Komplexitätsbetrachtungen. Komplexitätsbetrachtungen. Komplexitätsbetrachtungen. Komplexitätsbetrachtungen. Komplexitätsbetrachtungen Exponentiation

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Imke Wagner
vor 5 Jahren
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1 Kompltätsbtrachtug Frag: W brcht ma! am ffztst?. Asatz:! O(). Asatz:! (-)! auch O(). Asatz: I:! sowso ur arstllbar für l (z.b. <) also! Tabll[] O() Ist cht jr Computrspchr u amt all arstllbar Problm lch? Ka mt m. Asatz js Problm O() glöst wr? Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Kompltätsbtrachtug I r Tat a js Problm O() glöst wr, w ma sch auf mamal Größ r Egab bschrät. Mst üblch Schtws: j Oprato (Ato, Vrglch, Multplato,...) glch aufwg. Dab wr agomm, aß Egab mamal Größ hat (z.b. mamal -bt Itgrs). Thortsch j Aufgab O() lösbar (urch Erstll r Tabll) Ds st oft sogar svoll (z.b.! sowso ur für ls trssat), abr mst rcht Spchr cht aus. Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Kompltätsbtrachtug Aufwa für Multplato: bshr O() Was, w blbg Egab (cht ur -bt Itgrs) rlaubt? Rchbspl: a b, mt a, b4, Läg vo a st a, Läg vo b st b m Ezlzffr-Multplato u -Ato (j O()) m mal m Ezlzffr-Ato Aufwa sr Art zu multplzr st also gtlch O( a b ) Bmrug: Es ght auch schllr (FFT). Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Kompltätsbtrachtug J ach Aufgabstllug u möglch Egab, muß b r Aufwasabschätzug s Algorthmus auch Größ r ggb Zahl brücschtgt wr. Typsch Zahlarstllug m Rchr: zur Bass : ( r Pras atürlch wtr Bsorht, sbsor für gatv Zahl) So wr üblchrws als Läg r Zahl a log a butzt. Bmrug: O(logb ) O(logc ) O(log ) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.4 Kompltätsbtrachtug Epotato Kompltätsbtrachtug Epotato Aufgab: ggb u, gsucht. Asatz: P für bs P* Aufwasabschätzug: O() b bschrätr Läg vo Übrlgug: allgm st: ( ) O() O()+ ( ( ) ) Epot Abschätzug Abhäggt r Läg vo u Übug Frag: ght s auch schllr? Multplato Multplato für - wtr Multplato Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.5 Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.6

2 Ma a also Kompltätsbtrachtug Epotato für Was abr, w s gbt mt? O(log) brch. Für gra glt u für ugra glt / ( ) ( ) / ( ) Aufwa st also für gras : Multplato plus Aufwa für / für ugras : zw Multplato plus Aufwa für (-)/ gsamt: bst-cas log Multplato b worst-cas log Multplato b Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.7 Dr Eulsch Algorthmus Aufgab: ggb m u, gsucht größtr gmsamr Tlr,.h. m (mo ), (mo ), u w m (mo l), (mo l), a l Erstr Asatz: solag <m u < falls m(mo ) u (mo ) a ++ Aufwa: Frag: ght s och bssr? O ( + m) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.8 Übrlgug: Dr Eulsch Algorthmus (s oba m>) st Tlr vo m st Tlr vo pr Iuto zgt ma: > m u > v also st auch Tlr vo m- > (m-)(u-v) ggt(m,) ggt(m-,) gazzahlg, a u,v gazzahlg Nur Asatz: Dr Eulsch Algorthmus Bspl für ggt(,66): U was wär r Aufwa für ggt(,)? solag m(mo )> mm- falls m< a vrtausch m u gb aus m-6644 m m 78-66, m66, m m 54-4 m 4- m - 8 m 8-6, m, 6 u jtzt st m(mo ) > ggt6 Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.9 Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Dr Eulsch Algorthmus Noch paar Übrlgug: wr wss scho: w Tlr vo m u st, a auch vo m-, a abr auch vo m--, u vo m m/ Stüc Or formal: w Tlr vo m u st, a auch vo m m m(mo ) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Dr Eulsch Algorthmus Vrbssr wr Algorthmus also: solag m(mo )> mm- falls m< vrtausch m u gb aus Bspl ggt(,66) jtzt: u ggt(,) ght jtzt shr schll. solag m(mo )> mm(mo ) vrtausch m u gb aus m(mo 66), m66, m 66(mo ) 6, m, 6 m (mo 6) > ggt6 Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.

