Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die Einführungs- und Qualifikationsphase der gymnasialen Oberstufe am Johann-Conrad-Schlaun-Gymnasium

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1 Schulinterner Lehrplan zum Kernlehrplan für die Einführungs- und Qualifikationsphase der gymnasialen Oberstufe am Johann-Conrad-Schlaun-Gymnasium Mathematik Hinweis: Der schulinterne Lehrplan orientiert sich inhaltlich und zeitlich an dem Stoffverteilungsplan des Lehrwerks Lambacher Schweizer Einführungsphase (ISBN ) Qualifikationsphase (Grundkurs ISBN , Leistungskurs ISBN ) Die Zeitvorgaben gelten hierbei nur als Richtschnur. 1

2 Inhalt 1 Die Fachgruppe Mathematik am Johann-Conrad- Schlaun-Gymnasium 3 2 Entscheidungen zum Unterricht Unterrichtsvorhaben Einführungsphase Qualifikationsphase Grundsätze der fachmethodischen und fachdidaktischen Arbeit Grundsätze der Leistungsbewertung und Leistungsrückmeldung Lehr- und Lernmittel 42 3 Entscheidungen zu fach- und unterrichtsübergreifenden Fragen 42 4 Qualitätssicherung und Evaluation 42 2

3 1 Die Fachgruppe Mathematik am Johann-Conrad- Schlaun-Gymnasium Das Johann-Conrad-Schlaun-Gymnasium ist eines von 13 öffentlichen Gymnasien der Stadt Münster. Es liegt im Innenstadtbereich und hat eine entsprechend heterogene Schülerschaft, was den sozialen und ethnischen Hintergrund betrifft. Das Schlaungymnasium ist in der Sekundarstufe I zwei- bis dreizügig. In die Einführungsphase der Sekundarstufe II werden regelmäßig Schülerinnen und Schüler umliegender Real- und Hauptschulen neu aufgenommen. In der Regel werden in der Einführungsphase drei parallele Grundkurse eingerichtet, aus denen sich für die Q-Phase ein Leistungs- und zwei bis drei Grundkurse entwickeln. Der Unterricht findet im 90-Minuten-Takt statt, die Kursblockung sieht grundsätzlich für Grundkurse eine, für Leistungskurse zwei Doppelstunden vor. Im zweiwöchigen Rhythmus findet eine weitere Doppelstunde statt. Durch ein fachliches Förderprogramm im Rahmen des in der Einführungsphase stattfindenden Vertiefungskurses werden Schülerinnen und Schüler mit Übergangsund Lernschwierigkeiten intensiv unterstützt. Schülerinnen und Schüler aller Klassen- und Jahrgangsstufen werden zur Teilnahme an den vielfältigen Wettbewerben im Fach Mathematik angehalten und wo erforderlich begleitet. Für den Fachunterricht aller Stufen besteht Konsens darüber, dass so oft wie möglich mathematische Fachinhalte mit Lebensweltbezug vermittelt werden, so dass in der Sekundarstufe II verlässlich darauf aufgebaut werden kann, dass die Verwendung von Kontexten im Mathematikunterricht bekannt ist. In der Sekundarstufe I wird ab Klasse 8 der TI-Nspire CX als graphikfähiger Taschenrechner verwendet, dynamische Geometrie-Software und Tabellenkalkulation werden an geeigneten Stellen im Unterricht genutzt, der Umgang mit ihnen eingeübt. Dazu stehen in der Schule zwei PC-Unterrichtsräume zur Verfügung. In der Sekundarstufe II kann deshalb davon ausgegangen werden, dass die Schülerinnen und Schüler mit den grundlegenden Möglichkeiten dieser digitalen Werkzeuge vertraut sind. 2 Entscheidungen zum Unterricht 2.1 Unterrichtsvorhaben Die Darstellung der Unterrichtsvorhaben im schulinternen Lehrplan deckt alle im Kernlehrplan angeführten Kompetenzen ab. Dies entspricht der Verpflichtung jeder Lehrkraft, den Schülerinnen und Schülern Lerngelegenheiten zu ermöglichen, so dass alle Kompetenzerwartungen des Kernlehrplans von ihnen erfüllt werden können. Die entsprechende Umsetzung erfolgt auf zwei Ebenen: der Übersichts- und der Konkretisierungsebene. Im Abschnitt Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben wird eine mögliche Verteilung der Unterrichtsvorhaben vorgeschlagen. Die zeitliche Abfolge der Unterrichtsvorhaben der Einführungsphase wird gegebenenfalls im Rahmen des Parallelunterrichts von den Lehrenden auf die Vorgaben zur Vergleichsklausur abgestimmt. Das Übersichtsraster dient dazu, den Kolleginnen und Kollegen einen schnellen Überblick über die Zuordnung der Unterrichtsvorhaben zu den einzelnen Jahrgangsstufen sowie den im Kernlehrplan genannten Kompetenzen, Inhaltsfeldern und inhaltlichen Schwerpunkten zu verschaffen. Um Klarheit für die Lehrkräfte herzustellen und die Übersichtlichkeit zu gewährleisten, werden in der Kategorie 3

