Die Gruppe S 4 besitzt die folgenden Elemente: 1 id

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1 Die Gruppe S 4 besitzt die folgenden Elemente: Ordnung Elemente 1 id 2 (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) 3 (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3) 4 (1, 2, 3, 4), (1, 4, 3, 2), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 4, 2), (1, 3, 2, 4), (1, 4, 2, 3) Nach dem Satz von Lagrange können Untergruppen der S 4 nur die Ordnungen 1,2,3,4,6,8,12 und 24 besitzen. Die (einzige) Untergruppe der Ordnung 1 ist die triviale Untergruppe U 1 := {id} Desweiteren erzeugt jedes Element der S 4 eine zyklische Untergruppe. Um diese zu identifizieren gehe man wie folgt vor: Man nehme sich die Elemente der Ordnungen 2,3 und 4 aus der S 4, diese erzeugen zyklische Untergruppen der entsprechenden Ordnungen. Für die Ordnungen 2 und 3 sieht man sofort, dass diese alle Untergruppen dieser Größe sind, denn Gruppen dieser Ordnungen (Primzahl) sind immer zyklisch. Man beachte, dass zueinander inverse Elemente der S 4 dieselbe Untergruppe erzeugen. Ordnung Gruppe 2 U 2,1 := {id, (1, 2)} U 2,2 := {id, (1, 3)} U 2,3 := {id, (1, 4)} U 2,4 := {id, (2, 3)} U 2,5 := {id, (2, 4)} U 2,6 := {id, (3, 4)} U 2,7 := {id, (1, 2)(3, 4)} U 2,8 := {id, (1, 3)(2, 4)} U 2,9 := {id, (1, 4)(2, 3)} 3 U 3,1 := {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} U 3,2 := {id, (1, 2, 4), (1, 4, 2)} U 3,3 := {id, (1, 3, 4), (1, 4, 3)} U 3,4 := {id, (2, 3, 4), (2, 4, 3)} 4 U 4,1 := {id, (1, 2, 3, 4), (13)(24), (1, 4, 3, 2)} U 4,2 := {id, (1, 2, 4, 3), (14)(23), (1, 3, 4, 2)} U 4,3 := {id, (1, 3, 2, 4), (12)(34), (1, 4, 2, 3)} Bei Ordnung 4 tritt das erste mal die Möglichkeit auf, dass es noch andere Untergruppen geben kann. Da jede nichtzyklische Gruppe der Ordnung 4 isomorph zu V 4 sein muss, müssen wir nur noch nach solchen suchen, also insbesondere nach vierelementigen Gruppen, die 3 Elemente der Ordnung 2 besitzen. Ein erster 1

2 Fund ist U 4,4, man sieht sofort das jede andere Untergruppe mit 3 Elementen der Ordnung 2 und einem Element der Ordnung 1 nun mindestens eine Transposition enthalten muss. Für eine potenzielle weitere Gruppe der Ordnung 4 gilt nun, dass sie mit der vorhandenen nichtzyklischen einen Schnitt der Ordnung 1 oder 2 besitzt (Warum?). Hat sie einen trivialen Schnitt, so haben beide nur das neutrale Element gemeinsam, unsere neue Gruppe käme also ohne Doppeltranspositionen aus, man sieht aber sofort, dass in einer Gruppe die drei Transpositionen enthält auch ein Element der Ordnung 3 liegen muss, da mindestens zwei dieser Transpositionen nicht elementfremd sind. Bleibt der Fall des Schnittes mit Ordnung 2, dann enthält die neue Gruppe neben dem neutralen Element auch eine Doppeltransposition (und damit genau eine). Also müssen wir versuchen die drei Doppeltranspositionen mit Transpositionen zu Gruppen aufzufüllen, diese müssen natürlich wieder elementfremd sein (sonst erzeugen wir ein Element der Ordnung 3) und deren Produkt ist durch die Doppeltransposition festgelegt, man sieht nun sofort ein, dass dies die Gruppen U 4,5, U 4,6 und U 4,7 sein müssen. U 4,4 := {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} = V 4 U 4,5 := {id, (1, 2), (3, 4), (1, 2)(3, 4)} U 4,6 := {id, (1, 3), (2, 4), (1, 3)(2, 4)} U 4,7 := {id, (1, 4), (2, 3), (1, 4)(2, 3)} Nun zu den Untergruppen der Ordnung 6, etwa U := {id, u 1, u 2, u 3, u 4, u 5 }. Eine solche Untergruppe kann kein Element der Ordnung 4 enthalten, da dieses Element eine Untergruppe von U der Ordnung 4 erzeugen würde, die nach dem Satz von Lagrange nicht existieren kann. Beh: U enthält mindestens ein Element der Ordnung 3. Angenommen U enthält nur Elemente der Ordnung 2. 