6 gegeben. T! Gibt es nur eine einzige solche Kugel? Argumentieren Sie! 12 Punkte

Transkript

1 1) nalytische Geometrie In R ist die Ebene ε : X = 3 + s 3 + t 6 gegeben a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Gleichung 6 x 2y + 3z = 24 eine allgemeine Gleichung der Ebene ε ist! b) Das Spurdreieck der Ebene ε ist Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide, deren Spitze im Koordinatenursprung liegt. erechnen Sie die Eckpunkte der Grundfläche der Pyramide, stellen Sie die Pyramide in einem Standardschrägriss dar, und berechnen Sie das Volumen der Pyramide! c) estimmen Sie die Gleichung einer Kugel mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung, welche von der Ebene ε berührt wird, und bestimmen Sie auch den erührpunkt T! Gibt es nur eine einzige solche Kugel? rgumentieren Sie! 2) Differential- und Integralrechnung Die ahn 3 eines Minigolfplatzes (siehe Skizze) ist relativ leicht. Sie ist gerade und flach. Das einzige Hindernis ist ein normal zur ahn (überall gleich hoch) verlaufender Hügel, über welchen der all rollen muss. Das Höhenprofil der ahn wird durch folgende stückweise definierte Funktion festgelegt ( x (in m ) ist der entlang der Mittellinie der ahn gemessene Horizontalabstand von der Startlinie, y (in m ) ist die Höhe über dem Niveau der Startlinie): f : y = ( x 3) 2( x 3) ,25 0 x 2,5 2,5 < x < 3,5 3,5 x 8 a) erechnen Sie, in welcher Entfernung von der Startlinie der all seine maximale Höhe erreicht und wie groß diese ist! b) Wo ist der Hügel am steilsten, und wie groß (in %) ist seine Neigung dort? c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Übergänge des Hügels ins Flache glatt (ohne Knick) sind! Wie nennt man die Eigenschaft, welche die Funktion f an den betreffenden Stellen besitzen muss, damit diese edingung erfüllt ist? d) erechnen Sie den Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Hügels!

2 3) Trigonometrie und komplexe Zahlen In einer Ebene steht ein 50 m hoher Turm. Von der Spitze des Turmes erblickt man in nördlicher Richtung den Punkt unter dem Tiefenwinkel α = 22, 62 und nach einem Schwenk in Richtung Osten um den Horizontalwinkel ϕ = 59, 71 den Punkt unter dem Tiefenwinkel β = 17, 35. a) erechnen Sie die Entfernung zwischen den Orten und! (Ergebnis auf ganze m gerundet!) Fertigen Sie zunächst eine saubere, anschauliche Skizze der Situation an! b) Interpretieren Sie nun obige Ebene als Gauß sche Zahlenebene, in deren Ursprung sich der Fußpunkt des Turmes befindet. Norden ist jene Richtung, in welche die positive imaginäre chse zeigt. (1) Die Punkte und werden als komplexe Zahlen z bzw. z interpretiert. Zeichnen Sie das Koordinatensystem der Gauß schen Zahlenebene und markieren Sie darin die Zahlen z und z! Geben Sie z und z sowohl in Polarkoordinaten als auch in kartesischer inomialform an. (Runden Sie auf ganze Zahlen!) (2) Wie lautet eine algebraische Gleichung niedrigstmöglichen Grades, deren Lösungsmenge die Zahlen z und z enthält und die nach Umformung ausschließlich reelle Koeffizienten besitzt? (Die Umformung muss nicht durchgeführt werden!) 4) Wahrscheinlichkeitstheorie Herr Uran will seinen beiden Kindern, rmin und eate, etwas von seiner Geschäftsreise mitbringen. Er beschließt, zwei Uhren zu kaufen. In einem Uhrengeschäft sieht er 12 Uhren gleicher rt, die sich nur durch die Farbe der rmbänder unterscheiden. Sieben Uhren haben ein schwarzes, drei Uhren ein rotes und zwei Uhren ein blaues rmband. Die Uhren liegen bunt verstreut, also nicht nach Farben geordnet, in der Vitrine, und Herr Uran zeigt gleich auf die ersten beiden Uhren. a) estimmen Sie mittels (1) aumdiagramm (2) Laplace-Regel die Wahrscheinlichkeit da, dass es sich um zwei Uhren mit verschiedenfarbigen rmbändern handelt! b) Leider stellt sich daheim heraus, dass rmins Uhr defekt ist. rmin beobachtet nämlich, dass die digitale Sekundenanzeige seiner Uhr hin und wieder, anstatt eine Sekunde weiterzuzählen, eine Sekunde zurückspringt, und zwar geschieht dies, wie er bei längerer eobachtung feststellt, im Durchschnitt in einem von zehn Fällen ( p = 0, 1). (1) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit da, dass in 20 Sekunden (i) kein (ii) genau drei

