Mit Unterschieden kann man rechnen

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1 Mit Unterschieden kann man rechnen Vorwissen nicht etwa Motivation, Intelligenz oder Lernstrategien ist nach den Befunden psychologischer Forschung zweifelsfrei der bedeutsamste Einzelfaktor für das Zustandekommen von Problemlöse- und Lernleistungen. (Renkl 2008) Prof. Dr. Regina Bruder FB Mathematik TU Darmstadt Graz

2 Mit Unterschieden kann man rechnen bezüglich Sicht auf Mathematik und Unterricht (Erwartungen, Vorstellungen, Vorurteile ) (Zu) viele Personen in der Öffentlichkeit: In Mathematik war ich immer schlecht -

3 Phänomene Lehrer: Du hast 10 Bleistifte und 20 Buntstifte. Wie alt bist du? Julia: 30 Jahre alt! Lehrer: Aber du weißt doch genau, dass du nicht 30 Jahre alt bist! Julia: Ja, klar. Aber das ist nicht meine Schuld. Du hast mir die falschen Zahlen gegeben. Quelle: "Je mehr Löcher, desto weniger Käse - Mathematik verblüffend einfach" von Holger Dambeck (Kiepenheuer & Witsch) 3

4 und die quantifizierte Realität: Aufgabe E1 Rechnen:

5 R. Bruder TUD Gesellschaftliche Sicht auf Mathematik im Wandel der Zeit: Platon: Mathematik ist der Wecker der Erkenntnis! Nach Platon zeigt sich der intellektuelle Charakter der Mathematik in folgenden 4 Punkten: - Wenn man schweigt, wenn man nichts zu sagen hat - nur behauptet, was sich nachprüfen lässt - zwischen Axiomen und Beweisbarem unterscheidet - unerbittlich gegen die Vermengung von Bekenntnis und Erkenntnis oder nichtüberprüfbaren Aussagen protestiert. Aristoteles: Mathematik ist (erst) für die reifere Jugend ab 15 Jahren zu empfehlen! Nach Meschkowski(1980) bewirkt eine gewissenhafte Beschäftigung mit Mathematik objektives Denken, Ablehnung unzulässiger Verallgemeinerungen, Präzision der Sprache.

6 Mit Unterschieden kann man rechnen bezüglich Sicht auf Mathematik und Unterricht (Vorstellungen, Vorurteile ) bei lokalen Änderungsraten, Differenzengleichungen, Fehlerbetrachtungen, dynamischen Systemen, in der Numerik

7 Der kleine Unterschied macht es schon aus Wilkinson-Polynom 20.Grades: p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) (x - 19)(x - 20) = x x 19 mit 20 reellen Nullstellen!

8 Der kleine Unterschied macht es schon aus Wilkinson-Polynom 20.Grades: p(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) (x - 19)(x - 20) = x x 19 mit 20 reellen Nullstellen! Aber: Eine geringfügige Änderung beim Koeffizienten von x 19 mit: ( ) x 19 hat das Verschwinden von 10 dieser Nullstellen zur Folge!

9 Mit dem Taschenrechner umgehen, das muss gelernt werden... - Tastatureinführung - Speichernutzung - Rechenablaufpläne erstellen (RAPs), gegebene lesen und verstehen - Genauigkeitsfragen, Rundungen TR behauptet: = ? a : (a - 1) = (a+1) : a? a² = (a + 1) (a 1)

10 Mit Unterschieden kann man rechnen bezüglich Sicht auf Mathematik und Unterricht (Vorstellungen, Vorurteile ) bei lokalen Änderungsraten, Differenzengleichungen, Fehlerbetrachtungen, dynamischen Systemen, in der Numerik in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken und in geometrischen Zusammenhängen

11 Mit Mathematik Aufmerksamkeit erringen für Mathematik begeistern Die "1089"-Rechnung "Schreibe eine beliebige dreistellige Zahl auf mit einer Bedingung: Die letzte Ziffer muss mindestens um 2 kleiner sein als die erste Ziffer. Darunter setzt Du die umgekehrte Ziffernfolge dieser Zahl. Subtrahiere die untere von der oberen Zahl! Schreibe zu diesem Ergebnis wieder die umgekehrte Ziffernfolge darunter. Jetzt addiere die beiden Zahlen Und ich weiß schon vorher, was Du herausbekommst: !!" Wie geht das? 11

