Anfangswertprobleme: Grundlagen

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1 Anfangswertprobleme: Grundlagen In diesem Skript werden die Grundlagen erklärt, wie man mit Matlab Anfangswertprobleme analysieren kann. Contents Beispiel: Entladung eines Kondensators Beispiel mit expliziter t-abhängigkeit: Beispiel: Fadenpendel für große Auslenkungen Kontrolle der Fehler Fadenpendel für unterschiedliche Fadenlängen. Beispiel: ode45 bekommt Probleme Beispiel: Entladung eines Kondensators Ein Kondensator mit Kapazität C habe die Anfangsladung Q0 und werde über einen Widerstand R entladen. Die DGL lautet dq/dt = - 1/RC * Q. % Konkrete Werte für die Parameter: R = 2; C = 1; Q0 = 3; tspan = [0 10]; % Anfangs- und Endzeitpunkt Wichtigster Baustein der Simulation ist die Funktion, die die DGL beschreibt. Die Signatur muss so sein, dass als Eingangsparameter t und y (hier die Ladung q) übergeben werden und dy/dt (hier dq/dt) berechnet wird. Der Einfachheit halber benutzen wir hier eine anonyme Funktion: fun - q /(R*C); % anonyme Funktion der Parameter t und q Lösen der DGL und Plotten der Lösung: Wenn tspan nur aus 2 Elementen besteht wird die Lösung an den Zeitschritten der Integration zurückgeliefert: [t q] = ode45(fun, tspan, Q0); plot(t, q, 'bx-'); title('entladung eines Kondensators'); xlabel('zeit'), ylabel('ladung');

2 Beispiel mit expliziter t-abhängigkeit: dy/dt = -(t+1) * y, y(0) = 1 tspan = 0:0.05:2; % Lösung wird an diesen Punkten angegeben. [t y] = ode45(@(t,y) -(t+1)*y, tspan, 1); plot(t, y); Beispiel: Fadenpendel für große Auslenkungen

3 In diesem Beispiel wird ein Fadenpendel für beliebige Auslenkungen untersucht. Das ist keine harmonische Schwingung mehr. Es geht um eine DGL zweiter Ordnung. Die Beschreibungsfunktion passt nicht mehr gut in eine anonyme Funktion und wird in einer m-datei definiert (Im folgenden ist g=9.81 die Erdbeschleunigung und l die Fadenlänge des Pendels). Die ursprüngliche DGL 2. Ordnung ist umformuliert in 2 Gleichungen 1.Ordnung. Daher ist y jetzt ein Spaltenvektor der Länge 2. type pendelfun function dy = pendelfun(t, y) %PENDELFUN DGL Funktion für ein mathematisches Pendel % (keine harmonische Näherung) % y = Vektor der Länge 2. Erste Komponente ist der Winkel des Pendels zur % Vertikalen, zweite Komponente ist die Ableitung des Winkels. % Parameter werden hard-codiert g = 9.81; l = 1; % Initialisierung des Ergebnisses als Spaltenvektor! % (Spalten- und KEIN Zeilenvektor: WICHTIG) dy = zeros(2,1); dy(1) = y(2); dy(2) = - g/l * sin(y(1)); end Berechnung und Plotten der Lösung. Das Pendel soll bei t=0 bei einer Auslenkung von pi/2 ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen werden. Das y im Rückgabewert von ode45 ist eine Matrix mit 2 Spalten. Die erste Spalte ist der Auslenkungswinkel des Pendels an den Zeitschritten. ynull = [pi/2; 0]; % Anfangsbedingungen=Spaltenvektor tspan = [0, 10]; % Simulation von t=0 bis t=10 [t y] = ode45(@pendelfun, tspan, ynull); plot(t, y(:,1), 'bx-'); title('fadenpendel, große Auslenkung'); xlabel('zeit'), ylabel('winkel');

4 Vergleich mit harmonischer Näherung, die durch phi(0) * cos(wt) mit w = sqrt(g/l) beschrieben wird. Wie man sieht, gibt es große Abweichungen. Für diese Auslenkungen ist die harmonische Näherung nicht mehr sinnvoll. w = sqrt(9.81); yharm = ynull(1) * cos(w*t); hold on; plot(t, yharm, 'r'); legend('numerische Lösung', 'Harmonische Näherung'); hold off;

