KAPITEL 3. Kooperative Spiele

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1 KAPITEL 3 Kooperative Spiele In den bisher betrachteten Modellen spielen die Spieler gegeneinander und versuchen dabei, ihren persönlichen Nutzen zu maximieren. Dabei hat sich herausgestellt, dass das Lösungskonzept eines NASH-Gleichgewichts nicht unbedingt als generell optimales Verteilungsmodell zu betrachten ist. Wir gehen nun davon aus, dass die Spieler der Grundmenge N miteinander kooperieren können, um den grösstmöglichen gemeinsamen Nutzen zu erzeugen. Das zentrale Problem der kooperativen Spieltheorie ist dann, welcher Wert dabei dem Einzelspieler als fairer anteiliger Gewinn (oder Verlust!) zubemessen werden sollte. Wir nehmen wieder grundsätzlich die Spielermenge N = {p 1,..., p n } als endlich an. Eine Teilmenge S N von Spielern heisst Koalition. Wir unterstellen, dass der Wert einer Koalition S N durch einen reellen Parameter v(s) R ausgedrückt werden kann. Ein kooperatives Spiel ist damit ein Paar Γ = (N, v), wobei v eine auf der Potenzmenge von N definierte reellwertige Funktion ist (und als charakteristische Funktion des Spiels bezeichnet wird). BEMERKUNG. Wie der Wert v(s) zustandekommt, ist hier ein sekundäres Problem. Wir setzen v(s) meistens als entweder schon von vornherein bekannt oder zumindest immer explizit berechenbar voraus. Der Einfachheit halber nehmen wir immer v( ) = 0 an. BEISPIEL 3.1 (OWENs Produktionsspiel). Auf einer Produktionsanlage können k Typen T 1,..., T k eines Produkts herstellt werden. Dazu werden Grundstoffe G 1,..., G m benötigt. Bei der Produktion einer Einheit vom Typ T j werden a ij 0 Einheiten von G i benötigt. Ausserdem habe eine Einheit vom Typ T j den Marktwert c j. Bei einem Produktionsplan (x 1,..., x k ) mit x j 0 Einheiten vom Typ T j generiert man also den Marktwert c 1 x c k x k und verbraucht an Grundstoffen G i die Mengen a i1 x a ik x k (i = 1,..., m). Wir nehmen an, dass jeder Spieler p N über b ip 0 Einheiten G i verfügt. Der Marktwert v(s) einer Koalition S N ergibt sich aus der Optimallösung des 67

2 68 3. KOOPERATIVE SPIELE linearen Programms v(s) = max x 0 k c j x j j=1 s.d. k j=1 a ij x j p S b ip (i = 1,..., m). BEISPIEL 3.2 (Auktionsspiel). Sei N eine Menge von Objekten, die ersteigert werden können. Es gibt eine Menge B = {B 1,..., B k } von Bietern, die auf Teilmengen S N von Objekten Kaufangebote abgeben können. Es sei v i (S) = Angebot von B i auf S (in Euro) (i = 1,..., k). Auf der Basis der Angebote hat die Teilmenge S N den Wert v(s) = max 1 i k v i(s). Aus der Sicht des Auktionators, der N auch gestückelt verkaufen kann, ergibt sich der Gesamtwert der Versteigerungsmasse als m v = max v(s i ) S j N, S j S l = (j l). j=1 BEISPIEL 3.3 (Vernetzungsspiel). Die Verbrauchsknoten p 1,..., p n sollen an einen Versorgungsknoten p 0 direkt oder indirekt (d.h. über andere Knoten) angebunden werden. Um eine direkte Verbindung zwischen p i und p j zu legen, hat man einen Kostenaufwand von c ij 0. Die Kostenbewertung c(s) einer Teilmenge S {p 1,..., p n } ist somit das Gewicht eines minimalen zusammenhängenden Graphen auf der Knotenmenge {p 0 } S (bzgl. der Kantengewichtung c ij ). Für die kooperative Spieltheorie sind die relevanten Fragen nun: Welchen Markwert hat im Produktionsspiel der einzelne Spieler i N? Welchen Marktwert ( Preis ) p j repräsentieren die einzelnen Objekte j N in der Auktionssituation? Um im Vernetzungsspiel alle Knoten anzubinden, sollte wieviel jedem Knoten p i als faire Kostenbeteiligung zubemessen werden? Lösungskonzepte. Generell suchen wir nach Allokationen x R N, die den Agenten p i N einem kooperativen Spiel einen fairen Wert x i zuweisen. Dabei ist der Begriff fair nicht von vornherein schon mathematisch klar gegeben. Ein (mathematisch spezifizierter) Allokationsmodus für ein kooperatives Spiel heisst Lösungskonzept (oder oft einfach Lösung).

