Känguru der Mathematik 2004 Gruppe Student (11. und 12. Schulstufe) Lösungen

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1 Känguru der Mathematik 4 Gruppe Student (. und. Schulstufe) Lösungen - Punkte Beispiele - ) Ich kaufe m Stifte um je n Euro und n Stifte um je m Euro. Was ist der Durchschnittspreis aller Stifte? A) B) m+ n C) m mn D) mn E) + n m ²n² Der Gesamtpreis aller m+n Stifte ist mn + nm = mn. Daher ist der Durchschnittspreis aller Stifte m mn + n ) Peter hat 4 Murmeln. Die Hälfte davon ist blau, ein Viertel ist rot und ein Sechstel ist grün. Wie viele haben eine andere Farbe? A) 67 B) 4 C) 5 D) E) 87 Von den 4 Murmeln sind blau, 5 rot und 4 grün. Zusammen sind das 87 Murmeln. Daher haben 4 87 = 67 Murmeln eine andere Farbe. ) Der Grundriss eines Gebäudes ist rechteckig mit den Maßen 4 m 6 m. Auf den Bauplänen hat der Grundriss den Umfang cm. In welchem Maßstab ist der Grundriss gezeichnet? A) : B) : 5 C) : 6 D) : 7 E) : Der Umfang des Gebäudes beträgt in Wirklichkeit (4m+6m) = m, ist also -mal so groß wie auf dem Plan, wo der Grundriss des Gebäudes den Umfang cm = m hat. 4) Eine Pramide hat 7 Begrenzungsflächen. Wie viele Kanten hat sie? A) 6 B) 7 C) 8 D) E) 4 Antwort: D Von den 7 Begrenzungsflächen ist eine die Grundfläche, die restlichen 6 sind dreieckige Seitenflächen. Daher handelt es sich um eine 6-seitige Pramide. Sie hat als Grundfläche ein 6-eck mit 6 Kanten; jede weitere Kante verbindet einen der 6 Eckpunkte der Grundfläche mit der Spitze, also gibt es 6 Kanten zur Spitze. Insgesamt hat die Pramide damit Kanten.

2 5) Die kleinste reelle Zahl, für die die Ungleichung 4 gilt, ist A) -4 B) 4 C) D) 4 E) 4 Die gegebene Ungleichung ist gleichwertig mit ² 4, gilt also einerseits für alle nicht-negativen reellen Zahlen von bis 4, andererseits aber auch für alle negativen reellen Zahlen größer oder gleich 4. 6) Jeder Marsbewohner hat ein, zwei oder drei Tentakeln am Kopf. Genau % der Marsbevölkerung sind "Dreier", 97% sind "Zweier" und % sind "Einser". Bei wie viel Prozent der Marsbevölkerung ist die Zahl der Tentakeln am Kopf höher als die Durchschnittszahl der Tentakeln bei der gesamten Marsbevölkerung? A) % B) % C) 97% D) 98% E) 99% Antwort: D Lösung : Die Durchschnittszahl der Tentakeln bei der gesamten Marsbevölkerung ist, +,97 +, =,99. Daher haben sowohl die 97% "Zweier" als auch die % "Dreier" überdurchschnittlich viele Tentakel am Kopf. Lösung : Weil es mehr "Einser" als "Dreier" auf dem Mars gibt, zieren des "Durchschnittsmarsianers" Scheitel weniger als zwei Tentakel. Daher haben 98% (nämlich die 97% "Zweier" und das eine Prozent "Dreier") der Marsianer überdurchschnittlich viele Tentakel am Kopf. 7) s ist eine ungerade Zahl. In einem Quadrat mit der Seitenlänge s befinden sich in den Diagonalen lauter gefärbte kleine Einheitsquadrate, wie in der Figur für ein Quadrat mit der Seitenlänge 7 angedeutet. Wie groß ist die weiße Fläche? A) s² + s B) s² + 4 4s C)s + 4s D) s s E) s² s Entlang der einen Diagonale gibt es s Einheitsquadrate, längs der anderen s weitere Einheitsquadrate. Insgesamt sind also s Einheitsquadrate mit Gesamtflächeninhalt s gefärbt. Der Inhalt der weißen Fläche ist daher s² (s ) = s²+ s. 8) Wie viele zweiziffrige Zahlen gibt es, deren Quadrat und deren dritte Potenz dieselbe Einerziffer haben? A) B) 9 C) D) E) mehr als

