Eigendrehimpuls (Spin)

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1 Kapitel 6 Eigendrehimpuls (Spin Ausgearbeitet von Klaus Henrich, Thomas Herwig und Mathias Dubke 6.1 Experimenteller Nachweis beim Elektron Die Beschreibung des Elektrons als geladenes Teilchen mit der Ladung e ist nicht vollständig. Als Beispiel betrachten wir ein H-Atom im Grundzustand 1s. Dann gilt: l = 0 Von der Bahnbewegung kann also ein etwa auftretendes magnetisches Moment nicht herrühren. Dass trotzdem ein magnetisches Moment auftritt, zeigt das folgende Experiment: a In einem Ofen wird das Material verdampft (bei Wasserstoff muss der Ofen eventuell gekühlt werden und die Atome treten durch einen Kollimator in ein inhomogenes Magnetfeld. db dz Ofen N Kollimator S Inhomogenes Kraftfeld Fotoplatte Abb. 6.1: Ein magnetischer Dipol mit Dipolmoment M im Magnetfeld B hat die Energie: Dann wirkt auf ihn die Kraft: U = M B K = U = M z B z e z Die Kraft hängt also von der Orientierung des Dipols zum Feld ab. Was für ein Bild erwarten wir nun auf der Fotoplatte? Die Atome haben ein resultierendes magnetisches Moment mit 118

2 Die Atome haben kein magnetisches Moment. Die Atome haben ein magnetisches Moment, das in jede Raumrichtung zeigen kann (klass. Vorstellung Dies ist das experimentelle Ergebnis. Abb. 6.: M z = ±µ B = ± e mc d.h. es sind nur zwei Einstellrichtungen im Magnetfeld möglich. Bemerkung 1: Der Spin des Kerns ist hier vernachlässigbar, denn: M 1 m m: Masse Bemerkung : Ein entsprechendes magnetisches Moment ergäbe sich klassisch nur dann, wenn eine Kugel mit der Ladung e und mit dem klassischen Elektronenradius am Äquator die Umlaufsgeschwindigkeit r = e mc υ = 00 c c : Lichtgeschwindigkeit hätte; d.h. es ist keine klassische Erklärung möglich. b Einstein-De Haas-Experiment: An einem Quarzfaden hängt ein Zylinder aus ferromagnetischem Material (z.b. Eisen. B Abb. 6.3: Man stellt zuerst die Torsionseigenfrequenz ohne äußeres Feld fest, um in der Differentialgleichung Θ ψ + γ ψ + Dψ = 0 119

3 das Trägheitsmoment Θ, den Dämpfungsfaktor γ und das Direktionsmoment D zu bestimmen. In z- Richtung legt man nun ein Magnetfeld B an: B = B 0 cosωt Wir erwarten, dass die Spins durch das Magnetfeld in eine bestimmte Richtung gedreht werden. Dadurch entsteht ein makroskopischer Drehimpuls: J = J 0 cosωt So erhält man eine erzwungene Schwingung. Die zugehörige DG lautet denn: Θ ψ + γ ψ + Dψ = d dt J Drehmoment = d dt Drehimpuls Da Θ, γ und D schon von der freien Schwingung bekannt sind, bestimmt man dj dt. Auf diese Art kann man messen und erhält: M 0 J 0 [ ] = M B g g = Dieser Wert ergibt sich auch aus dem relativistischen Äquivalent zur Schrödinger-Gleichung, der Dirac- Gleichung. Noch genauere Werte liefert die Quantenelektrodynamik, die sich mit der Wechselwirkung des Elektrons mit Vakuumpolarisation (virtuelle Elektron-Positron Paare und mit der Selbstenergie (Elektron emittiert und absorbiert ein virtuelles Lichtquant befasst g = (1 + απ +... mit: α = e c = (Sommerfeld sche Feinstrukturkonstante Diese Prozesse sind ( virtuell möglich, da man Energiesatzverletzungen im Bereich der Unschärferelation E t nicht messen kann. Die oben erwähnten Prozesse werden für ein an das Coulompotential eines Kerns gebundenes Teilchen durch folgende Feyman-Graphen beschrieben: Solche Effekte werden von den Korrekturgliedern beschrieben. α π