3 2. DER CORE Ertrags- und Kostenspiele. Man kann den Wert v(s) einer Koalition als den Ertrag betrachten, den S durch Kooperation erwirtschaften kann. In einer anderen Sichtweise könnte v(s) aber auch die Kosten darstellen, die der Koalition S durch Kooperation entstehen würde (wie z.b. im Vernetzungsspiel). Ob ein Lösungskonzept für ein kooperatives Spiel angemessen ist, kann durchaus davon abhängen, ob wir es als Ertrags- oder als Kostenspiel auffassen. Bei einem Ertragsspiel (N, v) kann man im Modell davon ausgehen, dass sich eine Koalition S in kleinere Gruppierungen unterteilt, wenn der Gesamtertrag der Koalition dadurch verbessert wird. Wir betrachten dann das Spiel (N, ṽ) mit der charakteristischen Funktion ṽs) = max{v(s 1 ) v(s k ) S i S und paarwise disjunkt}. Wegen S gilt ṽ(s) 0. Ausserdem sieht man sofort: S T = ṽ(s) ṽ(t ) (Monotonie); S T = = ṽ(s T ) ṽ(s) + ṽ(t ) (Superadditiviät). Analog ist bei einem Kostenspiel (N, c) eine Partitionierung in kostengünstigere Blöcke S i möglicherweise günstiger. Das führt zu dem Kostenspiel (N, c) mit cs) = min{c(s 1 ) c(s k ) S i disjunkt und S i S i}. Ist c nichtnegativ, dann ist c monoton. Anstelle von Superadditivität hat man jedoch: S T = = c(s T ) c(s) + c(t ) (Subadditiviät). BEMERKUNG. Typischerweise sind charakteristische Funktionen von kooperativen Spielen nichtnegativ, wenn wir sie als Ertrags- bzw. Kostenspiele deklarieren. (Eine Koalition wird sich kaum zusammenfinden, um einen negativen Ertrag zu erwirtschaften. Analoges gilt für Kosten.) Trotzdem ist es manchmal (auch aus formalen Gründen) bequem, Spiele zuzulassen, bei der die charakteristische Funktion positiv und negativ sein kann. 2. Der Core Das Lösungskonzept des sog. Core 1 geht auf VON NEUMANN zurück und basiert auf folgender Überlegung. Bei einer vorgeschlagenen Allokation x R N vergleicht jede Koalition S N ihren zugeteilten Wert x(s) mit ihrem Ertragswert v(s). Bei einer fairen Allokation x sollte der Überschuss x(s) nicht kleiner sein als v(s). Ausserdem sollte insgesamt nicht mehr als der maximal erreichbare Wert v = ṽ(n) verteilt werden. Die Menge dieser Allokationen ist core(v) := {x R N x(n) v, x(s) v(s) für alle S N} 1 core (engl.) Kern hier benutzte ich das englische Wort, da es in der Spieltheorie (sehr) viele Lösungskonzepte gibt, die eine Idee von Kern beschreiben wollen (s.u.)

4 70 3. KOOPERATIVE SPIELE Beim Core eines nichtnegativen Ertragsspiel kann man genausogut von der Funktion ṽ ausgehen. LEMMA 3.1. Sei (N, v) ein beliebiges Ertragsspiel. Dann gilt core(ṽ) = {x core(v) x 0} = core(v) R N + Insbesondere ist core(ṽ) = core(v), wenn v nichtnegativ ist. Wegen ṽ(p) 0 für alle p N ist jeder Vektor in core(ṽ) nichtnegativ. Und v ṽ impliziert core(ṽ) core(v). Sei umgekehrt x core(v) nichtnegativ. Dann gilt für alle paarweise disjunkten Koalitionen S 1,..., S k k k x(s 1... S k ) = x(s i ) v(s i ) und folglich x core(ṽ). Im Fall eines Kostenspiels (N, c) sollte eine faire Kostenallokation einer Koalition S tunlichst nicht mehr zuweisen als die Kosten, die sie verursachen würde. Ausserdem sollen jedoch die Gesamtmindestkosten c = c(n) abgedeckt sein. Also definieren wir den Core analog als core(c) := {x R N x(n) c, x(s) c(s) für alle S N} Für die mathematische Analyse ist es nicht relevant, ob wir den Core eines Ertragsspiels oder eines Kostenspiels analysieren (man muss nur die Ungleichungen in der richtigen Richtung betrachten). Meistens werden wir uns der Einfachheit halber jedoch auf das Modell von Ertragsspielen konzentrieren Der Satz von BONDAREVA. Der Core eines Spieles ist durch lineare Ungleichungen definiert. Um das zu sehen, repräsentieren wir einfach eine Teilmenge S N durch ihren Inzidenzvektor { χ S = (χ S,1,..., χ S,N ) R N 1 i S, mit χ S,i := 0 i / S. Dann gilt x(s) = χ T S x für alle x RN, d.h.: x(s) v(s) χ T S x v(s). Der Core eines Spiels kann leer sein. Die folgende Anwendung der Dualität linearer Programme ist in der kooperativen Spieltheorie als Satz von BONDAREVA bekannt: LEMMA 3.2. Für das Ertragsspiel (N, v) sind die beiden Aussagen äquivalent: (i) Core(v) =.

