Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts am Gymnasium in Niedersachsen Förderung mathematischer Kompetenzen

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1 Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts am Gymnasium in Niedersachsen Förderung mathematischer Kompetenzen

2 Mathematikunterricht in Niedersachsen Rückblick und Ausblick Der Computer zwingt uns in der Mathematikdidaktik Fragen auf, denen wir nicht (länger) ausweichen können. Prof. Horst Hischer 1994 Es gilt drei Fragen zu beantworten: Mathematik: was ist das, wie macht man das, und was kann ich damit anfangen bzw. was nicht? Minister Prof. Rolf Wernstedt 1994

3 Meilensteine 1994: Ziele und Inhalte eines künftigen Mathematikunterrichts an Gymnasien, Fachgymnasien und Gesamtschulen, Impulse einer Tagung des MK in Lingen: 1997: Empfehlungen für den Mathematikunterricht am Gymnasium Wenn unser Unterricht heute darin besteht, dass wir Kindern Dinge beibringen, die in einem oder zwei Jahrzehnten besser von Maschinen erledigt werden, beschwören wir Katastrophen herauf. 1997: Aufbau des Netzwerks MUT 2003: Rahmenrichtlinien Mathematik für den Sekundarbereich I (Mindestanforderung an die den Mathematikunterricht begleitende Technologie) 2006: Kerncurriculum Mathematik für den Sekundarbereich I 2006: Abitur mit landesweit einheitlicher Aufgabenstellung 2009: Kerncurriculum Mathematik für die gymnasiale Oberstufe 2014: ländergemeinsame Aufgabenstellung 2015: Weiterentwickeltes KC Hans Freudenthal 1973

4 1997: Empfehlungen für den Mathematikunterricht am Gymnasium Mathematik als Sprache (innermathematisch) und als Sprache zur Beschreibung der Welt (Anwendung, Modellierung) Unterrichtskultur sinnstiftender Schwerpunkt Entdeckender Unterricht Konstruktiver Umgang mit Fehlern Genetischer Mathematikunterricht Problemorientierung Anwendungsorientierung Wenige Syntax, mehr Semantik Verständiger Einsatz zur Verfügung stehender Hilfsmittel.. Einsatz von Technologie Numerische, symbolische und graphische Fähigkeiten Kalkülorientierter Mathematikunterricht - Kalkülkompetenz Aus- und fortbildung Veränderung der Curricula

5 MUT- Netzwerkarbeit, Modellversuche, Fortbildung Fachbezogenes Netzwerk seit 1997 mit landesweit 80 bis 100 Multiplikatoren Vielfache Fortbildungsmaßnahmen der Fachgruppen Mathematik an den Gymnasien und auch der Gesamtschulen Entwicklungen sind gestützt durch wissenschaftlich begleitete Modellversuche. Arbeitsmaterialien sowie methodische und didaktische Handreichungen sind veröffentlicht. LEMAMOP

6 MUT- Netzwerkarbeit, Modellversuche, Fortbildung Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge vertieftes Verständnis entdecken mathematischer Zusammenhänge symbolische Rechnungen und exakte Ergebnisse als Anlass für Schülerfragen und Lernprozesse sein Lerngelegenheiten für die Erarbeitung, Reflexion sowie Übung und Wiederholung der aktuellen und länger zurückliegend behandelten Lerninhalte Notwendigkeit regelmäßiger Kopfübungen zum Wachhalten von Grundfertigkeiten ohne den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge. Was muss auch noch langfristig hilfsmittelfrei gekonnt werden? Stärkung mathematische Grundfähigkeiten im Unterricht mit digitalen Mathematikwerkzeugen Einführung eines hilfsmittelfreien Prüfungsteils vor dem Hintergrund der vorliegenden Ergebnisse der Modellversuche Aktuellen didaktischen und methodischen Entwicklungen im Mathematikunterricht bilden sich in den Kerncurricula und in den Bildungsstandards für die Abiturprüfung ab.

7 Prüfungsformate aktuell Prüfungsaufgaben: entsprechen den Anforderungen der Bildungsstandards. Einer durchgängigen Verwendung digitaler Mathematikwerkzeuge im Unterricht folgt dann auch deren Einsatz in der Prüfung. erfassen ein breites Spektrum des verständigen Umgangs mit der im Unterricht vermittelten Mathematik, beziehen sich auf drei Sachgebiete, enthalten einen hilfsmittelfreien Teil vor dem Hintergrund der aktuellen fachdidaktischen Diskussion und den Ergebnissen der Modellversuche, beachten die vielen Schnittstellen innerhalb von Schule und beim Übergang zum Studium oder zur Berufsausbildung tragen dem Erfordernis Rechnung, hilfsmittelfrei zur Verfügung stehende Kompetenzen im Fach Mathematik nachhaltig zu sichern.

