Moderne Methodik bei der Analyse von Mietspiegeln

Transkript

1 Moderne Methodik bei der Analyse von Mietspiegeln Dr. Susanne Meßler, omnistat gmbh 13. Oktober 2010

2 Inhalt Definition und Bedeutung eines Mietspiegels Datengrundlage Deskriptiver Überblick Einfachregression Multiple Regression Additives Modell Nichtparametrische Regression Vergleich Spline versus Faktor 2/31

3 Definition Mietspiegel Übersicht über die ortsübliche Vergleichsmiete, die von der Gemeinde oder Interessenvertretern der Vermieter und Mieter gemeinsam erstellt oder anerkannt wurde Ortsübliche Vergleichsmiete wird gebildet aus den üblichen Entgelten, die in einer Gemeinde für Wohnraum vergleichbarer Art, Größe, Ausstattung, Beschaffenheit und Lage in den letzten vier Jahren vereinbart oder geändert wurden (nach BMVSE) 3/31

4 Bedeutung Markttransparenz, da für Mieter und Vermieter öffentlich zugängige ortsübliche Vergleichsmiete auf breiter Informationsbasis Begründungs- und Beweisfunktion bei gesetzlichen Mieterhöhungsverfahren nach 558 des BGB 4/31

5 Bedeutung Qualifizierter Mietspiegel nach anerkannten wissenschaftlichen Grundsätzen erstellt mit nachvollziehbarer Dokumentation des Analyseverfahrens als Broschüre und/oder Online-Version veröffentlicht von Gemeinde oder Interessenvertretern der Mieter wie Vermieter anerkannt mit repräsentativer Primärdatenerhebung alle 4 Jahre Anpassung an den Markt durch Fortschreibung nach 2 Jahren gesetzliche (widerlegbare) Vermutungswirkung für die Richtigkeit der ausgewiesenen Werte gesetzliche Mitteilungsverpflichtung 5/31

6 Datengrundlage Neuvertragsmieten oder geänderte Bestandsmieten in den letzten vier Jahren Ausschlüsse, u.a. - kein preisgebundener Wohnraum - keine Untermieten oder möblierten Wohnungen - keine Studentenwohnheime - keine Mitbenutzung von Bad, Toilette oder Küche - kein gewerblich genutzter Wohnraum MS 2007: n=2983 mietspiegelrelevante Wohnungen 6/31

7 Datengrundlage Idee Regressionsmietspiegel liefert ein mathematisches Modell für den Zusammenhang von Nettomiete und Wohnwertmerkmalen Zielgröße = Nettokaltmiete pro qm (ohne Betriebskosten und Heizkosten) Regressoren = mietpreisbildende Faktoren, die aus über 300 Rohvariablen nach inhaltlichen und statistischen Gesichtspunkten gebildet werden 7/31

8 Deskriptiv: Verteilung der Nettomiete (pro qm) 8/31

9 Deskriptiv: Nettomiete pro qm versus Baujahr Histogramm und Kerndichteschätzer Nettomiete pro qm gegen Baujahr 9/31

10 Deskriptiv: Nettomiete pro qm gegen Wohnfläche und Wohnlage Wohnlage 10/31

11 Einfachregression 2 M1 y i = 0 1 xi i, i~n 0, yi xi Nettomiete pro qm der i-ten Beobachtung Wohnfläche in qm der i-ten Beobachtung εi zufällige Abweichung der i-ten Beobachtung Kleinste-Quadrate-Schätzung der unbekannten Parameter: n KQ 0, 1 = y i 0 1 xi 2 min i =1 11/31

12 Einfachregression M1... Beispiel beschränkt auf Beobachtungen in durchschnittlicher Lage: f x = 0 1 x = x Unzureichende Anpassung! Nichtlinearer Zusammenhang? Transformation 12/31

13 Einfachregression: Transformation M2 1 y i = 0 1 i, i~n 0, 2 xi yi xi Nettomiete pro qm der i-ten Beobachtung Wohnfläche in qm der i-ten Beobachtung εi zufällige Abweichung der i-ten Beobachtung 13/31

14 Einfachregression: Transformation... M1 f x = x R² = M2 f x = x R² = /31

15 Multiple lineare Regression M3 1 2 y i = x i2 3 xi3 i, i~n 0, x i1 Nettomiete pro qm der i-ten Beobachtung Wohnfläche in qm der i-ten Beobachtung x i2= 1, Wohnung i liegt in guter Wohnlage 0, sonst yi xi1 {} x =1 {0} i3 εi, Wohnung i liegt in bester Wohnlage, sonst zufällige Abweichung der i-ten Beobachtung 15/31