5 2. DER CORE 71 (ii) Es gibt Zahlen y S 0 derart, dass (a) y S = 1 für alle i = 1,..., N (b) S i v(s)y S > v. S N Beweis. Wir betrachten das ( primale ) lineare Programm v(s)y S s.d. y S = 1 (i N) max y 0 S N S i und das dazugehörige duale lineare Programm min x i s.d. x i v(s) i N i S (S N). Beide Programm gestatten zulässige Lösungen. Wir haben jedoch: core(v) gilt genau dann, wenn das duale Programm eine zulässige Lösung x mit Zielfunktionswert x(n) v besitzt. Aus der Dualitätstheorie linearer Programme folgt deshalb: core(v) gilt genau dann, wenn jede zulässige Lösung des primalen Programms einen Zielfunktionswert v aufweist Approximativer Core und Auktionen. Der lineare Programmieransatz aus dem Beweis von Lemma 3.2 erweist sich allgemein sehr nützlich. Im Fall core(v) = kann man zumindest nach einer Allokation x fragen, die die Idee eine Corevektors möglichst gut verwirklicht. Genauer gesagt suchen wir damit eine optimale Lösung des linearen Programms (21) min s.d. n j=1 x j j S x j v(s) für alle S N. Das zugeordnete duale lineare Programm ist max S N v(s)y S (22) s.d. S j y S = 1 für alle j N y S 0 für alle S N. Zulässige duale Lösungen müssen insbesondere 0 y S 1 erfüllen. Betrachten wir nur ganzzahlige zulässige Lösungen, d.h. zulässige Lösungen mit y S {0, 1}, so beobachten wir y S = 1 und y T = 1 = S T =. Die Suche nach einer optimalen ganzzahligen Lösung von (22) ist also vom Typus her gleich dem Problem, den Wert der Summe der Objekte in einer Auktion zu ermitteln.

6 72 3. KOOPERATIVE SPIELE Betrachten wir nochmals die Situation einer Auktion mit k Bietern B i und deren Bietfunktionen v i und der Wertefunktion v(s) = max 1 i k v i(s) (S N). Der Auktionswert v(n) der Menge N ist dann v = max S N v(s)y S s.d. S j y S = 1 für alle j N y S {0, 1} für alle S N. Die Menge aller optimalen Lösungen des linearen Programms n j=1 p j min s.d. j S p j v i (S) für alle S N und i = 1,..., k kann man als die Menge aller Marktwerte der Objekte in N ansehen. Für ein solches p = (p 1,..., p n ) gilt n p(n) = v (aber nicht unbedingt Gleichheit!). j= Der Core linearer Produktionsspiele. Wir kommen (unter Benutzung der dortigen Notation) auf Beispiel 3.1 zurück und zeigen, dass der Core eines linearen Produktionsspiels nie leer ist. Wir betrachten die insgesamt verfügbaren Grundstoffmengen b i = p N und den Produktionswert k v(n) = max c j x j x 0 j=1 p j b ip (i = 1,..., m) s.d. k a ij b i j=1 (i = 1,..., m). Sei y = (y 1,..., ym) eine (nichtnegative) Optimallösung des zugehörigen dualen linearen Programms m m b i y i s.d. a ij y j c j (j = 1,..., k). min y 0 Dann gilt (gemäss der Dualität linearer Programme): m v(n) = b i yi. Zu y definieren wir nun eine Allokation z R N mit den Komponenten m zp = b ip yi (p N).

