Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 6. Chi-Quadrat-Test und Fishers exakter Test

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen 6. Chi-Quadrat-Test und Fishers exakter Test Dirk Metzler & Martin Hutzenthaler 5. Mai 00 Inhaltsverzeichnis X -Anpassungstest für eine vorgegebene Verteilung X -Test auf Homogenität bzw. Unabhängigkeit 4 3 Fisher s exakter Test 6 4 X -Test für Modelle mit angepassten Parametern 8 X -Anpassungstest für eine vorgegebene Verteilung Mendels Erbsenexperiment grün (rezessiv) vs. gelb (dominant) rund (dominant) vs. runzlig (rezessiv) Erwartete Häufigkeiten beim Kreuzen von Doppelhybriden: grün runzlig 6 rund 3 6 gelb Im Experiment beobachtet (n = 556): grün gelb runzlig 3 0 rund Passen die Beobachtungen zu den Erwartungen? Relative Häufigkeiten: grün/runz. gelb./runz. grün/rund gelb./rund erwartet beobachtet

2 Können diese Abweichungen plausibel mit Zufallsschwankungen erklärt werden? Wir messen die Abweichungen durch die X -Statistic: X = i (O i E i ) E i wobei E i = erwartet Anzahl in Klasse i und O i = beobachtete (engl. observed) Anzahl in Klasse i. Wieso teilen wir dabei (O i E i ) durch E i = EO i? Sei n die Gesamtzahl und p i die Wahrscheinlichkeit (unter der Nullhypothese) jeder Beobachtung, zu O i beizutragen. Also Unter der Nullhypothese ist O i binomialverteilt: ( ) n Pr(O i = k) = p k i ( p i ) n k. k Wenn p klein ist, gilt n p ( p) n p und Anders ausgedrückt: E(O i E i ) = Var(O i ) = n p ( p). E (O i E i ) E i = Var(O i) EO i = p. die Binomialverteilung mit kleinem p und großem n kann durch die Poissonverteilung mit Parameter λ = n p approximiert werden: ( ) n p k ( p) n k λk k k! e λ mit λ = n p. Eine Zufallsvariable Y, die Werte in 0,,,... annehmen kann, ist poissonverteilt mit Parameter λ, wenn Pr(Y = k) = λk k! e λ. Es gilt dann EY = Var(Y ) = λ. gr/runz ge/runz gr/rund ge/rund sum theorie erw. (E) beob. (O) O E (O E) (O E) E X = 0.47 Ist ein Wert von X = 0.47 ungewöhnlich? Die Verteilung von X hängt ab von der Anzahl der Freiheitsgrade df (eng. degrees of freedom), d.h. die Anzahl der Dimensionen in denen man von der Erwartung abweichen kann.

3 In diesem Fall: Die Summe der Beobachtungen muss die Gesamtzahl n = 556 ergeben. wenn die ersten Zahlen 3, 0, 08 gegeben sind, ist die letzte bestimmt durch 35 = df = 3 Merkregel. Allgemein gilt beim Chi-Quadrat-Anpassungtest mit k Klassen df = k. densitiy of chi square distribution with df=3 densitiy of chi square distribution with df=3 dchisq(x, df = 3) dchisq(x, df = 3) x > pchisq(0.47,df=3)[0.ex] [] [0.ex] > pchisq(0.47,df=3,lower.tail=false)[0.ex] [] p-wert!!! > prob <- c(0.065,0.875,0.875,0.565) > obs <- c(3,0,08,35) > (n <- sum(obs)) [] 556 > (erw <- prob*n) [] > erw-obs [] > (erw-obs)^ [] > (erw-obs)^/erw [] > sum((erw-obs)^/erw) [] > pchisq( ,df=3,lower.tail=false) [] x > obs <- c(3,0,08,35) > prob <- c(0.065,0.875,0.875,0.565) > chisq.test(obs,p=prob) Chi-squared test for given probabilities data: obs X-squared = 0.47, df = 3, p-value =

4 X -Test auf Homogenita t bzw. Unabha ngigkeit Der Kuhsta rling ist ein Brutparasit des Oropendola. photo (c) by J. Oldenettel Literatur [Smi68] N.G. Smith (968) The advantage of being parasitized. Nature, 9(555):690-4 Kuhsta rling-eier sehen Oropendola-Eiern sehr a hnlich. Normalerweise entfernen Oropendolas alles aus ihrem Nest, was nicht genau nach ihren Eiern aussieht. In einigen Gegenden sind Kuhsta rling-eier gut von Oropendola-Eiern zu unterscheiden und werden trotzdem nicht aus den Nestern entfernt. Wieso? Mo gliche Erkla rung: Dasselfliegenlarven to ten ha ufig junge Oropendolas. Nester mit Kuhsta rling-eier sind mo glicherweise besser vor Dasselfliegenlarven geschu tzt. Anzahlen von Nestern, die von Dasselfliegenlarven befallen sind In Prozent: Anzahl Kuhsta rling-eier befallen nicht befallen 0 89% % 5% 85% Anzahl Kuhsta rling-eier befallen nicht befallen % 94% Anscheinend ist der Befall mit Dasselfliegenlarven reduziert, wenn die Nester Kuhsta rlingeier enthalten. statistisch signifikant? Nullhypothese: Die Wahrscheinlichkeit eines Nests, mit Dasselfliegenlarven befallen zu sein ha ngt nicht davon ab, ob oder wieviele Kuhsta rlingeier in dem Nest liegen. P Anzahl Kuhsta rling-eier 0 befallen 6 99 Anzahlen der von Dasselfliegenlarven befallenen Nester nicht P befallen

