Einführung in MATLAB DLR Göttingen

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1 Einführung in MATLAB DLR Göttingen Visualisierung Gerd Rapin Institut für Numerische und Angewandte Mathematik Georg-August Universität Göttingen Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.1/64

2 Visualisierung Input und Output Zweidimensionale Grafikmöglichkeiten Eindimensionale Inter- und Extrapolation Dreidimensionale Grafikmöglichkeiten Mehrdimensionale Interpolation Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.2/64

3 Input / Output Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.3/64

4 Input und Output Formatierte Ausgabe Schreiben in Dateien Einlesen von Daten aus Dateien Durch help iofun erhält man eine Übersicht aller Ein- und Ausgabe - Befehle Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.4/64

5 Ausgabe Angeben einer Variable ohne Semicolon: >> text=[ Pi mit 6 signifikanten Stellen : num2str(pi,6)] text = Pi mit 6 signifikanten Stellen : Ausgabe des Strings X durch disp(x) >> disp(text) Pi mit 6 signifikanten Stellen : Ausgabe durch fprintf() >> fprintf( Pi mit %1.f Nachkomma-Stellen : %6.4f \n,4,pi) Pi mit 4 Nachkomma-Stellen : Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.5/64

6 fprintf- Formartierte Ausgabe fprintf( Format, Argument1, Argument2,...) Format ist ein String der das genaue Output-Form der Argumente (Werte der Variablen) bestimmt: Format= <*>%<±> <v1.n1><typ1><*>%<±> <v2.n2><typ2><*>... <*> Hier kann beliebieger Text eingegeben werden. <±> Durch + wird die Angabe des Vorzeichens erzwungen. Durch - wird eine linksbündige Ausgabe erzeugt. Weglassen von <±> erzeugt eine rechtsbündige Ausgabe ohne Anzeige des + Zeichens. vi ni typi Durch vi wird die Anzahl der insgesamt dargestellten Zeichen von Argumenti gesteuert. Hierdurch wird entsprechend die Anzahl von Nachkommastellen angegeben. Gibt den Datentyp und Darstellungsformat von Argumenti an: f (Standarddarstellung von Gleitkommazahlen), e (Expontialdarstellung von Gl.), g (entweder Darst. f oder e), s (Strings),... Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.6/64

7 Bemerkungen zu fprintf Die formatierte Ausgabe ist an den Ansi-C Standard angelehnt. Durch \n wird ein Zeilenumbruch bewirkt. \% erzeugt %. sprintf funktioniert wie fprintf. Allerdings wird die Ausgabe als String zurückgegeben. Ist ein Argument eine Matrix, so wird fprintf vektorisiert. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.7/64

8 Schreiben in Dateien - Beispiel % waehrung.m % % Erstellt eine Umrechnungstabelle zwischen % Euro und anderer Waehrung waehrung_name=input( Umrechnungstabelle fuer welche Waehrung?, s ); fprintf( Ein Euro entspricht wievielen %s?,waehrung_name); umrechnung=input( ); a=[ ]; fid=fopen( umrechnung.txt, w ); fprintf(fid,[ Umrechnungstabelle: Euro-,waehrung_name, \n\n ]); fprintf(fid,[ %7.2f Euro = %7.2f,waehrung_name, \n ],... [a;umrechnung*a]); fprintf(fid, \n \n Umrechnungskoeffizient: %3.2f \n,umrechnung); fclose(fid); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.8/64

9 fopen fid=fopen(dateiname, erlaubnis) fopen öffnet die Datei dateiname im Modus erlaubnis und erzeugt einen Datei-Handle fid. Für erlaubnis gibt es u.a. die folgenden Möglichkeiten: r Lesen aus der Datei. w Schreiben in die Datei (Erzeugen falls nötig) a Hinzufügen (Erzeugen falls nötig) r+ Lesen und schreiben (aber nicht erzeugen) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.9/64