7 2. DER CORE 73 SATZ 3.1 (OWEN). z ist eine Core-Allokation für das lineare Produktionsspiel. Beweis. Nach der Definition von z finden wir z (N) = zp = m m b ip yi = b ip yi = p N p N p N m b i yi = v(n). Es ist noch z (S) v(s) für beliebige Koalitionen S N zu zeigen. Das ergibt sich aber auch wieder aus der LP-Dualität. Aus der dualen Zulässigkeit von y schliessen wir nämlich: v(s) = min y 0 m b ip y i p S m b ip yi p S = p S s.d. m a ij y j c j (j = 1,..., k) m b ip yi = zp. p S ÖKONOMISCHE INTERPRETATION: Die yi reflektieren die inneren Werte der Grundstoffe G i (pro Einheit) in Bezug auf das Produktionsmodell, das einen Wert in Höhe von v = v(n) herstellen kann. zp ist der nach den Preisen yi ermittelte Gesamtwert der Grundstoffe, über die Spieler p verfügt Das Zuordnungsspiel. Beim Zuordnungsspiel gehen wir (ähnlich wie bei Maschinenbelegungen) von zwei disjunkten Mengen M und N aus. Eine Zuordnung ist ein Vektor x R M N mit nichtnegativen Komponenten x ij 0 derart, dass für alle m M und n N gilt: x mj 1 und x in 1. j N Sei X die Menge aller Zuordnungen. Eine Matrix A R M N mit nichtnegativen Koeffizienten a ij definiert ein Spiel auf der Grundmenge V = M N mit Wertefunktion v(s T ) = max x X a st x st s S t T i M (S M, T N). Der Wert ist also die Optimallösung eines linearen Programms. Zum Beipspiel haben wir v(m N) = max a ij x ij x R M N i M j N s.d. x mj 1 j N x in 1 i M x ij 0

8 74 3. KOOPERATIVE SPIELE Das dazu duale lineare Programm ist (23) min z j s.d. y i + z j a ij (i M, j N) y i 0,z j 0 i M y i + j N und hat (nach der Theorie der linearen Programmierung) auch v(m N) als Optimalwert. Wie in OWENs Produktionsspiel sieht man leicht, dass für jede dual optimale Lösung (y, z ) gelten muss v(s T ) s S y s + t T z t. Eine duale Optimallösung liegt also im Core des Zuordnungsspiels. Umgekehrt ist jeder Core-Vektor (y, z) eine dual optimale Lösung. Die Wahl S = {i} und T = {j} ergibt aus der Core-Eigenschaft die duale Zulässigkeit: a ij v({i} {j}) y i + z j. Die Eigenschaft y(m) + z(n) = v(m N) besagt, dass (y, z) dual optimal ist. Also finden wir: LEMMA 3.3. Die Core-Allokationen des Zuordnungsspiels sind genau die Optimallösungen des linearen Programms (23). BEMERKUNG. Wie man aus der diskreten Optimierung 2 weiss, gestattet das Zuordnungsproblem immer ganzzahlige Optimallösungen. Man kann sich beim Zuordnungsspiel also auf Zuordnungen x mit Komponenten x ij {0, 1} beschränken. 3. Konvexität Wir untersuchen hier die Frage, ob der Core eines gegebenen Spiels überhaupt einen Vektor enthält Marginale Werte und Vektoren. Sei S N eine Koalition in dem Spiel (N, v). Dann ist der relative (bzw. marginale) Wert eines Spielers p S (bzgl. S) gegeben durch p (S) = v(s) v(s \ {p}). Wir wählen nun einen beliebigen Spieler p N und berechnen dessen marginalen Wert in N, dann einen Spieler p N \ {p} usw. bis die leere Koaltition erreicht ist. Mit anderen Worten: Wir wählen eine gewisse Reihenfolge (Permutation) π = p 1... p n der Spielermenge N und berechnen die marginalen Werte pi (p 1,..., p i 1, p i ) = v(p 1,..., p i ) v(p 1,..., p i 1 ) (i = 1,..., n). Mit x π R bezeichnen wir den Vektor der marginalen Werte dieser Reihenfolge. D.h. die Komponenten von x π sind gegeben durch x π (p) = pi (N i ), wobei N i = {p 1,..., p i } und p = p i. 2 siehe z.b. Vorlesung Einführung in die Mathematik des Operations Research