5 Welche Anzahlen würden wir unter der Nullhypothese erwarten? Das selbe Verhältnis 9/48 in jeder Gruppe. Erwartete Anzahlen von Dasselfliegenlarven befallener Nester, bedingt auf die Zeilen- und Spaltensummen: Anzahl Kuhstärling-Eier 0 befallen nicht befallen = = 5. Alle anderen Werte sind nun festgelegt durch die Summen. beobachtet (O, observed): befallen 6 9 nicht befallen erwartet: (E): O-E: X = i (O i E i ) E i = befallen nicht befallen befallen nicht befallen Wenn die Zeilen- und Spaltensummen gegeben sind, bestimmen bereits Werte in der Tabelle alle anderen Werte df= für Kontingenztafeln mit zwei Zeilen und drei Spalten. Allgemein gilt für n Zeilen und m Spalten: df = (n ) (m ) densitiy of chi square distribution with df= dchisq(x, df = ) x 5

6 > M <- matrix(c(6,,,,,6),nrow=) > M [,] [,] [,3] [,] 6 [,] 6 > chisq.test(m) Pearson s Chi-squared test data: M X-squared = , df =, p-value = 3.83e-07 Der p-wert basiert wieder auf einer Approximation durch die χ -Verteilung. Faustregel: Die χ -Approximation ist akzeptabel, wenn alle Erwartungswerte E i 5 erfüllen. Alternative: approximiere p-werte durch Simulation: > chisq.test(m,simulate.p.value=true,b=50000) Pearson s Chi-squared test with simulated p-value (based on replicates) data: M X-squared = , df = NA, p-value = e-05 3 Fisher s exakter Test Literatur [McK9] J.H. McDonald, M. Kreitman (99) Adaptive protein evolution at the Adh locus in Drosophila. Nature 35: synonym verändernd polymorph 43 fixiert 7 7 > McK <- matrix(c(43,7,,7),, dimnames=list(c("polymorph","fixed"), c("synon","replace"))) > McK synon replace polymorph 43 fixed 7 7 > chisq.test(mck) Pearson s Chi-squared test with Yates continuity correction data: McK X-squared = , df =, p-value = Warning message: In chisq.test(mck) : Chi-Square-Approximation may be incorrect 6

7 Yates Stetigkeitskorrektur: Wegen der kleinen erwarteten Werte wird (O i E i 0.5) i E i > chisq.test(mck,simulate.p.value=true,b=00000) Pearson s Chi-squared test with simulated p-value (based on e+05 replicates) data: McK X-squared = , df = NA, p-value = Fishers exakter Test A B C D Nullhypothese: EA/EC EB/ED = verwendet. Für -Tabellen können die p-werte exakt berechnet werden. (keine Approximation, keine Simulation). > fisher.test(mck) Fisher s Exact Test for Count Data data: McK p-value = alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 95 percent confidence interval: sample estimates: odds ratio a b K c d M U V N Unter der Annahme, dass die Zeilen und Spalten unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit, dass links oben in der Tabelle der Wert a bzw. oben recht ein b = K a steht: ) )( M ) d ( K )( M a c Pr(a oben links) = ( N = Pr(b oben rechts) = ( N ) U) V ( K b 7

8 hypergeometrische Verteilung a b 45 c d b Pr(b) Einseitiger Fisher-Test: für b = : p-wert=pr(0) + Pr() + Pr() = für b = 3: p-wert=pr(0) + Pr() + Pr() + Pr(3) = Zweiseitiger Fisher-Test: Addiere alle Wahrscheinlichkeiten, die kleiner oder gleich Pr(b) sind. für b = : p-wert=pr(0) + Pr() + Pr() = für b = 3: p-wert= Pr(0) + Pr() + Pr() + Pr(3) + Pr(9) = X -Test für Modelle mit angepassten Parametern Gegeben sei eine Population im Hardy-Weinberg-Gleichgewicht und ein Gen-Locus mit zwei möglichen Allelen A und B mit Häufigkeiten p und p. Genotyp-Häufigkeiten AA AB BB p p ( p) ( p) Beispiel: M/N Blutgruppen; Stichprobe: Amerikaner europäischer Abstammung beobachtet: MN Geschätzte Allelhäufigkeit p von M: Erwartungswerte: MN p p ( p) ( p) = NM all possible observations (O,O MN,O ) are located on a triangle (simplex) between (,0,0) (0,,0) and (0,0,) NM The points representing the Expected Values (E,E MN,E ) depend on one parameter p between 0 and and thus form a curve in the simplex. 8

9 NM under the null hypothesis, one of these values must be the true one NM The observed (O,O NM,O ) will deviate from the expected. NM We do not know the true expectation values so we estimate (E,E MN,E ) by taking the closest point on the curve of possible values, i.e. we hit the curve in a right angle. Thus, deviations between our our observations (O,O,O ) and NM our (E,E NM,E ) can only be in one dimension: perpendicular to the curve. df = k m k = Anzahl Gruppen (k=3 Genotypen) m = Anzahl Modellparameter (m= Parameter p) im Blutgruppenbeispiel: df = 3 = > obs <- c(787,3037,305) > n <- sum(obs) > p <- (* )/(* ) > probs <- c(p^,*p*(-p),(-p)^) > erw <- probs*n > (X <- sum((obs-erw)^/erw)) [] > (p.value <- pchisq(x,df=,lower.tail=false)) []