1.Fall: Es gibt mindestens eine Doppeltransposition in U. Wenn es genau eine Doppeltransposition (a, b)(c, d) U gibt, dann gibt es in U auch eine einfache Transposition der Form (b, d). Wegen der Abgeschlossenheit von U ist dann auch (a, b)(c, d) (b, d) = (a, b, c, d) U. (Die Fälle mit zwei und drei Doppeltranspositionen verlaufen analog.) 2.Fall: U besteht nur aus einfachen Transpositionen. Unter den fünf Transpositionen muss es mindestens zwei Transpositionen der Kombination (a, b), (b, c) geben. Dann muss wegen der Abgeschlossenheit von U auch (a, b) (b, c) = (a, b, c) U sein. U besitzt also mindestens ein Element der Ordnung 3. Wiederum auf Grund der Abgeschlossenheit von U muss dann auch dessen Inverses Element in U liegen. Beh: U enthält höchstens zwei Elemente der Ordnung 3. Angenommen in U gibt es neben den beiden zueinander inversen Zykeln der Länge 3 (a, b, c), (a, c, b) einen weiteren Zykel, der o.b.d.a. die Form (a, b, d) besitzt. Dann müssen auch (a, b, d)(a, b, d) = (a, d, b) U sowie (a, b, c)(a, b, d) = 2

3 (a, d, c) U sein und damit ebenfalls (a, d, c)(a, d, c) = (a, c, d) U. Insgesamt sind dies bereits sechs Zykel der Länge 3. Zusammen mit der Identität müsste U also mehr als sechs Elemente besitzen. Jede Untergruppe der Ordnung 6 besitzt also neben der Identität zwei Zykel der Länge 3, die invers zueinander sind, etwa (a, b, c) und (a, c, b). Die drei übrigen Elemente müssen die Ordnung 2 haben. Beh: Wenn (a, b, c), (a, c, b) U sind, besitzt U keinen Zykel, der d enthlt. Angenommen U besitzt einen einfachen Zykel, der d enthält. O.B.d.A. sei dies der Zykel (a, d). Dann wäre (a, b, c)(a, d) = (a, d, b, c) U Falls U eine Doppeltransposition besitzt, o.b.d.a. (ab)(cd), dann muss auch (a, b, c) (a, b)(c, d) = (a, c, d) U sein. Dies ist ein Widerspruch zu der vorherigen Behauptung. Es bleiben nur noch drei Transpositionen ohne d. Insgesamt kann man durch die Wahl eines Zykels der Länge 3 bis auf sechs Elemente alle anderen Elemente der S 4 ausschließen. Zu zeigen ist noch, dass diese sechs Elemente eine Gruppe bilden, aber dies ist klar, da sie gerade isomorphe Kopien der S 3 bilden. U 6,1 := {id, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)} U 6,2 := {id, (1, 2), (1, 4), (2, 4), (1, 2, 4), (1, 4, 2)} U 6,3 := {id, (1, 3), (1, 4), (3, 4), (1, 3, 4), (1, 4, 3)} U 6,4 := {id, (2, 3), (2, 4), (3, 4), (2, 3, 4), (2, 4, 3)} Nun zu den Untergruppen der Ordnung 8. Sei U eine solche Gruppe. Diese Gruppe kann keine Elemente der Ordnung 3 enthalten, da diese Elemente Untergruppen der Ordnung 3 von U erzeugen. Der Satz von Lagrange besagt aber, dass es keine Untergruppen dieser Ordnung geben kann. Beh: U enthält mindestens ein Element der Ordnung 4. Angenommen U enthielte kein Element der Ordnung 4. Da U auch keine Elemente der Ordnung 3 