Repetitorium Mathematik für Informatiker I, Sommersemester Probeklausur Nr. 1. Information

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1 Pro. Dr. Brnhr Stn Dwi Koptzki Rptitorium zur Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr 1 Sommrsmstr 2015 Proklusur Nr. 1 Inormtion Dis Augn inn ls Grunlg zur Wirholung un Vrtiung r Thmn r Vorlsung Mthmtik ür Inormtikr 1. Dis ist i rst von zwi Proklusurn. Um i Stuinlistung zu rlngn, muss zu jm Thmngit in Ag rolgn. Di Augn vrtiln sih olgnrmßn u i Thmngit: Augn 1-3: Til 1 (Ag m ) Augn 4-6: Til 2 (Ag m ) Augn 7-9: Til 3 (Ag m ) Aug 10: Bonus Di Ag rolgt in n Üungn zu n on gnnntn Trminn. Aug 1 (Aussgn un Mngn) [4+3+3 = 10 Punkt] Di olgn Gstzmäßigkit knn ls Vrint ins Wirspruhswiss gshn wrn: ( (A B) (A B) ) A (WB) Di Impliktion A B ist hiri wi ülih ür i Stnroprtorn inirt: A B = A B 1. Bwisn Si i Gültigkit von (WB), inm Si zign, ss (WB) smntish äquivlnt zu T ist. Vrwnn Si hirzu i in r Vorlsung ingührtn Gstz r Aussgnlogik (Kommuttivität, Assozitivität, Asorption, Distriutivität, Ngtion, Impotnz, Dopplngtion, D Morgn, Nutrlität). Mhn Si i jr Umormung i vrwntn Rgln knntlih. 2. Zign Si i Gültigkit von (WB) mit Hil inr Whrhitstl. 3. Gn Si i olgnn Mngn xplizit n. () P({1, 2, 3}) P({2, 3, 4}) () P( ) () P({, { }}) Sit 1 von 5 Sitn

2 Aug 2 (Rltionn un Funktionn) [4+2+4 = 10 Punkt] 1. Ggn si i Mng A = {1, 2, 3, 4, 5} un i Rltion R A A mit R = {(1, 4), (2, 5), (5, 3)} () Gn Si i klinst Äquivlnzrltion R mit R R n. Erläutrn Si ihr Vorghn i r Konstruktion von R. () Gn Si i zur Prtition P = {{1, 4}, {2, 3, 5}} zughörig Äquivlnzrltion n. 2. Si olgn Rltion u N N: (n, m) (n, m ) n n m m. Hnlt s sih i um in Qusiornung? Bwisn or wirlgn Si. 3. Sin olgn Funktionn injktiv un/or surjktiv, ijktiv? Bgrünn Si ihr Antwort. () : N Z mit (x) = ( 1) x x () g : Z N mit g(x) = x () g : N N mit, g wi in Til ) un ) inirt. () g : Z Z mit, g wi in Til ) un ) inirt. Aug 3 (Inuktion) [5+5 = 10 Punkt] 1. Zign Si urh vollstänig Inuktion, ss ür ll ntürlihn Zhln n N gilt: n i i! = (n + 1)! 1. i=0 2. Zign Si urh vrllgminrt Inuktion, ss ür ll ntürlihn Zhln n N mit n 12 gilt: k, l N. n = 4 k + 5 l. Hinwis: Führn Si n igntlihn Inuktionsshluss ür n Fll n 16. Sit 2 von 5 Sitn

3 Aug 4 (Vrän) [5+5 = 10 Punkt] 1. Im Folgnn sin ri prtill Ornungn in Form ihrr zughörign Hss-Digrmm nggn. Wlh isr prtilln Ornungn ist in Vrn zw. in istriutivr Vrn? Flls i prtill Ornung kin Vrn or kin istriutivr Vrn ist, zign Si iss urh n Nhwis, ss in ntsprhn Eignsht ins Vrns zw. ins istriutivn Vrns vrltzt wir. ) ) ) h g h g 2. Si (V 1, 1 ) = (N, ) r Vrn r ntürlihn Zhln mit Tilrkitszihung un si (V 2, 2 ) = (P(N), ) r knnt Potnzmngnvrn ntürlihr Zhln. Wir trhtn i Ailung: h : V 1 V 2 h(n) = {m N m n} Also wir in ntürlih Zhl n u i Mng ihrr Tilr gilt. Zign or wirlgn Si: () h ist in Ornungshomomorphismus. () h ist in -Homomorphismus. () h ist in -Homomorphismus. Sit 3 von 5 Sitn