8 Prüfungsformate aktuell Kombination eines hilfsmittelfreien Pflichtteils und eines zeitlich wesentlich umfassenderer, auf den vollständigen Hilfsmitteleinsatz gestützten Wahlpflichtteils in der Abiturprüfung Ergebnisse der Abiturprüfung 2014 bestätigen den Niedersächsischen Weg Vergleichbare Regelugen in den Abschlussarbeiten der anderen Schulen am Ende des Sekundarbereichs I

9 Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 Mathematik Kerncurriculum für das Gymnasium gymnasiale Oberstufe die Gesamtschule - gymnasiale Oberstufe das Fachgymnasium das Kolleg Mathematik CALiMERO LEMAMOP Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule

10 Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 Mathematik Kerncurriculum für das Gymnasium gymnasiale Oberstufe die Gesamtschule - gymnasiale Oberstufe das Fachgymnasium das Kolleg Computer Algebra im Mathematikunterricht Entdecken, Rechnen, Organisieren Mathematik CALiMERO LEMAMOP Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule

11 Kerncurriculum für Kerncurriculum das Gymnasium gymnasiale Oberstufe für das Gymnasium MAthematische BInnendifferenzierende die Gesamtschule - gymnasiale Oberstufe Schuljahrgänge 5-10 KOMpetenzentwicklung das in einen Fachgymnasium mit neuentechnologien unterstützten das Kolleg Mathematik Mathematikunterricht Mathematik CALiMERO LEMAMOP Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule

12 Kerncurriculum für das Gymnasium Schuljahrgänge 5-10 Mathematik Kerncurriculum für das Gymnasium gymnasiale Oberstufe die Gesamtschule - gymnasiale Oberstufe das Fachgymnasium das Kolleg Lerngelegenheiten zum Mathematischen Argumentieren, Modellieren und Problemlösen Mathematik CALiMERO LEMAMOP Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule

13 Unterrichtskonzept von CALiMERO

14 Unterrichtskonzept von MABIKOM

15 Auszug aus der Arbeitsfassung des Kerncurriculums für das Gymnasium Schuljahrgänge 5 bis 10

16 Umsetzung in CALiMERO Händische Fertigkeiten Anhand der jeweiligen Form des Terms der quadratischen Funktion Informationen über den Graphen entnehmen und je nach den gegebenen Informationen skizzieren können Scheitelpunktform: Scheitelpunkt, Öffnung, Streckung, Verschiebung faktorisierte Form: Nullstellen, Öffnung, Symmetrieachse allgemeine Form: Öffnung, Streckung Nicht mehr händisch Umformung zwischen den unterschiedlichen Darstellungen Lösen quadratischer Gleichungen p-q-formel und quadratische Ergänzung fallen 2 der Form ax bx 0. in unserem Konzept weg. 2 der Form ax c in faktorisierter Form oder x² 2x Scheitelpunktform graphisches Lösen. mittels CAS bzw. durch graphische Lösung über Schnitt von Parabel und Gerade für einfache Fälle Regression und Modellkritik von Punktwolken mittels TC

17 Auszug aus dem Kerncurriculum für das Gymnasium - gymnasiale Oberstufe Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren Mithilfe der Koordinatisierung entwickeln die Schülerinnen und Schüler ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiter. Die Methoden der Vektorrechnung ermöglichen die Beschreibung und Untersuchung einfacher geometrischer Objekte und ihrer Lagebeziehungen im Raum. Die erarbeiteten Werkzeuge erlauben eine Modellierung von Realsituationen. grundlegendes Anforderungsniveau erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum. wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch. erkennen die Kollinearität zweier Vektoren. wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an. beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform. erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden sowie von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme. deuten das Skalarprodukt geometrisch. erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme.

18 Auszug aus dem Kerncurriculum für das Gymnasium - gymnasiale Oberstufe Leitidee: Messen Die Schülerinnen und Schüler erfahren das Messen als universelles Werkzeug zum Quantifizieren und Vergleichen. In allen drei Sachgebieten stellt die Mathematik geeignete Verfahren zum Messen zur Verfügung. Die eingeführte Technologie ermöglicht Berechnungen in komplexeren Situationen und erleichtert so die Konzentration auf das Problem im Sachzusammenhang. grundlegendes Anforderungsniveau erhöhtes Anforderungsniveau Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Skalarprodukt zur Bestimmung der Winkelgröße zwischen Vektoren. bestimmen Streckenlängen im Raum.