16 Multiple lineare Regression Prädiktor: M3 erwartete Nettomiete pro qm = Wohnfläche Gute.Lage Beste.Lage Additiver Effekt der Wohnlage: Bei gleicher Wohnfläche gibt es einen Zuschlag von 1 bzw. 2,55 für die gute bzw. beste Lage im Vergleich zu einer Wohnung in normaler Lage. R² = /31

17 Multiple lineare Regression M4 1 y i = x i2 3 xi3 4 x i4 5 xi5 i x i1 Nettomiete pro qm der i-ten Beobachtung Wohnfläche in qm der i-ten Beobachtung x i2= 1, Wohnung i liegt in guter Wohnlage 0, sonst yi xi1 {} x =1 {0} i3 xi4, Wohnung i liegt in bester Wohnlage, sonst Baujahr der i-ten Beobachtung xi5= xi42 quadriertes Baujahr der i-ten Beobachtung 17/31

18 Multiple lineare Regression Effekt der Wohnfläche Effekt des Baujahrs M4 R² = /31

19 Multiple lineare Regression Linearer Prädiktor: M4 erwartete Nettomiete pro qm = Wohnfläche 3.68 Baujahr 9.44 Baujahr Gute.Lage 2.58 Beste.Lage Baujahreseffekt 2 f Baujahr = 4 Baujahr 5 Baujahr 19/31

20 Multiple lineare Regression Linearer Prädiktor: M4 erwartete Nettomiete pro qm = Wohnfläche 3.68 Baujahr 9.44 Baujahr Gute.Lage 2.58 Beste.Lage Keine Identifizierbarkeit gewährt! Niveau der nichtlinearen Funktionen von Wohnfläche und auch Baualter ist durch Transformation der erklärenden Variablen beliebig verschiebbar. M5 Zentriere Kovariablen um Null Verwende orthogonale Polynome 20/31

21 Multiples lineares Modell M5 R² = /31

22 Additives Regressionsmodell Übergeordnete Modellklasse: y i = f 1 z i1 f q z iq 0 1 xi1 k x ik i x1,..., xk z1,..., zq f1,..., fq εi kategoriale Kovariablen metrische Kovariablen glatte Funktionen Fehlervariablen mit klassischen Annahmen Iterativer Schätzvorgang linearer Teil mittels KQ-Methode flexible Funktionen mittels nichtparametrischer Methodik 22/31

23 Nichtparametrische Regression 2 y i = f z i i, i~n 0, Modelliere f als Spline, d.h. als stückweise Polynome, die an den Intervallgrenzen (Knoten) gewissen Glattheitsbedingungen genügen. d Approximation von f durch Basisfunktionen: f z = l Bl z l =1 Minimierung des penalisierten KQ-Kriteriums: n d 2 PKQ, 1,, d = y i j B j z j P 1,, d min i=1 j=1 Strafterm Strafterm regularisiert die Schätzung 23/31

24 Schematisches Beispiel aus Fahrmeir/Kneib/Lang (2007) 24/31

25 Schematisches Beispiel aus Fahrmeir/Kneib/Lang (2007) 25/31

26 Schematisches Beispiel aus Fahrmeir/Kneib/Lang (2007) 26/31

27 Additives Regressionsmodell M5 z1 z2 f1, f2 x1 x2 εi y i = f 1 z i1 f 2 z i2 0 1 x i1 2 xi2 i Wohnfläche Baualter Regressionssplines mit penalisierter B-Spline Basis Indikatorvariable für gute Wohnlage Indikatorvariable für beste Wohnlage Fehlervariablen mit klassischen Annahme

28 Regressionsplines mit penalisierter B-Spline Basis M5 R² = /31

29 Vergleich Spline versus Faktor Volles Modell = M5 erweitert um weitere Wohnwertmerkmale, Baujahr: metrische Baualtersangabe der Stadt München nichtparametrische Modellierung M6 M7 Volles Modell, Baujahr: 11-kategoriale Erhebung beim Mieter Dummy-Kodierung

30 Vergleich Spline versus Faktor Effekt des Baualters Baujahr als Faktorvariable weicht an manchen Stellen deutlich ab von der nichtparametrischen Modellierung Faktorvariable unplausible, insbesondere bei jüngeren Baujahren Baujahr N

31 Referenzen Wood SN (2006). Generalized additive models: An introduction with R. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton. Fahrmeir L, Kneib T, Lang (2007). Regression - Modelle, Methoden und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Fahrmeir L, Belitz C, Brezger A, Heim S, Hennerfeind A, Jerak A (2009). Statistische Analyse der Nettomieten. In: Mietspiegel für München Statistik, Dokumentation und Analysen. Landeshauptstadt München, Sozialreferat, Amt für Wohnen und Migration Danke Prof. emer. Dr. Ludwig Fahrmeir, Mietspiegelgruppe von 2007, Landeshauptstadt München, info@omnistat.de 31/31