3 (iii) mindestens drei Fehler dieser rt passieren! (2) Die nzeige lautet gerade 12:00:30., als rmin auf die Uhr blickt. (i) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit da, dass die nzeige nach 20 Sekunden 12:00:42 lauten wird! Wie viele Fehler müssten auftreten, damit es zu dieser nzeige kommt? (ii) ngenommen, Sie müssten auf die Sekundenzahl wetten, die nach 20 Sekunden in der nzeige erscheinen wird. uf welche Zahl würden Sie wetten? rgumentieren Sie wahrscheinlichkeitstheoretisch! Lösungen zu den ufgaben der schriftlichen Reifeprüfung aus Mathematik 8a 08/09 1) a) b) ( / 0 / 0), P ( 0 / 12 / 0), P ( 0 / 0 / 8) P ; V = 64VE c) x 4 y z 576 k : x² + y² + z² = ; T / / 49 2) a) 3m Entfernung, 25cm Höhe, b) In den Wendepunkten W,71/1,11, 3,29 /1,11 77% ( ) ( ) 1 2 W2 c) Nachweis der Differenzierbarkeit, d) ca. 0,13m² 3) a) 144m b) (1) z = ( 120 / 90 ) = 120i ; z = ( 160 / 30,29 ) i (2) ( x 120 i) ( x + 120i) ( x ( i) ) ( x ( i) ) = ) a) b) (1) (i) 0,1216 (ii) 0,1901 (iii) 0,3231; (2) (i) 0,0898 (4 Fehler) (ii) 46 66