19 Umsetzung in CALiMERO Rechnerfreie Fertigkeiten Sie sollen 1. gegebene Objekte mithilfe von Koordinaten beschreiben und zeichnerisch darstellen. 2. begründen, dass den Punkten in einer zweidimensionalen Darstellung des Raumes nicht eindeutig dreidimensionale Koordinaten zugeordnet werden können. 3. Vektoren addieren, subtrahieren und mit einem Skalar multiplizieren und diese Operationen geometrisch interpretieren. 4. das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und (insb. hier in einfachen Fällen!) für das Bestimmen von Streckenlängen bzw. der Überprüfung auf Orthogonalität nutzen. 5. zwei Vektoren auf Kollinearität überprüfen und diese Eigenschaft bei der Einschätzung von Lagebeziehungen bei Geraden (und Ebenen) nutzen. 6. (in einfachen Fällen!) die Lagebeziehung von Geraden und Ebenen mithilfe der Richtungsvektoren bestimmen können. 7. (in einfachen Fällen!) die Parallelität oder Identität von zwei Ebenen nachweisen.(ea)

20 CAS-Fertigkeiten Sie sollen Vektoren im TC geeignet darstellen können. Vektorgleichungen (Schnittprobleme) durch Umwandlung in geeignete lineare Gleichungssysteme mithilfe des Befehls rref lösen können; dabei können Sie die diagonalisierte Matrix bezüglich der Anzahl der Lösungen richtig interpretieren. (Alternativ: solve für lineare Gleichungen, die mit and verbunden sind. Warnung: solve ist problematisch bei der Anwendung auf Vektorgleichungen) die Länge eines Vektors ( norm ) berechnen können. das Skalarprodukt ( dotp ) berechnen können.

21 Auszug aus dem Kerncurriculum für das Gymnasium - gymnasiale Oberstufe Die Schülerinnen und Schüler Funktionaler Zusammenhang führen Parametervariationen zur Anpassung von Funktionen an Daten durch. deuten das bestimmte Integral als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt. x kennen Stammfunktionen für die Funktionen x e, x sin(x), x x und x x ; n, 1 darunter auch x. x kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren. nutzen den Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral zur Bestätigung von Stammfunktionen. berechnen unbestimmte Integrale mithilfe der Summen- und Faktorregel. wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an. interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten. (ea) begründen geometrisch anschaulich den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. (ea) begründen die Volumenformel für Körper, die durch Rotation um die x-achse entstehen. (ea) n

22 Auszug aus dem Kerncurriculum für das Gymnasium - gymnasiale Oberstufe Messen Die Schülerinnen und Schüler berechnen Bestände aus Änderungsraten. bestimmen Flächeninhalte begrenzter Flächen. bestimmen Volumina von Körpern, die durch Rotation um die x-achse entstehen. (ea) bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen. (ea)

23 Umsetzung in CALiMERO Rechnerfreie Fertigkeiten Die Schülerinnen und Schüler sollen 1. in Anwendungskontexten aus graphisch gegebenen Änderungen Bestände bzw. den Gesamteffekt der Änderungsraten ggf. näherungsweise bestimmen, 2. Bestände bei Änderungsfunktionen geometrisch bzw. als Integral deuten und umgekehrt, 3. Flächeninhalte, die durch Graphen einfacher Polynomfunktionen begrenzt sind, berechnen, 4. einfache Integrale geometrisch deuten und deren Wert graphisch abschätzen, 5. zu einem gegebenen Funktionsgraphen die Graphen der zugehörigen Ableitungsfunktion sowie einer Stammfunktion skizzieren, 6. Stammfunktionen zu einfachen Funktionen angeben, 7. einfache Integrale mithilfe von Stammfunktionen berechnen.

24 CAS-Fertigkeiten Die Schülerinnen und Schüler sollten am Ende dieser Unterrichtseinheit im Umgang mit dem TC zusätzlich in der Lage sein, den Integraloperator zu verwenden. die Betragsfunktion (abs) zu verwenden. den Integraloperator im Graphs -Menü zur Veranschaulichung des Integrals als Fläche zu verwenden.

