i+1, x P i+1). Dieses Verfahren wird auch als modifiziertes Euler-Verfahren bezeichnet. Es ist im Skript eulerrueckskript im Vergleich zum Vorwärts-Verfahren und zur analytischen Lösung angegeben. Im Skript ist ein neuer Vektor yr für die Lösungen des Rückwärts-Verfahrens erzeugt sowie ein Vektor yp, der die Elemente des Prädikatorschritts enthält. Das eigentliche Verfahren ist in der Schleife for i=2:length(t); xp(i)=xr(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),xr(i-1)); xr(i)=xr(i-1) + dt*feval(fh,t(i),xp(i)); end realisiert, in der zu jedem Gitterpunkt erst der Prädikator- und dann der Korrekturschritt ausgeführt wird. Die Lösung für die bisher verwendete Differentialgleichung ist in Abb. 5.2 gegeben. Das modifizierte Euler liefert eine größere Genauigkeit, so dass gegenüber dem Vorwärts-Verfahren eine größere Schrittweite verwendet werden kann um den erhöhten Rechenaufwand zu kompensieren. Aus dem für das Beispiel 1 geschriebenen Skript eulerrueckskript wurde die allgemeinere Funktion eulerrueckwaerts entwickelt. Ihre Ein- und Ausgabe entspricht der der Funktion eulervorwäerts. Das hier verwendete modifizierte Euler-Verfahren ist immer noch ein explizites Verfahren. Ein echtes implizites Verfahren entsteht durch Iteration, z.b. Fixpunkt-Iteration: y (k+1) i+1 = y i + xt f(t i+1, y (k) i+1 ) mit k = 1, 2, 3... und y() i+1 = y i. Diese Iteration ist zwar genauer aber auch sehr zeitaufwendig. eulerrueckskript eulerrueckwaerts c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

6 56 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y Achse Euler Verfahren Vor und Rückwärts rot: analytisch blau: Euler vorwärts grün: Euler rückwärts relative Abweichung Abbildung 5.2: Modifiziertes Euler-Verfahren als Annäherung an das implizite Verfahren Crank Nicolson Das Crank Nicolson Verfahren kombiniert die Vorwärts- und Rückwärts-Methoden aus dem Euler-Verfahren: x(t i+1 ) = x(t i ) + t 2 (f(t i, x i ) + f(t i+1, x i+1 )) mit x(t ) = x und t i = t + i t. Durch die Kombination der beiden Euler-Verfahren ist das Crank Nicolson-Verfahren ein kombiniertes explizites/implizites Verfahren. DGL 2. Ordnung Exemplarisch für ein Verfahren zur Lösung einer DGL 2. Ordnung sei hier eine numerische Lösung der Schwingungsgleichung mit Hilfe des Euler-Verfahrens betrachtet. Die Bewegungsgleichung ist in diesem Fall gegeben durch ẍ = k m x = ω2 x harmonosz mit den Anfangsbedingungen x() = und v() = 1 sowie der Konstanten ω 2 = 1. Diese DGL 2. Ordnung lässt sich zerlegen in zwei DGLs 1. Ordnung v = ω 2 x und v = dx dt. Diese beiden Differentialgleichungen werden in Differenzengleichungen überführt, die direkt in das numerische Schema eingebaut werden können: v = ω 2 x t und x = v t. Dieses Schema ist (mit Hilfe des Euler-Verfahrens) im Skript harmonosz realisiert: for i=2:length(t) v(i) = v(i-1) - deltt * omega2 * x(i-1); x(i) = x(i-1) + deltt * v(i-1); end Hier werden abwechselnd die beiden DGLs 1. Ordnung gelöst, alle anderen Zeilen sind Initialisierung der Parameter und Darstellung im Plot. Eine mit diesem Schema bestimmte Lösung ist im linken Teil von Abb. 5.3 gezeigt. Hier ist die Schrittweite gleich.1 gewählt, das entspricht 16 Schritten. Reduzieren wir die Schrittweite in der Zeit auf.1, so ergibt sich das im rechten Teil von Abb. 5.3 gezeigte 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

