Inhaltsverzeichnis. Relativbewegungen.. R1. Inertialsysteme... Grundprinzipien... R2. Zeitdilatation... R3. Längenkontraktion...

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1 RELATIVITÄTSTHEORIE

2 Inhaltsverzeichnis Relativbewegungen.. R1 Inertialsysteme... R Grundprinzipien... R Zeitdilatation... R3 Längenkontraktion... R7 Relativistische Massenzunahme... R9 Grundgesetz der Dynamik... R11 Relativistische kinetische Energie... R13 Äquivalenz von Masse und Energie... R14 Relativistischer Impuls... R16 Formelsammlung... R18 Übungsaufgaben... R0 Linksammlung... R1

3 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R1 Relativitätstheorie Wenige Theorien in der Physik sind so innig mit dem Namen eines einzigen Entdeckers verbunden wie die Relativitätstheorie. Albert Einstein ( ) schuf mit diesem Gedankengebäude ein für die moderne Physik unentbehrliches Werkzeug, das bisher noch jeden experimentellen Test überstanden hat. Während die Allgemeine Relativitätstheorie (ausformuliert um 1915) die Gravitation als Folge einer Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit beschreibt, stellt die Spezielle Relativitätstheorie (1905) vermeintliche Selbstverständlichkeiten von Newtons Mechanik wie der Raum- und Zeitbegriff auf den Kopf. Einige Aspekte dieser Theorie wollen wir im Folgenden aufzeigen. Relativitätsprinzip Relativbewegungen Bewegung eines Körpers ist gleich bedeutend mit Lageänderung des Körpers. Die Lage eines Körpers wird immer relativ zu etwas angegeben. Bewegungen sind somit relativ, sie hängen vom Bezugssystem ab, relativ zu dem die Bewegungen angegeben werden. An einem Beispiel erläutern wir, dass Geschwindigkeitsangaben nur dann sinnvoll sind, wenn dabei gleichzeitig das Bezugssystem angegeben wird. Je ein Beobachter am Straßenrand, im vorbeifahrenden Auto sowie im dahineilenden Zug führen Geschwindigkeitsmessungen durch. Der Zug und das Auto fahren dabei vom Straßenrand aus gesehen in die gleiche Richtung, in der Abbildung also von rechts nach links. Die Tabelle enthält die Geschwindigkeiten, die jeweils von den drei Beobachtern, jeder sich selbst als ruhend betrachtet, gemessen wurde: Geschwindigkeitsangabe des Beobachters in km/h für den Straßenrand für das Auto vom Straßenrand aus vom Auto aus vom Zug aus für den Zug 1. Albert Einstein ( ) entwickelte die Relativitätstheorie während er als Beamter am Berner Patentamt in der Schweiz arbeitete. Den Nobelpreis erhielt er 191, nicht für die zu revolutionär erscheinende Relativitätstheorie, sondern für die Erklärung des Photoeffekts. Die Aufnahme datiert von Verschiedene Beobachter messen unterschiedliche relative Geschwindigkeiten, jeweils in verschiedenen Bezugssystemen. Jeder Beobachter misst gegenüber einem anderen Beobachter eine andere Geschwindigkeit. Daraus ergibt sich das folgende Relativitätsprinzip, das schon Galileo Galilei ( ) erkannte: Altes Relativitätsprinzip: Jede Bewegung spielt sich in allen Bezugssystemen so ab, als ob diese ruhen würden. Daher ist jede Bewegung relativ, da das jeweilige ruhende Bezugssystem frei gewählt werden kann. Man kann Vorgänge aus einem beliebig gewählten Bezugssystem heraus beobachten. Daraus folgt: Es gibt keinen absoluten Ruhezustand. Es stellte sich heraus, dass dieses Relativitätsprinzip für Geschwindigkeiten viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit gültig ist. 3. Galileo Galilei ( )

4 Relativitätstheorie R 13GE 013/14 Inertialsysteme Zur Beschreibung von physikalischen Vorgängen benötigt man Bezugssysteme für den Raum und für die Zeit. Ein Bezugssystem besteht dabei aus materiellen Punkten, auf die wir die Bewegung der Körper beziehen. Mit dem Bezugssystem ist ein Koordinatensystem starr verbunden, so dass die Lage eines jeden Punktes des bewegten Körpers mit drei Ortskoordinaten eindeutig festgelegt ist. Das Bezugssystem kann frei gewählt werden. Allerdings werden in der Speziellen Relativitätstheorie nur so genannte Inertialsysteme benutzt. Inertia (lateinisch): Trägheit Inertialsysteme sind räumliche Bezugssysteme, in denen ein kräftefreier Körper in Ruhe oder in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharrt. Jedes Bezugssystem, das sich geradlinig gleichförmig zu einem Inertialsystem bewegt, ist selbst ein Inertialsystem. Es gibt demnach unendlich viele Inertialsysteme, die untereinander gleichwertig sind. Das Bezugssystem S mit den Koordinaten (x, y, z) ist mit dem Bahndamm verbunden, während das System S mit den Koordinaten (x, y, z ) vom Güterzug getragen wird. Beide Systeme bewegen sich geradlinig gleichförmig zueinander. Man erwartet, dass die physikalischen Gesetze in beiden Bezugssystemen die gleiche Form haben. Eingeschlossen in einem schwarzen Kasten kann man durch keinen Versuch herausfinden, ob man sich im System S oder im System S befindet. Insbesondere kann nicht festgestellt werden, welches dieser beiden Systeme in Ruhe ist. Es gibt nur relativ zueinander in Ruhe befindliche Systeme. 1. Verschiedene Bezugssysteme sind untereinander gleichwertig, wenn sie sich geradlinig gleichförmig zueinander bewegen. Dann gelten im Zug wie auch am Bahndamm die gleichen physikalischen Gesetze in der gleichen mathematischen Form. Sogar wenn man zum Fenster herausschaut und einen zweiten Zug wahrnimmt, ist es oft sehr schwierig zu beurteilen, ob der eigene Zug oder der andere in Bewegung ist. In Nicht-Inertialsystemen treten zusätzliche Trägheitskräfte auf. Erst die Allgemeine Relativitätstheorie ermöglicht die Betrachtung von Bezugssystemen, die relativ zu einem Inertialsystem beschleunigt sind. Grundprinzipien Einstein postulierte, dass sich alle Inertialsysteme gleichermaßen zum Aufbau der Physik eignen. Dies ist der Inhalt des Relativitätsprinzips, das Einstein als Grundlage für seine Spezielle Relativitätstheorie wählte: Relativitätsprinzip: Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form. Die physikalischen Gesetzmäßigkeiten haben in zwei zueinander bewegten Systemen die selbe Form und sind unabhängig von der relativen Geschwindigkeit zwischen den beiden Systemen. Dies hat große Konsequenzen in der Theorie des Elektromagnetismus, in der die Vakuumlichtgeschwindigkeit explizit in den Gleichungen auftritt. Ein Postulat in der Physik kann nicht weiter hinterfragt werden. Es stellt das Fundament einer physikalischen Theorie dar. Experimente können Folgerungen aus Postulaten bestätigen oder widerlegen; im letzteren Fall sind damit die Postulate selbst widerlegt und somit hinfällig.