25 Beispielaufgaben aus CALiMERO 1. Die Grafik zeigt den Download einer Datei. Wie groß ist die Datei etwa? 2. Die dargestellte Funktion f beschreibt die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs über eine Stunde hinweg. Wie ist die in der letzten Viertelstunde zurückgelegte Weglänge geometrisch und als Term zu deuten? Welche Bedeutung hat der Term f(x)dx für Sachkontext bzw. für den Graphen? den

26 Beispielaufgaben aus CALiMERO 3. Berechnen Sie jeweils den markierten Flächeninhalt. 7. Berechnen Sie die Integrale x x (x 1)dx; x dx; dx; (x 1) (x 1)dx

27 Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule Aufgabe P1 Für jeden Wert von a (a IR) ist eine Funktion f 2 gegeben durch f (x). x a ( x IR) a) Begründen Sie mithilfe der Lage des Graphen von im Koordinatensystem, dass gilt 1. (2 BE) f (x) dx b) Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den f (x) dx 0 gilt. (3 BE) a 1 f 1 a 1 a

28 Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule Aufgabe P2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f. a) Beschreiben Sie für den Verlauf des Graphen einer Stammfunktion von f. (2 BE) b) Skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen einer Stammfunktion von f im gesamten dargestellten Bereich. (3 BE)

29 Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Pflichtteil ea Gymnasium Gesamtschule Aufgabe P3 x 2 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) e (2 x x ) (x IR). a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. (2 BE) b) Zeigen Sie, dass die Funktion F mit eine Stammfunktion von f ist. 0 2 x F(x) x e (x IR) (2 BE) 4 c) Zeigen Sie, dass f(x) dx 2 gilt. (2 BE) e 2

30 Zentralabitur 2014 Mathematik Schülermaterial Wahlteil Rechnertyp: CAS ea Gymnasium Gesamtschule

31 Kopfübungen aus CALiMERO Vereinfache! 7b+4a 2b Löse die Klammer auf! (3 + a) (b 4) Wende die Wurzelgesetze an! % sind 60 kg. Gib 100% an. In ein Becken fließen pro Minute 30 l Wasser. Gib den Term der linearen Funktion an, wenn zu Beginn bereits 120 l Wasser vorhanden sind. Bei einem Quader verdoppeln sich Länge und Breite. Wie verändert sich sein Volumen?

32 Kopfübungen aus CALiMERO; Jg. 10 Löse die Klammern auf: (2a 3b) (3b 2a) Nenne die Nullstellen der Sinusfunktion. Zeige an einer Skizze die Bedeutung des Verkehrsschildes

33 Kopfübungen aus CALiMERO; Oberstufe Gib die Winkelgröße 2 im Gradmaß an. log 10(0,01) Berechne die gefärbte Fläche. 1 Kästchen ist 1 cm 2 groß.

34 Checkliste bei CALiMERO Ich kann kann ich gut muss ich noch üben ich brauche Hilfe Wendepunkte des Funktionsgraphen als Übergang von einer Links- in eine Rechtskurve (oder umgekehrt) erkennen und weiß, dass dort die Steigung des Graphen minimal oder maximal ist. zu einer gegebenen Funktion (Graph und Gleichung) die Wendepunkte bestimmen. Sattelpunkte als spezielle Wendepunkte erkennen.

35 LEMAMOP: Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problemlösen

36 LEMAMOP das Projekt

37 LEMAMOP Herausforderungen Kompetenztraining für Mathematisches Argumentieren Modellieren Problemlösen Kompetenztraining für die Schuljahrgänge 5 bis 12 Gruppendynamik

38 LEMAMOP Herausforderungen Kompetenztraining für Mathematisches Argumentieren Modellieren Problemlösen stoffliche und handlungsorientierte Vernetzungen mit Wiederholungen von Grundwissen und Grundkönnen

39 LEMAMOP Herausforderungen Kompetenztraining für Mathematisches Argumentieren Modellieren Problemlösen Aufbau: Stunde: Einführung und Training (Binnendifferenziert) 4. Stunde: Reflexion durch die Schüler (Trainingsrückblick)

40 LEMAMOP Herausforderungen

41 Mathematische Probleme lösen Mathematisch Modellieren Mathematisch argumentieren... Algebraische Aspekte: Zahl Geometrische Aspekte: Raum

42 Vorgeschichte: Mathematik-Multiplikation in Niedersachsen Konzeption von Unterrichtsmaterialien, Lösungen, didaktischen Lehrerhandreichungen: Entwicklung-Erprobung-Weiterentwicklung, Veröffentlichung & Fortbildungen Niedersächsische Schulversuche für Gymnasien: CAliMERO ( ): Computer-Algebra im Mathematikunterricht: Entdecken, Rechnen, Organisieren (MU ) MABIKOM ( ): Mathematische Binnendifferenzierende Kompetenzentwicklung (MU & ml 162, 2010) LEMAMOP ( ): Lerngelegenheiten für Mathematisches Argumentieren, Modellieren und Problemlösen (Bruder, Krüger, Bergmann in BzMU 2014)

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44 Danke für die Aufmerksamkeit!