10 Weitere Kommandos fclose(fid) schliesst die Datei mit dem Handle fid Mit dem Befehl fprintf( Datei-Handle, Format, Argument1, Argument2,...) wird in die durch das Datei-Handle angegebene Datei gemäß der obigen Konventionen geschrieben. Durch ein zusätzliches Output-Argument können Fehler aufgefangen werden. [fid, message]=fopen(dateiname, erlaubnis) Ist die Datei nicht zu öffnen, so ist fid=-1. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.1/64

11 Lesen aus einer Datei % waehrung_auslesen.m % % Liest eine Umrechnungstabelle aus der % Datei umrechnung.txt clear all; fid=fopen( umrechnung.txt, r ); waehrung_name=fscanf(fid, Umrechnungstabelle: Euro-%s ); daten=fscanf(fid,[ %f Euro = %f,waehrung_name],[2 inf]); umrechnung=fscanf(fid, Umrechnungskoeffizient: %f ); fclose(fid); % Ausgabe fprintf( Umrechnung: Euro - %s: Kurs: %f \n,... waehrung_name,umrechnung); fprintf( %7.2f Euro = %7.2f \n,daten); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.11/64

12 fscanf [daten,anz]=fscanf(fid,format,größe) fscanf liest Daten aus der Datei mit dem Handle fid. Die Daten werden in daten gespeichert. Der optionale Wert anz gibt die Anzahl erfolgreich gelesener Daten an. format gibt das vorgegebene Suchmuster vor. Die Größe gibt die Dimension der Output-Matrix an. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.12/64

13 Weitere Befehle Der Befehl fgetl(fid) liest eine Zeile aus der Datei mit Handle fid und gibt die Zeile als String zurück. Ob das Dateiende erreicht ist, kann durch den Befehl feof(fid) geprüft werden. feof(fid) gibt eine 1 zurück, falls das Dateiende erreicht ist und sonst. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.13/64

14 Beispiel - Bubblesort Bubblesort durchläuft die Datenmenge von Anfang bis zum Ende und vergleicht paarweise die nebeneinanderstehenden Elemente. Sind zwei benachbarte Elemente nicht in der richtigen Reihenfolge, so werden sie miteinander vertauscht. Ist man am Ende angekommen, beginnt man wieder von vorne. Die Datenmenge ist sortiert, falls bei einem Durchlauf keine Vertauschungen mehr vorgenommen werden. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.14/64

15 Beispiel - Bubblesort function sortieren(dateiname1, dateiname2) % sortieren Die Datei dateiname1 wird alphabetisch sortiert % und als dateiname2 abgespeichert. % INPUT: STRING dateiname1 % STRING dateiname2 % Datei laden [fid,message]=fopen(dateiname1, r ); if fid==-1 error( Datei nicht gefunden ); end; % Datei lesen anz=; while feof(fid)== anz=anz+1; inhalt{anz}=fgetl(fid); end fclose(fid); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.15/64

16 Beispiel - Bubblesort (Forts.) % Sortieren sortierungen=1; while sortierungen> sortierungen=; for k=1:anz-1 % vergleich_gr(a,b) ist 1 fuer a<b, sonst if vergleich_gr(inhalt{k+1},inhalt{k}) hilf=inhalt{k}; inhalt{k}=inhalt{k+1}; inhalt{k+1}=hilf; sortierungen=sortierungen+1; end end end % Datei schreiben fid=fopen(dateiname2, w ); for k=1:anz fprintf(fid, %s \n,inhalt{k}); end; fclose(fid); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.16/64

17 Bemerkungen Es ist auch möglich temporäre Dateien zu erzeugen. Binäre Dateien können erzeugt und gelesen werden mit Hilfe der Befehle fread und fwrite. Mittels xlsread können Excel-Tabellen eingeladen werden. Bilddateien werden durch imread importiert. Audiodateien (.wav) bzw. Videodateien (.avi) können durch wavread bzw. aviread importiert werden. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.17/64

18 Beispiel: Binäre Daten % beispiel_bin_data.m A = hilb(1); % Schreibe binaere Datei fwriteid = fopen( hilb1.bin, w ); count = fwrite(fwriteid,a, double ); fclose =(fwriteid); % Lesen binaere Datei freadid = fopen( hilb1.bin, r ); B = fread(freadid, count, double ); C = reshape(b,1,1); disp(norm(a - C)) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.18/64