4 e e e e + virtuelles Lichtquant oder Coulomb W.W. W.W. mit Coulomb Potential Abb. 6.4: 6. Spin 1/ Die hier geschilderten exerpimentellen Befunde legen die Vermutung nahe, dass die zusätzliche Eigenschaft, die man für die Beschreibung eines Elektrons benötigt, etwas wie ein Drehimpuls ist. Im Kapitel 4 haben wir Drehimpulsalgebra betrieben und aus der Kommutatorrelation für die Komponenten des Drehimpulses J ] [J i, J k = i J l (i, k, l zyklisch gute Ergebnisse abgeleitet. Nun fordern wir, dass sich die neue Elektroneneigenschaft ebenfalls durch einen Impuls beschreiben lässt, der denselben Regeln wie z.b. der Bahndrehimpuls l genügt. Der Erfolg wird diesem Postulat Recht geben. Wir nennen den neuen Operator s, die Komponenten sind s x, s y, s z. s heißt Spin-Operator. Zur Erinnerung schreiben wir noch einmal die alten Regeln für J auf und übersetzen sie dann in den s- Formalismus. Zunächst haben wir die Kommutatorregel: ] [s i, s k = i s l (i, k, l zyklisch Wir wissen, dass zusammen mit J nur eine Drehimpulskonstante, z.b. J z, scharf gemessen werden kann. Dasselbe gilt nun für s und s z. Wir benötigen noch ein neues System aus orthogonalen Eigenfunktionen, das wir mit s bezeichen mit: J j M = J(J + 1 J M J z J M = M J M s sσ = s(s + 1 sσ s z sσ = Σ sσ J = 0, 1, 1, 3,... M = J, J 1,..., J + 1, J Das Experiment von Stern und Gerlach hat nun gezeigt, dass nur zwei Werte annehmen kann. Das ist nur dann mit unserer Drehimpulsalgebra in Einklang zu bringen, wenn gilt: s = 1 Σ = 1, 1 11

5 Damit können wir für den Spin 1/ schreiben: s 1 Σ = 1 s 1 Σ = Σ s z 1 Σ = Σ 1 Σ ( Σ Die Zustände 1 Σ spannen einen Vektorraum auf, der die Dimension hat. Die lineare Unabhängigkeit der Vektoren 1, +1 erkennt man daran, dass sie Eigenfunktionen zu zwei verschiedenen Eigenwerten des Operators s z sind. Diesen zwei-dimensionalen Vektorraum nennt man den Spin-Raum. Die Beschreibung eines Elektrons benötigt also die Angabe seines Zustands im Bahn- und im Spin-Raum. Da wir uns in diesem Kapitel nur mit Spin 1/ beschäftigen, kürzen wir ab: 1 Σ Σ Ein allgemeiner Spinzustand schreibt sich für ein Spin 1/-Teilchen: Ψ = Σ Σ Ψ Σ = a Σ Σ mit a Σ = Σ Ψ Σ=± 1 Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit dem Spin nach oben (+ 1/ oder unten (- 1/ zu finden, ist durch das Betragsquadrat der Amplitude a Σ gegeben: w ( ± 1 = a ± 1 Nun definieren wir analog zum Bahnraum die Erhöhungs - und Erniedrigungs -Operatoren auch im Spinraum: l ± := l x ± il y s ± := s x ± is y l ± lλ = (l ± Λ(l ± Λ + 1 lλ ± 1 s x 1 = + 1 (l : Bahnquantenzahl s + 1 = 1 (Λ : Z-Komponente l + l, l = 0 s = 0 l l, l = 0 s 1 = 0 Aus der Definition von l± bzw. s± folgt unmittelbar: Wir bilden jetzt Matrixelemente der Form Σ : l x = 1 (l + + l s x = 1 (s + + s l y = 1 i (l + l s y = 1 i (s + s Σ Operator Σ ˆ = ( Σ 1

6 Bem.: 1 und 1 sind orthogonal zueinander: Durch einfache Matrizenaddition ergibt sich: Ebenso mit s y = 1 i (s + s : ( Σ 0 1 s + Σ = 0 0 ( 0 0 Σ s Σ = 1 0 Σ s x Σ = s x = 1 (s + + s ( Σ s y Σ = ( 0 i i 0 Schließlich wegen s z Σ = Σ Σ : Σ s z Σ = ( Für diese so genannten Pauli schen Spinmatrizen führt man eine formale Schreibweise ein: mit: Eigenschaften von σ: σ = (( σ hermitesch, d.h. σ = σ +. Beweis: s = σ ( 0 i, i 0 ( 1 0, und 3. Komponente klar;. Komponente: σ + := ( σ T. Aus der Kommutatorrelation ( ( 0 i i 0 T = ( o i i o ] [s i, s k = i s l ( i i = i o folgt: ] [σ i, σ k = iσ l 13