7 5.2. NUMERISCHE VERFAHREN HANDGESTRICKT 57 Ort (rot) bzw. Geschwindigkeit (grün) Harmonischer Oszillator im Euler Verfahren Zeit Ort (rot) bzw. Geschwindigkeit (grün) Harmonischer Oszillator im Euler Verfahren II Zeit Abbildung 5.3: Harmonischer Oszillator als Beispiel für eine numerische Lösung einer Differentialgleichung 2. Ordnung. Links: angemessene Schrittweite, rechts: Schrittweite zu klein Ergebnis: hier addieren sich die numerischen Fehler des Verfahrens derart, dass sich kein harmonischer Oszillator ergibt sondern die Amplitude der Schwingung zunimmt da dies glücklicherweise physikalisch nicht sinnvoll ist, erkennen wir schnell, dass das numerische Verfahren an dieser Stelle zu ungenau ist. Selbst bei einer Schrittweite von.1 nimmt die Amplitude im betrachteten Intervall schon um einige Prozent zu so dass die physikalische Unsinnigkeit der Lösung offensichtlich wird Leapfrog-Verfahren Das Hauptproblem im Euler-Verfahren ist die Verwendung der durch f(t, x) beschriebenen Steigung als konstanten Wert im gesamten Intervall t. Das Leapfrog-Verfahren führt statt dessen eine mittlere Steigung ein, in dem es ein weiteres, um einen halben Gitterpunkt verschobenes Raster in t einführt. Die jeweils nächsten Punkte innerhalb jeden Rasters werden ähnlich wie im Euler-Verfahren bestimmt, allerdings wird als Steigung jeweils der Wert aus dem anderen Raster verwendet, d.h. der Mittelwert der Steigung in dem Intervall. Die relevanten Gleichungen zur Beschreibung des Leapfrog-Verfahrens sind damit x(t i+1 ) = x(t i ) + t f(t i+1/2, x i+1/2 ) x(t i+1/2 ) = x(t i 1/2 ) + t f(t i, x i ) (5.3) mit den Randbedingungen x(t ) = x und x t 1/2 = x(t ) t 2 f(t, x ). Für das MatLab-Skript können wir das beim Euler-Verfahren verwendete Skript recyclen, in dem wir dort nur die mit der numerischen Lösung befassten Zeilen durch die folgenden ersetzen: x(1)=2; t2=t-dt/2; x2(1)=x(1)-dt/2*(t(1) 2+4+x(1))/t(1); for i=2:length(t); x2(i)=x2(i-1) + dt*feval(fh,t(i-1),x(i-1)); x(i)=x(i-1) + dt*feval(fh,t2(i),x2(i)); end Die erste Zeile ist wieder die in der Aufgabenstellung vorgegebene Randbedingung; in den beiden folgenden Zeilen werden das um die halbe Schrittweite verschobene Gitter und dessen Anfangspunkt definiert. In der folgenden Zählschleife werden die beiden Gleichungen (5.3) abwechselnd durchlaufen. Dabei muss zuerst das verschobene Gitter verwendet werden c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

8 58 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y Achse rot: analytisch blau: numerisch Leapfrog Verfahren relative Abweichung x Abbildung 5.4: Lösung der DGL aus Abb. 5.1 mit Hilfe des Leapfrog-Verfahrens leapfrogskript leapfrog und dann das Ausgangsgitter, da sonst dem numerischen Verfahren der in der Intervallmitte benötigte Wert fehlt. Das vollständige Skript ist im File leapfrogskript enthalten. Das Ergebnis ist in Abb. 5.4 gezeigt. Die relative Abweichung von der analytischen Lösung ist im gesamten betrachteten Integrationsintervall kleiner als 1 3 ; das ist eine um fast zwei Größenordnungen kleinere Abweichung als beim Euler-Verfahren allerdings erkauft um den Preis der Verdopplung des Gitters. Eine Halbierung der Gitterweite im Euler-Verfahren hätte die relative Abweichung auf unter.1 reduziert, d.h. bei gleicher Zahl der Gesamtschritte des numerischen Schemas ist die relative Abweichung im Euler-Verfahren in diesem Beispiel einen Faktor 5 größer als im Leapfrog-Verfahren. Neben dem Skript leapfrogskript gibt es wieder als Ableitung davon eine Funktion leapfrog, die in Ein- und Ausgabeparametern und Syntax den beiden Euler-Funktionen entspricht Runge Kutta Verfahren 4. Ordnung Das Runge Kutta-Verfahren kann man sich als eine Kombination aus Eulerschem Verfahren und Leapfrog-Verfahren veranschaulichen: zwar wird wie bei Euler nur ein Raster in x verwendet, jedoch wird ähnlich der Idee im Leapfrog-Verfahren eine mittlere Steigung im Intervall eingeführt. Mathematisch