Gruppen (Teil 1) Inhaltsverzeichnis. Vladislav Olkhovskiy

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1 Gruppen (Teil 1) Vladislav Olkhovskiy Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen Definition Elementare Beispiele Verknüpfungstafeln (Cayley Tafeln) Elementare Eigenschaften Anwendungen und Beispiele Drehgruppen Diedergruppe Rubik s Cube Literatur 12 1

2 1 Gruppen 1.1 Definition Definition 1.1 Sei G eine nicht-leere Menge, e G ein (ausgezeichnetes) Element in G und : G G G eine Abbildung. Gelten die folgenden Eigenschaften, so nennen wir (G,, e) eine Gruppe: (i) Für alle x, y, z G gilt: ( (x, y), z) = (x, (y, z)) (Assoziativität) (ii) Für alle x G gilt (x, e) = x (iii) Für alle x G existiert ein y G, sodass (x, y) = e (Ex. eines rechtsneutralen Elements) (Existenz von rechtsinversen Elementen) Gilt zusätzlich: (iv) Für alle x, y G gilt (x, y) = (y, x). (Kommutativität) so nennen wir die Gruppe kommutativ oder abelsch. Bemerkung 1.2 Da die bisher verwendete Abbildungsschreibweise im Umgang mit Gruppen recht umständlich ist, verwenden wir ab jetzt eine Infixschreibweise: (x, y) := x y 1.2 Elementare Beispiele Beispiel 1: (Z, 0, +) ist eine Gruppe. 0 ist das neutrale Element, a Z existiert ein b Z, so dass: a+b=0, nämlich anhand der Wahl b := a. Für die Addition gilt die Assoziativität, es ist egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen addiert werden, das Ergebnis ist stets gleich. Beispiel 2: (Q\{0}, 1, ) ist eine Gruppe. 1 ist das neutrale Element, a Q existiert ein b Q, so dass: a b = 1, nämlich anhand der Wahl b := 1 a. Für die Multiplikation gilt die Assoziativität, es ist egal, in welcher Reihenfolge die Zahlen multipliziert werden, das Ergebnis ist stets gleich. 2

3 1.3 Verknüpfungstafeln (Cayley Tafeln) Zur Definition einer Verknüpfung auf einer kleinen endlichen Menge G benutzt man oft die Form einer Tabelle, eine Methode die auf Arthur Cayley zurückgeht, der sie erstmals bei der Beschreibung von Gruppen einsetzte. Daher werden diese Verknüpfungstafeln auch oft Cayley-Tafeln genannt. Dabei schreibt man die Elemente der Menge G in einer festen Reihenfolge als Kopfzeile und Kopfspalte einer quadratischen Tabelle und schreibt an den Schnittpunkt der mit dem Element a beschrifteten Zeile und der mit dem Element b beschrifteten Spalte dasjenige Element von G hin, das sich bei der Verknüpfung a*b ergeben soll. Beispiel: Betrachte den Tripel (G, e, ) mit G = {a, e}. Die Verknüpfung sei durch folgende Cayley Tafel gegeben: e a e e a a a e Nun ist die Frage: Ist der Tripel (G,e, ) eine Gruppe? Die Antwort ist ja, denn: Abgeschlosseheit: In der Gruppentafel kommen nur die Elemente a und e vor, d.h die Verknüpfung ist abgeschlossen. Assoziativität: Zu prüfen ist, ob für alle x, y, z G gilt: (x y) z = x (y z). Durch nachrechnen findet man heraus, dass die Verknüfung assoziativ ist, beispielsweise gilt: (e e) a = e a = a und e (e a) = e a = a, also: (e e) a = e (e a). Man prüfe analog die restlichen 7 Kombinationen. Neutrales Element: Es gilt: a e = e a = a und e e = e. Damit ist e das neutrale Element für alle Elemente aus G. Inverses Element: Es gilt: a a = e und e e = e, d.h e und a sind zu sich selbst invers und somit existiert zu jedem Element aus der Gruppe ein inverses Element. Ist die Gruppe kommutativ?: Ja, denn es gilt: a e = a = e a. Nun betrachte man den Tripel (G, e, ) mit G = {e, a, b}. Nun ist das Ziel, die Verknüpfung so zu definieren, dass der Tripel (G, e, ) zu einer Gruppe wird. Am besten 3

