Verschiedene Zugänge zu Kreis, Ellipse, Hyperbel, Parabel

Transkript

1 Vrshin Zugäng zu Kris, Ellis, Hrl, Prl Jürgn Zumi A. Zugng ür Kurvn zwitr Ornung B. Zugng ür i Brnnuntignsht C. Zugng ür in Litgr D. Zugng ür inn Kris ls Litlini E. Zugng ür n Shnitt inr En mit inm Kgl (Dolgl) F. Zugng ür in Ailungn A. Zugng ür Kurvn zwitr Ornung Di llgmin Form inr Kurv. Ornung lutt:, un niht glihzitig In isr Ausritung wrn nur i Fäll ohn s gmisht Gli untrsuht,.h.. Es hnlt sih i um Kurvn, rn Smmtrihsn rlll zu n Koorintnhsn vrlun.., Ds Vrhrn r qurtishn Ergänzung lirt nn:

2 . Ist i ositiv, so rülln ll Punt s Kriss mit m Mittlunt un m Rius i Glihung. Ist i, so ist r Punt inzig Lösung. Für < istirt in Lösung.... Hn, glihs Vorzihn, so ist r Punt inzig Lösung. Hn, vrshin Vorzihn, so sin ll Punt r in sih im Punt shninn Grn mit n Stigungn ± Lösung... Hn, un glihs Vorzihn, so rülln ll Punt r Ellis mit m Mittlunt, r Huths un r Nnhs i Glihung. Hn, glihs un in nrs Vorzihn, so lässt sih i ltzt Glihung wi olgt umormn:

3 Es ligt in in Rihtung r -Ahs gönt Hrl mit m Mittlunt vor. Hn, glihs un in nrs Vorzihn, so rhält mn Es hnlt sih um in in Rihtung r -Ahs gönt Hrl m Mittlunt. Zur Butung von un sih Ashnitt B, Til )..,. Es hnlt sih um in in Rihtung r -Ahs gönt Prl mit m Shitlunt un m Strtor.. Aus r vorltztn Glihung olgt:

4 l l Ist l, so ist i Prlll zur -Ahs urh Lösung. Ist l >, so rhält mn zwi Prllln zur -Ahs urh ± l ls Lösung. Für l < istirt in Lösung. 3., 3. Es hnlt sih um in in Rihtung r -Ahs gönt Prl mit m Shitlunt un m Strtor. 3. Aus r vorltztn Glihung olgt: m m

5 Ist m, so ist i Prlll zur -Ahs urh Lösung. Ist m >, so rhält mn zwi Prllln zur -Ahs urh ± m ls Lösung. Ist m <, so istirt in Lösung B. Zugng ür i Brnnuntignsht ) Kris Ggn ist in Brnnunt (Mittlunt). Di Mng llr Punt P, rn Astn vom Mittlunt M onstnt (r) ist, ilt inn Kris: m r un m olgt ( ) ( ) r ) Prl (Hrlitung r Brnnuntignsht) Ggn ist in in Rihtung r (ositivn) -Ahs gönt Prl (() ). Ein rlll zur -Ahs vrlunr Strhl trit in P( ) u i Prl un wir n r Tngnt in P rltirt. Dr rltirt Strhl shni i -Ahs im Punt B(). Bhutung: All rltirtn, rlll zur -Ahs vrlunn Strhln shnin sih in ism Punt B. Bwis: Wgn s Rlionsgstzs (Einllswinl Ausllswinl) olgt, ss s Dri CPB glihshnlig ist. Es olgt: ( ) OC ( ) ( ) () OC BP CB

6 Glihung r Tngnt urh P: ( ) ) '(. Somit olgt: OC. Nh Einstzn in () olgt: ( ) ( ) B ist lso unhängig von r szilln Whl s Punts P,. h. ll rltirtn Strhln shnin sih in, m Brnnunt r Prl. Hinwis: Di Tngntnglihung lässt sih uh ltrntiv ür n Anstz: ) ( m hrlitn (Shnitt inr Grn urh P mit r Prl un r Ürlgung, ss nur in Shnittunt istirn nn). ) Ellis Ggn sin zwi Brnnunt. Di Mng llr Punt P, rn Astnssumm von n in Brnnuntn onstnt ( ) ist, iln in Ellis (Gärtnronstrution). Nhwis: Di in Brnnunt sin F (-) un F (). Es olgt ( Ortsvtor von F ):

7 Mit un un - olgt: ( ) ( ) ) ( un sin i Längn r Hut- zw. Nnhsn: PF PF z z z ) Hrl Ggn sin zwi Brnnunt. Di Mng llr Punt, rn Astnsirnz von n in Brnnuntn onstnt () ist, iln in Hrl. Anlog zur Rhnung untr ) olgt nlls: Mit un un - olgt:

8 ( ) ( ) ) ( Di Grn mit r Glihung ± sin Asmtotn. Wgn r Konstrutionsingung gilt: PF - PF OP OP OP PF PF ) (. Aus r Asmtotnglihung olgt: PQ C. Zugng ür in Litgr ) Prl Di Mng llr Punt S, i von inm Punt P (Brnnunt) un inr Grn g (Litgr) nsln Astn hn, lign u inr Prl.

