Gruppen und Kryptographie. Hagen Knaf, März 2018

Transkript

1 Gruppen und Kryptographie Hagen Knaf, März 2018

2 Überblick Potenzen 3. Diskrete Logarithmen 4. Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman

3 Kreislimit I, 1958 Kleiner und kleiner I, 1956 Welches der beiden Kunstwerke von M.C. Escher ist symmetrischer?

4 Zur Beurteilung der Symmetrie bestimmt man alle mathematischen Operationen, die man mit den Kunstwerken durchführen kann, und die diese deckungsgleich in sich selbst überführen: a 2 a 3 Nichts tun: n Drehung um 120 : d 1 Drehung um 240 : d 2 Spiegeln an a 1 : s 1 Spiegeln an a 2 : s 2 a 1 Spiegeln an a 3 : s 3

5 Zur Beurteilung der Symmetrie bestimmt man alle mathematischen Operationen, die man mit den Kunstwerken durchführen kann, und die diese deckungsgleich in sich selbst überführen: Nichts tun: n Drehung um 90 : d 1 Drehung um 180 : d 2 Drehung um 270 : d 3

6 Das Nacheinander-Ausführen (Verketten) jeweils zweier Symmetrieoperationen s und t liefert eine ebensolche: s o t. Das Symbol bedeutet, dass zuerst t dann s ausgeführt wird. o n d 1 d 2 d 3 n n d 1 d 2 d 3 d 1 d 1 d 2 d 3 n d 2 d 2 d 3 n d 1 d 3 d 3 n d 1 d 2 Verknüpfungstafel

7 Das Nacheinander-Ausführen (Verketten) jeweils zweier Symmetrieoperationen s und t liefert eine ebensolche: s o t. Das Symbol bedeutet, dass zuerst t dann s ausgeführt wird. a 2 a 3 a 1 o n d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 n n d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 d 1 d 1 d 2 n s 3 s 1 s 2 d 2 d 2 n d 1 s 2 s 3 s 1 s 1 s 1 s 2 s 3 n d 1 d 2 s 2 s 2 s 3 s 1 d 2 n d 1 s 3 s 3 s 1 s 2 d 1 d 2 n Verknüpfungstafel

8 Was ist eine Gruppe? Eine Gruppe ist eine Menge G von Objekten zusammen mit einer Vorschrift, mit deren Hilfe man je zwei Objekte g, h G zu einem dritten Objekt g h G verknüpfen kann. Die Verknüpfungsvorschrift muss folgende Eigenschaften besitzen: 1. Für alle g, h, i G gilt: g h i = (g h) i (Assoziativgesetz). 2. Es gibt ein Objekt e G mit der Eigenschaft: für alle g G gilt: g e = e g = g. 3. Zu jedem Objekt g G gibt es ein Objekt h G mit der Eigenschaft g h = h g = e. Ein Objekt e wie in Punkt 2 nennt man neutrales Element der Gruppe G. Ein Objekt h wie in Punkt 3 man Inverses zu g und verwendet das Symbol g 1 dafür.

9 Es existiert stets nur ein Objekt e mit der Eigenschaft g G e g = g e = g. Beweis: Man nehme zwei Objekte e, f G, welche die Eigenschaft eines neutralen Elements besitzen. Dann gilt also: e = f e = f. Zu jedem Objekt g G gibt es nur ein Objekt h G mit der Eigenschaft g h = h g = e. Beweis: Man nehme zwei Inverse h, i G von g. Dann gilt also: g h = e = g i, woraus sich h g h = h (g i) ergibt. Für die linke Seite gilt: h g h = h g h = e h = h. Für die rechte Seite gilt: h g i = h g i = e i = i.

10 Diedergruppen Betrachte ein reguläres n -Eck mit n {3,4,5, }. Die Menge D n bestehend aus den Spiegelungen an den n Symmetrieachsen, den Drehungen um den Mittelpunkt und um Vielfache von 360 als Winkel n bildet mit der Nacheinander- Ausführung o als Verknüpfung eine Gruppe mit 2n Elementen.

11 Diedergruppen gerade und ungerade Eckenanzahl.

12 Diedergruppen Weshalb ist D n eine Gruppe? Falls das Verketten überhaupt eine Verknüpfungsvorschrift ist, gilt: das Assoziativgesetz (nachrechnen), das neutrale Element ist das Nichtstun, das Inverse einer Spiegelung ist diese Spiegelung selbst, das Inverse einer Drehung um den Winkel φ ist die Drehung um den Winkel 360 φ.

13 Diedergruppen Weshalb ist D n eine Gruppe? Das Verketten zweier Drehungen liefert eine Drehung. Das Verketten zweier Spiegelungen liefert eine Drehung: s g o s h = d α also ist das Verketten einer Drehung mit einer Spiegelung eine Spiegelung: s h = s g o d α, und das Verketten einer Spiegelung mit einer Drehung ebenso: s g = d α o s h.

14 Permutationsgruppen

15 Permutationsgruppen

16 Einheitengruppen

17 Einheitengruppen

18 Potenzen

19 Potenzen ord( g) g ,11 6 3,5

20 Prof. Dr. H. Knaf, Kryptosysteme 21 Diskrete Logarithmen

21 Prof. Dr. H. Knaf, Kryptosysteme 22 Diskrete Logarithmen Die allgemeine Bestimmung der diskreten Logarithmen zu einer beliebigen Basis g in einer gegebenen endlichen Gruppe (G, ) nennt man das»diskrete Logarithmenproblem in G«(DLP in G). Abhängig von der Struktur der Gruppe G gibt es verschiedene Algorithmen um das Problem zu lösen. Im Allgemeinen werden komplexe und daher langsame Algorithmen benötigt, um das DLP zu lösen eine Tatsache, die in der Kryptographie genutzt wird. Es existiert aktuell kein schneller, für jede Gruppe nutzbarer Algorithmus zur Lösung des DLP.

22 Prof. Dr. H. Knaf, Kryptosysteme 23 Diskrete Logarithmen m g h m

23 Diskrete Logarithmen

24 Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman Alice Bob Das für die Anwendung von Verschlüsselungsverfahren zentrale Schlüsseltauschproblem wurde 1976 in einem für die Kryptographie bahnbrechenden Artikel der Mathematiker Whitfield Diffie und Martin Hellman»gelöst«.

25 Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman Public Key a a g G g Informationskanal b Alice b g Bob b a ab k ( g ) g k ( g ) g a,b? a b ab Mallory g a, g b

26 Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman a a g G g 10 / 19 * Informationskanal b Alice 4 a b g, g Mallory b g Bob b a ab k ( g ) g k ( g ) g a,b? a 4 b 7 a b ab

27 Ende Danke für Ihre Aufmerksamkeit!

28 Diskrete Logarithmen Der Babystep Giantstep Algorithmus Der folgende Algorithmus löst das DLP für ein Element x G der Ordnung und ein Element y G mit C n Gruppenoperationen in einer beliebigen endlichen Gruppe. 1. Berechne 2. Berechne 3. Suche nach einer Übereinstimmung in beiden Listen: k l k sl x y z y x G x x x x s n 2 3 s,,,,, : [ ]. y z y z y z y z x 2 3 s s 1,,,,, z : ( ). n m Beweis: Es gelte y x, 0 m n. Man schreibt m ls k, 0 k s. ls l Dann gilt l s und y x y z ist in der zweiten Liste. k ls Weiter ist x y x in der ersten Liste.