4 erstellt man sich dazu eine Cayley Tafel. Man schaue sich zunächst die Definition der Gruppe an und mache sich folgende Überlegungen: Eine Gruppe hat ein neutrales Element, man bezeichne ihn hier mit e, damit erhält man bereits folgenden Verknüpfungstaffel-Puzzleteil: e a b e e a b a a?? b b?? Wie füllt man nun geeignet die Fragezeichenfelder aus, damit die Gruppenaxiome erfüllt werden? Dazu schlage ich vier Konstruktionen vor: Konstruktion 1: e a b e e a b a a a e b b e b Diese Konstruktion erfüllt tatsächlich, dass es zu jedem Element aus der Gruppe ein inverses Element gibt, dass es ein neutrales Element gibt. Allerdings wird hierbei die Assoziativität verletzt: (a a) b = a b = e, aber a (a b) = a e = a, Widerspruch. Konstruktion 2: e a b e e a b a a b a b b a a 4

5 Hierbei sieht man sofort, dass es zu a und b keine Inversen Elemente gibt. Damit scheidet diese Konstruktion direkt aus. Konstruktion 3: e a b e e a b a a e a b b b e Diese Konstruktion erfüllt tatsächlich, dass es zu jedem Element aus der Gruppe ein inverses Element gibt, dass es ein neutrales Element gibt. Allerdings wird hierbei wieder die Assoziativität verletzt: (a b) a = b a = a, aber a (b a) = a a = e, Widerspruch, also kann folgende Verknüpfungsvorschrift keine Gruppe erzeugen. Konstruktion 4: e a b e e a b a a b e b b e a Erst diese Konstruktion von macht den Tripel (G,e, ) zu einer Gruppe. Diese Gruppe ist sogar kommutativ. Bemerkung 1.3 Man halte drei Erkenntnisse fest: Die Kommutativität erkennt man an der Symmetrie der Verknüpfungstafel zur Hauptdiagonalen, die von links oben nach rechts unten verläuft. Ein neutrales Element macht sich dadurch bemerkbar, dass in seiner Zeile und seiner Spalte die Kopfzeile bzw. die Kopfspalte wiederholt wird. 5

6 Die Abgeschlossenheit der Gruppe wird dadurch zum Vorschein gebracht, dass in der Cayley Tabelle nur die Elemente aus der Menge G vorkommen. 1.4 Elementare Eigenschaften Lemma 1.4 Sei (G,, e) eine Gruppe und x, y X, sodass y rechtsinverses Element von x ist (x y = e), dann ist y auch linksinverses Element von x (y x = e). Beweis. Da y G existiert für y ein rechtsneutrales Element z G (y z = e). Es ergibt sich y x (i) =(y x) e (ii) = (y x) (y z) (iii) = y (x y) z (iv) = y e z (v) =y z (vi) = e. Dabei haben wir folgende Argumente verwendet: (i) Rechtsneutralität von e (ii) y z = e (iii) Assoziativität von (iv) x y = e (v) Rechtsneutralität von e (vi) y z = e Lemma 1.5 Sei (G,, e) eine Gruppe. Dann ist e auch ein linksneutrales Element, d.h. es gilt für alle x X auch e x = x. Beweis. Sei x X, dann gibt es ein y X mit x y = e. Es ergibt sich e x (i) = (x y) x (ii) = x (y x) (iii) = x e (iv) = x. Dabei haben wir folgende Argumente verwendet: 6