19 Statistische Größen Minimum min, Maximum max Durschschnittswert mean, Median median Summe sum, Produkt prod Standardabweichung std Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.19/64

20 Statistische Größen >> x=1:2:1; >> [min(x), max(x)] ans = 1 99 >> [mean(x), median(x)] ans = 5 5 >> sum(x), prod(x) ans = 25 ans = e+78 >> std(x) ans = Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.2/64

21 Zweidimensionale Grafikmöglichkeiten Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.21/64

22 Standard Plot plot(x,y) zeichnet für Vektoren x = (x 1,...,x N ) und y = (y 1,...,y N ) eine Grafik, die die Punkte (x i,y i ) und (x i+1,y i+1 ) miteinander verbindet. >> x=linspace(,2*pi,1); >> y1=sin(3*x); >> plot(x,y1) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.22/64

23 Erweiterungen plot(x,y, string) String besteht aus drei Elementen, die die Farbe, Linienstil und die Markierung der Punkte kontrollieren. Die Reihenfolge der drei Elemente ist beliebig. Beispiel: Durch plot(x,y, r*-- ) wird die Linie gestrichelt (- -) in rot (r) gezeichnet und die Punkte durch * markiert Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.23/64

24 Optionen Farben r (rot), g (grün), b (blau), c (hellblau), m (magenta), y (gelb), k (schwarz), w (weiß) Marker o (Kreis), * (Stern),. (Punkt), + (Plus), x (Kreuz), s (Quadrat), d (Raute),... Linien-Stil - (durchgezogene Linie), -- (gestrichelte Linie), : (gepunktete Linie), -. (Strich-Punkt Linie) Läßt man den Linien-Stil weg, so werden die Punkte nicht verbunden. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.24/64

25 Optionen II plot(x,y, string, Eigenschaft, Spez.) Eigenschaften: MarkerSize (Default 6), LineWidth (Default.5), MarkerEdgeColor, MarkerFaceColor 1 Beispiel: >>plot(x,y1, b-.d, LineWidth,3,... MarkerEdgeColor, g ) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.25/64

26 Beispiel - Legendre Polynome 1.8 >> x=linspace(-1,1,1);.4 >> p1=x;.2 >> p2=(3/2)*x.ˆ2-1/2; >> p3=(5/2)*x.ˆ3-(3/2)*x; >> p4=(35/8)*x.ˆ4 - (15/4)*x.ˆ2+3/8;.2 >> plot(x,p1, r:,x,p2, g--,x,p3,....4 b-.,x,p4, m-, LineWidth,2) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.26/64

27 Darstellung von Daten Daten: >> n=linspace(,1,4); >> y=n.ˆ2.*exp(-n); Balkendiagramm: bar(y) Histogramm: hist(y,5) einfacher Plot: area(n,[y,2*y ]) Tortengrafik: pie3([ ]) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.27/64

28 Darstellung von Daten.6 Balkendiagramm 2 Histogramm Area plot Tortengrafik 1.5 1% 4% 1.5 2% 3% Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.28/64

29 Darstellung von Daten n=linspace(,1,4); y=n.ˆ2.*exp(-n); % Balkendiagramm subplot(2,2,1), bar(y); title( Balkendiagramm ); % Histogramm subplot(2,2,2), hist(y,5); title( Histogramm ); % Area plot subplot(2,2,3), area(n,[y,2*y ]); title( Area plot ); % Tortengrafik subplot(2,2,4), pie3([ ]); title( Tortengrafik ); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.29/64

30 Aufgabe 1 Betrachten Sie die Datei daten.dat mittels des Befehls type daten.dat Schreiben Sie ein Programm, dass die Daten importiert und die Funktion anhand der gegebenen Daten plottet. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.3/64