7 3. s = 1 s + = s = 0 Da es nur zwei Eigenfunktionen gibt, führt mehrmalige Anwendung des Auf-(Ab-steigeoperators immer auf 0. Wir addieren die beiden Gleichungen: 0 = s + = s x s y + i(s x s y + s y s x 0 = s = s x s y i(s x s y + s y s x s x = s y Das war schon aus Symmetriegründen zu erwarten. Subtraktion liefert: s x s y = s y s x D.h. die Spinoperatoren antikommutieren allgemein: s i s k = s k s i für i k s z hat die Eigenwerte ± 1, daraus folgt s z = 1 4. Zusammen mit s = s x + s y + s z = 3 4 erhalten wir: s x = s y = s z = 1 4 Aus der Antikommutativität der Spinoperatoren folgt auch die Antikommutativität der Pauli schen Spinmatrizen: Setzt man dies in den Kommutator σ i σ k = σ k σ i ] [σ i, σ k = σ l ein, ergibt sich: σ i σ k = i σ l i, k, l zyklisch 4. Ebenfalls folgt sofort: σ i = 1 Auf welche Vektoren wirken diese Matrizen? Nun, auf Vektoren unseres zwei-dimensionalen Spin-Raumes. Hierfür kennen wir eine Orthonormalbasis: 14

8 Σ = 1 = ( 1 0 Σ = 1 = ( 0 1 Sei Ψ ein Vektor aus dem Spin-Raum. Dann gilt: s x Ψ = Σ Σ Σ s x Ψ = Σ Σ s x Σ Σ Ψ }{{}}{{} Σ; Σ σx a Σ = ( a σ 1 x a 1 Es entsprechen sich also die Operationen s x Ψ und σ x s x Ψ = ( = ( a 1 a 1 ( = a 1 1 ( a 1 a 1 ( a 1 a 1. Rechnen wir weiter: + a Die Pauli-Gleichung Im Kapitel 5 haben wir uns mit der Bewegung eines spinlosen Teilchens im elektromagnetischen Feld beschäftigt. Jetzt wollen wir sehen, was für Korrekturen wir anbringen müssen, um ein Elektron (Spin 1/ im Feld zu beschreiben. Das 4. Kapitel hat gezeigt, dass mit dem Bahndrehimpuls l der Operator eines magnetischen Moments M folgendermaßen verknüpft ist: M = q mc l q = Ladung&m = Masse Auch der Spin s der Elementarteilchen ist in vielen Fällen mit einem magnetischen Moment verknüpft. Die Proportionalitätskonstante ist aber eine Andere: M = g q mc s g nennt man gyromagnetischen (oder kürzer g- Faktor. Die folgende Tabelle gibt die Ladung und gyromagnetische Faktoren von Elektronen, Protonen und Neutronen an: q g e e,001 p +e 5,59 n 0-3,83 Der g-faktor des Elektrons war ; mit der Korrektur durch die Wechselwirkung des Elektrons mit seinem eigenen elektromagnetischen Feld ergab sich genauer,001. Für das Proton mit Ladung +e und Spin 1/ würde 15

9 t p n p π + π Abb. 6.5: man wiederum ein g = erwarten; durch die in der Quantenelektrodynamik beschriebene Wechselwirkung des Protons auf der Mesonenwelle ergibt sich jedoch eine starke Änderung des g-faktors auf g = 5, 59. Diese Korrekturen werden wiederum durch virtuelle Prozesse erzeugt, die in einer Zeit geschehen, die klein genug ist, dass nach der Unschärferelation Energiesatzverletzungen nicht messbar sind. Das Neutron hat die Ladung q = 0; man würde also kein magnetisches Moment erwarten. Jedoch zeigt sich ein g-faktor von -3,83. Dies folgt aus Prozessen folgender Art: n n n n p n π + oder π + π π Abb. 6.6: Die Raumladungsverteilung im Neutron sieht so aus: (siehe Abbildung 6.7 (r + r Abb. 6.7: Der Hamiltonoperator für ein Spin 1/-Teilchen im homogenen Magnetfeld bedarf eines zusätzlichen Terms, da sich das Elektron wie ein Dipol verhält. Potentielle Energie eines magnetischen Dipols im Feld B: Wir erhalten die Bewegungsgleichung: V m = M B = q g s B mc { ( } 1 p q A m c + q Φ + U q g s B ψ = Eψ mc 16