3 Die natürlichen Zahlen, deren Quadrat und deren dritte Potenz dieselbe Einerziffer haben, sind die Zahlen, die auf,, 5 oder 6 enden. Daher gibt es unter den zweistelligen Zahlen je 4 mit der geforderten Eigenschaft, die die Zehnerziffern,,,, 9 haben. Zusammen sind das also 6 derartige Zahlen. 9) Ein großes Quadrat ist aus 8 kleineren Quadraten zusammengesetzt, von denen 7 die Seitenlänge haben. Die Fläche des großen Quadrats ist A) 5 B) 49 C) 8 D) E) 5 Ist die Seitenlänge des großen Quadrats, die Seitenlänge des mittleren Quadrats, so gilt für den Flächeninhalt A des großen Quadrats A = = + 7. Daraus folgt = ( + )( ) = 7. und müssen natürliche Zahlen sein, daher sind dauch + und natürliche Zahlen. 7 ist eine Primzahl und lässt sich nur in der Form 7 = 7 als Produkt natürlicher Zahlen darstellen. Daraus folgt + = 7, = und in weiterer Folge = 9, = 8. Der Flächeninhalt des großen Quadrats ist also A = ² = 8. ) Wie viele rechtwinkelige Dreiecke können dadurch gebildet werden, dass man drei Eckpunkte eines regelmäßigen 4-ecks verbindet? A) 7 B) 8 C) 84 D) 88 E) eine andere Anzahl Nach Satz von Thales ist ein von drei Eckpunkten eines regelmäßigen 4- ecks gebildetes Dreieck genau dann rechtwinkelig, wenn zwei der drei Punkte Endpunkte eines Durchmessers des Umkreises des 4-ecks, also gegenüberliegende Eckpunkte des 4-ecks sind. Es gibt 7 Möglichkeiten, zwei gegenüberliegende Eckpunkte eines regelmäßigen 4-ecks auszuwählen. Für jede dieser 7 Auswahlmöglichkeiten für die Hpotenuse des rechtwinkligen Dreiecks gibt es Möglichkeiten für den dritten Eckpunkt des Dreiecks. Daher kann man 7 4 = 84 rechtwinkelige Dreiecke bilden. - 4 Punkte Beispiele - ) Auf einer Weide befinden sich 5 Schafe und eine bestimmte Anzahl von Hirten. Es entfernen sich die Hälfte der Hirten und ein Drittel der Schafe. Dann sind noch 5 Beine auf der Weide. Wie viele Beine waren zu Beginn auf der Weide? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E)

4 4 Wenn ein Drittel der 5 Schafe die Weide verlässt, sind noch Schafe auf der Weide, und diese Schafe haben (unter Vernachlässigung anatomischer Abnormitäten) 4 Beine. Der Rest der 5 Beine gehört zu Hirten. Daher sind noch 5 Hirten auf der Weide; ursprünglich waren es aber Hirten. Daher waren zu Beginn 5 Schafe und Hirten mit zusammen = 8 Beinen auf der Weide. ) Welchen Winkel schließen die Strecken AX und AY ein? A A) ½ B) C) 45 D) 6 E) 9 Wegen XY AY ist AX ein Durchmesser des Kreises 9 (Satz von Thales!) und enthält den Kreismittelpunkt X r Y M. Daher zerlegt die Strecke MY das Dreieck AXY in zwei Teildreiecke XYM und MYA. Das Dreieck XYM ist wegen MX = MY = XY = r gleichseitig, also gilt MYX = 6 und daher AYM = 9 MYX =. Weil das Dreieck MYA wegen MY = MA = r gleichschenkelig ist (Basis YA), gilt schließlich XAY = MAY = AYM =. M r ) Wie viele Quadrate gibt es, die einen Eckpunkt im Punkt A(-/-) haben, und eine Koordinatenachse als Smmetrieachse? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 Antwort: D Jedes Quadrat hat 4 Smmetrieachsen, die alle durch den Quadratmittelpunkt gehen: die beiden gemeinsamen Seitensmmetralen gegenüberliegender Seiten ("seitenparallele Smmetrieachsen") und die beiden Diagonalen. Weil jedes Quadrat mit gegebenem Eckkpunkt A durch seinen Mittelpunkt M umkehrbar eindeutig bestimmt ist, ist die Anzahl der möglichen Quadrate gleich der Anzahl der möglichen Lagen des Mittelpunkts. M M M A A A A M M A Setzen wir voraus, dass eine der Koordinatenachsen eine seitenparallele Smmetrieachse des Quadrats mit Eckpunkt A ist, dann muss die durch A gehende Diagonale des Quadrats mit dieser Koordinatenachse einen Winkel von 45 einschließen; mögliche Mittelpunkte für ein derartiges Quadrat sind also die Schnittpunkte einer der beiden Koordinatenachsen mit einer der beiden Geraden durch A mit Steigung + oder. Im ersten Fall ergibt sich nur M(/) als möglicher Mittelpunkt, im zweiten Fall sind die möglichen Mittelpunkte M(/-) und M(-/).