4 1) Der Graph einer reellen Funktion enthält den Punkt P(5 2), die erste bleitung der Funktion lautet: f (x) = 3/8 (x 2-10 x + 21). a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von f! b) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = 1/8 x 3-15/8 x /8 x - 49/8 auf Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte und zeichnen Sie den Graphen der Funktion f(x) im Intervall [1 ; 8]. c) eweisen Sie, dass Hochpunkt, Wendepunkt und linke Nullstelle Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks sind. erechnen Sie, wieviel Prozent des Inhaltes der vom Graphen und der x-chse begrenzten Fläche auf dieses Dreieck entfallen. 2) Eine ufnahmsprüfung besteht aus 10 Fragen mit je 4 uswahlantworten, von denen genau eine richtig ist. Es wird angenommen, dass ein Kandidat / eine Kandidatin, der / die zu der Prüfung antritt, die ntworten zu diesen Fragen rät. Um einen positiven Prüfungsabschluss zu erlangen, muss mindestens die Hälfte der Fragen richtig angekreuzt werden. a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung kann den folgenden ufgaben zugrunde gelegt werden? egründen Sie Ihre Entscheidung! b) erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat / die Kandidatin einen positiven Prüfungsabschluss erlangt. Wie groß ist die Chance, die ufnahmsprüfung zu bestehen, wenn man sie zweimal wiederholen darf? c) Wie viele Fragen müsste man raten, um mit 95% Wahrscheinlichkeit mindestens eine Frage richtig zu beantworten? d) uf Grund langjähriger Erfahrung nimmt man an, dass es 15% der Kandidaten / Kandidatinnen, die zu dieser ufnahmsprüfung antreten, gelingt zu schwindeln. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies erkannt wird, ist 80%. ndererseits kann es aber auch vorkommen, dass jemand als Schwindler / Schwindlerin eingestuft wird, obwohl dies nicht der Fall ist. Die Wahrscheinlichkeit da ist 0,1%. lle Kandidaten / Kandidatinnen, von denen man annimmt, dass sie geschwindelt haben, müssen die ufnahmsprüfung wiederholen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der zur Wiederholung antreten muss, nicht geschwindelt hat, und dass jemand, der nicht wiederholen muss, geschwindelt hat? 3) Gegeben sind die Punkte (1 2 3) und ( ), die Ebene ε: 4x - 12y + 3z + 11 = 0 sowie die Gerade g: X = (1 2 9) + t (1 0-1). a) Durch den Punkt verläuft eine zu ε parallele Ebene ε1. Geben Sie eine Gleichung von ε1 an. Die Ebenen ε und ε1 sind Tangentialebenen einer Kugel, welche die Ebene ε im Punkt berührt. estimmen Sie eine Gleichung dieser Kugel. b) Die Kugel k mit Mittelpunkt M(5-10 6) und Radius r = 13 wird von der Geraden g in den Punkten S1 und S2 geschnitten. erechnen Sie die Koordinaten von S1 und S2. Die Strecke S1S2 ist der Durchmesser des Schnittkreises einer Ebene ε2 mit k. Geben Sie eine Gleichung von ε2 an. c) Zeigen Sie, dass die Kugel k1: x 2 + y 2 + z 2-2x + 10y - 52z = 0 die Kugel k aus Teilaufgabe b) von außen berührt. 4) a) Der alte Hafen von Marseille wird von der Kirche Notre-Dame de la Garde überragt. Vom Turmzimmer der Kathedrale, das 160m über dem Meeresspiegel liegt, sieht man draußen am Meer ein oot unter dem Tiefenwinkel von α = 11,5 o und nach Schwenken des Fernrohres um einen Horizontalwinkel von ε = 57,8 o ein oot

5 unter einem Tiefenwinkel von β = 9,2 o. Wie weit sind die oote voneinander entfernt? b) Vom gleichen Turmzimmer aus wird ein senkrecht aufsteigender allon beobachtet. Von den Insassen des allons wird in einer Höhe h1 der Luftdruck p1 = 850hPa und etwas später in der Höhe h2 nur noch ein Druck von p2 = 780hPa gemessen. Um wie viel Meter ist der allon zwischen den beiden Messungen gestiegen? In welcher Höhe über dem Meer befindet sich der allon zum Zeitpunkt der zweiten Messung? (Verwenden Sie die barometrische Höhenformel: p(h) = 1013,25 e -0, h, die berechneten Höhen sind auf Meter zu runden.) c) Von dem allon aus wird eine Wolke unter einem Höhenwinkel von γ = 22,83 o und ihr Spiegelbild im Wasser unter einem Tiefenwinkel von δ = 44,43 o beobachtet. Wie hoch schwebt die Wolke über dem Meer, wenn sich der allon in 2076m Höhe befindet? Lösungen: 1) a) f(x) = 1/8 x 3-15/8 x 2 +63/8 x-49/8 b) N1(1 0), N2,3(7 0), H(3 4), T(7 0), W(5 2) c) Dreieck = 6, Graph = 13,5, 44,4% 2) a) inomialverteilung b) 7,8%, 21,65% c) 11 Fragen d) 0,7% bzw. 3,41% 3) a) ε1: 4x - 12y + 3z = 0, k: (x - 5) 2 + (y + 10) 2 + (z - 6) 2 = 169 b) S1(1 2 9), S2(8 2 2), ε2: x - 24y + z + 38 = 0 c) bstand der Kugelmittelpunkte ist gleich Summe der Radien (21) 4) a) 875m b) 682m bzw. 2076m c) 5201m