9 S P M3 5 A g Wähl u g inn Punt Q. Erriht - in Q i Snrht u g. Di Mittlsnrht von PQ shnit is in S. Bwgt mn Q u g, so shrit S in Prl. Di Mittlsnrht ist i Tngnt in S n i Prl. Bwis: Ds Koorintnsstm si so gwählt, ss r Ursrung s Lot von P u g hlirt. Es sin: P() un Q(q-). Stigung von PQ : q q q Stigung r Mittlsnrhtn: ; Mittlunt von PQ : q M q q Glihung r Mittlsnrhtn: q Shnittunt r Mittlsnrhtn mit r Snrhtn q: Sq Glihung r Ortslini von S: ( ) (Prlglihung) Stigung r Ortslini in S: q. '( q) q q AS q. AM q Somit ist i Mittlsnrht Tngnt in S n i Prl. Altrntiv vtorill Hrlitung mithil r Hssorm: Q

10 Astn s Punts ( ) S vom Brnnunt ( ) P Astn s Punts S von r Litgrn ( Ortsvtor, n normirtr Normlnvtor r Litgrn): s n s ) Gminsm Dinition von Prl, Ellis un Hrl mittls inr Litgrn. Prl Siglt mn i Prl mit r Glihung n r Winlhlirnn, so rhält mn i Glihung. Di Litgr ht nn i Glihung un r Brnnunt ist. Jr Punt r Prl ht nsln Astn vom Brnnunt un von r Litlini. Si r r Astn vom Brnnunt un s r Astn von r Litgrn. Dnn gilt s r.. Ellis

11 Ggn si i Ellis ; un in Gr g snrht zur -Ahs urh. Wgn > ligt g ußrhl r Ellis. Dr Punt X lig im rstn Qurntn (ll nrn Fäll sin us Smmtrigrünn nlog). X ht nn i Koorintn: Astn s Punts X von r Grn g: s Astn s Punts X vom Brnnunt F(-): ( ), r, r Es olgt: < s r Aus Anlogigrünn gilt is uh ür n.brnnunt un r Snrhtn urh. 3. Hrl Ggn si i Hrl ; un in Gr g snrht zur -Ahs urh. Wgn < ligt g ußrhl r Hrl.

12 Dr Punt X lig im rstn Qurntn (ll nrn Fäll sin us Smmtrigrünn nlog). X ht nn i Koorintn: Astn s Punts X von r Grn g: s Astn s Punts X vom Brnnunt F(): ( ), r r Es olgt: > s r Für n Punt X u m nrn Prlst un ür i nr Litgr urh lässt sih i Rhnung nlog urhührn. hißt numrish Ezntrizität.

13 D. Zugng ür inn Kris ls Litlini ) Ellis Btrht i Mng llr Punt M, i von inm Kris (um K) un inn Punt P innrhl s Kriss nsln Astn hn. Q M K P Wähl Q u m Kris. Di Mittlsnrht r Str PQ shnit i Str KQ in M. Bwgt mn Q u m Kris, so ntstht in Ellis. Di Mittlsnrht ist i Tngnt in M n i Ellis. Bwis: Ds Koorintnsstm si so glgt, ss r Ursrung r Mittlunt von KP ist. MP MQ; MK r MQ; MK MP r MQ MQ r; Dmit ist i Bingung r Gärtnronstrution (Astnssumm onstnt) rüllt (K un P sin i Brnnunt). ) Hrl Btrht i Mng llr Punt M, i von inm Kris (um K) un inn Punt P ußrhl s Kriss nsln Astn hn.