4 zentrale Kompetenzen an dieser Stelle nur die übergeordneten Kompetenzerwartungen ausgewiesen, während die konkretisierten Kompetenzerwartungen erst auf der Ebene konkretisierter Unterrichtsvorhaben Berücksichtigung finden. Der ausgewiesene Zeitbedarf versteht sich als grobe Orientierungsgröße, die nach Bedarf über- oder unterschritten werden kann. Um Spielraum für Vertiefungen, individuelle Förderung, besondere Schülerinteressen oder aktuelle Themen zu erhalten, wurden im Rahmen dieses schulinternen Lehrplans ca. 80 Prozent der Bruttounterrichtszeit verplant. Die Ausweisung konkretisierter Unterrichtsvorhaben besitzt empfehlenden und vorläufigen Charakter und wird jeweils von den Lehrenden des Jahrgangs umgesetzt. Referendarinnen und Referendaren sowie neuen Kolleginnen und Kollegen dienen diese vor allem zur standardbezogenen Orientierung in der neuen Schule, aber auch zur Verdeutlichung von unterrichtsbezogenen fachgruppeninternen Absprachen zu didaktisch-methodischen Zugängen, fächerübergreifenden Kooperationen, Lernmitteln und -orten sowie vorgesehenen Leistungsüberprüfungen. Begründete Abweichungen von den vorgeschlagenen Vorgehensweisen bezüglich der konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind im Rahmen der pädagogischen Freiheit der Lehrkräfte jederzeit möglich. Sicherzustellen bleibt allerdings auch hier, dass im Rahmen der Umsetzung der Unterrichtsvorhaben insgesamt alle prozess- und inhaltsbezogenen Kompetenzen des Kernlehrplans Berücksichtigung finden. Dies ist durch entsprechende Kommunikation innerhalb der Fachkonferenz zu gewährleisten. In der Qualifikationsphase enthalten das Übersichtsraster sowie die Konkretisierung der Unterrichtsvorhaben die Inhalte und Kompetenzen sowohl vom Grund- als auch vom Leistungskurs. Dabei sind die Themengebiete, die nur im Leistungskurs behandelt werden, stets mit gelben Kästchen markiert. Auf diese Weise erhalten Lehrerinnen und Lehrer aber auch Schülerinnen und Schüler einen guten Überblick über die Gemeinsamkeiten und Unterschiede in den beiden Kursarten. Die zeitlichen Vorgaben bei den konkretisierten Unterrichtsvorhaben sind als grobe Richtwerte zu verstehen und bedürfen der Evaluation. 4

5 2.2 Einführungsphase Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben Unterrichtsvorhaben I: Unterrichtsvorhaben II: Unterrichtsvorhaben III: Thema: Wahrscheinlichkeit, ein Schlüsselkonzept (Erwartungswert, Pfadregel, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zeitbedarf: 15 Std. Thema: Eigenschaften von Funktionen (Wiederholung und Symmetrie, Nullstellen, Transformation) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenz-und Sinusfunktionen Zeitbedarf: 23 Std. Thema: Die Ableitung, ein Schlüsselkonzept (Änderungsrate, Ableitung, Tangente) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Zeitbedarf: 19 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Funktionsuntersuchungen (charakteristische Punkte, Monotonie, Extrema) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Potenzfunktionen Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Unterrichtsvorhaben V: Thema: Vektoren, ein Schlüsselkonzept (Punkte, Vektoren, Rechnen mit Vektoren, Betrag) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren, Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Koordinatisierungen des Raumes Vektoren und Vektoroperationen Unterrichtsvorhaben V: Thema: Potenzen in Termen und Funktionen (rationale Exponenten, Exponentialfunktionen, Wachstumsmodelle) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen Zeitbedarf: 15 Std. Zeitbedarf: 15 Std. Zeitbedarf: 15 Std. Gesamt: 102 Stunden Bei Zeitmangel können Teile des Unterrichtsvorhabens VI in die Qualifikationsphase verschoben werden, die Inhalte werden dort wiederholt. 5

6 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben in der Einführungsphase Zeitraum (1 UE entspricht 90 Min.) 1,5 UE 1,5 UE 1,5 UE 1,5 UE Inhaltsbezogene Kompetenzen Stochastik Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Alltagssituationen als Zufallsexperimente deuten, Zufallsexperimente simulieren, Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufstellen und Erwartungswertbetrachtungen durchführen Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen modellieren, Mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und mithilfe der Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten ermitteln Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen verwenden, Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln modellieren, bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen, Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten bearbeiten Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit prüfen, Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten bearbeiten Lambacher Schweizer Einführungsphase Kapitel V Wahrscheinlichkeit 1 Wahrscheinlichkeitsvert eilung - Erwartungswert 2 Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel 3 Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeiten 4 Stochastische Unabhängigkeit prozessbezogene Kompetenzen Modellieren Strukturieren zunehmend komplexesachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen, die Situation analysieren und strukturieren, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung und auf Plausibilität überprüfen, verschiedene Lösungswege vergleichen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen erfassen, strukturieren und formalisieren Digitale Werkzeuge nutzen zum Generieren von Zufallszahlen; Ermitteln von Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) und zum Erstellen von Histogrammen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert können im Kontext von Glücksspielen erarbeitet werden. Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu thematisieren. Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen können parallele Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können. Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A B) von bedingten Wahrscheinlichkeiten auch sprachlich von besonderer Bedeutung. 6