5 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R3 Wenn alle Inertialsysteme gleichberechtigt sind, so muss sich ein Lichtsignal im Vakuum offensichtlich in jedem dieser Systeme in alle Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten. Dies ist das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Bei gleichförmig geradliniger Bewegung zwischen Lichtquelle und Beobachter wird die Vakuumlichtgeschwindigkeit unabhängig von der Relativgeschwindigkeit v zum selben Werte c gemessen. Aus historischen Gründen folgen wir in diesem Kapitel der üblichen Schreibweise in der Relativitätstheorie und benutzen für die Vakuumlichtgeschwindigkeit das c als Formelzeichen im Gegensatz zum c 0 in den vorhergehenden Kapiteln der Optik. Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die Lichtgeschwindigkeit ist vom Bewegungszustand der Lichtquelle und des Beobachters unabhängig. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum beträgt in jedem Inertialsystem c km/s. 1. Das Licht erreicht uns immer mit der gleichen Geschwindigkeit von c km/s. Dabei spielt es keine Rolle, ob wir ruhen oder uns auf eine Lichtquelle zu oder von ihr weg bewegen. Dieses Prinzip widerspricht unserer Alltagserfahrung. Das Relativitätsprinzip (nach Einstein) und das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit sind aus Erfahrung gewonnen und im eigentlichen Sinne nicht beweisbar; sondern nur widerlegbar; es sind Postulate. Man kann nur Schlussfolgerungen aus ihnen ableiten und die so gewonnenen Erkenntnisse experimentell überprüfen. Das auf diesen beiden Grundprinzipien aufgebaute Begriffsystem und die Gesamtheit der daraus folgenden Resultate stellen den Inhalt der Speziellen Relativitätstheorie dar. Relativistische Kinematik Zeitdilatation Wir wollen den Gang einer bewegten Uhr untersuchen. Um diese Überlegungen zu erleichtern, konstruieren wir zunächst in Gedanken eine möglichst einfache Uhr, die Lichtuhr. Die Lichtuhr hat den Vorteil, dass sowohl die Funktion ruhender, als auch die Funktion bewegter Lichtuhren durch die beiden Grundprinzipien der Relativitätstheorie vollständig beschrieben werden. Die Lichtuhr (Abbildung ) besteht aus einem Zylinder, an dessen oberen Ende sich eine Blitzlampe befindet. Ein von der Lampe ausgesendeter Lichtblitz durchläuft den Zylinder und wird am unteren Ende von einem Spiegel reflektiert. Wenn der Lichtblitz wieder am oberen Ende eintrifft, soll von der Lampe sofort ein neuer Blitz ausgesendet werden. Außerdem rückt die Anzeige der Uhr um eine Zeiteinheit weiter.. Ein Lichtblitz wird am oberen Ende ausgesendet und durch den Spiegel am unteren Ende nach oben zurückgeworfen. Sobald das Lichtsignal oben angekommen ist, rückt die Anzeige um eine Zeiteinheit weiter.

6 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R4 Für den Beobachter ruhende Lichtuhr In einer für den Beobachter ruhenden Lichtuhr der Zylinderlänge D benötigt der Lichtblitz für einen Durchlauf (Abbildung 1) die Zeit: Δt 0 D c Setzen wir zum Beispiel für die Länge des Zylinders D 0,15 m ein, dann ist die Zeiteinheit der Uhr: Δt 0 D c 0,15 m m/s 10 9 s 1 ns Die Anzeige gibt hier die Zeit in Nanosekunden an. Der Index 0 weist darauf hin, dass Δt 0 die Zeit ist, die ein Beobachter für einen Lichtdurchlauf in einer zu ihm ruhenden Uhr misst, das heißt in einem Inertialsystem S 0, in dem die Uhr in Ruhe verharrt. Für den Beobachter bewegte Lichtuhr Wir betrachten den Lichtweg nun in einem Bezugssystem S, in dem sich die Lichtuhr (z. B. in einem Raumschiff) mit der Geschwindigkeit v bewegt (Abbildung ). Zwischen dem Aussenden und Registrieren eines Lichtblitzes wird im Bezugssystem S das Zeitintervall Δt gemessen. Während dieser Zeit legt das Raumschiff mit der Lichtuhr eine Distanz v Δt zurück. Verglichen mit dem Lichtweg in S 0 muss das Licht in S einen längeren Weg zurücklegen. Gemäß dem Prinzip der konstanten Lichtgeschwindigkeit wird in beiden Systemen dieselbe Lichtgeschwindigkeit c gemessen. Daraus folgt, dass der Lichtblitz im System S für einen Durchlauf eine Zeit Δt braucht, die länger als Δt 0 in S 0 ist. Aus Sicht des Inertialsystems S benötigt das Licht mehr Zeit, bevor es am oberen Ende des Zylinders eintrifft. Das tick-tack der ruh-enden Uhr wird zum tiiick-taaack der bewegten Uhr. Diesen Effekt bezeichnet man als Zeitdilatation (Zeitdehnung). 1. Die Zeitdauer, während der ein Lichtblitz die Lichtuhr durchläuft, legt eine Zeiteinheit fest. Im Ruhesystem S 0 beträgt die Laufzeit des Lichtblitzes D/c Ist der Zylinder D 15 cm lang, dann benötigt ein Lichtblitz für einen vollständigen Durchlauf 1 ns, so dass die Anzeige die Zeit in Nanosekunden angibt.. Im Bezugssystem S bewegt sich die Lichtuhr mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Die Laufzeit des Lichtblitzes beträgt L/c in S. In dieser Zeit bewegt sich die Uhr um die Strecke v Δt nach rechts. Quantitative Herleitung Um die Zeitdilatation zu berechnen, müssen wir feststellen, welche Beziehung zwischen dem Zeitintervall Δt im Bezugssystem S und der Zeit Δt in S besteht. Mit Hilfe der Abbildung 3 und des Satzes von Pythagoras folgt: # L D + v Δt & % ( $ ' Setzen wir hier L c Δt und D c Δt 0 ein, so ergibt sich: # % $ c Δt & ( ' # c Δt & # 0 % ( + v Δt & % ( $ ' $ ' (c Δt 0 ) (c Δt) (v Δt) c Δt 0 Δt (c v ) 3. Der Zusammenhang zwischen den Zeitangaben der Lichtuhren kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Wir berücksichtigen hier die Lichtwege für einen halben Durchlauf.