5 Kontrolle der Fehler Die numerische Lösung der DGL kann im Detail konfiguriert werden mit einem Options-Argument. Diese Optionen kann man mit der Funktion odeset bestimmen. Jetzt wird z.b. der absolute Fehler hochgesetzt: opts = odeset('abstol', 0.05); Um andere als die Default-Optionen zu nehmen, muss man die Optionen als viertes Argument an den Löser übergeben. Hier vergleichen wir die Lösungen für unterschiedliche Fehlertoleranzen: tspan = [0 30]; [t y] = ode45(@pendelfun, tspan, ynull); % Default: AbsTol = 10^(-6) [t2 y2] = ode45(@pendelfun, tspan, ynull, opts); plot(t, y(:,1), 'xb-'); hold on, plot(t2, y2(:,1), 'xr-'), hold off; title('fadenpendel für unterschiedliche Fehlertoleranzen'); xlabel('zeit'), ylabel('winkel'); legend('kleine Fehlertoleranz', 'Große Fehlertoleranz');

6 Wie man sieht, entstehen bei der Fehlertoleranz von AbsTol=0.05 erhebliche Probleme: Aus Gründen der Energieerhaltung muss die maximale Amplitude bei jeder Periode pi/2 sein, was für die rote Lösung nicht erfüllt ist. Die blaue Lösung (Fehlertoleranz auf Default Größe) zeigt diese Probleme nicht: die maximale Amplitude bleibt konstant über alle Perioden. Dass unterschiedliche Fehlertoleranzen auch zu unterschiedlichen Schrittweiten führen, sieht man auch am Histogramm der Schrittweiten: figure; subplot(2,1,1); hist(diff(t), 50); title('schrittweiten bei kleiner Fehlertoleranz'); xlabel('schrittweite'), ylabel('anzahl'); subplot(2,1,2); hist(diff(t2), 50); title('schrittweiten bei großer Fehlertoleranz'); xlabel('schrittweite'), ylabel('anzahl');

7 Fadenpendel für unterschiedliche Fadenlängen. Bislang wurde die Fadenlänge in der DGL-Beschreibungsfunktion hard-codiert. Was macht man, wenn man die Simulation für verschiedene Fadenlängen machen möchte? Man benutzt eine DGL-Funktion, die zusätzliche Parameter enthält, hier die Fadenlänge, und kann die Parameter dann ganz am Ende an den Solver übergeben. Damit das funktioniert muss man allerdings auch die Solver Optionen als viertes Argument übergeben, selbst wenn die Optionen nicht verändert wurden. type pendelfunfaden function dy = pendelfunfaden(t, y, l) %PENDELFUN DGL Funktion für ein mathematisches Pendel % (keine harmonische Näherung). % Zusätzlich wird die Fadenlänge übergeben g = 9.81; dy = zeros(2,1); % Spaltenvektor dy(1) = y(2); dy(2) = - g/l * sin(y(1)); end Simulationen mit verschiedenen Fadenlängen können jetzt wie folgt durchgeführt werden: ynull = [pi/2; 0]; tspan = [0 10]; opts = odeset(); % Default Optionen l = 0.5; % kurzer Faden [t1 y1] = ode45(@pendelfunfaden, tspan, ynull, opts, l); l=1.5; % langer Faden [t2 y2] = ode45(@pendelfunfaden, tspan, ynull, opts, l); figure; plot(t1, y1(:,1)); hold on, plot(t2, y2(:,1), 'r'), hold off;

8 title('fadenpendel'); xlabel('zeit'), ylabel('winkel'); legend('kurzer Faden', 'Langer Faden'); Beispiel: ode45 bekommt Probleme ode45 sollte immer der Löser sein, den man zuerst ausprobiert. Es gibt allerdings Situationen, in der ode45 Schwierigkeiten bekommt, den Fehler zu kontrollieren und daher sehr kleine Schrittweiten wählt. Dieses Problem ist aus dem 'Textbook by Cleve Moler', (da kann man auch eine genauere Diskussion finden). delta = ; F y^2 - y^3; tic; [t, y] = ode45(f,[0 2/delta],delta); z = toc; plot(t,y, 'x-'); title(sprintf('oder45: Anzahl Schritte: %i, Zeit = %.3f s', length(t), z));

9 Nach dem Sprung wird die Schrittweite winzig und die Lösung fluktuiert stark auf einer kleinen Skala (reinzoomen). Ein speziell für diese Probleme entwickelter Solver hat keine Mühe: tic; [t, y] = ode23s(f,[0 2/delta],delta); z = toc; plot(t,y, 'x-'); title(sprintf('ode23s: Anzahl Schritte: %i, Zeit = %.3f s', length(t), z));

10 Published with MATLAB 7.5