7 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen (1 UE entspricht 90 Min.) Funktionen und Analysis Grundlegende Eigenschaften von Potenz- und Sinusfunktionen 1 UE Begriffsbildung im Zusammenhang mit Funktionen 2 UE einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (quadratische Funktionen) anwenden und die zugehörigen Parameter deuten 2 UE Eigenschaften von Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten sowie von quadratischen und kubischen Wurzelfunktionen beschreiben 1 UE am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen innermathematischer Probleme verwenden 2 UE Polynomgleichungen, die sich durch einfaches Ausklammern oder Substituieren auf lineare oder quadratische Gleichungen zurückführen lassen, ohne Hilfsmittel lösen 2 UE einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Funktionen (Sinusfunktion, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen) anwenden und die zugehörigen Parameter deuten Kapitel I Funktionen 1 Funktionen 2 Lineare und quadratische Funktionen 3 Potenzfunktionen 4 Ganzrationale Funktionen 5 Symmetrie von Funktionsgraphen 6 Nullstellen ganzrationaler Funktionen 7 Verschieben und Strecken von Graphen Problemlösen Lösen unterstützen Reflektieren Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Verfahren Produzieren Diskutieren Aussagen beurteilen, Werkzeuge nutzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Vermutungen aufstellen und beispielgebunden unterstützen vorgegeben Argumentationen und mathematische Beweise erklären Beobachtungen, bekannte Lösungswege und beschreiben, mathematische Fachbegriffe in theoretischen Zusammenhängen erläutern eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten und Darstellungen begründet Stellung nehmen, ausgearbeitete Lösungen hinsichtlich ihrer Verständlichkeit und fachsprachlichen Qualität auf der Grundlage fachbezogener Diskussionen Entscheidungen herbeiführen Digitale Werkzeuge nutzen zum Erkunden und zum Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, Lösen von Gleichungen Als Kontext für die Beschäftigung mit Wachstumsprozessen können zunächst Ansparmodelle (insbesondere lineare und exponentielle) betrachtet und mithilfe einer Tabellenkalkulation verglichen werden. Für kontinuierliche Prozesse und den Übergang zu Exponentialfunktionen werden verschiedene Kontexte (z. B. Bakterienwachstum, Abkühlung) untersucht. Anknüpfend an die Erfahrungen aus der SI werden dann quadratische Funktionen (Scheitelpunktform) und Parabeln unter dem Transformationsaspekt betrachtet. Systematisches Erkunden mithilfe des GTR eröffnet den Zugang zu Potenzfunktionen. 7

8 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen (1 UE entspricht 90 Min.) Funktionen und Analysis Grundverständnis des Ableitungsbegriffs Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 1 UE durchschnittliche Änderungsraten berechnen und im Kontext interpretieren 1 UE lokale Änderungsraten berechnen und im Kontext interpretieren, auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs an Beispielen den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate qualitativ erläutern, die Tangente als Grenzlage einer Folge von Sekanten deuten, die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/Tangentensteigung deuten 1 UE die Ableitung an einer Stelle als lokale Änderungsrate/Tangentensteigung deuten 2 UE Änderungsraten funktional beschreiben und interpretieren (Ableitungsfunktion), Funktionen graphisch ableiten 1 UE die Ableitungsregel für Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten nutzen, die Summen- und Faktorregel auf ganzrationale Funktionen anwenden 1 UE 1 UE die Kosinusfunktion als Ableitung der Sinusfunktion nennen Kapitel II Abhängigkeiten und Änderungen - Ableitung 1 Mittlere Änderungsrate - Differenzenquotient 2 Momentane Änderungsrate - 3 Die Ableitung an einer bestimmten Stelle berechnen 4 Die Ableitungsfunktion 5 Ableitungsregeln 6 Tangente 7 Ableitung der Sinusfunktion Modellieren Mathematisieren Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten Reflektieren die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter Modelle für die Fragestellung reflektieren Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Argumentieren Vermuten Beurteilen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Diskutieren Werkzeuge nutzen Muster und Beziehungen erkennen heuristische Strategien und Prinzipien nutzen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen Vermutungen aufstellen Ergebnisse, Begriffe und Regeln auf Verallgemeinerbarkeit überprüfen Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen wechseln zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet Stellung nehmen Digitale Werkzeuge nutzen zum Erkunden und Berechnen und zum Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren von Parametern, grafischen Messen von Steigungen, Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Für den Einstieg wird die durchschnittliche Änderungsrate in unterschiedlichen Sachzusammenhängen vermittelt, die auch im weiteren Verlauf immer wieder auftauchen (z. B. Bewegungen, Zu- und Abflüsse, Höhenprofil, Temperaturmessung, Aktienkurse, Entwicklung regenerativer Energien, Sonntagsfrage, Wirk- oder Schadstoffkonzentration, Wachstum, Kosten- und Ertragsentwicklung). Als Kontext für den Übergang von der durchschnittlichen zur lokalen Änderungsrate wird die vermeintliche Diskrepanz zwischen der Durchschnittsgeschwindigkeit bei einer längeren Fahrt und der durch ein Messgerät ermittelten Momentangeschwindigkeit genutzt. Neben zeitabhängigen Vorgängen soll auch ein geometrischer Kontext betrachtet werden (von der Sekante zur Tangente). Im Zusammenhang mit dem graphischen Ableiten und dem Begründen der Eigenschaften eines Funktionsgraphen sollen die Schülerinnen und Schüler in besonderer Weise zum Vermuten, Begründen und Präzisieren ihrer Aussagen angehalten werden. Besonderes Augenmerk liegt auf dem Verständnis zwischen Funktion und ihrer Ableitung. Beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen werden auch Tangentengleichungen bestimmt Ein kurzes Wiederaufgreifen des graphischen Ableitens am Beispiel der Sinusfunktion führt zur Entdeckung, dass die Kosinusfunktion deren Ableitung ist. 8