7 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R5 Δt 0 Δt c v c $ ' Δt & 1 v ) % c ( Δt 0 Δt 1 v c Δt Wegen v < c gilt immer: Δt Δt 0 Δt 0 1 v c Eigenzeit Zwischen zwei Ereignissen misst derjenige Beobachter den kürzesten Zeitabstand, der sie direkt also ruhend in seinem eigenen Bezugssystem erlebt. Diese Zeit heißt Eigenzeit. 1. In den Galileo-Satelliten des zukünftigen europäischen Navigationssystems werden relativistische Korrekturen in der Zeitmessung vorgenommen, anderenfalls wäre die präzise Bestimmung eines Ortes auf der Erde zu ungenau. Relativistischer γ-faktor Es ist für das weitere Vorgehen nützlich, den relativistischen γ-faktor γ 1 v 1 c einzuführen, so dass wir den Zusammenhang erhalten: Δt γ Δt 0 Man beachte, dass γ 1 gilt mit v c. Relativität der Zeit Da der Lichtblitz in der bewegten Lichtuhr für einen Durchlauf länger braucht, geht die bewegte Uhr im Vergleich zu einer ruhenden Uhr nach. Die mit der Lichtuhr gemachten Überlegungen dürfen auf mechanische und elektrische Uhren sowie auf Atomuhren übertragen werden. Zeigt nämlich irgendeine Uhr ein anderes Verhalten als die Lichtuhr, so könnte man in verschiedenen Inertialsystemen Abweichungen im Gang dieser Uhren messen, in einem anderen Inertialsystem jedoch nicht. Man könnte somit gleichwertige Inertialsysteme voneinander unterscheiden, was gemäß dem Relativitätsprinzip unmöglich ist. Demzufolge geht man davon aus, dass es die Zeit selbst ist, die gedehnt wird, so dass alle physikalischen, chemischen und biologischen Vorgänge der Zeitdilatation unterliegen. Zeitdilatation: Benötigt ein Vorgang in einem dazu ruhenden Bezugssystem die Zeitdauer Δt 0, so läuft der gleiche Vorgang in einem dazu bewegten Bezugssystem in der Zeit Δt ab:. Je schneller sich eine Uhr bewegt, desto langsamer läuft sie verglichen mit ruhenden Uhren. Nahe der Lichtgeschwindigkeit scheint die Zeit sogar stillzustehen. Δt γ Δt 0 Δt 0 1 v c mit v als Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen. Kniffelei: Wie groß wird der relativistische γ- Faktor bei der halben Vakuumlichtgeschwindigkeit?

8 Relativitätstheorie R6 13GE 013/14 In der folgenden Tabelle ist der relativistische γ-faktor für verschiedene Geschwindigkeiten aufgetragen: v Formel-1-Wagen, Hochgeschwindigkeitszüge Überschallflugzeug Bewegung der Erde um die Sonne 10 % von c 50 % von c 90 % von c 99 % von c 99,9 % von c v/c γ-faktor 300 km/h km/h km/s km/s km/s km/s km/s km/s 0,1 0,5 0,9 0,99 0,999 1,005 1,15,9 7,09,4 Man erkennt, dass das Phänomen der Zeitdilatation bei alltäglichen Geschwindigkeiten absolut vernachlässigbar (γ 1) ist und erst bei Geschwindigkeiten in der Größenordnung der Vakuumlichtgeschwindigkeit in Erscheinung tritt. Myonenzerfall: Die Zeitdehnung wurde inzwischen in vielen Experimenten der Elementarteilchenphysik bestätigt. Zur Anschauung betrachten wir ein Experiment, das 1959 im Europäischen Kernforschungszentrum CERN bei Genf durchgeführt wurde. Dabei wurde die Zerfallszeit von Myonen gemessen. Die Myonen gleichen in vielen Eigenschaften den Elektronen; sie sind jedoch schwerer und sie zerfallen schon kurze Zeit nach ihrer Entstehung in andere Teilchen: man sagt, sie seien instabil. Dieser Zerfall folgt einem exponentiellen Zeitgesetz. Hat man z. B. zum Zeitpunkt t 0 insgesamt Myonen erzeugt, so findet man nach der so genannten Halbwertszeit nur noch die Hälfte vor. Die anderen 5000 Myonen sind in der Zwischenzeit zerfallen. 1. Das Europäische Kernforschungszentrum CERN liegt in der Nähe von Genf im französischschweizerischen Grenzgebiet. Die dort arbeitenden Wissenschaftler leisten Spitzenforschung in der Elementarteilchenphysik. Wird der Versuch in einem Inertialsystem durchgeführt, in dem die Myonen ruhen, misst man eine Halbwertszeit von T0 1,5 µs. In dem erwähnten CERN-Experiment beobachtete man den Zerfall von Myonen, die nicht ruhten, sondern in einem Speicherring mit der Geschwindigkeit v 0,9994 c kreisten. Wegen der Zeitdilatation ist ihr Zerfall verlangsamt, und die Halbwertszeit T der kreisenden Myonen vergrößert sich daher auf den Wert T T0 1 v c 1, 5 µs 1 (0, 9994) 44, 6 µs Die Messungen bestätigten diese Vorhersagen der Relativitätstheorie, wobei die Messgenauigkeit 0,1 % betrug.. Die im Speicherring kreisenden Myonen zerfallen in Folge der Zeitdilatation wesentlich langsamer als ruhende Myonen. Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist der Anteil der bewegten Myonen größer als der Anteil der ruhenden Myonen.