31 Aufgabe 2 Importieren Sie die Daten mittels load beispiel.mat. Stellen Sie die Daten grafisch dar. Erstellen Sie ein Histogramm. Berechnen Sie das Maximum, das Minimum und die Standardabweichung. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.31/64

32 Polynome Interpolation Extrapolation Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.32/64

33 Polynome In MATLAB werden Polynome p(x) = p 1 x n + p 2 x n p n+1 repräsentiert durch einen Zeilenvektor p = [p(1) p(2)... p(n + 1)]. Vorsicht: Normalerweise werden Polynome in der Form n i= p ix i dargestellt. In MATLAB dagegen ist die Darstellung invers und beginnt bei 1. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.33/64

34 Problemstellungen 1. Auswerten: Bei gegebenen Koeffizienten, das zugehörige Polynom an bestimmten Stellen auswerten. 2. Nullstellenbestimmung: Bestimme zu gegebenen Koeffizienten die Nullstellen des zugehörigen Polynoms. 3. Interpolation: Bestimme zu einer gegebenen Menge von Punkten (x i,y i ) n i= ein Polynom n.-ten Grades, das durch diese Punkte verläuft. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.34/64

35 Auswerten Durch y=polyval(p,x) werden aus einem vorgegebenen Koeffizientenvektor p und entsprechenden Stellen x die zugehörigen Funktionswerte y berechnet. x kann eine Matrix sein. y ist dann von der gleichen Dimens. wie x. Beispiel: p(x) := x 3 x >> x=-2:.1:2; >> y=polyval([1-1 1],x); >> plot(x,y, r--, Linewidth,3); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.35/64

36 Bestimmung von Nullstellen Ist p der obige Koeffizientenvektor, so können die Nullstellen z durch z= roots(p) berechnet werden. Beispiel: Nullstellen von p(x) := x 3 x >> roots([1-1 1]) ans = i i >> x=-1:.1:1; [X,Y]=meshgrid(x,x); >> Z=abs(polyval([1-1 1],X+i*Y));.8 >> surf(x,y,z) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.36/64

37 Interpolation Suche zu gegebenen Punkten (x i,y i ) n i= ein Polynom p n.-ten Grades, so dass p(x i ) = y i gilt für i =,...,n. In MATLAB: p=polyfit(x,y,n) Ruft man p=polyfit(x,y,m) mit m < n auf, so sucht MATLAB die Least Square Lösung, d.h. das Polynom p der Ordnung m, welches n i= (p(x i) y i ) 2 minimiert. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.37/64

38 Data Fitting Ein weiterer Befehl zur Interpolation ist yi=interp1(x,y,xi, method ). Dabei sind (x,y) die gegebenen Punkte, xi sind die Stellen, an die die Interpolante berechnet wird und yi sind die entsprechenden Funktionswerte. Als methode gibt es nearest linear stückweise konstante Approximation Lineare Interpolation spline stückweise kubischer Spline u (u C 2, u [xi,x i+1 ] P 3 ) cubic kubische Hermite Interpolation Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.38/64

39 Beispiel 1 Punkte 2 polynomial 1 Linearer Spline Kubischer Spline 1 kubische Interpol. 1 konst. Approx Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.39/64

40 Bemerkungen Nur für die Spline-Methoden können bei interp1 auch Stellen außerhalb des Interpolationsintervalls berechnet werden. Data Fitting kann auch über die Oberfläche durchgeführt werden. Plotten Sie die Daten und wählen Sie Basic Fitting im Menü Tools. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.4/64

41 Aufgabe 3 (a) Laden Sie mittels load census die U.S. Population von 179 bis 199 in ihren Speicher und stellen Sie die Zahlen grafisch dar. (b) Interpolieren Sie mit Hilfe der Oberfläche die Daten! Welche Methode funktioniert am besten! (c) Schätzen Sie mit Hilfe des kubischen Splines die Bevölkerungszahl 25. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.41/64