9 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen (1 UE entspricht 90 Min.) Funktionen und Analysis Grundlegende Eigenschaften von Potenzfunktionen Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen 1 UE Eigenschaften eines Funktionsgraphen beschreiben 1 UE Eigenschaften von Funktionsgraphen (Monotonie) mithilfe des Graphen der Ableitungsfunktion begründen 2 UE Eigenschaften von Funktionsgraphen (Extrempunkte) mithilfe des Graphen der Ableitungsfunktion begründen, lokale und globale Extrema im Definitionsbereich unterscheiden, das notwendige Kriterium und das Vorzeichenwechselkriterium zur Bestimmung von Extrempunkten verwenden 2 UE Am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von außermathematischen Problemen verwenden 1,5 UE Kapitel III Eigenschaften von Funktionen 1 Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen 2 Monotonie 3 Hoch- und Tiefpunkte 4 Mathematische Fachbegriffe in Sachzusammenhängen Exkursion Extremstellen mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen Modellieren Strukturieren Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen Mathematisieren Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Werkzeuge nutzen Muster und Beziehungen erkennen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung überprüfen, die Plausibilität von Ergebnissen überprüfen, verschiedene Lösungswege vergleichen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, math. Begriffe in Sachzusammenhängen erläutern die Fachsprache und fachspezifische Notation in angemessenem Umfang verwenden, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren Digitale Werkzeuge nutzen zum Erkunden und zum Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle) Für ganzrationale Funktionen werden die Zusammenhänge zwischen den Extrempunkten der Ausgangsfunktion und ihrer Ableitung durch die Betrachtung von Monotonieintervallen und der vier möglichen Vorzeichenwechsel an den Nullstellen der Ableitung untersucht. Die Schülerinnen und Schüler üben damit, vorstellungsbezogen zu argumentieren. Die Untersuchungen auf Symmetrien und Globalverhalten werden fortgesetzt. Bezüglich der Lösung von Gleichungen im Zusammenhang mit der Nullstellenbestimmung wird durch geeignete Aufgaben Gelegenheit zum Üben von Lösungsverfahren ohne Verwendung des GTR gegeben. 9

10 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen (1 UE entspricht 90 Min.) Analytische Geometrie und Lineare Algebra Koordinatisierungen des Raumes Vektoren und Vektoroperationen 1 UE Geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhaltes in der Ebene und im Raum wählen, geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem darstellen 1 UE Vektoren (in Koordinatendarstellung) als Verschiebungen deuten und Punkte im Raum durch Ortsvektoren kennzeichnen 1 UE Vektoren addieren, mit einem Skalar multiplizieren und Vektoren auf Kollinearität untersuchen 2 UE Längen von Vektoren und Abstände zwischen Punkten mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen, gerichtete Größen (Geschwindigkeit und Kraft) durch Vektoren darstellen 2 UE Eigenschaften von besonderen Dreiecken und Vierecken mithilfe von Vektoren nachweisen, Geeignete kartesische Koordinatisierungen für die Bearbeitung eines geometrischen Sachverhaltes in der Ebene und im Raum wählen, geometrische Objekte in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem darstellen Kapitel IV Vektoren 1 Punkte im Raum 2 Vektoren 3 Rechnen mit Vektoren 4 Betrag eines Vektors - Länge einer Strecke 5 Figuren und Körper untersuchen Modellieren Mathematisieren Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen Problemlösen Erkunden Lösen unterstützen, Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Diskutieren Muster und Beziehungen erkennen Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen Vermutungen aufstellen, beispielgebunden unterstützen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren, Zusammenhänge zwischen Ober- und Unterbegriffen herstellen, math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen sowie Argumente zu Argumentationsketten verknüpfen, verschiedene Argumentationsstrategien nutzen, lückenhafte und fehlerhafte Argumentationsketten erkennen und ergänzen bzw. korrigieren, math. Begriffe in Sachzusammenhängen erläutern, eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, Fachsprache und fachspezifische Notation verwenden, zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen und Darstellungen begründet Stellung nehmen Durch Operieren mit Verschiebungspfeilen werden einfache geometrische Problemstellungen gelöst: Beschreibung von Diagonalen (insbesondere zur Charakterisierung von Viereckstypen), Auffinden von Mittelpunkten (ggf. auch Schwerpunkten), Untersuchung auf Parallelität. Werkzeuge nutzen grafischen Darstellen von Ortsvektoren und Vektorsummen, Durchführen von Operationen mit Vektoren 10