9 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R7 Längenkontraktion Die Verlängerung der Lebensdauer von bewegten Myonen wurde bereits vor dem CERN-Experiment in anderer Weise festgestellt. Myonen entstehen in einer Höhe von H 10 km durch den Aufprall energiereicher Teilchen aus dem Weltall (der kosmischen Strahlung) auf die Erdatmosphäre. Die dabei entstehenden Myonen bewegen sich fast mit Lichtgeschwindigkeit zur Erde. Dazu benötigen sie die Zeit t H 10 4 m s 30 µs c m/s Diese Zeit ist wesentlich länger als die Halbwertszeit ruhender Myonen. Nur dadurch, dass die Lebensdauer infolge der Zeitdilatation verlängert ist, kann ein Teil der Myonen bis zur Erdoberfläche vordringen. Noch interessanter wird es, wenn man die Situation der Myonen in einem relativ zu den Myonen ruhenden Bezugsystem aus betrachtet. In diesem Bezugsystem bewegt sich die Erde fast mit Lichtgeschwindigkeit auf die ruhenden Myonen zu. In ihrem eigenen Bezugsystem beträgt die Halbwertszeit der Myonen weiterhin 1,5 µs. Wieso kann die ihnen entgegenfliegende Erdoberfläche dennoch die Myonen erreichen? 1. Durch die Zeitdilatation verlängert sich die Lebensdauer der Myonen, so dass ein guter Teil von ihnen die Erdoberfläche nach 10 km erreicht.. Aus Sicht der schnellen Myonen schrumpft eine Strecke von 10 km auf 300 m. Aufklären kann man dieses Paradoxon, indem man davon ausgeht, dass in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedliche Längen gemessen werden. Aus Sicht der Myonen muss die Distanz zur Erde kleiner als im Ruhesystem der Erdoberfläche sein. Man spricht von der Längenkontraktion in bewegten Bezugsystemen. Längenkontraktion: Hat eine Strecke in einem zu ihr ruhenden System eine Länge x0, so hat die gegen den Beobachter in Längsrichtung bewegte Strecke eine kleinere Länge x: x x0 v 1 x0 γ c Die im Ruhesystem gemessene Länge heißt Eigenlänge. Im Inertialsystem mit ruhendem Maßstab misst man in Bewegungsrichtung den maximalen Wert einer Länge gegenüber allen anderen Inertialsystemen. Die Längen senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben unverändert. 3. Schnell bewegte Körper erscheinen gegenüber ruhenden Körpern in Bewegungsrichtung verkürzt. 4. Jeder Beobachter stellt die Längenkontraktion nur bei relativ zu ihm bewegten Körpern fest. Dabei erscheinen die Körper allein in Bewegungsrichtung verkürzt. Kniffelei: Ab welcher Geschwindigkeit wird die Länge eines Körpers um 10 % kleiner?

10 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R8 Der Superheld fliegt mit v << c: Alles erscheint wie gewohnt. Der Superheld fliegt mit v annähernd gleich c: Aus seiner Sicht sind Einstein und die Stadt verkürzt. Der Superheld fliegt mit v annähernd gleich c: Aus Einsteins Perspektive ist der Held verkürzt. Hier gilt für die Längenkontraktion x 0,55 x 0, was einer Geschwindigkeit v 0,835 c entspricht.

11 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R9 Relativistische Dynamik Relativistische Massenzunahme Es sei folgendes Gedankenexperiment angestellt: Der Antrieb einer Rakete sei genau so eingestellt, dass die Rakete mit einer Kraft beschleunigt wird, die der Erdbeschleunigung entspricht: a 10 m/s. Gemäß den Gesetzen der klassischen Physik nimmt bei einer konstanten Beschleunigung die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zu, d. h. man kann errechnen, dass etwa nach einem Jahr die Lichtgeschwindigkeit erreicht wäre. Dies aber widerspricht eindeutig den Postulaten der Relativitätstheorie. S 0 u 0 In den 1980er Jahren hat man am Linearbeschleuniger der Stanford- Universität Elektronen so stark beschleunigt, dass sie klassisch gerechnet eine 80fache Lichtgeschwindigkeit hätten erreichen müssen. Der Ausgang dieser Beschleunigungsexperimente lässt sich nur dadurch erklären, dass die Masse eines Körpers mit wachsender Geschwindigkeit zunimmt und bei Lichtgeschwindigkeit einen unendlichen Wert hat. Nur so ist eine weitere Beschleunigung über Lichtgeschwindigkeit hinaus ausgeschlossen. Mit Hilfe eines Gedankenexperiments können wir die Massenzunahme für bewegte Körper ableiten. Es fliege im Inertialsystem S 0 eine schwere Eisenkugel der Masse m 0 mit der konstanten Geschwindigkeit u 0 gegen eine Wand und schlage dort ein Loch hinein. Die Kugel überträgt also ihren gesamten Impuls p 0 m 0 u 0 an die Wand. Der Grad der Zerstörung der Wand ist ein Maß für diesen Impuls der Kugel, der sich aus seiner Geschwindigkeit und seiner Masse zusammensetzt. 1. Der Einschlag der Kugel beobachtet aus dem Bezugssystem S 0, das relativ zur Wand ruht. Die Kugel prallt mit der Geschwindigkeit u 0 auf die Wand und schlägt ein Loch einer bestimmten Tiefe hinein, die ein Maß für den übertragenen Impuls ist. S S 0 u < u 0 Nun sei derselbe Vorgang von einem Inertialsystem S aus betrachtet, welches sich parallel zur Wand mit der Geschwindigkeit v bewegt. Sämtliche Vorgänge in S 0 von S aus betrachtet sind wegen der Zeitdilatation um den Faktor 1/γ verlangsamt. Die Zeit vergeht im bewegten System S langsamer als im zur Wand ruhenden System S 0 : S Δt Δt 0 1 v c Allerdings erscheint in beiden Systemen das Ausmaß der Wandzerstörung identisch: Obwohl sich die Kugel in S langsamer auf die Wand zu bewegt, schlägt sie doch das gleiche Loch wie die schnellere Kugel in S 0. Wenn die Zerstörung dieselbe ist, so muss die Impulskomponente senkrecht zur Wand in beiden Systemen gleich sein: p 0 p. Dieser Querstand lässt sich nur dadurch auflösen, dass die Kugel in S nicht die Masse m 0, sondern einen höheren Wert m besitzt. Wir vergleichen die beiden Impulskomponenten senkrecht zur Wand: p 0 p m 0 u 0 m u S. Das Bezugssystem S bewegt sich mit einer hohen Geschwindigkeit v parallel zur Wand nach rechts. Vom System S aus betrachtet fliegen die Wand und die Kugel nach links; außerdem scheinen die Längen in x- Richtung verkürzt und die Zeit verläuft langsamer, so dass die Kugel mit einer niedrigeren Geschwindigkeit u auf die Wand prallt. Trotzdem misst man in beiden Systemen die gleiche Einschlagtiefe.