korrekter bedeutet dies, wie beim Simpson-Verfahren der numerischen Integration, die annäherung der Funktion durch ein Polynom die Ordnung des Polynoms bestimmt gleichzeitig auch die Ordnung des Runge Kutta Verfahrens. Die Rechenvorschrift für ein Runge Kutta Verfahren 4. Ordnung ist gegeben als mit x(t i ) = x(t i 1 ) + t 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) k 1 = f(t ( i 1, x i 1 ) k 2 = f t i 1 + t 2, x i 1 + t k ) 1 ( 2 k 3 = f t i 1 + t 2, x i 1 + t k ) 2 2 k 4 = f (t i, x i 1 + t k 3 ). Um diese Routine selbst in MatLab zu implementieren, verwenden wir wieder Beispiel 1. Die Numerik steckt im folgenden Teil des Programms: 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

9 5.2. NUMERISCHE VERFAHREN HANDGESTRICKT 59 y Achse rot: analytisch blau: numerisch Runge Kutta Verfahren relative Abweichung x Abbildung 5.5: Lösung der DGL mittels Runge Kutta Verfahren 4. Ordnung x(1)=2; for i=2:length(t); k1=feval(fh,t(i-1),x(i-1)); k2=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k1/2); k3=feval(fh,t(i-1)+dt/2,x(i-1)+dt*k2/2); k4=feval(fh,t(i),x(i-1)+dt*k3); x(i)=x(i-1) + dt*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end Hier werden zuerst die Koeffizienten k i, entsprechend den verschiedenen Ansätzen für die Steigung in verschiedenen Punkte des Intervalls bestimmt. Dann wird die Lösung um einen Schritt in x fortgeführt. Das vollständige Skript befindet sich in der Datei rungekuttaskript, die Ergebnisse für das obige Beispiel sind in Abb. 5.5 gezeigt. Die relative Abweichung zwischen der analytischen und der numerischen Lösung liegt in der Größenordnung von 2 1 6, d.h. sie ist um drei Größenordnungen besser als im Leapfrog-Verfahren und um 5 Größenordnungen besser als im Euler Verfahren. Diese Zahlen gelten jedoch nur für dieses spezielle Beispiel, bei anderen Differentialgleichungen müssen die Unterschiede nicht so groß ausfallen. Auch sollten Sie sich nicht von einer zu großen Genauigkeit blenden lassen: das Runge Kutta Verfahren ist hier zwar wesentlich genauer als das Leapfrog-Verfahren, benötigt auf Grund der vielen in jeder Schleife neu zu berechnenden Koeffizienten k i jedoch auch recht viel Rechenzeit. Im Sinne einer Laufzeitoptimierung kann daher das Leapfrog-Verfahren das interessantere sein: es ist einerseits deutlich genauer als das Euler-Verfahren und andererseits schneller als das Runge Kutta Verfahren, dessen Genauigkeit gar nicht immer erforderlich ist. Wie für die bisher die anderen Verfahren ist aus dem MatLab-Skript auch eine Funktion rungekutta abgeleitet mit der Syntax wie in den anderen selbst-gestrickten Funktionen. rungekuttaskript rungekutta Etwas MatLab-Tuning Alternative zur Eingabe einer Funktion Bisher haben wir die die Differentialgleichung beschreibende mathematische Funktion stets über ein Handle an die MatLab-Funktionen übergeben. Dieses Verfahren ermöglicht es, alle MatLab-Funktionen aus einem Skript heraus nach einander aufzurufen und die Ergebnisse so zu vergleichen. Eine Alternative Form der Eingabe der mathematischen Funktion ist deren c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