5 5 Setzen wir voraus, dass eine der beiden Koordinatenachsen Diagonale des Quadrats ist, dann ist die durch A gehende zweite Diagonale des Quadrats normal zu dieser Korodinatenachse. Die möglichen Lagen des Mittelpunkts des Quadrats sind nun M(/-) (BD auf der -Achse) beziehungsweise M(-/) (BD auf der -Achse). 4) In einer undurchsichtigen Lostrommel befinden sich Kugeln, die mit den Nummern von bis fortlaufend durchnummeriert sind. Wie viele Kugeln muss ich mindestens blind aus der Trommel ziehen, damit das Produkt der Zahlen auf den gezogenen Kugeln sicher durch 4 teilbar ist? A) 5 B) 5 C) 5 D) 54 E) 55 Zieht man zuerst alle 5 Kugeln mit ungeraden Nummern und eine Kugel mit einer geraden, aber nicht durch 4 teilbaren Nummer, so idt das Produkt der 5 gezogenen Zahlen nicht durch 4 teilbar. Daher reichen 5 Kugeln nicht immer, wenn ein durch 4 teilbares Produkt erreicht werden soll. Zieht man aber 5 Kugeln, so sind darunter in jedem Fall mindestens zwei mit geraden Nummern, und das Produkt der 5 Zahlen ist sicher durch 4 teilbar. 5) Welches der folgenden Bilder stellt die Menge aller Punkte dar, deren Koordinaten ( ) die Bedingungen < und ² + ² = 4 erfüllen? A) B) C) D) E) Die Punkte, deren Koordinaten ( ) die Bedingung ² + ² = 4 erfüllen, sind genau die Punkte der Kreislinie mit Mittelpunkt O und Radius. Die Zusatzbedingung < legt alle Punkte fest, deren - und -Koordinaten verschiedene Vorzeichen haben, also die Punkte des zweiten und vierten Quadranten. 6) In der Abbildung haben die gleichseitigen Dreiecke ABC und ECD die Seitenlängen bzw.. Was ist die Fläche des Vierecks ABCE? A) 5 B) C) D) E) A E B C D Wegen ACB = DCE = 6 gilt auch ECA = 6. Zusammen mit AC =, CE = folgt daraus, dass ACE die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge ist. Daraus folgt AB AABCE = AABC + AACE = AABC = = = 4 4

6 6 7) Wie viele positive ganze Zahlen kann man in der Form a + a + a + a + a 4 schreiben, wenn a,a,a,a,a 4 in der Menge {-,,} liegen müssen? A) 5 B) 8 C) 8 D) E) 4 4 Antwort: D 4 Weil je zwei Zahlen der Form a + a + a + a + a4 mit a, a, a, a, a4 aus der Menge {-,,} verschieden sind, lassen sich 5 = 4 ganze Zahlen bilden. Eine davon ist ( a, a, a, a, a4 sind jeweils gleich ), von den übrigen 4 sind jeweils positiv und negativ, weil mit jeder Zahl z der Form 4 a + a + a + a + a4 mit a, a, a, a, a4 {-,,} auch -z in dieser Form darstellbar ist, indem man a i durch a i ersetzt. 8) Die Zahl ( + ) ist A) negativ B) gleich C) die 4. Potenz einer positiven ganzen Zahl D) gleich E) eine positive, durch 5 teilbare ganze Zahl Es gilt ( + ) = ( + ) + + ( ) = 44 = = = = 44 4 = 6 = = 4 9) Wie viele Eckpunkte hat ein regelmäßiges Vieleck, wenn die Summe seiner Innenwinkel ein Siebentel von der Innenwinkelsumme eines regelmäßigen 6-ecks ist? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) Die Innenwinkelsumme eines n-ecks ist (n-) 8, die eines regelmäßigen 6-ecks also 4 8. Daher ist die Summe der Innenwinklel des gesuchten regelmäßigen Vielecks 8 = 6. Das gesuchte Vieleck ist somit ein Quadrat (regelmäßiges 4-eck). ) Ein Kreis k ist einem Viertelkreis mit Radius 6 wie abgebildet eingeschrieben. Was ist der Radius von k? r=6 A) 6 B) C),5 D) E) 6( ) k