12 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R10 u0 u # Δs0 & % ( $ Δt0 ' m m0 # Δs & % ( $ Δt ' m m0 Es findet keine Längenkontraktion statt, da sich das Inertialsystem S senkrecht zur Bewegungsrichtung der Kugel bewegt, d. h.: Δs0 Δs Für die Masse der bewegten Kugel gilt dann: 1. Die Massenzunahme bewegter Körper verhindert, dass eine Rakete Lichtgeschwindigkeit erreicht. # 1 & % ( $ Δt0 ' m m0 #1& % ( $ Δt ' m0 Δt Δt0 Δt0 m0 Δt0 1 v c m0 1 v c. Blick in den 7 km langen Ringtunnel des Lage-Hadron-Colliders (LHC) am CERN. Wegen der Massenzunahme bedarf es äußerst starker Magnetfelder, um die beschleunigten Teilchen auf einer Kreisbahn zu halten. Wir bezeichnen die Masse m0 in unserem Gedankenexperiment als Ruhemasse; m ist die dynamische Masse des bewegten Körpers, die somit von seiner Geschwindigkeit abhängt. Dynamische Masse: Bewegt sich ein Körper der Ruhemasse m0 mit der Geschwindigkeit v, so beträgt seine dynamische Masse m m0 m γ m0 v 1 c Da v immer kleiner als c ist, muss die dynamische Masse m des Körpers immer größer als seine Ruhemasse m0 sein. Die Masse des Körpers nimmt mit steigender Geschwindigkeit immer weiter zu. Physikalisch gesehen bedeutet dies, dass der Körper mit wachsender Geschwindigkeit immer träger wird: er widersetzt sich also immer mehr einer weiteren Beschleunigung; der Grenzfall v c bleibt demnach für einen mit Masse behafteten Körper unerreichbar. 3. Bewegte Massen sind träger. Da die relative Massenzunahme gegen unendlich strebt, ist ein Überschreiten der Lichtgeschwindigkeit unmöglich. Kniffelei: Wie schnell muss sich ein Körper bewegen, damit seine dynamische Masse das Doppelte der Ruhemasse beträgt?

13 Relativitätstheorie R11 13GE 013/14 Masselose Teilchen (deren Ruhemasse m0 0 also verschwindet) bewegen sich immer mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit. Das Photon (Lichtteilchen) hat keine Ruhemasse; deshalb breitet sich Licht mit der durch die Relativitätstheorie vorgegebenen maximalen Grenzgeschwindigkeit aus. Masselose Teilchen bewegen sich immer, und in jedem Bezugsystem, mit der gleichen Geschwindigkeit c m/s. Grundgesetz der Dynamik Wie muss man sich jetzt das. newtonsche Gesetz der Mechanik in relativistischer Form vorstellen? Da ein Erreichen der Lichtgeschwindigkeit für massive Körper unmöglich ist, muss auch der Ausdruck für die kinetische Energie abgeändert werden. Wir müssen in Betracht ziehen, dass die Masse eines Körpers nicht länger eine Konstante, sondern geschwindigkeitsabhängig ist. Wir untersuchen, wie sich eine Impulsänderung auswirkt: m0 v dp mit p m(v) v F dt 1 v c Für die Ableitung schreiben wir: " " " " " + " " " + (1) " Ableitung: (frz.) dérivée Abweichend von der Mathematik schreiben die Physiker df/dx anstatt f (x). Beschleunigung Für hohe Geschwindigkeiten hängt die dynamische Masse m von der Geschwindigkeit v v(t) ab, deshalb berechnen wir die Ableitung der Masse nach der Zeit t mit der Kettenregel: " " " " " " 1. Isaac Newton ( ) " " In der nichtrelativistischen Mechanik ist die Masse m zeitunabhängig, so dass dm/dt 0. In dem Fall bleibt in (1) nur der letzte Ausdruck übrig, woraus gleich das bekannte zweite Gesetz von Isaac Newton folgt. " () " Im nächsten Schritt berechnen wir die Ableitung der dynamischen Masse m m(v) nach der Geschwindigkeit v: " " " 1 1 " Im normalen Leben merken wir nichts von relativistischen Effekten. Ingenieure brauchen bei der Konstruktion von Verkehrsmitteln darauf keine Rücksicht zu nehmen und können die Newton schen Gesetze anwenden.

14 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R1 Einsetzen in () führt zu: " " 1 Wir setzen den letzten Ausdruck in (1) ein und erhalten: " + " Die dynamische Masse m wird durch die Ruhemasse m0 ausgedrückt: " + " Blasenkammern enthalten eine Flüssigkeit, die knapp vor dem Sieden steht. Beim Durchgang von geladenen Teilchen durch die überhitzte Flüssigkeit entstehen längs ihrer Bahnen Dampfblasen, die auf Fotografien sichtbar werden. Das Bild zeigt die Big European Bubble Chamber (BEBC) am CERN in Genf. Wir suchen einen gemeinsamen Nenner für beide Ausdrücke auf der rechten Seite: 1 " + " Daraus ergibt sich: Grundgleichung der relativistischen Dynamik: m0 a F 3/ # v & %1 ( $ c ' Für im Vergleich zur Vakuumlichtgeschwindigkeit kleinen Geschwindigkeiten v << c geht das relativistische Grundgesetz in die klassisch bekannte Form über.. Die Teilchen werden in der Blasenkammer einem starken Magnetfeld ausgesetzt, das die Teilchen auf gekrümmte Bahnen ablenkt. Aus der Krümmung der Bahn kann auf die Geschwindigkeit und die Energie der Teilchen geschlossen werden. Dabei müssen die Berechnungen relativistisch erfolgen.

15 Relativitätstheorie R13 13GE 013/14 Relativistische kinetische Energie Zum Beschleunigen eines Körpers aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v muss Beschleunigungsarbeit verrichtet werden, die dann als kinetische Energie gespeichert ist. " Wir wissen, dass gilt. " Die kinetische Energie ist gegeben durch : "# " " " " " " " " Die hier angewandte Technik heißt Variablensubstitution. " Zudem haben wir im vorangegangenen Abschnitt schon berechnet. " Um dieses Ergebnis zu benutzen, schreiben wir das obige Integral in die folgende Form um : " "# " " und mit " " 1 erhalten wir : für "# Wie kommt man auf den Ausdruck / 1 /? Schau nach auf Seite R1 " " " " Stammfunktion: (frz.) primitive " und bedenke, dass " " " gilt. " " " " " (0) wobei F(v) eine Stammfunktion der Funktion f(v) ist: F(v) Kniffelei: Überprüfe, dass F (v) f(v) gilt. m0 c 1 v c Daraus folgt: Ekin m0 c 1 v c m0 c m c m0 c Δm c mit der Ruheenergie: und der Gesamtenergie: E0 m0 c E E0 + Ekin m c γ m0 c 1. Die relativistische kinetische Energie steigt schneller mit der Geschwindigkeit an als in der Newtonschen Physik. Für kleine Geschwindigkeiten gilt näherungsweise der Newtonsche Ausdruck. Für v c wächst die relativistische kinetische Energie über alle Grenzen.