besitzt, müssten 7 Elemente der Ordnung 2 in U liegen. Dabei gibt es auch zwei Elemente der Form (a, b), (b, c). Wegen der Abgeschlossenheit von U muss (a, b)(b, c) = (a, b, c) U sein. Wenn U ein Element der Ordnung 4 enthält, dann enthält U auch das inverse Element, welches ebenfalls Ordnung 4 besitzt. Beh: U enthält höchstens zwei Elemente der Ordnung 4. Diese Elemente seien (a, b, c, d), (a, d, c, b). Angenommen es gäbe einen dritten Zykel der Länge 4 in U. Dieser Zykel hat o.b.d.a. die Form (a, b, d, c), denn je 3

4 zwei Zykel der Länge 4 besitzen zwei Elemente, die in beiden Zykeln in der selben Reihenfolge auftauchen (o.b.d.a. seien dies a und b). Wegen der Abgeschlossenheit von U gilt: (a, b, c, d)(a, b, d, c) = (a, c, b) U Die Untergruppe U besitzt also einen Zykel der Länge 4 (a, b, c, d) sowie den inversen Zykel (a, d, c, b) und die Identität. Es verbleiben noch 5 Elemente der Ordnung 2. Wähle eine Transposition mit aufeinander folgenden Elementen aus dem Zykel der Länge 4. Dies sei o.b.d.a. (a, b). Daher müsste dann ebenfalls (a, b, c, d)(a, b) = (a, c, d) U dein. Man kann also vier von neun Transpositionen ausschließen. Die Jede Untergruppe der Ordnung 8 besitzt also mindestens einen Zykel der Länge 4, bezüglich dessen man je 16 Elemente als Elemente der Untergruppe ausschließen kann. Zu zeigen ist, dass die verbleibenden Elemente eine Untergruppe bilden. Dies ist jedoch klar, da diese Elemente die Gruppe Di 4 bilden bzw. zu dieser Gruppe isomorph sind (vgl. A6). U 8,1 := {id, (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432)} U 8,2 := {id, (12), (34), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1324), (1423)} U 8,3 := {id, (14), (23), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1243), (1342)} Nun zu den Untergruppen der Ordnung 12. Eine solche Untergruppe U besitzt Index 2, ist also nach c) ein Normalteiler, d.h. für ein u U und alle σ S 4 ist σuσ 1 U Beh: Für σ S 4 und x i {1, 2, 3, 4} paarweise verschieden gilt: σ(x 1, x 2,..., x n )σ 1 = (σ(x 1 ), σ(x 2 ),..., σ(x n )) Zeige nun, dass beide Zykel die Elemente aus {1, 2, 3, 4} gleich abbilden. Sei x j {x 1,..., x n }. Dann gilt σ(x 1, x 2,..., x n )σ 1 σ(x j ) = σ(x 1, x 2,..., x n )(x j ) = σ(x j+1 ) = (σ(x 1 ), σ(x 2 ),..., σ(x n ))σ(x j ) Sei x j / {x 1,..., x n }. Dann gilt σ(x 1, x 2,..., x n )σ 1 σ(x j ) = σ(x 1, x 2,..., x n )(x j ) = σ(x j ) = (σ(x 1 ), σ(x 2 ),..., σ(x n ))σ(x j ) Falls U also einen Zykel der Länge n besitzt, etwa (x 1,..., x n ), so muss auch jeder andere Zykel dieser Länge in U liegen. Denn wenn nämlich (y 1,..., y n ) ein solcher Zykel ist, dann definiert man σ S 4 durch σ : x i y i und erhält (y 1,..., y n ) = σ(x 1,..., x n )σ 1 U. In U liegen nun neben der Identität noch elf weitere Elemente. Man kann nun aus den verschiedenen Zykeltypen, die entweder ganz oder gar nicht in U liegen, nur die Doppeltranspositionen (3 Stück) und die Zykel der Länge 3 (8 Stück) auswählen um insgesamt genau elf Elemente zu erhalten. Es kann also nur eine Untergruppe der Ordnung 12 geben. U 12 := {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3)} Man bezeichnet diese Gruppe auch als A 4 Die einzige Untergruppe der Ordnung 24 ist die U 24 := S 4 selbst. 4