10 6 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Definition mit Hilfe einer MatLab-Funktion. Unsere mathematische Funktion aus Beispiel 1 lässt sich z.b. in einer Funktion Namens dglinput definieren in der Form function xdot = dglinput(t,x) xdot = (t 2+4+x)/t; Der Name dieser Funktion wird dann beim Aufruf der MatLab-Funktion als String an diese übergeben, z.b. >> a=1;b=5;dt=.2;x=2; >> [t,x] = rungekutta( dglinput,a,b,dx,x); Die in MatLab implementierten Lösungsverfahren für gewöhnliche DGLs verwenden ebenfalls eine MatLab-Funktion zur Definition der mathematischen Funktion. Interaktiv statt Skript rungekutta Jetzt können wir die Eingabe der Parameter wie Schrittweite oder Grenzen des Integrationsintervalls noch etwas komfortabler gestalten. Das Verfahren ist im Skript rungekuttainter enthalten: format compact a=input( Untere Grenze a= ) b=input( Obere Grenze b= ) dt=input( Schrittweite dt= ) x=input( Anfangswert x= ) datei=input( Datei mit dotx (Name in Hochkommata) ) [t,x]=rungekutta(datei,a,b,dt,x); Die ersten sechs Zeilen beschäftigen sich mit der Eingabe der zur numerischen Integration erforderlichen Parameter. Die oberste Zeile dient zur Komprimierung der Darstellung im MatLab-Kommandozeilenfenster (unterdrücken der Leerzeilen), die anderen vier Zeilen fragen die benötigten Parameter in diesem Fenster ab. Die folgende Zeile enthält den Aufruf der von uns geschriebenen MatLab-Funktion rungekutta. Dabei wird die zu integrierende Funktion über die MatLab-Datei dglinput eingegeben, d.h. für die Integration einer anderen Funktion ist nur eine weitere Datei mit der mathematischen Funktion als MatLab-Funktion anzulegen und diese einzugeben. 5.3 Numerische Verfahren MatLab Gewöhnliche Differentialgleichungen können in MatLab mit verschiedenen Verfahren gelöst werden. Die Lösungsverfahren heißen alle ode, gefolgt von einer Ziffernkombination. Darin steht ode für Ordinary Differential Equation. Die Syntax zum Aufruf einer der Funktionen ist sehr ähnlich der in den handgestrickten Lösungen verwendeten: >> [t,x] = solver(odefun,tspan,x,options) wobei solver der Name des Verfahrens ist, z.b. ode45, tspan einen Vektor enthält, der Anfang und Ende des Integrationsintervalls angibt, und x den Anfangswert enthält. Der letzte Parameter, options, ist optional und erlaubt die Übergabe von Parametern, die z.b. die Genauigkeit und die Art der Ausgabe der Lösung regeln. Die verschiedenen Lösungsverfahren sind in Tab. 5.1 zusammen gefasst Lösungsverfahren Die in Tab. 5.1 aufgelisteten Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen unterscheiden sich im Hinblick auf ihre Genauigkeit und die benötigte Rechenzeit. Außerdem ist nicht jedes Lösungsverfahren für jede Art von DGL gleich gut geeignet. Daher kann keine 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

11 5.3. NUMERISCHE VERFAHREN MATLAB 61 MatLab Beschreibung Steps Ordnung ode45 Runge Kutta (4,5) Verfahren 1 mittel ode23 Runge Kutta (2,3) Verfahren 1 niedrig ode113 Adams Bashford Moulton Verfahren multi hoch ode15s Gear s Verfahren (rückwärtige Differentiation) multi variabel ode23s modifiziertes Rosenbrock-Verfahren 1 2 ode23tb implizites Runge Kutta Verfahren Tabelle 5.1: In MatLab implementierte Funktionen zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Die oberen drei Verfahren beziehen sich auf nicht-steife Differentialgleichungen, die anderen auf steife DGLs allgemeine Empfehlung für ein bestes Verfahren gegeben werden sondern es muss ein dem speziellen Problem angepasstes Verfahren gefunden werden. Die wichtigste Unterscheidung ist die zwischen steifen und nicht-steifen Differentialgleichungen: eine Differentialgleichung wird als steif bezeichnet, wenn ihre Lösung eine abfallende Exponentialfunktion enthält deren Zeitkonstante sehr klein ist gegen das Intervall, in dem diese DGL gelöst werden soll. Ein Beispiel wäre ein radioaktiver Zerfall mit einer Abklingszeit im Bereich von Sekunden und einem Integrationsintervall von mehreren Tagen. Differentialgleichungen höherer Ordnung werden als steif bezeichnet, wenn sie Lösungen mit verschiedenen Zerfallskonstanten besitzen und sich diese um Größenordnungen unterscheiden. Die Bezeichnung steif