9 LEMMA 3.4. Für alle i = 1,..., n gilt 3. KONVEXITÄT 75 x π (N i ) = p N i x π (p) = v(n i ). Insbesondere haben wir x π (N) = v(n). Der marginale Vektor x π ist also eine Allokation, die v(n) unter die Spieler verteilt. Allerdings wird x π typischerweise nicht im Core von (N, v) liegen. Wir nennen (N, v) π-konvex, wenn der zu der Anordnug π = p 1... p n gehörige marginale Vektor x π im Core liegt. Somit ist per Definition der Core eines π- konvexen Spiels nichtleer. SATZ 3.2. Genau dann ist das Ertragsspiel (N, v) π-konvex für jede Anordnung (Permutation) π von N, wenn v supermodular ist, d.h. wenn v(s T ) + v(s T ) v(s) + v(t ) für alle S, T N. Beweis. Wir zeigen zuerst, dass Supermodularität notwendig ist und wählen π indem wir zuerst die Elemente von S T (irgendwie) anordnen, dann die Elemente von S \ T, dann die Elemente von (S T ) \ S und danach die übrigen Elemente. Der zugehörige Marginalvektor x π erfüllt dann x π (S T ) = v(s T ), x π (S) = v(s), x π (S T ) = v(s T ). Liegt x π im Core, so gilt ausserdem x π (T ) v(t ) und deshalb die supermodulare Ungleichung v(s T ) + v(s T ) = x π (S T ) + x π (S T ) = x π (S) + x π (T ) v(s) + v(t ) Dass Supermodularität hinreicht, beweisen wir durch Widerspruch. Sei S von minimaler Kardinalität mit der Eigenschaft x π < v(s). Dann ist sicher S. Wir wählen N i = {p 1,..., p i } so dass S N i aber S N i 1. Nach Wahl von S haben wir nun S N i 1 < S und folglich x π (S N i 1 ) v(s N i 1 ). Wegen S N i 1 = N i haben wir v(s N i 1 ) = x π (S N i 1 ) und deshalb v(s N i 1 ) + v(s N i 1 ) x π (S N i 1 ) + x π (S N i 1 ) = x π (S) + x π (N i 1 ) < v(s) + v(n i 1 ), was jedoch der Supermodularität von v widerspricht. (N, v) heisst konvex, wenn (N, v) bzgl. jeder Permuation π von N π-konvex ist (d.h. wenn jeder marginale Vektor x π im Core liegt bzw. wenn v supermodular ist).

10 76 3. KOOPERATIVE SPIELE NOTA BENE. Konvexe Spiele (N, v) sind insbesondere superadditiv. Also hat man im nichtnegative Fall v 0 bei einem konvexen Spiel immer v = v(n) Konvexität bei Kostenspielen. Bei Kostenspielen (N, c) ist der Core gegeben durch core(c) = {x R N x(n) c und x(s) c(c) für alle S N.} Völlig analog erhalten wir (bei Beachtung der Richtung der Ungleichungen): KOROLLAR 3.1. Genau dann ist das Kostenspiel (N, c) π-konvex für jede Anordnung (Permutation) von N, wenn c submodular ist, d.h. wenn c(s T ) + c(s T ) c(s) + c(t ) für alle S, T N Core-Dualität. Sei (N, v) ein Ertragesspiel. Dann ist die Funktion c(s) = v(n) v(n \ S) (S N) die charakteristische Funktion eines Kostenspiels (N, c) mit der Eigenschaft: core(c) = core(v) Ausserdem erkennt man leicht, dass v supermodular genau dann ist, wenn c submodular ist. Vom rein mathematischen Standpunkt aus macht es also keinen Unterschied aus, ob wir den Core eines konvexen Spiel als den Core eines (supermodularen) Ertragsspiels oder den Core eines (submodularen) Kostenspiels untersuchen Corevektoren des Vernetzungsspiels. Wir wollen zeigen, dass der Core des Vernetzungsspiels (N, c) (s. Beispiel 3.3) nicht leer ist. Dazu genügt Korollar 3.1 nicht, da Vernetzungsspiele typischerweise nicht konvex sind. Trotzdem gibt es viele natürliche Marginalvektoren x π, die im Core liegen. Beispiele solcher Corevektoren kann man folgendermassen konstruieren. Wir betrachten eine optimale (d.h. kostenminimale) Vernetzung von N = N {0}. Wegen c ij 0 dürfen wir obda annehmen, dass die entsprechende Kantenmenge keine Kreise enthält und folglich einen aufspannenden Baum T darstellt. Wir bauen die Knoten zur Wurzel 0 hin so ab, dass der Knoten i immer ein Blatt des Restbaumes T i auf der Knotenmenge ist. Offensichtlich gilt dann N i = {0, 1,..., i} T i ist ein minimaler Baum auf N i ; Im Fall i 0 gibt es genau eine Kante (i, i) T i mit i < i.