16 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R14 Äquivalenz von Masse und Energie Die während der Beschleunigungsphase aus der Ruhe heraus auf die Geschwindigkeit v dem Körper zugeführte Bewegungsenergie ist also: E kin m c ( m m m 0 0 ) c Diese Formel gilt zunächst bloß für den Massenzuwachs bei einer Energiezunahme. Albert Einstein erkannte jedoch ihre allgemeine Bedeutung. Er zeigte, dass Energie und Masse zwei äquivalente (gleichwertige) Größen sind. Die Umrechnung von der einen zur anderen Größe erfolgt gemäß der Masse-Energie-Relation (Einsteinsche Gleichung): c 1. Die berühmteste Formel der Physik in Einsteins Handschrift. E m c Die Gesamtenergie und die dynamische Masse unterscheiden sich nur durch den Faktor c. Führen wir also einem ruhenden Teilchen die Energie E zu, so steigt seine Masse um E/c. Jede Massenänderung bedeutet eine Energieänderung und umgekehrt. Beispiel: Die Massenzunahme bei üblicher Energiezufuhr, z. B. beim Erwärmen von Badewasser oder beim Beschleunigen eines Autos von 0 km/h auf 100 km/h ist so klein, dass sie gegenüber den sonst vorkommenden Massen absolut vernachlässigbar ist. So gilt beispielsweise für das Beschleunigen eines Automobils der (Ruhe-) Masse m kg von 0 auf 100 km/h 7,8 m/s:. Im französischen Kernkraftwerk Cattenom nahe der luxemburgischen Grenze wird durch Spaltung von Uranatomen Energie frei, die im ursprünglichen Atomkern als Masse enthalten ist. E kin 1 m 0 v kg (7,8 m/s) 386 kj Dieser Bewegungsenergie entspricht ein Massenzuwachs von: Δm E kin c 386 kj ( m/s) 4, kg Umgekehrt werden allerdings bereits, wenn kleine Massen in Energie umgewandelt werden sehr große Energien frei. So wird z. B. bei der Explosion einer Wasserstoffbombe durch die Fusion (Kernverschmelzung) von Wasserstoff zu Helium pro kg Helium eine Energie von ungefähr 00 Millionen kwh frei genug, um den jährlichen Energiebedarf einer mittelgroßen Ortschaft zu decken Dabei tritt bei der Fusionsreaktion pro kg Helium bloß ein Massenverlust von etwa 7 g auf. 3. Im südfranzösischen Cadarache baut die internationale Gemeinschaft einen Versuchsreaktor, in dem erstmalig die Kernfusion als Energiequelle genutzt werden soll. Ein Elektronenvolt (1 ev) ist die Energie, die ein freies Elektron in einem elektrischen Feld beim Durchlaufen einer Spannung von 1 V aufnimmt: 1 ev 1, J In einem Teilchenbeschleuniger erhöht sich bei einer Energiezufuhr von 400 GeV die Masse auf das etwa fache der Ruhemasse. Dabei erreicht das Teilchen nahezu Lichtgeschwindigkeit.

17 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R15 Aus der Einsteinschen Gleichung folgt aber auch, dass man die gesamte materielle Welt als eine Anhäufung von Energie betrachten kann. Zum Glück ist die Speicherung der Energie in Form von Masse außergewöhnlich stabil, so dass sich bei den meisten physikalischen und chemischen Vorgängen nur winzige Bruchteile der Masse in freie Energie umwandeln. Die gesamte Energie eines bewegten Körpers besteht aus seiner Ruheenergie E 0 m 0 c und seiner kinetischen Energie E kin : E m c m c + E 0 kin Massendefekt: Jeder Atomkern ist aus Nukleonen (Protonen und Neutronen) aufgebaut, die durch starke Kernkräfte aneinander gebunden sind. Um ein Nukleon aus dem Atomkern zu entfernen, muss man Arbeit gegen die Kernkräfte verrichten, also Energie aufwenden. Baut man den Atomkern dagegen aus Nukleonen auf, so wird Energie frei, die Kernbindungsenergie. Diese Energieabgabe entspricht wegen der Masse-Energie-Beziehung einer Abnahme der Ruhemasse der zum Atomkern vereinigten Nukleonen um Δm 0. Die Masse des vereinigten Atomkerns ist stets kleiner als die Summe der Massen der einzelnen Nukleonen. Diese Differenz Δm 0 heißt Massendefekt. Allgemein gilt für den Massendefekt: Defekt: Mangel Δm 0 ( Z m 0 p + N m 0 n ) m 0 k Hierin bedeutet Z die Anzahl der im Atomkern vorhandenen Protonen (Kernladungszahl), N die Zahl der im Atomkern vorhandenen Neutronen, m 0p die Ruhemasse eines Protons, m 0n die Ruhemasse eines Neutrons und m 0k die Gesamt-Ruhemasse des Atomkerns. Massendefekt: Die Masse eines Atomkerns ist stets kleiner als die Summer der Nukleonenmassen. Die der Massendifferenz entsprechende Energie ist die Kernbindungsenergie, welche beim Zusammenfügen des Atomkerns aus seinen Nukleonen frei wird. Beispiel: Der Kern des schweren Wasserstoffes (Deuterium) besteht aus einem Proton und einem Neutron. Beim Zusammenfügen dieser beiden Teilchen wird die Bindungsenergie E,3 MeV 3, J an die Umgebung abgegeben. Der Deuteriumkern muss also eine geringere Masse haben als Proton und Neutron zusammengenommen. 1. Deuterium: schwerer Wasserstoff Im Kern eines einfachen Wasserstoffatoms befindet sich ein Proton. Das Deuterium enthält zusätzlich ein Neutron, das keinen Einfluss auf die chemischen Eigenschaften des Atoms hat. Der Massendefekt beträgt: Δm 0 E c 3, J ( m/s) 3, kg Die Masse des Deuteriumkernes kann wie folgt berechnet werden: Δm 0 ( Z m 0 p + N m 0 n ) m 0k m 0k ( Z m 0 p + N m 0 n ) Δm 0. Wegen des Massendefekts ist die Masse des Deuteriums etwas geringer als die Summe der Massen von Proton und Neutron.