geht möglicherweise auf die Untersuchung von Federpendeln mit sehr steifen Federn, d.h. Federn mit großen Federkonstanten zurück. Die Details und Realisierungen der einzelnen Funktionen werden in der MatLab-Hilfe beschrieben, die eigentlichen Funktionen finden sich im Directory Toolbox/matlab/funfun. Alle in MatLab implementierten Lösungsverfahren unterscheiden sich von unseren handgestrickten Verfahren in drei wesentlichen Punkte: 1. die Verfahren bestimmen ihre Genauigkeit bzw. es kann eine gewünschte Genauigkeit vorgegeben werden; 2. die Verfahren sind adaptiv, d.h. es muss keine Schrittweite bzw. Schrittzahl vorgegeben werden auch ist die Schrittweite nicht über das gesamte Lösungsintervall konstant; 3. die Verfahren kontrollieren die Stabilität der Lösung. Daher ist es im Gegensatz zu den handgestrickten Verfahren bei den in MatLab implementierten nicht mehr erforderlich, sich Gedanken über die Schrittzahl/Gitterweite und deren Beziehung zur Genauigkeit der Lösungsverfahren zu machen. Die wichtigsten Verfahren Die wichtigsten MatLab Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen sind für den Anfang ode45 und ode23 sowie gegebenenfalls ode113. ode45 ist eine Kombination aus einem Runge Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit einem 5. Ordnung, d.h. die Funktion wird in jedem Integrationsintervall durch Polynome der entsprechenden Ordnung angenähert. Die Kombination von zwei Ordnungen erlaubt die Überprüfung von Genauigkeit und Stabilität durch Vergleich. ode45 können wir als Standardverfahren adoptieren: es ist relativ schnell, es ist ein 1-stufiges Verfahren (wir benötigen keine Zwischengitter wie beim Leapfrog) und es ist in seiner Genauigkeit (Ordnung der Abweichungen) von mittlerer Qualität was, wie wir beim handgestrickten Verfahren gesehen haben, schon recht genau ist. ode23 basiert ebenfalls auf einer Kombination zweier Runge Kutta-Verfahren, nämlich 2. und 3. Ordnung. Es ist daher schneller aber auch weniger genau, d.h. seine Genauigkeit ist von nur niedriger Ordnung. Dennoch kann es für schnelle Abschätzungen sinnvoll sein, bei einigen Differentialgleichungen auch Genauigkeiten liefern, die mit denen von ode45 vergleichbar sind. ode113 ist im Gegensatz zu den beiden anderen Methoden kein einstufiges Verfahren sondern ein mehrstufiges. Die sich daraus ergebende höhere Genauigkeit und Stabilität erkaufen wir mit einem mehrstufigen Verfahren und entsprechend größerer Rechenzeit. c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

12 62 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y Achse Vergleich MATLAB ODEs blau: Runge Kutta handgestrickt rot: ode45 magenta: ode23 cyan: ode113 relative Abweichung Abbildung 5.6: Vergleich verschiedener Lösungsverfahren gewöhnlicher Differentialgleichungen in MatLab Ein Vergleich der verschiedenen Lösungsverfahren für nicht-steife DGLs ist in Abb. 5.6 gezeigt, wieder für die DGL aus Beispiel 1. Da die numerischen Lösungen in den MatLab- Solvern mit adaptivem Gitter erfolgen, liefert jedes Lösungsverfahren ein anderes Gitter, erkennbar am Abstand der Symbole. In der graphischen Darstellung des Ergebnisses in Abb. 5.6 lassen sich in den berechneten Funktionsverläufen keine Unterschiede erkennen. Die handgestrickte Lösung ist mit einer Zahl von 1 Schritten berechnet. Aus der Symboldichte erkennen wir, dass die Lösung mit ode45 mit einer geringeren Zahl von ca. 4 Schritten bestimmt wurde, bei den anderen Verfahren sogar eine deutlich geringere Zahl von Schritten ausreichend war (bei ode113 etwas unter 2, bei ode23 sogar nur 12). Die Abweichung von ode45 von der analytischen Lösung ist etwas geringer als die in