11 4. DER GREEDY-ALGORITHMUS 77 Sei π = 1... n diese Abbaureihenfolge und x π R N der zugehörige Marginalvektor. Dann gilt für alle i: LEMMA 3.5. x π core(c). x π (i) = c(n i ) c(n i 1 ) = c i i 0. Beweis. Wir wollen die Annahme, die Behauptung wäre falsch und es gäbe ein S N mit x π (S) > c(s), zum Widerspruch führen. Sei T S die Menge der Kanten (i, i) T mit i S und T S ein minimaler Baum auf der Knotenmenge S = S {0}. Dann ist klar, dass auch die Kantenmenge T = (T \ T S ) T S von jedem Knoten k einen Weg zur Wurzel 0 gestattet und somit eine mögliche Vernetzung darstellt. Für die Kosten gilt dann: c( T ) = c(t ) c(t S ) + c(s) = x π (N) x π (S) + c(s) < c(t ), was wegen der Minimalität der Vernetzung T aber nicht sein kann. 4. Der Greedy-Algorithmus Wir betrachten eine Gewichtsfunktion w : N R und ordnen die Elemente von N in einer Reihenfolge π = p 1... p n nach fallenden Gewichten: Dazu definieren wir die Mengen w(p 1 ) w(p 2 )... w(p n ). W j = W π j = {p 1,..., p j } (j = 1,... k). Es seien ausserdem die n Parameter v 1..., v n R vorgegeben. Wir suchen eine Optimallösung des Problems (24) min w(p)x(p) s.d. x(p) v j (j = 1,..., n). p N p W j Der sog. Greedy-Algorithmus konstruiert die folgende Lösung x π R N : x π (p 1 ) = v 1 x π (p 2 ) = v 2 v 1 x π (p 3 ) = v 3 v 2. x π (p n ) = v n v n 1 Dieser Vektor x π ist eine zulässige Lösung. Denn es gilt offensichtlich für alle j = 1,..., n: j x π (p) = x π (p i ) = v 1 + (v 2 v 1 ) +... (v j v j 1 ) = v j. p W j Zudem erkennt man leicht:

12 78 3. KOOPERATIVE SPIELE LEMMA 3.6. Der Greedy-Vektor x π löst das Problem (24) optimal. Beweis. Sei y R N eine bessere Lösung als x π. Im Fall y(p 1 ) > v 1 könnten wir dann die Differenz y(p 1 ) v 1 > 0 zu y(p 2 ) addieren und erhielten dann eine Lösung, die mindestens so gut wäre wie y. Wir dürfen also y(w 1 ) = v 1 obda annehmen. Ebenso könnten wir nun im Fall y(w 2 ) > v 2 die Differenz y(w 2 ) v 2 > 0 von y(p 2 ) subtrahieren und zu y(p 3 ) addieren. Der neue Vektor wäre wieder zulässig und mindestens so gut wie der alte. Und so fort. ObdA dürfen wir also annehmen, dass y(w j ) = v j für alle j = 1,..., n gilt. Damit ist aber y identisch mit x π und somit nicht besser. Dieser Widerspruch beweist die Behauptung Der Core konvexer Spiele. Sei (N, v) ein konvexes (d.h. supermodulares) Nutzenspiel und w : N R + eine beliebige Gewichtung. Wir wählen die Reihenfolge π = p 1... p n wie beim Greedy-Algorithmus nach absteigenden Gewichten und setzen v j = v(w j ) für j = 1,..., n. Der Greedy- Vektor x π ist identisch mit dem entsprechenden Marginalvektor und liegt folglich in core(v) (da v supermodular ist). Andererseits erfüllt jede Core-Allokation x core(v) per Definition insbesondere die Restriktionen j x(p i ) = x(w j ) v(w j ) = v j. Also folgt aus dem Greedy-Algorithmus, dass x π auch das folgende lineare Optimierungsproblem löst: min x core(v) wt x SATZ 3.3 (Greedy-Algorithmus). Ein kooperatives Ertragsspiel (N, v) ist genau dann konvex, wenn der Greedy-Algorithmus garantiert bei jeder Gewichtung w : N R das folgende Optimierungsproblem löst: min p N w(p)x(p) s.d. x core(v) Beweis. Ist v nicht supermodular, so gibt es Teilmengen S, T N derart, dass v(s T ) + v(s T ) < v(s) + v(t ). Wir betrachten die Gewichtung w : N {0, 1} mit w(p) = 1 genau dann, wenn p S T. Wir wählen eine Reihenfolge π, wobei zuerst die Elemente von S T und dann die übrigen Elemente von S T kommen. Wir behaupten, dass