7 (i) x y = e (ii) Assoziativität von (iii) Siehe Lemma 1.4 (iv) Rechtsneutralität von e Lemma 1.6 Sei (G,, e) eine Gruppe. Dann ist e das einzige (rechts-)neutrale Element. Mit anderen Worten: Sei ẽ ein weiteres (rechts-)neutrales Element, dann gilt e = ẽ. Beweis. In obiger Situation ergibt sich e (i) = e ẽ (ii) = ẽ. Wir verwendeten (i) Neutralität von ẽ. (ii) Neutralität von e. Lemma 1.7 Sei (G,, e) eine Gruppe und x G. Dann gibt es nur ein einziges zu x inverses Element. Mit anderen Worten: Seien y, z X mit x y = x z = e, dann gilt bereits y = z. Beweis. In obiger Situation ergibt sich y = (i) = e y (ii) = (x z) y (iii) = (z x) y (iv) = z (x y) (v) = z e (vi) = z. Wir argumentierten: (i) Neutralität von e (ii) x z = e (iii) Siehe Lemma 1.4 (iv) Assoziativität von 7

8 (v) x y = e (vi) Neutralität von e Bemerkung 1.8 Wir haben bisher gesehen, dass rechtsneutrale Elemente auch linksneutrale Elemente sind. Ausserdem gibt es nur ein eindeutiges Element mit dieser Eigenschaft. Wir nennen dieses Element e G das neutrale Element oder Einselement von G. Ausserdem haben wir gezeigt, dass rechtsinverse Elemente auch linksinvers sind und es zu einem Element x G nur ein eindeutiges Element y G mit diesen Eigenschaften sind. Wir nennen dieses Element das inverse Element von x und schreiben x 1 := y. Insbesondere gilt (x 1 ) 1 = x. Lemma 1.9 Seien (G,, e) eine Gruppe und x, y, z G mit xy = xz. Dann gilt y = z. Diese Tatsache nennen wir auch Kürzungsregel. Beweis. Wir verknüpfen obige Gleichung mit x 1 G und erhalten x 1 x y = x 1 x z e y = e z y = z 2 Anwendungen und Beispiele 2.1 Drehgruppen Betrachte ein n-eck mit Eckpunkten p 1,..., p n. Bezeichne die Drehung um 360 n d und 360 k n Grad mit d k. Offensichtlich gilt: d l d k = d l+k und d n+k = d k Grad mit wobei die Hintereinanderausführung von Drehungen ist. Die Menge der Drehungen D = {d 0, d, d 2,..., d n 1 } für ein n N bildet eine Gruppe, denn: 8

9 Abgeschlossenheit: d l d k = d l+k D für k + l < n und d l d k = d l+k n D für k + l > n Assoziativität: Betrachte drei beliebige Abbildungen M,N,O, die die Punkte P,Q,R,S wie folgt abbilden: M : P Q, N : Q R, O : R S. Dann gilt: MN : P R, O : R S und M : P Q, NO : Q S, d.h (MN)O = M(NO). Neutrales Element: d k d 0 = d k, d 0 - Drehung um 0 Grad. Inverses Element: d k d n k = d 0, d n k - inverses Element. 2.2 Diedergruppe Die Diedergruppe D n besteht aus den Drehungen um das Vielfache von 360 n Grad eines regelmäßigen n-ecks um seinen Mittelpunkt als Drehzentrum und den n verschiedenen Achsenspiegelungen. Die Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung von Drehungen und Spiegelungen. Beispiel: Diedergruppe D 3 = {i, s 1, s 2, s 3, d 1, d 2 }, wobei s 1 : Spiegelung an der Achse a 1 s 2 : Spiegelung an der Achse a 2 s 3 : Spiegelung an der Achse a 3 d 1 : Drehung um 120 Grad gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M d 1 : Drehung um 240 Grad gegen den Uhrzeigersinn mit Drehzentrum M i: identische Abbildung Die Gruppenoperation ist die Hintereinanderausführung von Spiegelungen und Drehungen. Die Verknüpfungstafel von D 3 sieht wie folgt aus: 9