42 Dreidimensionale Grafikmöglichkeiten Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.42/64

43 Dreidimensionale Grafiken Dreidimensionale Version von plot: plot3 Darstellung von Funktionen f : R 2 R: Contourplot (zeichnet die Niveaulinien): contour, contourf, contour3 Darstellung des Graphen mit Gitterlinien: mesh, meshc Flächige Darstellung des Graphen: surf, surfc Darstellung von Funktionen f : R 3 R: Streifenansichten slice Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.43/64

44 Beispiel plot3 t=:.1:2*pi; x=exp(-t/2).*sin(t); y=exp(-t/2).*cos(t); z=t; plot3(x,y,z, b-o, LineWidth,1); grid on xlabel( x(t) ), ylabel( y(t) ); zlabel( z(t) ); title( Beispiel: plot3, FontSize,15); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.44/64

45 3D-Funktionenplots Darstellung von Funktionen f : R 2 R Beispiel: f(x,y) := exp( x 2 y 2 ) sin(πxy) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.45/64

46 Beispiel: Funktionenplot mesh surf contour.5 surfc Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.46/64

47 Programm % Erzeugen des Gitters x=linspace(-2,2,3); y=linspace(-2,2,3); [X,Y]=meshgrid(x,y); % Funktionswerte Z=exp(-X.ˆ2-Y.ˆ2).*sin(pi*X.*Y); % verschiedenen Darstellungen subplot(2,2,1), mesh(x,y,z), title( mesh ); subplot(2,2,2), surf(x,y,z), title( surf ); subplot(2,2,3), contour(x,y,z,1), title( contour ); subplot(2,2,4), surfc(x,y,z); view(-26,2), title( surfc ); Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.47/64

48 meshgrid Zu Vektoren x = (x i ) k i=1, y = (y j) n j=1 erzeugt [X,Y]=meshgrid(x,y) Matrizen X,Y R n k, wobei jede Zeile von X eine Kopie des Vektors x ist und Y als Spalten den Vektor y enthält. Dann hat Z=X.*Y die Komponenten Z(i,j) = x(j) y(i). Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.48/64

49 Darstellungsmöglichkeiten Contourplot (zeichnet die Niveaulinien): contour Darstellung des Graphen mit Gitterlinien: mesh, meshc Flächige Darstellung des Graphen: surf, surfc mesh(x,y,z) z.b. stellt für Matrizen X,Y,Z R n k die Punkte (X(i,j),Y (i,j),z(i,j)) dar. (Die Koordinaten (x,y) müssen ein kartesisches Gitter bilden). Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.49/64

50 Contour Plots % verschiedenen Darstellungen subplot(2,2,1), contourf(x,y,z,1), title( contourf ) subplot(2,2,2), contour(x,y,z,[.2.4]), title( special contours ); subplot(2,2,3), [C,h]=contour(X,Y,Z,[ ]); title( contour with labeling ); clabel(c,h) subplot(2,2,4), contour3(x,y,z,1), title( contour3 ) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.5/64

51 Funktionenplota mit Contour 2 contourf 2 special contours contour with labeling contour Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.51/64

52 Erläuterungen zu Contour contour(x,y,z,n) zeichnet für n N n-konturlinien. Ist n ein Vektor, werden Konturlinien zu den Werten in dem Vektor n geplottet. contourf funktioniert wie contour nur das die Flächen zwischen den Konturlinien ausgefüllt werden. label(c,h) beschriftet die Konturlinien, deren Werte in C gespeichert sind und die zum Grafik-Handle h gehören. contour3 zeichnet jede Konturlinie auf einer anderen Höhe. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.52/64

53 Slice slice(x,y,z,v,sx,sy,sz) zeichnet Schnitte zu den Funktionswerten V (i) zu (X(i), Y (i), Z(i)). Schnitte sind durch die Vektoren sx, sy und sz gegeben. Beispiel: f(x,y,z) := exp( x 2 y 2 ) sin(πxyz) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.53/64

54 Beispiel x = linspace(-2,2,2); [X,Y,Z] = meshgrid(x,x,x); V = exp(-x.ˆ2-y.ˆ2).*sin(pi*x.*y.*z); sx = [-.5,,.5]; sy = [-1,,1]; sz = []; slice(x,y,z,v,sx,sy,sz) alpha(.6) % Transparency Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.54/64