7 7 Der Mitelpunkt M' des Viertelkreises, der Mittelpunkt M des Kreises k und der Berührpunkt T der beiden Kreise liegen auf einer Geraden, daher gilt M'M + MT = 6. M' und M sind diagonal gegenüber liegende Eckpunkte des Quadrats MPM'Q. Bezeichnen wir den Radius von k mit, so gilt also MM '= und damit + = 6 M' Q P M T = = ( ) ( + )( ) = 6( ) = 6( ) - 5 Punkte Beispiele - ) In einer geometrischen Folge ( a n ) n (also einer Folge für die eine Zahl q eistiert, sodass a n+ =q a n für alle Werte von n gilt), gilt a < a < a 4. Dann gilt auch A) a a B) a a C) a a D) a E) a a 4 > < 4 < Wäre a <, so folgte daraus a a 4 q = >, q = <, a a ein Widerspruch. Daher gilt a > und folglich a a 4 q = <, q = >. a a < > Das ist genau dann der Fall, wenn q < ist. Daraus folgt, dass auf einander folgende Folgenglieder immer entgegengesetzte Vorzeichen haben, dass also speziell a a gilt. < ) Was ist die vorletzte Ziffer von 4? A) B) C) D) E) 4 Lösung : Nach binomischem Lehrsatz gilt 4 4 ( ) = + = Bis auf die letzten zwei Summanden sind alle übrigen Vielfache von, haben also wie der letzte Summand keinen Einfluss auf die vorletzte Ziffer (Zehnerziffer) von 4. Die Zehnerziffer von 4 stimmt daher mit der 4 vorletzten Ziffer von = 4 überein. Lösung : Die letzten zwei Ziffern von,,,. sind,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,. Daher endet auch = ( ) auf, und 4 = 4 = 4 endet auf. 4.

8 8 ) Bei den Wahlen in Gemmstadt ist erstmals die Broccolipartei angetreten. Alle Wähler, die für sie gestimmt haben, haben schon einmal Broccoli gegessen, während 9% der Wähler irgendeiner der anderen vier Parteien niemals Broccoli gegessen haben. Wie viel Prozent der Stimmen hat die Broccolipartei erhalten, wenn 46% der Wählerschaft schon einmal Broccoli gegessen haben? A) 4% B) 4% C) 4% D) 45% E) 46% Angenommen, der Stimmenanteil der Broccolipartei beträgt %. Diese % der Wählerschaft zählen alle zu den Broccoliessern. Der Stimmenanteil der anderen Parteien beträgt (-)%. 9% von ihnen sind Broccoliverweigerer, also sind % von ihnen - das sind weitere, (-)% der Wählerschaft ebenfalls Broccoliesser. Damit gilt +, (-) = 46,9 + = 46,9 = 6 = 4. Die Broccolipartei erhielt also 4% der Stimmen. 4) Ein Parallelogramm wird in 4 Dreiecke zerteilt (siehe Abbildung). Von den folgenden Gruppen von 4 Zahlen kann höchstens eine die Flächen der Dreiecke in irgend einer Reihenfolge angeben. Welche ist möglich? A) 4,5,8,9 B) 8,9,,5 C),,,9 D),,5,6 E) Alle 4 sind unmöglich. Weil gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms zu einander parallel sind, werden die Höhen h und h der beiden markierten Dreiecke auf derselben Geraden gemessen, ihre Summe ist die Höhe h a des Parallelogramms. Daraus D a C folgt h A ABX + A CDX = a h + a h = X = a (h + h ) = a ha = = A h ABCD und analog auch A a B ABCX + ADAX = A ABCD. Daher können die vier angegebenen Zahlen nur dann die Flächeninhalte der vier Dreiecke angeben, wenn die Summe von zwei der vier Zahlen die Summe der anderen zwei ist. Das ist nur bei A möglich: = ) In der Figur sehen wir die Graphen der reellen Funktionen f und g. Welche Beziehung gilt für alle reellen Zahlen? A) f () = g() + B) f () = g() C) f () = g(+) D) f (+) = g() E) f (+) = g( ) - - f g