11 Zeitraum (1 UE entspricht 90 Min.) 1,5 UE 1,5 UE 1,5 UE 1,5 UE Inhaltsbezogene Kompetenzen Stochastik Mehrstufige Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeiten Alltagssituationen als Zufallsexperimente deuten, Zufallsexperimente simulieren, Wahrscheinlichkeitsverteilungen aufstellen und Erwartungswertbetrachtungen durchführen Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen modellieren, Mehrstufige Zufallsexperimente beschreiben und mithilfe der Pfadregeln Wahrscheinlichkeiten ermitteln Urnenmodelle zur Beschreibung von Zufallsprozessen verwenden, Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen und Vier- oder Mehrfeldertafeln modellieren, bedingte Wahrscheinlichkeiten bestimmen, Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten bearbeiten Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit prüfen, Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten bearbeiten Lambacher Schweizer Einführungsphase Kapitel V Wahrscheinlichkeit 1 Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert 2 Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregel 3 Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeiten 4 Stochastische Unabhängigkeit prozessbezogene Kompetenzen Modellieren Strukturieren zunehmend komplexesachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen Problemlösen Erkunden Lösen Reflektieren Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen, die Situation analysieren und strukturieren, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung und auf Plausibilität überprüfen, verschiedene Lösungswege vergleichen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen erfassen, strukturieren und formalisieren Digitale Werkzeuge nutzen zum Generieren von Zufallszahlen; Ermitteln von Kennzahlen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Erwartungswert) und zum Erstellen von Histogrammen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Die zentralen Begriffe Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert können im Kontext von Glücksspielen erarbeitet werden. Das Urnenmodell wird auch verwendet, um grundlegende Zählprinzipien wie das Ziehen mit/ohne Zurücklegen mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge zu thematisieren. Zur Förderung des Verständnisses der Wahrscheinlichkeitsaussagen können parallele Darstellungen mit absoluten Häufigkeiten verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen verschiedenen Darstellungsformen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel) wechseln können und diese zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten beim Vertauschen von Merkmal und Bedingung und zum Rückschluss auf unbekannte Astwahrscheinlichkeiten nutzen können. Bei der Erfassung stochastischer Zusammenhänge ist die Unterscheidung von Wahrscheinlichkeiten des Typs P(A B) von bedingten Wahrscheinlichkeiten auch sprachlich von besonderer Bedeutung. 11

12 Das folgende Kapitel VIPotenzen in Termen und Funktionen kann aufgrund von thematischen Schwerpunktsetzungen der zentralen Abschlussprüfung in der Einführungsphase nach vorne gezogen werden oder in das Kapitel I Funktionen integriert werden. Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Einführungsphase prozessbezogene Kompetenzen Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen (1 UE entspricht 90 Min.) Funktionen und Analysis Grundlegende Eigenschaften von Exponentialfunktionen Kapitel VI Potenzen in Termen und Funktionen 1 UE 1 Potenzen mit rationalen Exponenten 2 UE Einfache Transformationen (Streckung, Verschiebung) auf Exponentialfunktionen anwenden und die zugehörigen Parameter deuten 2 Exponentialfunktionen 1 UE 3Exponentialgleichunge n und Logarithmus 2 UE Wachstumsprozesse mithilfe linearer Funktionen und Exponentialfunktionen beschreiben; am Graphen oder Term einer Funktion ablesbare Eigenschaften als Argumente beim Lösen von inner- und außermathematischen Problemen verwenden 4 Lineare und exponentielle Wachstumsmodelle 1 UE Fakultativ: Exkursion Logarithmusgesetze Modellieren Strukturieren zunehmend komplexesachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung erfassen und strukturieren, Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen mithilfe math. Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des math. Modells erarbeiten, einem mathematischen Modell verschiedene passende Sachsituationen zuordnen, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter Modelle für die Fragestellung reflektieren, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern Problemlösen Lösen Reflektieren Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Diskutieren Werkzeuge nutzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen Ergebnisse auf dem Hintergrund der Fragestellung und auf Plausibilität überprüfen, verschiedene Lösungswege vergleichen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren vorgegebene Argumentationen und Beweise erklären, zu mathematikhaltigen, auch fehlerbehafteten Aussagen begründet Stellung nehmen Digitale Werkzeuge nutzen zum Darstellen von Funktionen (grafisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, und zum Lösen von Gleichungen keine 12

13 2.3 Qualifikationsphase Übersichtsraster Unterrichtsvorhaben in der Qualifikationsphase Unterrichtsvorhaben I: Thema: Eigenschaften von Funktionen (Höhere Ableitungen, Besondere Punkte von Funktionsgraphen, Funktionen bestimmen, Parameter) Zentrale Kompetenzen: Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Funktionen als mathematische Modelle Zeitbedarf: GK 29 Std. LK: 30 Std. Unterrichtsvorhaben IV: Thema: Untersuchung zusammengesetzter Funktionen (Produktregel, Kettenregel) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Modellieren, Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 16 Std. LK: 33 Std. Unterrichtsvorhaben II: Thema: Das Integral, ein Schlüsselkonzept (Von der Änderungsrate zum Bestand, Integral- und Flächeninhalt, Integralfunktion) Zentrale Kompetenzen: Kommunizieren, Argumentieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltliche Schwerpunkte: Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung Zeitbedarf: GK: 21 Std. LK:31 Std. Unterrichtsvorhaben V: Thema: Geraden und Skalarprodukt (Bewegungen und Schattenwurf) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte (Geraden) Skalarprodukt Zeitbedarf: GK = LK: 20 Std. Unterrichtsvorhaben III: Thema: Exponentialfunktion (natürlicher Logarithmus, Ableitungen) Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Funktionen und Analysis (A) Inhaltlicher Schwerpunkt: Fortführung der Differentialrechnung Zeitbedarf: GK: 15 Std. LK: 26 Std. Unterrichtsvorhaben VI: Thema: Ebenen als Lösungsmengen linearer Gleichungen (Untersuchung geometrischer Objekte) Zentrale Kompetenzen: Argumentieren Kommunizieren Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Darstellung und Untersuchung geometrischer Objekte Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: GK: 18 Std. LK: 19 Std. 13