12 Kennenlernen mit Mathematik Verdopple die Tageszahl Deines Geburtstages. Addiere 5! Das Ergebnis ist mit 50 zu multiplizieren. Jetzt ist die Monatszahl zu addieren. Nenne mir Dein Ergebnis! Quelle: Niese, G. (1964): 100 Eier des Kolumbus 12

13 Begründung durch eine geometrische Interpretation: Den kleinen Unterschied sichtbar machen: Beobachtung: Fragen: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel. Ist das immer so? Warum denn? Beschreibungsebene der Mathematik: Vermutung: a + b > a,b pos. reell 2 a b a b a a + 2 b b

14 Mit Unterschieden kann man rechnen bezüglich Sicht auf Mathematik und Unterricht (Vorstellungen, Vorurteile ) bei lokalen Änderungsraten, Differenzengleichungen, Fehlerbetrachtungen, dynamischen Systemen, in der Numerik in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken und in geometrischen Zusammenhängen wenn es um die Frage nach einer guten Mathematikaufgabe geht bei möglichen Lösungswegen zu gestellten Aufgaben

15 Was fällt hier auf? Schreibe einen Leserbrief

16 R. Bruder TUD

17 Mit Unterschieden kann man rechnen bezüglich Sicht auf Mathematik und Unterricht (Vorstellungen, Vorurteile ) bei lokalen Änderungsraten, Differenzengleichungen, Fehlerbetrachtungen, dynamischen Systemen, in der Numerik in Zahlenrätseln, um interessante Phänomene zu entdecken und in geometrischen Zusammenhängen wenn es um die Frage nach einer guten Mathematikaufgabe geht bei möglichen Lösungswegen zu gestellten Aufgaben bezogen auf die Heterogenität von Schüler_innen und Lehrkräften bzgl. Könnensniveau, Motivation und Anstrengungsbereitschaft, Arbeitstempo, sowie in den Lernstilen der Schüler_innen

18 Kognitive Stile Es ist eine offensichtliche Tatsache, dass Schüler individuelle Präferenzen beim Lernen aufweisen jede Unterrichtssituation auf jeden Schüler jeweils anders von motivierend bis hemmend wirkt auch Lehrer individuelle Präferenzen aufweisen und sich daher fast automatisch gewisse Einseitigkeiten des Lehrens und Lernens einstellen Korrelationen bestehen zwischen dem Stil der Lehrer und ihren Schülern (Sternberg 1994) Diejenigen Schüler weisen bessere Noten auf, deren Stil demjenigen der Lehrer entspricht (Sternberg 1994) Neu: Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen als Ergebnis einer Metaanalyse (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005)

19 Lernstil der Beach Balls Self-Expressive Learners (Intuitive/Feeling) Gestalte eine Veranschaulichung für einen Schlüsselbegriff der Unterrichtseinheit Experimentier- & Entdeckungsfreude Spontanität & Kreativität Gleichschrittanweisungen zu folgen, immer die gleichen Schreibarbeiten zu machen

20 Lernstil der Puppies Interpersonal Learners (Sensing/Feeling) Intuitiv, affektiv Benötigen Begründung für das Lernen Haben Bedürfnis nach Zusammenarbeit Detailorientiert und gründlich zu sein Korrigiert zu werden oder ein negatives Feedback zu erhalten

21 Zahlen haben Macht! Der kleine Prinz: Die großen Leute haben eine Vorliebe für Zahlen. Wenn ihr ihnen von einem neuen Freund erzählt, befragen sie euch nie über das Wesentliche. Sie fragen euch nie: "Wie ist der Klang seiner Stimme? Welche Spiele liebt er am meisten? Sammelt er Schmetterlinge?" Sie fragen euch: "Wie alt ist er? Wie viele Brüder hat er? Wie viel wiegt er? Wie viel verdient sein Vater?" Dann erst glauben sie, ihn zu kennen. (Antoine de Saint-Exupéry) 4

22 Lernstil der Microscopes Understanding (Intuitive/Thinking) Beurteile folgende Aussagen, ob sie jeweils stets, manchmal oder niemals wahr sind. Begründe deine Beurteilung schriftlich. Denken analytisch, kritisch Lernen gründlich Arbeiten alleine Neue Dinge ausprobieren offene Probleme lösen Perfektionisten 1. Ein Trapez ist ein Rechteck. Begründung 2. Ein Viereck ist ein reguläres Polygon. 3. Ein Parallelogramm ist ein Viereck. 4. Ein Trapez hat parallele Schenkel. 5. Diagonale eines Parallelogramms halbieren einander. 6. Ein Rechteck ist ein Quadrat. 7. Ein Quadrat ist ein Rechteck. 8. Eine Raute ist ein Rechteck. 9. Ein Parallelogramm hat exakt drei rechte Winkel. 10. Vier Seiten einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich lang und vier Ecken einer Raute und eines Parallelogramms sind gleich groß.