55 Mehrdimensionale Interpolation Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.55/64

56 Problem Daten liegen häufig in Form von Vektoren (x,y,z) vor. Man möchte eine Funktion F mit z(i) = F(x(i),y(i)) plotten. Befehle surf und mesh funktionieren nur wenn die Einträge in x und y monoton sind und die Daten auf einem kartesischen Gitter vorliegen. Ausweg: Interpolieren der Daten auf ein entsprechendes Gitter. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.56/64

57 Beispiel >> load seamount >> plot(x,y,., markersize,1) >> figure, plot3(x,y,z,. ) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.57/64

58 Beispiel >> xi=linspace(min(x),max(x),4); >> yi=linspace(min(y),max(y),4); >> [XI,YI]=meshgrid(xi,yi); >> ZI=griddata(x,y,z,XI,YI, cubic ); >> surf(xi,yi,zi) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.58/64

59 griddata ZI=griddata(x,y,z,XI,YI,methode); Vektoren x, y, z enthalten Werte (x(i), y(i), z(i)). griddata interpoliert auf die Stellen (XI(i,j),Y I(i,j)) mit Matrizen XI,Y I. Ergebnis ZI(i,j). Die Art des Interpolierens ist entweder nearest, linear oder cubic. Entsprechend wird entweder stückweise konstant, linear oder durch bi-kubische Splines interpoliert. Es wird nur innerhalb der konvexen Hülle der Punkte (x(i), y(i)) interpoliert. Ansonsten Funktionswert NaN. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.59/64

60 Bemerkungen Der Interpolation liegt eine Delaunay Triangulation zugrunde. Die Werte (x(i), y(i)) sind Eckpunkte der entstehenden Dreiecksmenge. Danach werden mit Hilfe der Dreiecke Funktionen definiert, die entsprechende Werte besitzen. Mittels griddatan ist die Technik auch auf höhere Dimensionen anwendbar. Dreiecke werden durch entsprechende höher-dimensionale Simplizes ersetzt. (In 3D Tetraeder) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.6/64

61 interp2 ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,methode) Allgemein sind X, Y, Z Matrizen. Dabei ist Z(i,j) der Funktionswert an (X(i,j),Y (i,j)). X und Y sind in der Regel durch meshgrid erzeugt. Es wird an den Stellen (XI(i,j),Y I(i,j)) interpoliert. Das Ergebnis ist ZI(i, j). Die Einträge von XI bzw. Y I können beliebig sein. Die Art des Interpolierens ist entweder nearest, linear oder cubic. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.61/64

62 Aufgabe 4 Plotten Sie die Funktionen (a) f(t) := ((1 + t 2 ) sin(2t), (1 + t 2 ) cos(2t),t), t [ 5, 5], (b) g(x,y) := sin(3y x 2 + 1) + cos(2y 2 2x) auf [ 2, 2] [ 1, 1] (mittels contour) (c) h(z) := real(z 1 3 ), z = x + iy mit x,y [ 1, 1] (mittels mesh) Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.62/64

63 Aufgabe 5 Erzeugen Sie die beiden Vektoren x = linspace(-5,5,13); y = 1./(1+x.ˆ2); Plotten Sie die Punkte (x,y). Interpolieren Sie die Daten mit Hilfe eines Polynoms 12.-Ordnung, 3.-Ordnung und 8.-ter Ordnung. Benutzen Sie auch die anderen Methoden. Vergleichen Sie die Ergebnisse. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.63/64

64 Aufgabe 6 Erzeugen Sie drei Vektoren durch x = rand(2,1); y = rand(2,1); z = sin(4*pi*x).*cos(2*pi*y); Plotten Sie zuerst nur die Punkte. Erstellen Sie Grafiken mit surf, mesh und contour. Beschriften Sie die Konturlinien von contour. Untersuchen Sie den Einfluß der verschiedenen Interpolationsmethoden. Dr. G. Rapin Einführung in MATLAB p.64/64