14 Unterrichtsvorhaben VII Thema: Abstände und Winkel Zentrale Kompetenzen: Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld Analytische Geometrie und Lineare Algebra (G) Inhaltlicher Schwerpunkt: Lagebeziehungen und Abstände Lineare Gleichungssysteme Zeitbedarf: LK: 25 Std. Unterrichtsvorhaben IX Thema: Ist die Glocke normal? Zentrale Kompetenzen: Modellieren Problemlösen Werkzeuge nutzen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Normalverteilung Zeitbedarf: LK: 15 Std. Gesamt: GK: 153 Stunden LK: 253 Stunden Unterrichtsvorhaben VIII-1 Thema: Wahrscheinlichkeit Statistik: Ein Schlüsselkonzept Zentrale Kompetenzen: Modellieren Werkzeuge nutzen Problemlösen Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Kenngrößen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Zeitbedarf: GK: 22 Std. LK: 24 Std. Unterrichtsvorhaben X: Thema: Von Übergängen und Prozessen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Argumentieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Stochastische Prozesse Zeitbedarf: GK: 12 Std. LK: 14 Std. Unterrichtsvorhaben VIII-2 Thema: Signifikant und relevant? Testen von Hypothesen Zentrale Kompetenzen: Modellieren Kommunizieren Inhaltsfeld: Stochastik (S) Inhaltlicher Schwerpunkt: Testen von Hypothesen Zeitbedarf: LK: 16 Std. Kompetenzen und Inhalte für Leistungskurse 14

15 Konkretisierte Unterrichtsvorhaben in der Qualifikationsphase Zeitrau m Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen (1 UE entspricht 90 Minuten) Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Kapitel I Eigenschaften von Funktionen 1 UE 1 Wiederholung: Ableitung 1 UE das Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion mit Hilfe der 2. Ableitung beschreiben 2 UE 2 UE notwendige Kriterien und Vorzeichenwechselkriterien sowie weitere hinreichende Kriterien zur Bestimmung von Extrem- und Wendepunkten verwenden 2 UE Extremalprobleme durch Kombination mit Nebenbedingungen auf Funktionen einer Variablen zurückführen und dieselösen 2 UE Parameter einer Funktion mithilfe von Bedingungen, die sich aus dem Kontext ergeben, bestimmen ( Steckbriefaufgaben ) 2 UE Parameter von Funktionen im Anwendungszusammenhang interpretieren 2 UE Parameter von Funktionen im Kontext interpretieren und ihren Einfluss auf Eigenschaften von Funktionenscharen untersuchen 2 Die Bedeutung der zweiten Ableitung 3 Kriterien für Extremstellen 4 Kriterien für Wendestellen 5 Extremwertprobleme mit Nebenbedingungen 6 Ganzrationale Funktionen bestimmen 7 Funktionen mit Parametern 8 Funktionenscharen untersuchen Modellieren Strukturieren Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen, Mathematisieren zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle übersetzen, mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells erarbeiten, Validieren die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen. Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Begründen Werkzeuge nutzen Fragen zu einer gegebenen Problemsituation finden und stellen einfache und komplexe mathematische Probleme, analysieren und strukturieren die Problemsituation erkennen und formulieren, Ideen für mögliche Lösungswege entwickeln, ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, einschränkende Bedingungen berücksichtigen einen Lösungsplan zielgerichtet ausführen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen nutzen, vermehrt logische Strukturen berücksichtigen (notwendige / hinreichende Bedingung, Folgerungen / Äquivalenz, Und- / Oder- Verknüpfungen, Negation, All- und Existenzaussagen), Digitale Werkzeuge nutzen zum Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen Darstellen von Funktionen (grafisch und als Wertetabelle), zielgerichteten Variieren der Parameter von Funktionen, grafischen Messen von Steigungen Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle 15