4 Aug 5 (Algrish Strukturn) [3+(5+2) = 10 Punkt] 1. Au r Mng R r rlln Zhln si i zwistllig Oprtion inirt urh = 2 + ür ll, R. Zign Si: R, ist kin Hlgrupp. 2. Ds Zntrum Z(G) inr Grupp G, ist inirt ls: Z(G) = {g G x g = g x ür ll x G} G () Zign Si: Z(G), ist lsh Untrgrupp von G, () Bstimmn Si Z(S 3 ) ür i knnt symmtrish Grupp S 3. Aug 6 (Gruppn un Mtrizn) [8 Punkt] Si M R 4 4 i Mng r Mtrizn A( 1, 2, 3 ) = mit 1, 2, 3 R Zign Si, ss M mit r Mtrixmultipliktion in kommuttiv Grupp ist. Hinwis: Di Assozitivität r Mtrixmultipliktion qurtishr Mtrizn knn ls knnt vorrusgstzt wrn. Aug 7 (Bsis ins Vktorrums) [3+7= 10 Punkt] Ggn sin i Untrvktorräum U = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) t R 4 x 1 + 2x 2 = x 3 + 2x 4 } un V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) t R 4 x 1 = x 2 + x 3 + x 4 } s Vktorrums R Gn Si jwils in Bsis ür U un V n. Dr Nhwis r Bsisignsht ist niht rorrlih. 2. Gn Si in Bsis ür U V n. Bwisn Si i Bsisignsht! Sit 4 von 5 Sitn

5 Aug 8 (Linr Ailungn un Rng) [3+5+2 = 10 Punkt] Si i linr Ailung ϕ : R 4 R 5 ggn urh: 0 x 1 ϕ( x 2 x 3 ) = x 2 x 3 2 x x 3 2 x x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 x 1 x x 4 1. Gn Si i rstlln Mtrix A R 5 4 zu ϕ n, lso ijnig mit ϕ( x) = A x ür ll x R Bstimmn Si n Rng von ϕ, inm Si n Rng von A rhnn. 3. Ist ϕ injktiv? Ist ϕ surjktiv? Bgrünn Si Ihr Urtil. Aug 9 (Invrs inr Mtrix) [5+5 = 10 Punkt] Bstimmn Si i Invrs (sorn xistnt) ür i Mtrix A = ür m Körpr R un 2. ür m Körpr Z 5 urh Guß-Elimintion. Gn Si i i vrwntn lmntrn Zilntrnsormtionn n. Aug 10 (Wissnsrgn) [12 Punkt] Hinwis: Pro rihtigr Antwort (J/Nin) git s inn Punkt. Bgrünn Si in Ihrr J -Antwortn (2 Zustzpunkt) un in Ihrr Nin -Antwortn (2 Zustzpunkt) usührlih. Mhn Si knntlih, wlh Antwort Si grünt hn. Sorn s mhrr Bgrünungn git, wir i rst Bgrünung wrtt. 1. Sin A un B nlih Mngn. Dnn gilt A B = A + B A B. 2. J Äquivlnzrltion R M M ist uh in Qusiornung. 3. Es git inn Boolshn Vrn, r niht uh vollstänigr Vrn ist. 4. In inm kommuttivn Ring ist jr Untrring rits in Il. 5. Ds krtsish Proukt zwir Körpr ist wir in Körpr In inm Körpr K gilt ür js Il I in K, s s Einslmnt nthält, I = K. 7. Di Mng r Bsn s Vktorrums R 3 ist unnlih. 8. Ein Vktorrum knn höhstns nlih vil Untrvktorräum sitzn. 1 Woi i itiv un multipliktiv Vrknüpung urh komponntnwis Anwnung r tiligtn Körproprtionn stglgt ist. Sit 5 von 5 Sitn