5 Um die Frage zu klären, welche Untergruppen konjugiert zueinander sind, überlegt man sich zunächst, dass zwei konjugierte Untergruppen gleiche Kardinalität haben (da die Konjugation mit einem Element einen Bijektion liefert). Außerdem ist die folgende Proposition (siehe Skript ) sehr hilfreich: σ (j 1, j 2,..., j l ) σ 1 = (σ(j 1 ), σ(j 2 ),..., σ(j l )) Folglich bestehen die Konjugationsklassen in der S 4 (allgemeiner auch S n ) genau aus den Elementen gleichen Zykeltyps. Zwei zueinander konjugierte Untergruppen müssen somit also notwendig jeweils eine gleiche Anzahl an Elementen gleichen Zykeltyps enthalten. Somit ist klar, dass die Untergruppen U 2,1,..., U 2,6 jeweils nicht konjugiert sind zu U 2,7,..., U 2,9 und weiter jeweils keine zwei Untergruppen U 4,1, U 4,2, U 4,3 zu U 4,5, U 4,6, U 4,7 und von diesen widerum keine zu U 4,4 konjugiert ist. Andererseits überlegt man sich, dass je zwei zyklische Untergruppen mit Erzeugern τ, τ vom gleichen Zykeltyp konjugiert sind, denn in der S 4 gibt es stets ein Element σ mit τ = στσ 1 und wegen στ k σ 1 = (στσ 1 ) k ) = τ k sind dann auch die gesamten Untergruppen (durch σ) konjugiert zueinander. Die Untergruppen mit 6 Elementen sind offenbar alle Stabilisatoren eines Elements. Hat man nun eine Gruppe, die das Element a stabilisiert und eine andere, die das Element b stabilisiert, so sind diese beiden Gruppen durch (a, b) konjugiert zueinander. Die Untergruppen der Ordnung 8 sind offenbar allesamt Diedergruppen des regelmäßigen 4-Ecks (Quadrat), wobei jedoch die Ecken im Uhrzeigersinn nummeriert sind mit 1,2,3,4 bzw. 1,3,2,4 bzw. 1,2,4,3. Durch eine Vertauschung von 2 Ecken (Transposition) kann man also stets die Nummerierung 1,2,3,4 herstellen und man überlegt sich, dass dann auch die Gruppen durch genau diese Transposition konjugiert sind. Aus der Definition eines Normalteilers gn = Ng für alle g G folgt durch umstellen gng 1 = N für alle g G. Also ist eine Untergruppe N G genau dann ein Normalteiler von G, wenn die Konjugationsklasse von N nur genau aus dem einen Element N besteht. Im konkreten Fall der Aufgabe sind also abgesehen von den trivialen Normalteilern U 1 und U 30 nur die Untergruppen U 4,4 und U 12 Normalteiler. Desweiteren soll nun noch der Isomorphietyp aller Untergruppen bestimmt werden. Untergruppen können als Gruppen dabei natürlich nur isomorph sein, wenn sie die gleiche Kardinalität besitzen. Weiter ist auch die Isomorphie von Gruppen eine Äquivalenzrelation, sodass man nur den Isomorphietyp eines Vertreters einer jeden Konjugationsklasse bestimmen muss. Da die Untergruppen U 2,1, U 2,7, U 3,1 und U 4,1 zyklisch sind, ist klar, dass U 2,1 = U 2,7 = Z2 und U 3,1 = Z3 sowie U 4,1 = Z4 gilt. Die Gruppe U 4,4 enthält drei 5

6 Elemente der Ordnung 2 und ist somit isomorph zu V 4 (sogar gleich, wenn so definiert). Gleiches gilt auch für die Gruppe U 4,5. Die Gruppe U 6,1 ist offensichtlich isomorph zur S 3 und die Gruppe U 8,1 zur Diedergruppe Di 4. Die verbleibende Gruppe U 12 ist gleich A 4. Hier nochmal die Ergebnisse in der Übersicht: Ord Anzahl Vertreter Isomorphietyp Normalteiler 1 1 U 1 {e} ja 2 6 U 2,1 Z 2 nein 2 3 U 2,7 Z 2 nein 3 4 U 3,1 Z 3 nein 4 3 U 4,1 Z 4 nein 4 1 U 4,4 V 4 ja 4 3 U 4,5 V 4 nein 6 4 U 6,1 S 3 nein 8 3 U 8,1 Di 4 nein 12 1 U 12 A 4 ja 24 1 U 30 S 4 ja 6