18 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R16 Für m 0p 167, kg, m 0n 1674, kg, Δm 0 3, kg und Z N 1 ergibt sich für die Masse des Deuteriumkernes: m 0k 3 343, kg. Verringert man die Masse eines Körpers in unserer Umgebung um m 0 1 kg, so erhalten wir die Energie E kwh. Damit könnte man den europäischen Energiebedarf einige Tage hindurch decken. Paar-Zerstrahlung: Im Jahre 193 beobachtete man Teilchen, die in den meisten Eigenschaften mit Elektronen übereinstimmen. Ihre Ablenkung im Magnetfeld zeigte jedoch, dass diese Teilchen positive Ladung aufweisen. Man nannte sie daher Positronen. Diese Positronen vereinigen sich sofort mit den zahlreich vorhandenen Elektronen. Dabei kommt es zu einer Paar-Zerstrahlung, d. h. das Elektron-Positron-Paar verschwindet und seine gesamte Energie wird in Strahlung ungewandelt. 1. Paar-Zerstrahlung eines Elektron-Positron-Paares, betrachtet im Bezugsystem des Paares. 193 entdeckte man diese Teilchen in der kosmischen Strahlung Positronen waren die ersten Antiteilchen, die man entdeckte. Inzwischen können Antiprotonen, Antineutronen und andere Formen der Antimaterie erzeugt werden. Trifft diese Antimaterie mit Materie zusammen, so wandelt sich die Ruhemasse vollständig in Energie um. Antimaterie kann nur unter sehr hohem Energieaufwand in großen Beschleunigern erzeugt werden. Zur Zeit besteht also keine Hoffnung auf eine praktische Realisierung der Energiegewinnung beim Zusammentreffen von Materie und Antimaterie. Relativistische Stoßgesetze Für den Stoß zweier Teilchen gelten in der newtonschen Physik folgende Stoßgesetze: Stoßgesetze der newtonschen Physik: Impulserhaltung: Energieerhaltung: Massenerhaltung: p 1 + p p 3 + p 4 + E 0,1 + E 0, E 0,3 + E 0,4 + m 0,1 + m 0, m 0,3 + m 0,4 + Der Impuls ist durch p m 0 v und die Energie durch E 0 ½ m 0 v gegeben. Der Vollständigkeit halber ist hier auch die Massenerhaltung in die Stoßgesetze aufgenommen. Die Punkte auf der rechten Seite der Gleichungen deuten an, dass die Teilchen beim Stoß auseinander brechen können.. Antimaterie besteht aus negativen Antiprotonen, neutralen Antineutronen und positiven Positronen. Sie unterscheidet sich sonst nicht von Materie und ist auch stabil. Beim Zusammentreffen von Materie und Antimaterie können sich beide in Strahlung umwandeln. Es ist nicht bekannt, ob das Universum wesentliche Mengen an Antimaterie enthält. Um die Stoßgesetze auf die relativistische Physik zu verallgemeinern, müssen wir die Massenzunahme berücksichtigen und daher den Ausdruck für den Impuls ersetzen durch: p m v m 0 1 v c v

19 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R17 Der relativistische Impulssatz hat die gleiche Form wie in der newtonschen Physik, wobei jedoch an die Stelle der Ruhemasse m0 die dynamische Masse m der Teilchen tritt. Experimente mit Materie und Antimaterie zeigen, dass die Erhaltung der Ruhemasse nicht allgemein gilt. Im Massenerhaltungssatz muss sie durch die dynamische Masse ersetzt werden: m1 + m m3 + m4 + Multiplizieren wir diesen Erhaltungssatz mit c, so folgt: m1 c + m c m3 c + m4 c + Weil E m c die Gesamtenergie eines Teilchens ist, können wir in dieser Gleichung die Energie einsetzen. Der Erhaltungssatz schreibt sich dann: 1. Am CERN werden in riesigen Detektoren die Eigenschaften der Teilchen gemessen, die beim Zusammenstoß von zwei Teilchenbündeln hoher Energie entstehen. E1 + E E3 + E4 + Die Erhaltung der dynamischen Masse erweist sich also zugleich als Erhaltungsgröße für die Gesamtenergie. Zerlegen wir sie in kinetische Energie Ekin und Ruheenergie m0 c, so wird deutlich, wie Energieerhaltung und Massenerhaltung nunmehr in einem einzigen Erhaltungssatz auftreten: Ekin,1 + m0,1 c + Ekin, + m0, c Ekin,3 + m0,3 c + Ekin, 4 + m0, 4 c + Die Trennung von Energie- und Masseerhaltung ist aufgehoben, da Energie und Masse äquivalent sind. Stoßgesetze der relativistischen Physik: Impulserhaltung: Energieerhaltung: p1 + p p3 + p 4 + E1 + E E3 + E4 + Der Impuls eines Teilchens beträgt: p m v m0 1 v v c Die Gesamtenergie eines bewegten Teilchens besteht aus Ruhenergie und kinetischer Energie: E Ekin + m0 c m c m0 1 v c c Beim Zusammenprall von Elektronen und Positronen entsteht bei einer bestimmten Energie ein Ψ-Teilchen (sprich: Psi-Teilchen) mit hoher Masse. Die Messungen ergeben, dass die Masse des neuen Teilchens gleich der Summe der dynamischen Massen von Elektron und Positron ist, was die oben aufgeführten Ergebnisse bestätigt.. Teilchenkollisionen können außerordentlich kompliziert sein. Im Bild sind die Bahnen von allen Teilchen dargestellt, die bei einem Zusammenstoß von zwei geladenen Goldatomen mit einer Energie von 100 GeV entstanden sind.