3 Dr Eulsch Algorthmus Polyommultplato Aufwasabschätzug: z.b. ( ) ( + ) ( ) (j Rchoprato bötg ostat Zt) m s r Wrt vo m r -t Itrato a st m (mo m ) ( m (mo ))(mo m ) allgm st a(mo b)<a/ w b<a (trval) also st auch m < m /.h. m mmt potll ab, r Aufwa st logarthmsch: O(log(+m)) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. allgm: Bmrug: ggb: gsucht: P R p, Q Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.4 q r, mt rj pq j Aufwasabschätzug: O( ) falls P u Q vrsch Gra hab, füll fhl Koffzt mt auf bs b Gra glch s. Polyommultplato Ght s schllr als O( )? Wr rr us a Epotato u vrsuch Ählchs: Polyommultplato Multplato mt zwgtlt Polyom P / / P + P Q Q + Q p + p + p + p + p 4 4 ( p4 + p ) + p + p + p a st / / PQ PQ + PQ + P Q + P Q Allgm: P p / P + P Aufwasabschätzug: T ( ) 4 T ( / ) + O( ) T () mt P / p + / u P / p lr st T ( ) O( ) also bshr Vrbssrug rrcht Ato Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.5 Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.6 Polyommultplato D Rurrzrlato T ( ) 4 T ( / ) + O( ) T () wär frulchr, w wr statt 4 ur Multplato vo Tlpolyom mach müßt, a wär log T ( ) O( ) O( mt 4 Multplato T() T()4T() T(4)4T() T(8)4T(4) mt Multplato T() T()T() T(4)T() T(8)T(4) log Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.7.59 ) Polyommultplato Es ght tatsächlch mt Multplato. Wr schrb urz Da st A PQ B P Q C PQ D P Q / / PQ A + B + C + Wr bötg abr cht sowohl B als auch C, s wür güg, w wr r Summ (B+C) hätt. D Btracht wr E A + B + C + D P + P ) ( Q + E st Prout zwr lr Polyom, u B+C E-A-D Wr brauch also ur A,D u E,.h. Prout. ( Q Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.8 ) Q Q P P A B C D

4 Übrtragug E Bspl: P + P P A PQ D P Q E Polyommultplato Q + Q + Q Multplato Multplato ( P + P )( Q + Q ) ( )( + ) B + C E A D + PQ A + ( B + C) / + D...(sh Mabr) Q Q P P A B C D 4 Multplato Isgsamt ur Multplato, statt 6. Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.9 Epotato Awug: Kryptograph Ma hätt gr: vrschlüsslt Nachrcht cht lägr als Orgal (ürzr ght cht) Notwgt für abhörschr Kaal (auch cht für Co) shr schwr acbar Corug Authtsrug: E vrschlüsslt Nachrcht, ur vo r Prso vrschlüsslt wor s a. Abhörschrug: E vrschlüsslt Nachrcht, ur vo r Prso tschlüsslt wr a. Vr- u Etschlüsslug sollt möglchst ffzt machbar s. Typsch Lösug: Publc Ky Vrfahr (z.b. RSA) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Epotato Awug: Kryptograph Epotato Awug: Kryptograph Klartt Zrstücl Vrschlüssl Wa futort as Schma Potzr/Moulo? Es futort, w Klartt log E( m) (mo ) Zusammfüg Etschlüssl D( c) c (mo ) ( m (mo )) (mo ) ( m ) (mo ) m (mo ) D( c) c (mo ) Durch moulo-oprator blbt Läg ostat log..h. w u so gwählt wr, aß s zuar rzpro s bzgl. Potzr moulo Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Epotato Awug: Kryptograph Wa gbt s solch u? Nach m Satz vo Eulr glt ( ) m (mo ) w m u gmsam Tlr hab. S()Azahl zu also tlrfrm S ( ) m (mo ) Zahl < ( S ( ) + ) m (mo ) S() {,,7,9} wähl S( ) + z.b., tlrfrm 4 (mo) 8(mo) (mo S( )) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol. Epotato Awug: Kryptograph Wr such also,,, wob S()+ (, tlrfrm zu S()) w u vröfftlcht wr, a ma (Hacr) araus cht (fach) brch Ds Art Vrschlüsslug hßt RSA (Rvst, Shamr, Alma) Brchug vo aus u wär cht schwrg, w S() lcht zu brch wär. W lag braucht ma wohl um S(-stllg Zahl) zu brch? 977 gschätzt: 4 Bllar Jahr (Wttbwrb vo R., S. u A.) 994 gact 8 Moat auf 6 Itrt-Rchr Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.4

5 Epotato Awug: Kryptograph Hacr soll S() cht lcht brch ö, abr r rchtmäßgr Butzr (r muß ja u fr). Epotato Awug: Kryptograph Bspl für RSA Vrschlüsslug: I: Also: Es st Vrfahr bat, as shr groß Zahl azptablr Zt (Estz s Uvrsums) fatorsrt. Wähl p q, wob p u q shr groß Prmzahl s. (groß Prmzahl f ght scho grmaß gut, zumst mt ausrch hohr Wahrschlcht) Da st S() p q - (p- + q- +) (p-)(q-) E( m) (mo ) D( c) c (mo ) p, q5 > 5,, s st (mo p-)> u (mo q-)> außrm st (mo (p-)(q-))(mo 8) E() (mo5) 48(mo5) 8 Vlfach vo q Vlfach vo p p q Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.5 D(8) 8 (mo5) 5(mo5) Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.6 Epotato Awug: Kryptograph Aufwasabschätzug für RSA Algorthmus: E( m) (mo ) Mt Hlf r Epotato mttls tratv Quarrs u Halbrs s Epot a m mt O(log ) Multplato brcht wr. Abr wr 4 m, m, m,... cht mmr größr? Ncht ötg, s glt ab(mo ) (a (mo ) b(mo )) (mo ),.h. m (mo ) ( m (mo ) m)(mo ) Also log Multplato u Dvso, bzw. moulo-multplato Iformat II Sommrsmstr, Dr. Ivca Roga Fol.7

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