13 4. DER GREEDY-ALGORITHMUS 79 der Greedyvektor x π nicht in core(v) liegen (und deshalb keine Lösung des Core- Optimierungsproblems sein) kann. Denn sonst hätte man den Widerspruch v(s T ) + v(s T ) = x π (S T ) + x π (S T ) = x π (S) + x π (T ) v(s) + v(t ). Ist umgekehrt v supermodular, so haben wir die Optimalität des Greedy-Algorithmus schon erkannt. Zur Charakterisierung von core(v) sei daran erinnert, dass die konvexe Hülle einer Menge X R N definiert ist als die Menge aller konvexen Linearkombinationen mit Vektoren aus X: { k } k conv(x) = λ i x i x i Xλ i 0, λ i = 1. KOROLLAR 3.2. Sei (N, v) ein konvexes Ertragsspiel. Dann ist core(v) genau die konvexe Hülle aller Marginalvektoren x π. Beweis. Sei X die Menge aller Marginalvektoren. Dann gilt conv(x) core(v), da die Menge aller Core-Vektoren unter der Bildung von konvexen Linearkombinationen abgeschlossen ist. Um zu zeigen, dass Gleichheit gilt, beobachten wir zuerst, dass conv(x) konvex und abgeschlossen ist (denn: X ist eine endliche Menge). Angenommen nun, es gäbe einen Vektor y core(v) \ conv(x). Dann existierte auch eine Hyperebene, die y von conv(x) trennt, d.h. es gäbe einen Koeffizientenvektor w R N mit der Eigenschaft w T y < w T x für alle x conv(x). Dann würde aber das Optimum über core(v) nicht bei einem Marginalvektor erreicht werden können, was der Optimalität des Greedy-Algorithmus widerspräche Summe und Durchschnitt von konvexen Spielen. Seien (N, v 1 ) und (N, v 2 ) konvexe Spiele. Dann ist offenbar auch das Spiel (N, v 1 + v 2 ) konvex. SATZ 3.4 (Summensatz). Seien (N, v 1 ) und (N, v 2 ) konvexe Spiele. Dann ist auch (N, v 1 + v 2 ) konvex und es gilt: core(v 1 + v 2 ) = core(v 1 ) + core(v 2 ) = {x 1 + x 2 x 1 core(v 1 ), x 2 core(v 2 )}.

14 80 3. KOOPERATIVE SPIELE Beweis. Ein Marginalvektor x π von (N, v 1 + v 2 ) ist genau die Summe der entsprechenden Marginalvektoren x π i von (N, v i ) (i = 1, 2). Also überträgt sich die Summeneigenschaft auch auf die übrigen Core-Vektoren als Konvexkombinationen von Marginalvektoren und die Behauptung ergibt sich als Konsequenz von Korollar 3.2. Wir untersuchen nun die Frage, ob core(v 1 ) core(v 2 ) nichtleer ist. Offenbar haben wir: core(v 1 ) core(v 2 ) = v 1 (N) = v 2 (N). Also gehen wir im weiteren grundsätzlich von v 1 (N) = v 2 (N) aus Dualität. Das Spiel (N, v # ) mit der charakteristischen Funktion ist das zu (N, v) duale Spiel. v # (S) = v(n \ S) v(n) NOTA BENE. Man beachte die Parallelität dieses Konzepts mit der in Abschnitt diskutierten Core-Dualität: c(s) = v(n) v(n \ S) = v # (S). Man verifiziert sofort (v # ) # = v v # (N) = v(n) und beobachtet allgemeiner: LEMMA 3.7. core(v # ) = core(v) = { x x core(v)}. Beweis. Sei x core(v) und S N. Dann gilt x(s) = x(n) + x(n \ S) v(n) + v(n \ S) = v # (S). Daraus folgt x core(v # ) und somit core(v) core(v # ). Die umgekehrte Richtung beweist man genauso leicht. Somit ergibt sich eine wichtige Erkenntnis: LEMMA 3.8. Seien v 1 und v 2 supermodulare Funktionen. Dann gilt core(v 1 ) core(v 2 ) 0 core(v 1 + v # 2 ).

15 4. DER GREEDY-ALGORITHMUS 81 Beweis. Sei x core(v 1 ) core(v 2 ). Dann gilt y = x core(v # 2 ) und folglich nach dem Summensatz 0 = x + y core(v 1 ) + core(v # 2 ) = core(v 1 + v # 2 ). Umgekehrt exisitiern im Fall 0 core(v 1 + v # 2 ) Vektoren x core(v 1) und y core(v # 2 ) mit x + y = 0. Daraus folgt x = y core(v 2). Es liegt 0 core(v 1 + v # 2 ) genau dann vor, wenn für alle S N gilt: Also finden wir 0 = 0(S) v 1 (S) + v # 2 (S) = v 1(S) + v 2 (N \ S) v 2 (N). SATZ 3.5 (EDMONDSscher Durchschnittsatz). Seien (N, v 1 ) und (N, v 2 ) konvexe Nutzenspiele mit v 1 (N) = v 2 (N) = v. Dann gilt core(v 1 ) core(v 2 ) v 1 (S) + v 2 (N \ S) v S N Auktionen mit 2 Bietern. Wir nehmen an, dass 2 Interessenten auf Objekte der Menge N bieten. Sei v i (S) das Gebot der Bieters B i für S. Dann ist der Wert von S in diesem Kontext v(s) = max{v 1 (S), v 2 (S)}. Wir untersuchen die Frage, ob core(v) nichtleer ist, und nehmen dabei v 1 und v 2 als konvex und monoton an. Ersetzen wir v 1 (N) und v 2 (N) durch den grösseren Wert v(n), so bleiben die beiden Spiele immer noch monoton und konvex. Also dürfen wir obda zusätzlich v 1 (N) = v 2 (N) = v annehmen. Unter unserer Annahme haben wir dann core(v) = core(v 1 ) core(v 2 ). EDMONDS Durchschnittssatz besagt, dass bei diesem (aus supermodularen Wertfunktionen v 1 und v 2 ) abgeleiteten Auktionspiel (N, v) gilt: core(v) v 1 (S) + v 2 (S \ N) v(n) S N. Bei Auktionsspielen mit 2 supermodularen Bietern ist der Core also genau dann leer, wenn es für den Auktionator echt vorteilhaft wäre, die Menge N in gewisse disjunkte Mengen S und N \ S aufzuteilen und separat an die beiden Bieter zu verkaufen. BEMERKUNG. Eine ähnliche Charakterisierung des Cores ist schon bei Auktionsspielen mit 3 supermodularen Bietern nicht bekannt.