23 Systematisch variieren Aufgabenstellungen mit kombinatorischen Elementen Wie oft kann man in dieser Wortfigur das Wort FERIEN lesen? F E R I E N E R I E N R I E N I E N E N N 4

24 Lernstil der Clipboards Mastery (Sensing/Thinking) Routinen, vorhersagbare Situationen Sinn für Details & Genauigkeit Ohne Anweisungen arbeiten, das große Bild sehen

25 Unterscheidung von vier verschiedenen Lernstilen (Gregory, Gayle H.: Differentiating Instruction With Style. Aligning Teacher and Learner Intelligences for Maximum Achievement. Thousand Oaks 2005) Keine Diagnostik und Zuordnung der Lernenden nach Lernstilen Dennoch: Zuordnung Lernstil =>Unterrichtsmethode (math tools) Idee: Durch Variation in den Aufgaben und Darstellungen finden alle Lernstile stärkere Berücksichtigung im Unterricht Annahme: Die Unterschiedlichkeit des Zuganges zum Unterrichtsgegenstand nutzt allen Lernenden mehr, als wenn sie nur ihrem eigenen Lernstil entsprechend unterrichtet würden.

26 Quelle: Bruder, R. (2013). Jeder lernt anders! In: Jeder ist anders! Lernen in heterogenen Lerngruppen. Mathematik 5-10, Heft 23, Seelze: Friedrich. S Überblick Wird man weniger nass, wenn man im Regen schneller läuft?

27 Schlussfolgerungen Didaktische Analyse Berücksichtigung der vier stilbasierten Zielfragen bei der Stoffanalyse und bei der Aufgabenwahl (vor allem für Einstiege, Übungen und Langfristige HA) 1. Welche Fähigkeiten, Verfahren und Schlüsselbegriffe müssen die Lernenden beherrschen? Lernprotokoll, Checkliste, mind-map 2. Welche Kernbegriffe, Muster oder Prinzipien müssen die Lernenden vertieft verstehen? Wdhlg. mit Kopfübung 3. Wie werden die Lernenden persönlichen Bezug zur Mathematik herstellen oder gesellschaftliche Relevanz der Mathematik entdecken? Lerntagebuch, eigene Beispiele finden, Mathegeschichten erfinden, Leserbrief schreiben Wie werden die Lernenden neue mathematische Sachverhalte erkunden, visualisieren, anwenden oder mit ihnen experimentieren?

28 Schlussfolgerungen Innermathematische vs.realitätsbezogene Aufgaben Gelöste Beispiele einbauen (für Clipbords) Abstrakte Aufgaben einbauen (für Microskopes) Selbstregulationselemente verstärken (für Beach Balls) Partnerbearbeitung einer Hausaufgabe zulassen (für Puppies) Hausaufgaben Wahlaufgaben Komplexe geschlossene vs. offene Aufgaben (für Clipboards) Innermathematische vs. anwendungsbezogene Aufgaben Hilfen z.b. in Form von Tippkärtchen abrufbar (v.a.puppies, Clipboards) Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen) Einstiege Offene vs. geschlossene Aufgaben (für Clipboards) Innermathematische vs. anwendungsbezogene Situationen Theoretische Darstellung zum Thema alternativ anbieten (für Microscopes) Arbeitsform frei wählbar (einzeln, in Gruppen)

29 Was steckt dahinter? Konzepte zur offenen Differenzierung

30 Herzlichen Glückwunsch aus Darmstadt zum 10-jährigen Bestehen des regionalen Fachdidaktikzentrums und alles Gute für die nächsten Jahrzehnte! Kontakt: Aufgabendatenbank für Mathematiklehrkräfte Vorträge zum download Fortbildungsangebote online in Kooperation mit dem Vielen Dank für Ihr Interesse!