10 Das ist die Pauli-Gleichung. Benutzt man für s die Matrixdarstellung, so ist bei den restlichen Operatoren die Einheitsmatrx hinzuzufügen. ( ψ ist eine Funktion, die im Produktraum aus Bahn- und Spinraum definiert ist; der Operator p wirkt nur auf den Bahnteil, s nur auf den Spinanteil. Streng genommen haben wir mit dieser Trennung bereits einen Fehler gemacht. Falls nämlich die Bahnbewegung des Teilchens nicht geradlinig gleichförmig ist, erzeugt die beschleunigte Ladung ein Magnetfeld, das den Spin beeinflußt. Ebenso kann natürlich das Magnetfeld, das der präzedierende Spin verursacht, die Bahn beeinflussen. Man spricht in diesem Zusammenhang von Spin-Bahn- Wechselwirkung. Darum wollen wir uns jedoch in diesem Kapitel nicht kümmern. Unser Ziel ist es jetzt, mit Hilfe der Pauli-Gleichung die Bewegung von s zu beschreiben. (Die Bahnbewegung des Teilchens haben wir schon im vorigen Kapitel studiert. Anwendungen: Beispiel 1: Elektron im homogenen Magnetfeld Das Elektron hat die Ladung: q = e. Im Abschnitt 3.6 haben wir für die totale zeitliche Änderung an mechanischer Größen ˆL Folgendes gezeigt: Das wenden wir auf den Spinoperator s an: ˆL = ˆL t + 1 [ ] ˆL, Ĥ i s = [ ] ˆ s, Ĥ i s kommutiert mit allen Summanden des H-Operators, bis auf den letzten mit g = : Für die Z-Komponente gilt: Wir wissen: [ s = 1 s, i [ s = 1 s, i ] e g s B mc ] e s B mc ṡ z = 1 [ ] e s z, (s x B x + s y B y + s z B z i mc [s i, s k ] = i s l (s y B x s x B y ṡ z = e mc Mit γ = e mc folgt: 17

11 ( ṡ z = γ s B ( z ṡ z = M B Die Änderung des Spins ist ein Drehmoment. Analog kann man die beiden anderen Komponenten berechnen und kommt so, unter Anwendung des Ehrenfest schen Theorems, zu der Vektorgleichung: { } d dt s = γ s B Da γ s = e smc g s = M das magnetische Moment, kann man auch schreiben: d dt s = M B Speziell: B sei homogen und liege in z-richtung: B = (0, 0, B. Die Gleichungen für die einzelnen Komponenten sind: z 1. ṡ x = γ s y B. ṡ y = γ s x B 3. ṡ z = 0 Dies ist ein gekoppeltes System von Bewegungsgleichungen. s z (t = s z 0 D.h. die Komponente des Spins in z-richtung ist Konstante der Bewegung. Die Entkopplung der Gleichung 1 und wird durch Differentiation erreicht: s x = γ ṡ y B = γ B s x Aus wurde hier ṡ y eingesetzt. Analog: s y = γ B s y Wir setzen: ω = γ B = eb mc (Larmorfrequenz Unser Elektron im homogenen Magnetfeld wird nun durch folgende Differentialgleichungen beschrieben: Ansatz: 1 ṡ x = ω s y 1 s x + ω s x = 0 ṡ y = ω s x s y + ω s y = 0 3 ṡ z = 0 3 s z = 0 18

12 s x (t = a sin ωt + b cosωt s y (t = a sin ωt + b cosωt s z (t = s z (0 = const. Anfangsbedingungen: Mit Gleichung 1 ṡ x = ω s y folgt daraus: s x (0 = s x 0 = b s y (0 = s y 0 = b aω cosωt bω sin ωt = ω(a sinωt + b cosωt b = a = s y 0 b = a = s x 0 Ergebnis: s x (t = s x 0 cosωt + s y 0 sinωt s y (t = s y 0 cosωt s x 0 sinωt s z = const. mit ω = eb mc Diese Gleichungen beschreiben die Spinpräzession des Elektrons im homogenen Magnetfeld, die so genannte Larmor-Präzession; diese kann man sich gut im halbklassischen Vektormodell vorstellen: z B S y x Bemerkung: In der Literatur wird häufig auch Abb. 6.8: als Larmor-Frequenz bezeichnet. ω = eb mc Beispiel : Aufspaltung der Übergangslinien im starken homogenen Magnetfeld(Paschen-Back-Effekt Wir betrachten ein 1 1H-Atom in einem starken Magnetfeld (0, 0, B (stark gegen die vernachlässigte Spin-Bahn- Kopplung und konzentrieren uns auf den Übergang: 19