14 Q K P M Wähl Q u m Kris. Di Mittlsnrht r Str PQ shnit i Gr KQ in M. Bwgt mn Q u m Kris, so ntstht in Hrl. Di Mittlsnrht ist i Tngnt in M n i Hrl. Bwis: Ds Koorintnsstm si so glgt, ss r Ursrung r Mittlunt von KP ist. MP MQ; MQ r MK; MP MK MQ MK r MK MK r; Dmit ist i Bingung r onstntn Astnsirnz rüllt. E. Zugng ür n Shnitt inr En mit inm Kgl (Dolgl) Di olgnn Bilr zign i vrshinn Shnittmöglihitn: Kris Ellis

15 Prl Hrl Knt Dolnt In r mthmtishn Thori wrn unshränt Dolgl vrwnt, so ss s sih in n ltztn in Fälln um in Gr zw. Dolgr hnlt. D gzigt wrn soll, ss i Shnittmngn urh i im Ashnitt A untrsuhtn qurtishn Trm rgstllt wrn önnn, wir ls Shnittn i --En gwählt. Di Sitz S s Kgls si r Punt (s) r z-ahs un i Kglhs vrlu in r -z-en. Durh Vrition s Winls α zwishn Kglhs un r z-ahs lssn sih i vrshinn Shnitt rzugn. 9 - α ist nn r Shnittwinl zwishn r --En un r Kglhs. Witrhin si β (< 9 ) r hl Önungswinl s Kgls.

16 sinα Es si SA. SA ist nn in Rihtungsvtor r Kglhs mit r osα Läng (sih rhtwinligs Dri SAB). Für inn Punt X s Kglmntls gilt: SX SA os β SX SA Ligt X in r --En, so olgt sinα os os s α β s ( s ) os β ( sinα s osα ) ( os β sin α ) sinα osα s os β s(os β os α) () Es ligt onsihtlih in Kurv. Ornung vor.. Fll: α (Kglhs un En sthn snrht uinnr) Aus () olgt: os β os β s(os β ) ( os β ) s os β

17 sin β s os β ( s tn β ) Ist s, so ligt in Kris mit Mittlunt () un Rius r s tn β vor. Im Fll von s lutt i Glihung. Nur r Punt () rüllt i Glihung,. h. i En shnit i Kglhs snrht in r Sitz.. Fll ß 9 - α (.h. r Shnittwinl zwishn En un Kglhs ist gnu so groß wi r hl Önungswinl s Kgls) Aus () olgt: os β sin (9 β sin(9 β ) os(9 β ) s os β ( ) s(os β os (9 β )) Wgn sin( 9 β ) os β un os( 9 β ) sin β olgt witr: os β sin β s os β s(os β sin β ) Stzt mn os β, os β sin β s,, s(os β sin β ), so sin im Fll von s i Bingungn von A. 3. rüllt un s hnlt sih um in in Rihtung r -Ahs gönt Prl mit m Shitlunt un m Strtor. Ist s, so lutt i Glihung os β. Si wir von lln Puntn r -Ahs rüllt,.h. i En vrläut urh i Kglsitz un rührt n Kgl. 3. Fll ß < 9 - α Um i Bingungn us A.. hrnzihn zu önnn, stzt mn in (): os β sin α, os β, sinα osα s,, s(os β os α) Wgn os β > os(9 α) sinα un mit os β > sin α sin un i ositiv un vrshin. Ist nun s, so ist noh zu zign, ss ositiv ist. Nhwis: ist ositiv, wnn

18 > sin α os α s > (os β sin α) s (os β os α) > os β os β sin α os β os β os α > os β (os β ) Di Glihung ist rüllt, i rht Sit ngtiv ist. Es hnlt sih lso um in Ellis mit m Mittlunt, r Huths un r Nnhs. β α β. Ist s, so lutt i Glihung: ( os sin ) os D i Koizintn ositiv sin, rüllt uh hir nur r Punt () i Glihung. Di En shnit n Kgl nur in r Sitz En un Kglhs sthn niht snrht uinnr.. Fll ß > 9 - α Anlog zum 3. Fll olgt. os β < sin α. Somit ist <, >, un > (sih on). Ist nun s, so ligt in in Rihtung r -Ahs gönt Hrl mit m Mittlunt vor. β α β. Ist s, so lutt i Glihung: ( os sin ) os D r Koizint i ngtiv un r Koizint i ositiv ist, wir i Glihung von zwi sih in () shninn Grn rüllt. Di En vrläut lso urh i Kglsitz un shnit n Kgl in zwi Sitnntn. Bi r Untrsuhung r Kurvn. Ornung trtn im Ashnitt A uh noh i Sonräll zwir rlllr Grn u. Dis rhält mn, wnn mn i --En mit inm Zlinr shnit, ssn Ahs rlll zur - Ahs zw. -Ahs vrläut. F. Zugng ür in Ailungn ) Ellis. Ailung ins Kriss r urh () ( ) mit un ' ' ' ' ' r ' r, r ( r) mit r un r. Vrshiung ( ) ( ) mit un ' ' ( '' ) ( '' )

19 ) Hrl. Rhtsrhung r Hrl um () mit m Drhwinl 5 : ' ' ' ' ' ' ' '. ( ) ( ) mit un ( ) ( ) mit,, '' '' '' '' '' '' ' ' 3. Vrshiung ) ( ) mit un ) ''' ( ) ''' ( '' ''