Tutorium: Diskrete Mathematik

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 2, Lösungen) 17. Januar 2019

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

3 Aufgabe 1 a) Nein. Das neutrale Element 0 ist nicht in N enthalten. b) Nein. Nicht abgeschlossen, z.b. bei Division ungerader Werte durch 2; kein neutrales Element. c) Nein. Assoziativgesetz gilt nicht; kein neutrales Element. 3 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

4 Aufgabe 2 Die vier Elemente der Rechteckgruppe sind: die Identität (i); die Drehung um 180 (r); die beiden Spiegelungen an den Seitenhalbierenden (x, y). Als Gruppentafel ergibt sich: i r x y i i r x y r r i y x x x y i r y y x r i 4 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

5 Aufgabe 3 Zum Nachweis sind 2 Dinge zu zeigen: a, b G H a b, b a G H a G H a 1 G H Zum Nachweis der ersten Eigenschaft genügt die folgende Begründung: a, b G H a, b G und a, b H a b, b a G und a b, b a H a b, b a G H Der Nachweis der zweiten Eigenschaft erfolgt analog. Es handelt sich bei (G H, ) folglich um eine Untergruppe von G und H. 5 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

6 Aufgabe 4 I Nach dem Satz von Lagrange gilt: G H teilt G und G H teilt H. Als mögliche Ordnung von G H kommt also 2, 4 und 8 infrage. Diese Fälle müssen separat betrachtet werden. Fall 1: G H = 2: Nach dem Satz von Lagrange können die Elemente nur Ordnung 1 oder 2 haben. Ordnung 1 kommt stets nur für das neutrale Element infrage. Das zweite Element muss Ordnung 2 haben. 6 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

7 Aufgabe 4 II Fall 2: G H = 4: Nach dem Satz von Lagrange können die Elemente nur Ordnung 1, 2 oder 4 haben. Ordnung 1 kommt stets nur für das neutrale Element infrage. Die weiteren Elemente müssen Ordnung 2 oder Ordnung 4 haben. Für den Fall Ordnung 2 sind wir fertig. Hat ein Element a hingegen Ordnung 4, lässt sich mit a 2 ein Element der Ordnung 2 finden: a 4 = ( a 2) 2 = 1. Fall 3: G H = 8: Dieser Fall funktioniert analog zu Fall 2. Für jeden Fall lässt sich also zeigen, dass immer ein Element der Ordnung 2 existiert. 7 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

8 Aufgabe 5 Die beiden Gruppen der Ordnung 4 haben die folgenden Gruppentafeln: 1 a b c 1 1 a b c a a b c 1 b b c 1 a c c 1 a b 1 a b c 1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1 Die linke Gruppe enthält Elemente der Ordnung 4, die rechte Gruppe nicht. Sie können also nicht isomorph sein. Die Entscheidung, ob Elemente der Ordnung 4 vorhanden oder nicht vorhanden sind, gibt die restliche Struktur der Gruppentafel vor. Die rechte Gruppe ist auch als Kleinsche Vierergruppe bekannt. 8 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

9 Aufgabe 6 S 3 und die durch (12) erzeugte Untergruppe H von S 3 lauten: { } S 3 = id, (12), (13), (23), (123), (132) { } H = id, (12). Es ergeben sich die folgenden Linksnebenklassen: { } { } idh = id id, id (12) = id, (12) { } { } (13)H = (13) id, (13) (12) = (13), (123) { } { } (23)H = (23) id, (23) (12) = (23), (132). Die restlichen Nebenklassen sind mit den bereits genannten identisch. 9 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

10 Aufgabe 7 Die Einheitengruppe E(Z 42 ) besitzt die in Z 42 invertierbaren Elemente: { } E(Z 42 ) = 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

11 Aufgabe 8a-e a) π = (132)(4576)(89). b) π = (12)(13)(46)(47)(45)(89); Alternativ: π = (13)(32)(45)(57)(76)(89). c) π besteht aus 6 Transpositionen, ist also gerade. d) sign π = +1. e) π ist eine gerade, ρ ist eine ungerade Permutation mit 13 Transpositionen. Diese können nicht identisch sein, da gerade Permutationen nur durch andere gerade Permutationen dargestellt werden können; analog für ungerade Permutationen. 11 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019

12 Aufgabe 8f f) Bei π handelt es sich um die folgende Permutation: ( ) π = Bei ϕ handelt es sich um die folgende Permutation: ( ) ϕ = Die Permutationen π und ϕ sind also nicht identisch. 12 c 2019 Steven Köhler 17. Januar 2019