13 p 1s Abb. 6.9: Wir erwarten ohne Feld eine Intensitätsverteilung wie in Abbildung Als Vektorpotential zu B nehmen wir diesmal: A = ( B y, B x, 0 I E A ist Coulomb-geeicht und damit gilt: Damit vereinfacht sich die Pauli-Gleichung: Abb. 6.10: ( ( div Aψ = div A ψ + A ψ = A ψ wegen div A = 0 zu { ( } 1 p q A m c q Θ + U( r q mc g s B ψ = Eψ { } p m + e A p mc + e mc A + U(r + e mc g s z B ψ = Eψ Dabei haben wir q = e gesetzt, Θ weg gelassen und für U(r das Zentralpotential des H-Atoms eingesetzt. Wir müssen wieder daran denken, dass wir bereits in der Pauli-Gleichung die Spin-Bahn-Wechselwirkung vernachlässigt haben. Falls wir jedoch ein genügend starkes Magnetfeld anlegen, wird man erwarten können, dass das vom Drehimpuls erzeugte Magnetfeld vergleichsweise klein ist. Bei kleinen Magnetfeldern macht sich die Spin-Bahn-Kopplung jedoch bemerkbar. Dann spricht man vom (anomalen Zeemann-Effekt. Unsere Näherung (starkes Feld, schwache Kopplung ist der Paschen-Back-Effekt (häufig wird er auch der normale Zeemann- Effekt genannt. Die zweite Näherung, die wir machen wollen, ist nicht so gravierend. Wir vernachlässigen den Term: e mc A = e mc B 4 (x + y 130

14 Man kann sich davon überzeugen, dass diese Näherung gerechtfertigt ist, wenn man einsetzt: x + y cm (H-Atom Der Term ist verantwortlich für den Diamagnetismus des Atoms (vgl. auch Blochinzew 19. In unserer Pauli- Gleichung steht noch das Skalarprodukt A p A p = B y p x + B xp y = B L z denn der Bahndrehimpuls war ja L = r p. Schrödinger-Gleichung: { } p m + U(r + e mc B (L z + g s z ψ = Eψ Für ( p m + U(rψ = Eψ waren die Energiewerte und Wellenfunktionen schon bestimmt. (siehe auch math. Anhang Energien: Wellenfunktion: ( e E n = mc z c n ψ nlλ = R nl ( r Y lλ ( r Bemerkung: Für die Magnetquantenzahl, die wir früher m genannt hatten, haben wir jetzt Λ geschrieben. Zur Wellenfunktion ψ nlλ gehört hier nun noch ein Spin mit seiner Eigenfunktion 1 Σ : Der Zusatzterm ψ nlλ; 1 Σ = R nl( r Y lλ ( r y 1 Σ = ψ nlλ 1 Σ e mc B (L z + g s z ist in dieser Darstellung diagonal. In anderen Worten: Da L z und s z mit ( p m +U(r vertauschen, erhält man zu den obigen Funktionen für L z, s z und ( p m +U(r gleichzeitig scharfe Observable (s. Kap. 3.. Die Eigenwerte des Hamiltonoperators haben somit folgende Gestalt: E nlλ; 1 Σ = ( e mc z c n + e B(Λ + g Σ mc 131