16 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Die Bedeutung der zweiten Ableitung: Die Beschreibung von Links- und Rechtskurven über die Zu- und Abnahme der Steigung führt zu einer geometrischen Deutung der zweiten Ableitung einer Funktion als Krümmung des Graphen und zur Betrachtung von Wendepunkten. Als Kontext hierzu können z. B. Trassierungsprobleme gewählt werden. Kriterien für Extremstellen: Die simultane Betrachtung beider Ableitungen stellt ein weiteres hinreichendes Kriterium für Extrempunkte neben das Vorzeichenwechselkriterium. Anhand einer Funktion mit Sattelpunkt wird die Grenze dieses hinreichenden Kriteriums entdeckt. Vor- und Nachteile der beiden hinreichenden Kriterien werden von den Lernenden kritisch bewertet. Kriterien für Wendestellen. Stellen extremaler Steigung eines Funktionsgraphen werden im Rahmen geeigneter Kontexte (z. B. Neuverschuldung und Schulden oder Besucherströme in einen Freizeitpark/zu einer Messe und erforderlicher Personaleinsatz) thematisiert und dabei der zweiten Ableitung eine anschauliche Bedeutung als Zu- und Abnahmerate der Änderungsrate der Funktion verliehen. Extremwertprobleme: Das Aufstellen der Funktionsgleichungen fördert Problemlösestrategien. Die Lernenden sollten deshalb hinreichend Zeit bekommen, mit Methoden des kooperativen Lernens selbstständig zu Zielfunktionen zu kommen und dabei unterschiedliche Lösungswege zu entwickeln. An mindestens einem Problem entdecken die Schülerinnen und Schüler die Notwendigkeit, Randextrema zu betrachten (z. B. Glasscheibe oder verschiedene Varianten des Hühnerhofs ). Ein Verpackungsproblem (Dose oder Milchtüte) wird unter dem Aspekt der Modellvalidierung/Modellkritik und Modellvariation untersucht. Ganzrationale Funktionen bestimmen: Anknüpfend an die Einführungsphase werden an Beispielen in unterschiedlichen Kontexten (z. B. Fotos von Brücken, Gebäuden, Flugbahnen) die Parameter ganzrationaler Funktionen angepasst. Anschließend werden aus gegebenen Punkten Gleichungssysteme für die Parameter der Normalform aufgestellt. Designobjekte oder architektonische Formen können zum Anlass genommen werden, die Funktionsklassen zur Modellierung auf ganzrationale Funktionen 3. oder 4. Grades zu erweitern und über gegebene Punkte, Symmetrieüberlegungen und Bedingungen an die Ableitung Gleichungen zur Bestimmung der Parameter aufzustellen. Zum Abschluss bietet sich eine offene Unterrichtsform (z. B. Lerntheke) an. Im Zusammenhang mit unterschiedlichen Kontexten werden aus gegebenen Eigenschaften (Punkten, Symmetrieüberlegungen, Bedingungen an die 1. und 2. Ableitung) Gleichungssysteme für die Parameter ganzrationaler Funktionen entwickelt. Schülerinnen und Schüler erhalten Gelegenheit, über Grundannahmen der Modellierung (Grad der Funktion, Symmetrie, Lage im Koordinatensystem, Ausschnitt) selbst zu entscheiden, deren Angemessenheit zu reflektieren und ggf. Veränderungen vorzunehmen. 16

17 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen (1 UE entspricht 90 Minuten) Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung 1 UE Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren, die Inhalte von orientierten Flächen im Kontextdeuten, zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion skizzieren 2 UE an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffserläutern und vollziehen 1 UE 1 UE geometrisch-anschaulich den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs begründen 2 UE Stammfunktionen ganzrationaler Funktionenbestimmen, die Intervalladditivität und Linearität von Integralen nutzen 2 UE den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate (LK oder der Randfunktion) ermitteln, Flächeninhalte mit Hilfe von bestimmten (LK: und uneigentlichen) Integralen ermitteln Integrale mithilfe von gegebenen (LK: oder Nachschlagewerken entnommenen) Stammfunktionen und numerisch(gk: auch unter Verwendung digitaler Werkzeuge) bestimmen Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral 1 Rekonstruieren einer Größe 2 Das Integral 3 Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 4 Bestimmung von Stammfunktionen 5 Integral und Flächeninhalt Argumentieren Vermuten Begründen Kommunizieren Rezipieren Produzieren Werkzeuge nutzen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformenwechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Digitale Werkzeuge nutzen zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, 17

18 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase prozessbezogene Kompetenzen (1 UE entspricht 90 Minuten) 1 UE 2 UE Funktionen und Analysis Grundverständnis des Integralbegriffs Integralrechnung den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern Flächeninhalte mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen bestimmen. Kapitel II Schlüsselkonzept: Integral (Fortsetzung) 6 Integralfunktion 7 Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale Argumentieren Vermuten Begründen Vermutungen aufstellen, Vermutungen beispielgebunden unterstützen, Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur präzisieren, Zusammenhänge zwischen Begriffen herstellen (Ober- / Unterbegriff) vorgegebene Argumentationen und mathematische Beweise erklären 2 UE Volumina von Körpern, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mit Hilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen bestimmen 8 Integral und Rauminhalt Kommunizieren Rezipieren Produzieren Informationen aus zunehmend komplexen mathematikhaltigen Texten und Darstellungen, aus authentischen Texten, mathematischen Fachtexten sowie aus Unterrichtsbeiträgen erfassen, strukturieren und formalisieren, Beobachtungen, bekannte Lösungswege und Verfahren beschreiben, mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen erläutern. eigene Überlegungen formulieren und eigene Lösungswege beschreiben, begründet eine geeignete Darstellungsform auswählen, flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformenwechseln, Arbeitsschritte nachvollziehbar dokumentieren, Ausarbeitungen erstellen und präsentieren Werkzeuge nutzen Digitale Werkzeuge nutzen zum Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse, Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrales, mathematische Hilfsmittel und digitale Werkzeuge zum Erkunden und Recherchieren, Berechnen und Darstellen nutzen, 18