unserem selbst gestrickten Runge Kutta-Verfahren 4. Ordnung; ode23 liefert deutlich größere Abweichungen und ist in diesem Fall sogar ungenauer als das Leapfrog-Verfahren. ode 113 liefert eine höhere Genauigkeit als die anderen Verfahren obwohl es anfänglich eine größere Abweichung von der analytischen Lösung hat als ode45. Bei ode45 erkennt man, dass sich die Schrittweite im Laufe des Verfahrens ändert; insbesondere zu den Rändern des Integrationsbereichs wird die Schrittweite reduziert. Vergleich aller Verfahren tic toc Die anderen in Tab. 5.1 gegebenen Lösungsverfahren beziehen sich auf Differentialgleichungen, in denen eine Zerfallskonstante wichtig ist. Das ist in unserer Beispielfunktion nicht der Fall, daher liefert die Anwendung dieser Verfahren keine optimalen Ergebnisse, was sich einerseits in relativ großen Abweichungen von der analytischen Lösung zeigt (vgl. Abb. 5.7), andererseits in recht langer Rechenzeit. Die Laufzeit eines Statements in MatLab lässt sich mit Hilfe der Stoppuhr bestimmen. Diese wird vor dem Statement mit tic gestartet und am Ende des Statements mit toc gestoppt, wobei der Wert von toc einer Variablen zugewiesen oder auf dem Bildschirm ausgegeben werden kann. Für die in Abb. 5.7 berechneten Kurven benötigte MatLab für die einzelnen Lösungsverfahren auf einem etwas älteren Notebook die folgenden Zeiten: 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

13 5.3. NUMERISCHE VERFAHREN MATLAB 63 y Achse Vergleich MATLAB ODEs blau: Runge Kutta handgestrickt rot: ode45 magenta: ode23 cyan: ode113 grün: ode15s gelb: ode23s blau Symbol: ode23tb relative Abweichung Abbildung 5.7: Vergleich aller in MatLab implementierten Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen Funktion rungekutta ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23tb Zeit t [ms] dabei zeigt sich für dieses Problem ode45 als Sieger: bei vergleichbarer Genauigkeit wie ode113 oder das handgestrickte rungekutta ist hier die Laufzeit am geringsten. Alle Solver für steife Differentialgleichungen liefern bei vergleichbarer oder fast doppelt so großer Rechenzeit nur um mehrere Größenordnungen verringerte Genauigkeit. Steife Differentialgleichungen Diese letzteren Verfahren sind jedoch speziell für steife Differentialgleichungen entwickelt, d.h. Differentialgleichungen die eine abfallende Exponentialfunktion enthalten deren Zeitkonstante klein ist gegen das Integrationsintervall. Als Beispiel verwenden wir die simple DGL für den radioaktiven Zerfall und setzen die Zeitkonstante gleich 1. Mit einem Integrationsintervall von bis 1 ist die Bedingung für eine steife DGL zwar noch nicht optimal erfüllt aber zumindest angenähert. Abbildung 5.8 gibt einen Vergleich der verschiedenen in MatLab implementierten Verfahren. Zusätzlich wurde das selbst gestrickte Runge-Kutta-Verfahren mit 1 Schritten verwendet. Die anderen Verfahren kommen auch hier wieder mit wesentlich weniger Schritten aus. In diesem Integrationsbereich sind die konventionellen Verfahren alle noch recht genau, der Vorteil der steifen Verfahren liegt in ihrer geringeren Rechenzeit. Erweitern wir den Integrationsbereich, so wird die Bedingung für eine steife DGL noch besser erfüllt. Dann liefert MatLab mit allen Verfahren für große Zeiten sehr große Fehler, während das handgestrickte Runge Kutta-Verfahren auf Grund seiner kleinen Schrittweite (und damit der Langsamkeit) auf eine recht genaue Annäherung führt. Allerdings sehen wir auch, dass die für steife DGLs geschriebenen Verfahren wesentlich bessere Annäherungen liefern als die für nicht-steife. Eine bessere Anpassung bei allen MatLab-Verfahre können wir erreichen, in dem wir den ode-funktionen zusätzliche Parameter übergeben, die Genauigkeit regulieren (vgl. MatLab-Hilfe). Die zur Lösung der einzelnen Verfahren in Abb. 5.8 benötigten Zeiten sind in der mittleren Zeile der Tabelle gegeben, die Zeiten für die Lösung der Gleichung im Intervall [,1] mit gleicher Schrittweite im selbst gestrickten Runge Kutta-Verfahren in der untersten Zeile: c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