16 82 3. KOOPERATIVE SPIELE 4.3. Submodulare Kostenspiele. Sei (N, c) ein kooperatives Spiel. Genau dann ist c submodular, wenn die Funktion v = c supermodular ist. Das Optimierungsproblem min x w(p)x(p) p N s.d. p W j x(p) v j (j = 1,..., n) ist äquivalent zu dem Optimierungsproblem max w(p)x(p) s.d. x(p) c j (j = 1,..., n) x p N p W j Also finden wir: Ist (N, c) ein submodulares Kostenspiel und w R N ein beliebiger Gewichtsvektor, dann löst der Greedy-Algorithmus das Problem max x core(c) wt x 4.4. Matroide. Ein Kostenspiel M = (N, r) heisst Matroid, wenn für alle p N und S, T N gilt: (M.0) r( ) = 0; (M.1) r(s p) r(s) = 0 oder 1; (M.2) r(s T ) + r(s T ) r(s) + r(t ). Ein Matroid ist also insbesondere als Kostenspiel konvex (d.h. submodular). Ist π eine Permutation der Grundmenge N, so ist besitzt der zugeordnete Marginalvektor x π nur 0 oder 1 als Komponenten und ist damit der Inzidenzvektor einer Teilmenge B = B π = {i N x π i = 1}. Typische Beispiele von Matroiden erhält man so. Man geht von einem beliebigen Körper K und einer Matrix A K m n aus, deren Spaltenindexmenge N = {1,..., n} als Menge der Spieler genommen wird. Für S N definiert man: r(s) = Rang der S entsprechenden Teilmatrix von Spaltenvektoren. BEMERKUNG. In geometrischer Sprechweise nennt man allgemein eine Menge vom Typ B π eine Basis des Matroids M. Die charakteristische Funktion r ist die sog. Rangfunktion und der Parameter r(m) = r(n) der Rang von M. Ist w : N R eine beliebige Gewichtung von N, so konstruiert der Greedy- Algorithmus eine Basis B π des Matroids M = (N, r), die in folgendem Sinn optimal ist: b B π w b = w(b π ) = max{w(b) B Basis von M}.

17 4. DER GREEDY-ALGORITHMUS 83 BEISPIEL 3.4 (Graphische Matroide). Sei G = (V, E) ein Graph mit Knotenmenge V und Kantenmenge E. Wir betrachten die Kanten(!) als Spieler (d.h. wählen N = E), für die wir eine charakteristische Funktion r induktiv definieren. Wir setzen r( ) = 0. Ist r(s) schon definiert und e E \ S, dann setzen wir { r(s) e schliesst einen Kreis mit einer Teilmenge von S, r(s e) = r(s) + 1 e schliesst keinen Kreis. Man kann zeigen, dass r(s) wohldefiniert und submodular ist. r(s) ist die Mächtigkeit einer maximalen kreisfreien Teilmenge der Kantenmenge S. Das Matroid M = M(G) = (E, r) ist das sog. Kreismatroid von G. Eine Basis B des Matroids M(G) ist eine maximale kreisfreie Kantenteilmenge. Ist der Graph G zusammenhängend, so ist auch B zusammenhängend und folglich ein aufspannender Baum von G. Umgekehrt bildet jeder aufspannende Baum B von G eine Basis von M(G). BEMERKUNG. Der auf Kreismatroide von Graphen angewandte Greedy-Algorithmus ist in der Graphentheorie und in der Informatik als Algorithmus von Kruskal bekannt. Mit diesem Algorithmus lassen sich optimale aufspannende Bäume in kantengewichteten zusammenhängenden Graphen leicht konstruieren. Insbesondere lassen sich damit minimale aufspannende Büme für das Vernetzungsspiel berechnen!