19 Vorhabenbezogene Absprachen und Empfehlungen Hinweis: Auch im Leistungskurs bilden eigene anschauliche Erfahrungen ein gutes Fundament für den weiteren Begriffsaufbau. Deshalb hat sich die Fachkonferenz für einen ähnlichen Einstieg in die Integralrechnung im Leistungskurs entschieden wie im Grundkurs. Er unterscheidet sich allenfalls durch etwas komplexere Aufgaben von der Einführung im Grundkurs. Rekonstruieren einer Größe: Das Integral wird zum einen zur Bestimmung von Flächeninhalten und zum anderen zur Bestimmung des ursprünglichen Bestandes als Umkehrung der Ableitung genutzt. Die Reihenfolge wird hierbei nicht explizit vorgegeben. Das Thema ist somit komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit Weg, Zuflussrate von Wasser Wassermenge). Der Einstieg kann über eine arbeitsteilige Gruppenarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten. Schülerinnen und Schüler sollen hier entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist. Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und eines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen diesen herstellen (GTR). Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung / Regeln zur Bestimmung von Stammfunktionen: Der Zusammenhang zwischen einer integrierbaren Funktion und einer zugehörigen Stammfunktion wird im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag). Die Regeln zur Bildung von Stammfunktionen werden von den Schülerinnen und Schülern durch Rückwärtsanwenden der bekannten Ableitungsregeln selbstständig erarbeitet. (z. B. durch ein sog. Funktionendomino) Hier bieten sich Möglichkeiten zur inneren Differenzierung: Exemplarische Einschachtelung mit Ober- und Untersummen, formale Grenzwertbetrachtung. Integral und Flächeninhalt: Bei der Berechnung von Flächeninhalten werden verschiedene Integralregeln erarbeitet sowie das Integral über die Differenzfunktion (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) betrachtet. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt. Bei der Berechnung der Volumina wird stark auf Analogien zur Flächenberechnung verwiesen. (Gedanklich wird mit einem Eierschneider der Rotationskörper in berechenbare Zylinder zerlegt, analog den Rechtecken oder Trapezen bei der Flächenberechnung. Auch die jeweiligen Summenformeln weisen Entsprechungen auf.) Mit der Mittelwertberechnung kann bei entsprechend zur Verfügung stehender Zeit (über den Kernlehrplan hinausgehend) noch eine weitere wichtige Grundvorstellung des Integrals erarbeitet werden. Hier bieten sich Vernetzungen mit dem Inhaltsfeld Stochastik an. Umfangreichere Übungsaufgaben sollten am Ende des Unterrichtsvorhabens bearbeitet werden, um Vernetzungen mit den Kompetenzen der bisherigen Unterrichtsvorhaben (Funktionsuntersuchungen, Aufstellen von Funktionen aus Bedingungen) herzustellen. 19

20 Zeitraum Inhaltsbezogene Kompetenzen Lambacher Schweizer Qualifikationsphase (1 UE entspricht 90 Minuten) Funktionen und Analysis Funktionen als mathematische Modelle Fortführung der Differentialrechnung Kapitel III Exponentialfunktion 1 UE Eigenschaften von Exponentialfunktionen beschreiben 1 Wiederholung 2 UE 1 UE die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion bilden die besondere Eigenschaft der natürlichen Exponentialfunktion beschreiben und begründen die Ableitung mithilfe der Approximation durch lineare Funktionen deuten 2 UE die Ableitung von Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis bilden in einfachen Fällen zusammengesetzte Funktionen und deren Ableitung bilden 2 UE Wachstums- und Zerfallsvorgänge mit Hilfe funktionaler Ansätze untersuchen 2 UE 3 UE Exponentialfunktionen zur Beschreibung von Wachstumsund Zerfallsvorgängen verwenden und die Qualität der Modellierung exemplarisch mit begrenztem Wachstum vergleichen die natürliche Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion nutzen die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion bilden 2 Die natürliche Exponentialfunktion und ihre Ableitung 3 Natürlicher Logarithmus Ableitung von Exponentialfunktionen 4 Exponentialfunktionen und exponentielles Wachstum 5 Beschränktes Wachstum 6 Logarithmusfunktion und Umkehrfunktion prozessbezogene Kompetenzen Modellieren Strukturieren Validieren Problemlösen Erkunden Lösen Argumentieren Vermuten Begründen Beurteilen Werkzeuge nutzen Annahmen treffen und begründet Vereinfachungen einer realen Situation vornehmen die erarbeitete Lösung wieder auf die Sachsituation beziehen, die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung beurteilen, aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung verbessern, die Abhängigkeit einer Lösung von den getroffenen An-nahmen reflektieren Muster und Beziehungen erkennen, Informationen recherchieren ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung einsetzen, Werkzeuge auswählen, die den Lösungsweg unterstützen, geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung auswählen einschränkende Bedingungen berücksichtigen Vermutungen aufstellen und mithilfe von Fachbegriffen präzisieren math. Regeln und Sätze für Begründungen nutzen überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können, Argumentationsketten hinsichtlich ihrer Reichweite und Übertragbarkeit beurteilen Digitale Werkzeuge nutzen zum Erkunden Darstellen von Funktionen (graphisch und als Wertetabelle), grafischen Messen von Steigungen, Berechnen der Ableitung einer Funktion an einer Stelle Die Möglichkeiten und Grenzen mathematischer Hilfsmittel und digitaler Werkzeuge reflektieren und begründen 20