14 64 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y Achse Vergleich MATLAB ODEs blau: Runge Kutta handgestrickt rot: ode45 magenta: ode23 cyan: ode113 grün: ode15s gelb: ode23s blau gestrichelt: ode23tb relative Abweichung Abbildung 5.8: Vergleich aller in MatLab implementierten Verfahren zur Lösung einer gewöhnlichen DGL am Beispiel einer steifen DGL Funktion rungekutta ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s ode23tb Zeit t [ms] Zeit t [ms] Man erkennt deutlich, dass sich das selbst gestrickte Runge Kutta-Verfahren sich seine hohe Genauigkeit im langen Integrationsintervall durch eine kleine Schrittweite und damit verbunden eine lange Laufzeit erkauft hat Ein simples GUI Das Skript dgl int enthält ein einfaches GUI, mit dem sich mit den verschiedenen Ver- fahren zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung spielen lässt. Als Eingabeparameter werden der Name der MatLab-Funktion benötigt, in der die zu integrierende DGL beschrieben ist (als Default wieder dglinput), die Grenzen des Integrationsintervalls sowie der Anfangswert. Über das Popup-Menü kann aus allen in MatLab implementierten Solver sowie den vier selbst gestrickten Routinen ausgewählt werden, vgl. Abb Als Lösung werden Vektoren t und x erzeugt; außerdem wird die sich ergebende Funktion graphisch dargestellt. Aus der Dichte der Symbole lässt sich jeweils auf die Schrittweite der Verfahren schließen: bei den MatLab-Solvern ist diese dem Problem angepasst, bei den handgestrickten Funktionen wurde die Schrittzahl auf 4 festgesetzt (lässt sich aber in der von dgl int benötigten Funktion setidglint bei Bedarf verändern). dgl int Genauigkeit numerischer Lösungen Bisher haben wir die Genauigkeit unserer numerischen Lösung durch die relative Abweichung gegenüber der analytischen Lösung charakterisiert. Dieser Ansatz ist zwar einfach, setzt aber die Existenz und Kenntnis einer analytischen Lösung voraus. Eine allgemeinere Klassifikation der Genauigkeit eines numerischen Verfahrens erfolgt über die Ordnung. Betrachten wir als Beispiel noch einmal das Euler sche Streckenzugverfahren. Die Rechenvorschrift in Glg. (5.2.1) ist nicht ganz korrekt, da wir auf diese Weise nicht die analytische Lösung sondern eine numerische Lösung erhalten, d.h. wir müssten die Funktionswerte eigentlich mit 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode

15 5.3. NUMERISCHE VERFAHREN MATLAB 65 Abbildung 5.9: Einfaches GUI zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung einem Index n für numerisch versehen: x n (t i+1 ) = x n (t i ) + t f(t i, x n,i ) mit x(t ) = x und t i = t + i t. Für die exakte Lösung gilt dann x(t i+1 ) = x n (t i ) + t f(t i, x n,i ) + ( t) x n (t i ) + t f(t i, x n,i ). Die exakte Lösung wird also durch die numerische Lösung nur angenähert, es verbleibt ein Fehler, der von der Schrittweite δt abhängt, also ( t). Die Ordnung eines numerischen Verfahrens beschreibt, in welcher Form der Fehler des Verfahrens von der Schrittweite t abhängt. Dazu schreiben wir den Fehler als (( t) p+1 ). Ein Verfahren liefert nur dann eine Lösung, wenn p >. In diesem Fall wird das Verfahren als konvergent bezeichnet. Das Euler sche Streckenzugverfahren ist ein Verfahren 1. Ordnung, d.h. es