20 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R18 Formelsammlung Relativistischer γ-faktor (R1) γ 1 1 v c 1 v Geschwindigkeit c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Zeitdilatation (R) Δt γ Δt 0 Längenkontraktion Δt 0 1 v c Δt Dauer eines Vorgangs im bewegten System Δt 0 Dauer eines Vorgangs im Ruhesystem (Eigenzeit) γ relativistischer γ-faktor v Geschwindigkeit des bewegten Systems c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit (R3) x x x Länge im bewegten System 0 γ x v 0 1 x c 0 Länge im Ruhesystem (Eigenlänge) γ relativistischer γ-faktor v Geschwindigkeit des bewegten Systems c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Dynamische Masse (R4) m γ m 0 m 0 1 v c m Masse im bewegten System m 0 Masse im Ruhesystem (Ruhemasse) γ relativistischer γ-faktor v Geschwindigkeit des bewegten Systems c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Relativistische Form des Grundgesetzes der Mechanik m (R5) F 0 a F Kraft auf einen Körper 3 # & m 0 Ruhemasse des Körpers % 1 v ( a Beschleunigung des Körpers $ c ' v Geschwindigkeit des Körpers c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Relativistischer Impuls (R6) p γ m 0 v m 0 v 1 v c γ relativistischer γ-faktor m 0 Ruhemasse des Körpers v Geschwindigkeit des Körpers c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit

21 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R19 Relativistische kinetische Energie (R7) $ & E kin m 0 c & & & % 1 1 v c ' ) ) 1 ) ) ( m 0 Ruhemasse des bewegten Körpers v Geschwindigkeit des bewegten Körpers c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Ruheenergie (R8) E 0 m 0 c m 0 Ruhemasse des Körpers c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Relativistische Gesamtenergie eines bewegten Teilchens (R9) E E 0 + E kin m c γ m 0 c E 0 Ruheenergie des Teilchens E kin relativistische kinetische Energie des Teilchens m dynamische Masse, m 0 Ruhemasse des Teilchens γ relativistischer γ-faktor c m/s Vakuumlichtgeschwindigkeit Relativistische Stoßgesetze (R10) p 1 + p p 3 + p 4 + Impulserhaltung p i relativistischer Impuls des Teilchens i (R11) E 1 + E E 3 + E 4 + Energieerhaltung E i relativistische Gesamtenergie des Teilchens i

22 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R0 Übungsaufgaben 1. Zur Überprüfung der Zeitdilatation können Myonen herangezogen werden. Solche Myonen entstehen in der Hochatmosphäre in einer Höhe von 10 km über der Erdoberfläche. Diese Elementarteilchen gleichen in vielen Eigenschaften den Elektronen, sind jedoch instabil und zerfallen sofort. Der Zerfall genügt einem Exponentialgesetz, wie dies auch für den radioaktiven Zerfall gilt. Die Halbwertszeit für Myonen beträgt 1,5 µs. Die Halbwertszeit ist die Zeit nach der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Teilchen zerfallen ist. Die Geschwindigkeit der Myonen ist v 0,999 4 c. Zeigen Sie, dass solche Myonen die Erdoberfläche nur in Folge der Zeitdilatation erreichen können.. In einem Versuch werden Atomkerne mit positiv geladenen Pionen beschossen, die sich mit 0,9facher Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die von den Pionen zurückzulegende Strecke von der Quelle bis zum Ziel beträgt 44,5 m. Ruhende Pionen haben eine Halbwertszeit von 1, s. Wie viele Pionen erreichen prozentual das Ziel? (6,9 %) 1. Albert Einstein ( ) war Professor an den Universitäten Zürich und Prag und Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin. Nach seiner Emigration 1933 aus dem nationalsozialistischen Deutschland war er am Institute for Advanced Studies in Princeton, USA, tätig. 3. Um wie viel wird ein Auto schwerer, wenn es statt zu stehen mit einer Geschwindigkeit von 00 km/h fährt? (1 + 1, mal schwerer) 4. Ein Teilchenbeschleuniger bringt Elektronen auf eine kinetische Energie von 7500 MeV. a) Wie groß ist die dynamische Masse der Elektronen? (m 1, kg) b) Wie schnell bewegen sich die Elektronen? (v 0, c) 5. Der nächste Fixstern ist Alpha-Centauri am südlichen Sternenhimmel. Seine Entfernung beträgt 4,5 Lichtjahre. a) Wie lange braucht ein utopisches Raumschiff, um zum Stern und wieder zur Erde zu gelangen, wenn seine Geschwindigkeit v 0,5 c beträgt? (t 18 a) b) Wie lange würde der Flug für die Astronauten an Bord des Raumschiffs dauern? (t 15,6 a) c) Welche Geschwindigkeit müßte das Raumschiff haben, damit für die Besatzung während der Reise nur ein Jahr vergeht? (v 0,9938 c) 6. Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt kw. Um wie viel verringert sich dadurch die Masse der Sonne pro Sekunde? (m 4, kg) Ruhemasse des Elektrons: m e 9, kg Ruhemasse des Protons: m p 1, kg Ruhemasse des 4 He-Atomkerns: m He 6, kg Schlage die Sonnenmasse und das Alter der Sonne nach und bestimme daraus die prozentuale Abnahme der Sonnenmasse seit ihrer Geburt.

23 Relativitätstheorie 13GE 013/14 R1 7. Die Masse eines Heliumkerns ist etwa 0,6 % geringer als die Masse von 4 Wasserstoffkernen. a) Wie viel Energie wird bei der Verschmelzung von 1 kg Wasserstoff zu Helium frei? (E 5, J) b) Wie viel Wasserstoff muss im Sonneninneren pro Sekunde verarbeitet werden, um die Sonnenstrahlung aufrecht zu erhalten? (m 7, kg) 8. Wie groß ist die Geschwindigkeit eines Elektrons, wenn sein Impuls p 4 MeV/c beträgt? (v 0,991 9 c) 1. Ein Abbild Albert Einsteins ziert den israelischen 5-Schekel-Schein. Nach der Gründung des Staats Israel bot man Albert Einstein einmal das Amt des Staatspräsidenten an, das er allerdings ablehnte. 9. Ein Heliumatomkern besitzt die kinetische Energie 5 GeV. Wie groß sind seine dynamische Masse und seine Geschwindigkeit? (m 1, kg, v 0,904 c) 10. Ein Proton besitzt eine Gesamtenergie von 1500 MeV. a) Wie groß sind seine dynamische Masse und seine Geschwindigkeit? (m, kg, v 0,78 c) b) Welcher Prozentsatz der Gesamtenergie des Protons entfällt auf die Ruheenergie beziehungsweise auf die kinetische Energie? (E kin : 37,5 %, E 0 : 6,5 %) 11. Ein Elektron durchläuft eine Beschleunigungsspannung von 150 kv. a) Berechne seine Geschwindigkeit mit klassischen Gesetzen (v, m/s) b) Berechne seine Geschwindigkeit relativistisch. (v 1, m/s) c) Berechne seine Gesamtenergie. (E 1, J 661 kev) Linksammlung Animation zur relativistischen Zeitdilatation: Englische Animationen mit deutschen Untertiteln zur Zeitdilatation: Englische Animation zur relativistischen Längenkontraktion: Sammlung von Links zur Relativitätstheorie: