Aufgaben: Steuern mathematisch betrachtet

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1 1 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Aufgaben: Steuern mathematisch betrachtet Aufgabe : Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben: a) Erläutern Sie, was man unter Steuern versteht und aus welchen Gründen diese erhoben werden. Nehmen Sie auch Stellung zu den Comics. Abb Comics zum Thema Steuern (gezeichnet von Rebekka Voss) b) Notieren Sie mindestens fünf Produkte, wofür Sie oder Ihre Familie in der letzten Woche Geld ausgaben. Recherchieren Sie, welche Form von Steuern auf Ihre Einkäufe erhoben wurde. c) Neben Steuern kann der Staat noch Gebühren und Beiträge als Abgaben erheben. Informieren Sie sich zu diesen Begriffen und stellen Sie wesentliche Informationen zu Steuern, Gebühren und Beiträgen übersichtlich dar. Achten Sie darauf, dass insbesondere die Unterschiede deutlich herausgearbeitet werden. Aufgabe : Nutzen Sie zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben den 32a des Einkommensteuergesetzes und das Internet. 32a Einkommensteuertarif (1) Die tarifliche Einkommensteuer in den Veranlagungszeiträumen ab 2014 bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt [ ] jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen 1. bis Euro (Grundfreibetrag): 0; 2. von 8 355vEuro bis Euro: (974,58 y ) y; 3. von Euro bis Euro: (228,74 z ) z + 974,58; 4. von Euro bis Euro: 0,42 x 8 239; 5. von Euro an: 0,45 x Die Größe y ist ein Zehntausendstel des den Grundfreibetrag übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. Die Größe z ist ein Zehntausendstel des Euro übersteigenden Teils des auf einen vollen Euro-Betrag abgerundeten zu versteuernden Einkommens. Die Größe x ist das auf einen vollen Euro-Betrag abgerundete zu versteuernde Einkommen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden.

2 2 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 a) Lesen Sie den Auszug aus dem Einkommensteuergesetz gründlich durch. Notieren Sie sich ggf. Fragen, die Sie im Plenum besprechen möchten. b) Informieren Sie sich, welche Einkommensarten versteuert werden müssen. c) Bestimmen Sie die jeweilige Einkommensteuer, die auf ein jährliches Einkommen in Höhe von ,93 bzw ,23 erhoben werden. Aufgabe Wir möchten das Einkommensteuergesetz nutzen, um die Höhe der Einkommensteuer mathematisch zu beschreiben. a) Stellen Sie eine zusammengesetzte Steuerfunktion t(x) auf, mit der zu jedem beliebigen Einkommen x die entsprechende Einkommensteuer berechnet werden kann. b) Stellen Sie die Steuerfunktion t(x) mit einem graphikfähigen Taschenrechner oder einer entsprechenden Mathematiksoftware (z. B. Geogebra) graphisch dar. Beschreiben Sie den Verlauf des zugehörigen Graphen. c) Im Zuge von politischen Diskussionen um die Höhe einer gerechten Steuer werden stets verschiedene Steuergrundsätze formuliert. Neben einem steuerfreien Existenzminimum soll die Besteuerung nach dem Leistungsfähigkeitsprinzip erfolgen. Das Leistungsfähigkeitsprinzip besagt, dass jeder Steuerpflichtige entsprechend seiner individuellen ökonomischen Leistungsfähigkeit belastet werden soll. Beurteilen Sie mit Hilfe des Einkommensteuergesetzes oder Ihrer Steuerfunktion t(x), inwieweit diese Grundsätze berücksichtigt werden. Aufgabe Bisher haben wir nur betrachtet, wie viel Einkommensteuern bei verschiedenen Einkommen fällig werden. Einige empfinden dabei 1000 als viel, andere als wenig. Entscheidend ist dabei das Ausgangseinkommen. Interessanter ist daher die Frage nach dem prozentualen Anteil der Steuern am Gesamteinkommen. Das jährliche Einkommen zweier Personen betrage ,93 bzw ,23. Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Einkommens jeweils als Einkommensteuer abgeführt werden muss. Aufgabe Im Folgenden wollen wir den Durchschnittssteuersatz untersuchen. a) Stellen Sie den Durchschnittssteuersatz als Funktion t(x) mit einem graphikfähigen Taschenrechner oder entsprechender Mathematiksoftware graphisch dar. b) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen der Durchschnittssteuersatzfunktion und beurteilen das Modell der Einkommensteuer erneut unter Berücksichtigung des Prinzips der Leistungsfähigkeit. c) Untersuchen Sie, wie hoch der Durchschnittssteuersatz maximal werden kann.

3 3 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Aufgabe Herr Hans arbeitet in einer großen Firma als Mathematiker. Nach einer Gehaltserhöhung hat sich sein Jahreseinkommen von auf erhöht. a) Berechnen Sie für beide Einkommen die Einkommensteuer und den Durchschnittssteuersatz. b) Bestimmen Sie den Mehrverdienst und die steuerliche Mehrbelastung, die sich durch die Gehaltserhöhung ergibt. c) Bestimmen Sie, welcher Anteil vom Mehrverdienst an Steuern abzuführen ist. Aufgabe Herr Hans ist über die steuerliche Mehrbelastung alles andere als begeistert. Als Mathematiker interessiert ihn, welcher Anteil am jeweils nächsten verdienten Euro versteuert wird. Dazu stellt er für ein Jahreseinkommen von x 0 = , für das er eine Einkommensteuer von 5558 zahlt, die folgende Tabelle auf (Ergebnisse auf vier Nachkommastellen gerundet.) Mehrverdienst h t(x + h) 5876,1810 t(x + h) t(x) 317,6134 t(x + h) t(x) h 0,3176 a) Interpretieren Sie die Terme t(x + h), t(x + h) t(x) und t(x+h) t(x). h b) Vervollständigen Sie die Tabelle. Betrachten Sie die beiden letzten Zeilen und beschreiben Sie Auffälligkeiten. c) Herr Hans als Mathematiker fragt sich, welche Auswirkungen eine immer kleiner werdende Gehaltserhöhung haben würde. Ihn interessieren insbesondere minimale Gehaltserhöhungen, die fast Null betragen. Betrachten Sie den Wert von t(x+h) t(x) für h 0. Vergleichen Sie diesen h mit einer Gehaltserhöhung von einem Euro. d) Führen Sie die obigen Betrachtungen für ein Jahreseinkommen in Höhe von durch. Beschreiben Sie Auffälligkeiten. Aufgabe Die erste Ableitung der Steuerfunktion t(x) heißt Grenzsteuersatzfunktion t (x). a) Stellen Sie den Verlauf der Grenzsteuersatzfunktion t (x) mit einem graphikfähigen Taschenrechner oder entsprechender Mathematiksoftware graphisch dar und beschreiben Sie den Verlauf. Stellen Sie hierbei Bezüge zur Einkommensteuer her. b) Leiten Sie aus diesem Verlauf wichtige Eckpunkte ab, aus denen das Einkommensteuertarifmodell in Deutschland konstruiert ist. Nutzen Sie auch die Erkenntnisse aus den vorherigen Unterrichtsabschnitten.

4 4 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Aufgabe Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben zu den Mehrwertsteuersätzen von 7 % und 19 %. a) Betrachten Sie den nebenstehenden Kassenbon und weisen Sie rechnerisch nach, dass die ausgewiesenen Werte für die Mehrwertsteuer und den Nettopreis richtig sind. b) Analysieren Sie gemeinsam mit Mitschülern möglichst viele Ihrer gesammelten Kassenbons. Stellen Sie Vermutungen dazu auf, wann der ermäßigte Steuersatz von 7 % erhoben wird. c) Im Zeitungsartikel Mehrwertsteuersätze: Spitzenschuhsteuer wurde auf die Problematik der unterschiedlichen Mehrwertsteuersätze bei gleichen oder vergleichbaren Leistungen eingegangen. Auch bei Lebensmitteln sind nicht immer nachvollziehbare Mehrwertsteuersätze zu beobachten. Untersuchen Sie erneut gemeinsam mit Ihren Mitschülern die Kassenbons und führen Sie vergleichbare Lebensmittel auf, die sowohl mit 7 % als auch 19 % besteuert werden. Beziehen Sie in Ihre Untersuchung auch Rechnungen aus dem Restaurant ein.

5 5 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Aufgabe Im Folgenden möchten wir die Werbeaktionen 19 % Mehrwertsteuer geschenkt näher untersuchen, die häufig von großen Möbelhäusern oder Elektrogroßmärkten durchgeführt werden. a) Familie Steuerich möchte im Zuge der Werbeaktion ein neues Bett kaufen, das sie im Möbelhaus entdeckt hat. Nehmen Sie zur folgenden Abbildung Stellung. b) Das Möbelhaus steht im Zuge der Werbeaktion vor einem grundsätzlichen Problem. Es darf aufgrund der gesetzlichen Grundlage keine Mehrwertsteuer erlassen. Auf der Rechnung, die das Möbelhaus dem Kunden ausstellt, muss die Mehrwertsteuer ausgewiesen sein. Erstellen Sie einen Kassenbon für Familie Steuerich. Bedenken Sie, dass auf der Rechnung ein Nettopreis, ein Bruttopreis und die Mehrwertsteuer erkennbar sein müssen. c) Begründen Sie, warum das Möbelhaus auch mit dem Slogan Sparen Sie 16 % werben könnte. Gibt es Ihrer Meinung nach Motive, warum das Möbelhaus darauf verzichtet? Aufgabe Das deutsche Einkommensteuerrecht sieht vor, dass Ehepaare bei der Berechnung der Einkommensteuer einzeln oder zusammen veranlagt werden. Bei einer Einzelveranlagung zahlt jeder der Ehepartner auf sein Einkommen separat Steuern. Aus der Addition der beiden Teilsteuerbeträge ergibt sich dann die Gesamtsteuer. Bei der Zusammenveranlagung wird in Deutschland der so genannte Splittingtarif gewählt. Dazu wird das Einkommen beider Partner zunächst addiert, es ergibt sich das gesamte zu versteuernde Einkommen x. Dieses wird anschließend halbiert ( gesplittet ). Für x 2 wird anschließend die zu zahlende Steuer bestimmt. Durch Verdopplung dieses Betrages ergibt sich die Gesamtsteuer. In den folgenden Beispielen gehen wir davon aus, dass sich das Einkommen eines Ehepaares aus x 1 = und x 2 = zusammensetzt. a) Berechnen Sie die Höhe der gemeinsamen Einkommensteuer, wenn sich das Ehepaar für die Einzelveranlagung entscheidet. b) Berechnen Sie die Höhe der gemeinsamen Einkommensteuer, wenn sich das Ehepaar für das Splitting-Verfahren entscheidet. c) Durch Anwendung des Splitting-Verfahrens erhöhen sich die Einkommensgrenzen für den Grundfreibetrag und den Reichensteuersatz. Geben Sie diese Grenzen an. d) Erläutern Sie, wie eine gemeinsame Veranlagung noch gestaltet sein könnte. Bestimmen Sie für Ihr Modell ebenfalls die Höhe der gemeinsamen Einkommensteuern.

6 6 Zusatzmaterialien zu Finanz- und Wirtschaftsmathematik im Unterricht, Band 1 Aufgabe Im Folgenden möchten wir untersuchen, welche Besteuerung am günstigsten ist. Dazu nehmen wir an, dass vier Ehepaare über ein Jahreseinkommen von jeweils verfügen. Das Einkommen der Ehefrauen und Ehemänner variiert jedoch. Ergänzen Sie die folgende Tabelle und beurteilen Sie das Splitting-Verfahren hinsichtlich des Steuergrundsatzes Steuergerechtigkeit. Achten Sie darauf, dass Sie die gesamte Einkommensteuer des Ehepaares angeben. Einkommen in Gesamte Einkommensteuer in x 1 x 2 Splittingverfahren Einzelbesteuerung