ist p = 1 und der verbleibende Fehler ist gegeben durch (( t) 2 ). Dies Ordnung des Euler-Verfahrens ist die gleiche für das Vorwärts- und das Rückwärtsverfahren, allerdings haben die Terme niedrigster Ordnung im Fehler in beiden Verfahren entgegengesetztes Vorzeichen. Bei einer Kombination beider Verfahren, wie im Crank Nicolson-Verfahren heben sich diese Terme auf, so dass das Crank Nicolson-Verfahren ein Verfahren zweiter Ordnung ist. Gleiches gilt für das Leapfrog-Verfahren. Da die Schrittweite t ohnehin klein sein soll, bedeutet eine höhere Ordnung der DGL (bei gleicher Schrittweite in t) einen deutlich kleineren Fehler. Daher liefert das Leapfrog-Verfahren nicht nur bessere Ergebnisse als das Euler-Verfahren bei gleichem Gitter sondern auch als das Euler-Verfahren mit halbiertem Gitter. Das Runge Kutta-Verfahren 4. Ordnung ist, wie der Name sagt, von 4. Ordnung, d.h. der Fehler geht nicht mit ( t) 2 wie bei Euler oder ( t) 3 wie beim Leapfrog sondern mit ( t) 5. Dies zeigt sich auch in der großen Genauigkeit. Stabilität numerischer Verfahren Für lineare DGLs (wie wir sie im wesentlichen betrachten) kann Stabilität anschaulich zurück geführt werden auf das Problem, ob kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen auch nur zu kleinen Änderungen im Ergebnis führen. Ist dies nicht der Fall, so verhält sich das System chaotisch: in diesem Fall führen auch leichte Abweichungen in den Zwischenwerten der numerischen Lösung zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen, d.h. mit jeder Änderung der Schrittweite des numerischen Verfahrens würde sich eine andere Lösung ergeben eine eindeutige Lösung des gegebenen Anfangswertproblems wäre damit nicht möglich. c M.-B. Kallenrode 12. Januar 25

16 66 KAPITEL 5. GEWÖHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Für gewöhnliche Differentialgleichungen kann für die verschiedenen Verfahren ein Stabilitätsmaß eingeführt werden. Dieses hängt auch von der Schrittweite ab, d.h. das Stabilitätsmaß kann in einem numerischen Verfahren auch verwendet werden, um die Schrittweite anzupassen. Fragen Frage 16 Informieren Sie sich an Hand der MatLab-Hilfe über die Grund-Ideen und Funktion der verschiedenen Solver für gewöhnliche Differentialgleichungen. Frage 17 Was versteht man unter der Ordnung eines Verfahrens zur numerischen Lösung einer Differentialgleichung? Aufgaben Aufgabe 19 Verwenden Sie die Skripte zu den von Hand gestrickten Lösungen numerischer Differentialgleichungen und untersuchen Sie die Abhängigkeit der relativen Genauigkeit von der Schrittweite in den verschiedenen Differentialgleichungen. Aufgabe 2 Wenden sie die von Hand gestrickten Skripte auf andere Differentialgleichungen an (Vorschlag: nehmen Sie Differentialgleichungen von den Übungszettels, da sie für diese DGLs auch die Lösungen kennen). Aufgabe 21 Lösen Sie die DGL für den harmonischen Oszillator mit Hilfe der handgestrickten Skripte und vergleichen Sie die Lösungen für die verschiedenen Verfahren. Aufgabe 22 Schreiben Sie eine Funktion für das Crank-Nicolson Verfahren. Vergleichen Sie deren Lösungen mit denen aus Euler und Leapfrog. Aufgabe 23 Zur Untersuchung des Einfluss der Ordnung eines Verfahrens auf seine Genauigkeit wenden Sie die drei handgestrickten Verfahren mit unterschiedlichen Gitterweiten auf verschiedene einfache DGLs an und vergleichen Sie, wie stark die Gitterweite verringert werden muss um eine vergleichbare Genauigkeit zu erzielen wie im Verfahren mit der höheren Ordnung. Literaturverzeichnis [1] Robinson, J.C.: Ordinary differential equations, 1. Aufl. (Cambridge University Press, Cambridge 24) 12. Januar 25 c M.-B. Kallenrode