9 9 Spiegelt man den Graph der Funktion g an der -Achse, so erhält man den Graph der Funktion g. Es zeigt sich, dass sich derselbe Graph aber auch dadurch ergibt, dass man den von f um Einheiten in -Richtung verschiebt. Daher stimmt f() für jede reelle Zahl mit g(+) überein. f g -g 6) Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge 4. Wie groß ist der Radius des Kreisbogens mit Mittelpunkt A, der die Fläche des Dreiecks in zwei gleich große Teile teilt? A) B) 4 C) D) 6 E) 48 Einer der beiden Teile, die man erhält, ist ein Kreissektor mit Zentriwinkel 6, also ein Sechstelkreis. Der Radius muss nun so gewählt werden, dass der Flächeninhalt dieses Kreissektors/Sechstelkreises halb so groß wie der des gleichseitigen Dreiecks C ist. Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt s ADreieck = = 4, 4 für den Flächeninhalt eines Sechstelkreises mit Radius r erhalten wir 6 r A Sechstelkreis =. A r B 6 Damit ergibt sich r = r = r = 6 7) Es sind Zahlen gegeben. Zunächst sind sie alle gleich. Im ersten Schritt wird zu jeder Zahl addiert. Im zweiten Schritt wird zu jeder zweiten Zahl (von links beginnend) addiert. Im dritten Schritt wird zu jeder dritten Zahl addiert, usw. Welche Zahl ist nach dem. Schritt an der. Stelle von links? A) 6 B) C) D) 4 E) Bezeichnet a n die n-te Zahl von links, dann wird a n im k-ten Schritt genau dann um erhöht, wenn n durch k teilbar ist. Somit wird a n genau so oft um vergrößert, wie n Teiler hat. Am. Stelle steht also schon nach Schritten die Anzahl der Teiler von, und diese Zahl wird dann nie mehr erhöht. Wegen = ³ 5 hat genau (+)(+)(+) = 6 Teiler.

10 8) Wie viele (nicht entartete) Dreiecke gibt es, deren Eckpunkte in den Punkten dieser Figur liegen? A) 86 B) 7 C) 777 D) 77 E) 8 Die Anzahl der Möglichkeiten, der 8 markierten Punkte auszuwählen, ist = = 86. Mitgezählt sind dabei aber auch all jene Auswahlen, bei denen die Punkte auf derselben Dreiecksseite liegen, also kein Dreieck bilden. Für jede der drei Dreiecksseiten gibt es = = Möglichkeiten, Punkte aus den 7 Punkten auszuwählen. Daher gibt es 86 5 = 7 nicht entartete Dreiecke, deren Eckpunkte in den Punkten der Figur liegen. 9) Die Summe aller dreistelligen Zahlen (mit drei verschiedenen Ziffern), die aus den Ziffern < a < b < c gebildet werden können, ist 554. Wie groß ist c? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Die aus den drei verschiedenen Ziffern a, b und c bildbaren dreiustelligen Zahlen sind abc, acb, bac, bca, cab und cba. In diesen sechs Zahlen kommt jede der drei Ziffern je zweimal als Hunderterziffer (mit Stellenwert ), Zehnerziffer (Stellenwert ) und Einerziffer (Stellenwert ) vor. Die Summe der sechs Zahlen ist also (a+b+c)(++) = (a+b+c). Aus (a+b+c) = 554 folgt unmittelbar a+b+c = 7. Wäre c 5, so wäre a+b im Widerspruch zu < a < b. Wäre c, so wäre a+b 4. Aus a = folgte b im Widerspruch zu b < c ; aus a folgte (wegen a < b) b, also wieder ein Widerspruch. Somit gilt c = 4 (und daher a =, b = ). ) Die Zahl m = wird mit 999 Neunern geschrieben. Was ist die Ziffersumme von m²? A) 898 B) 899 C) 9 D) 99 E) 98 Vergrößert man m um, so erhält man die Zahl, die mit beginnt, worauf 999 Nullen folgen. Das bedeutet ( ) m =, m = = ist eine 998-stellige Zahl, sie endet auf 999 Nullen, davor steht eine Ziffer 8, die vordersten 998 Ziffern sind Neuner. In m² wird die letzte Null als Einerziffer durch eine Eins ersetzt. Daher hat m² die Ziffernsumme = = 899.