10 i d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 i i d 1 d 2 s 1 s 2 s 3 d 1 d 1 d 2 i s 2 s 3 s 1 d 2 d 2 i d 1 s 3 s 1 s 2 s 1 s 1 s 3 s 2 i d 2 d 1 s 2 s 2 s 1 s 3 d 1 i d 2 s 3 s 3 s 2 s 1 d 2 d 1 i 2.3 Rubik s Cube Erno Rubik, ein ungarischer Bildhauer, Architekt und Designer hat den weltbekannten Zauberwürfel, den sogenannten Rubik s Cube erfunden. In den 80ziger Jahren genoß das Spiel eine sehr große Beliebtheit und es wurde 1980 sogar als Bestes Solitärspiel ausgezeichnet. Ziel des Spiels ist es, den Würfel wieder in seine Grundstellung zu bewegen (d.h einheitliche Farbe auf jeder Seite des Würfels), nachdem zuvor die Seiten in eine zufällige Stellung gedreht wurden. 10

11 Nun wollen wir uns kurz anschauen, wie wir diesen Zauberwürfel mathematisch beschreiben können. Zunächst stellt man fest, dass es folgende Zugkombinationen gibt: V: vorne H: hinten R: rechts L: links O: oben U: unten Dabei sollte man darauf achten, von welcher Perspektive man es anschaut: x: Drehen des Würfels beim Betrachten der rechten Seite y: Drehen des Würfels beim Betrachten der oberen Seite z: Drehen des Würfels beim Betrachten der vorderen Seite Jede Stellung des Würfels ist eine Verknüpfung der sechs möglichen Zugkombinationen, die wir als Menge B := {V, H, R, L, O, U} definieren. Alle möglichen Permutationen bilden die Menge G. Man definiere: : G G G Hierbei erkennt man schnell, dass es sich (G,, i) um eine Gruppe handelt. Dabei ist i die Grundstellung. Außerdem kann man aus jeder beliebigen Ausgangsposition die Grundstellung erreichen. Bezeichne mit p die Ausgangsposition und mit p 1 die Zugfolge, anhand der wieder die Grundstellung erreicht werden kann. Nun folgt mit der Notation: p p 1 = i, wodurch wir ein (Rechts-)Inverses erhalten. Die Assoziativität ist auch gegeben. (Es ist ja egal, in welcher Reihenfolge wir bestimmte Zugkombinationen ausführen, als Ergebnis erhalten wir stets dasselbe.) Damit bildet der Tripel (G, i, ) eine Gruppe. Diese Gruppe enthält Elemente (Kombinatorik), denn es gibt: 8 Stellen, an denen sich die Eckwürfel befinden können (8!) 3 Drehpositionen, die jeder Eckwürfel einnehmen kann (3 8 ) 12 Stellen, auf die sich die Kantenwürfel verteilen (12!) 2 Drehpositionen, die jede Kante einnehmen kann (2 12 ) Außerdem gibt es drei Bedingungen, die gelten, wenn der Würfel verdreht, aber nicht auseinandergenommen wird: 11

12 Sieben der acht Eckwürfel lassen sich nach Belieben orientieren während die Orientierung des achten dadurch erzwungen wird (3). Elf der zwölf Kantenwürfel lassen sich nach Belieben orientieren während die Orientierung des zwölften dadurch erzwungen wird (2) Es lassen sich weder allein zwei Eckwürfel vertauschen, noch lassen sich allein zwei Kanten vertauschen. Die Anzahl der paarweisen Zweiertäusche muss immer gerade sein (2). Kleiner Hinweis für die Knobbler: Im Juli 2010 bewies Tomas Rokicki zusammen mit Morley Davidson, John Dethridge und Herbert Kociemba die Vermutung, dass für das Erreichen der Grundposition nie mehr als 20 Züge notwendig sind. Literatur [Fab] Vortrag von Fabian Grünig, Relationen, Abbildungen und Gruppen [CT] html [Gr] gruppen.htm [ZW] Zauberwürfel 12