15 Dies sind die Energiewerte unter Berücksichtigung des Paschen-Back-Effekts. Dabei gilt wegen g = und Σ = ± 1 : Λ + g Σ = Λ ± 1 Um die Bedeutung dieser Gleichung herauszuarbeiten, schauen wir uns nochmals den Übergang p 1s im H-Atom-Spektrum an. Ohne Magnetfeld ist eine scahrfe Linie sichtbar: p Abb. 6.11: Der 1s-Zustand hat l = 0 und folglich auch für Λ nur den Wert 0. Der Zp-Zustand hat jedoch l = 1, und Λ kann die ganzen Zahlen von 1 bis +1 durchlaufen, also 1, 0, 1. Legt man nun das starke Magnetfeld an, so spalten die Linien auf. Um die Situation anschaulicher zu machen, haben wir in der folgenden Zeichnung zunächst im Geist ein spinloses Teilchen mit der Ladung e an die Stelle des Elektrons gesetzt und dann erst den Effekt des Spins. (siehe Abbildung 6.1 1s Zustände eines spinlosen Teilchens Zustände des Elektrons Λ = 1 Σ =1/ p H Zustände ohne Magnetfeld Λ = 1 Λ = 0 Λ =0 Σ =1/ Λ = 1 Σ = 1/ Λ = 1 Σ = 1/ Λ = 1 Λ = 0 Σ = 1/ Λ = 1 Σ = 1/ Λ = 0 Σ = 1/ 1s Λ = 0 Λ = 0 Σ = 1/ Abb. 6.1: Das p-niveau spaltet symmetrisch in 5 äquidistante Niveaus auf, deren mittleres 4-fach entartet ist. Das 1s- Niveau erfährt ebenfalls eine symmetrische Aufspaltung in Terme; der ursprüngliche Term (ohne Magnetfeld tritt nicht auf. Um die möglichen Übergänge zu finden, muss man die Drehimpulsauswahlregeln für Dipolstrahlung berücksichtigen. Die Regel l = ±1 ist beim p-s-übergang stets erfüllt. Unter der Annahme, dass das Spinmoment nur in schwacher Wechselwirkung mit den Lichtquellen steht, gilt Σ = 0. Die dritte Auswahlregel Λ = 0, ±1( Λ l (vgl. Blochinzew 90 ist dann in diesem Fall auch stets erfüllt. Es treten praktisch nur die gezeichneten Übergänge auf, von denen jeweils zwei genau der gleichen Energiedifferenz entsprechen. Resultat: Im starken homogenen Magnetfeld tritt der E1-Übergang mit drei Linien mit dem Abstand auf: E = e B{ Λ}; Λ = +1; 0; 1 mc 13

16 I E E Abb. 6.13: In der Atom- und Kernphysik spielen die Drehimpulse eine wichtige Rolle. Da dort nämlich - im Gegensatz zur Festkörperphysik - meist keine Raumrichtung ausgezeichnet ist (Isotropie, ist der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Genauer muss man vom Gesamtdrehimpuls sprechen. Die Einzeldrehimpulse, z.b. Bahndrehimpuls, Elektronenspin und Kernspin in der Atomphysik sind im Allgemeinen keine Erhaltungsgrößen. In einer adäquaten Beschreibung des jeweiligen Gegenstandes wird man also ein Basissystem suchen, in dem der Gesamtdrehimpuls diagonal ist. 6.4 Kopplung zweier Drehimpulse Wir haben bisher den Bahndrehimpuls l und den Spin s als selbständige Größen betrachtet. Aber schon unter 6.3 haben wir überlegt, dass diese beiden Größen, die ja beide mit magnetischen Diplomomenten behaftet sind, durchaus Wechselwirkungen aufeinander ausüben und eine magnetische Wechselwirkungsenergie haben, die man oft nicht vernachlässigen darf. Hierdurch wird die Entartung von Zuständen mit gleichem l und s aufgehoben in Abhängigkeit vom totalen Drehimpuls j = l+ s. Es ist dazu nötig, zuerst einmal Funktionen mit gutem j zu konstruieren. Wir schreiben zunächst auf, was wir über die Einzelgrößen wissen: Der Bahndrehimpuls soll die Eigenfunktion lλ haben. Dabei steht l für den Bahndrehimpuls selbst und Λ für seine z-komponente (Magnetquantenzahl. Dann gilt: l lλ l z lλ = l(l + 1 lλ = Λ lλ Für den Spin s gilt ganz analog: s sσ s z sσ = s(s + 1 sσ = Σ sσ Wieder steht s für den Betrag, Σ für die z-komponente des Spins. Daraus haben wir die Eigenfunktionen eines Elektrons (s = 1 konstruiert: ψ nlλσ = nlλ sσ = nlλsσ In Zukunft werden wir n weglassen, da wir in diesem Abschnitt nur mit Drehimpulsoperatoren arbeiten, die darauf nicht wirken. Der Gesamtdrehimpuls j ist definiert durch: j = l + s Er genügt den Vertauschungsregeln, die wir zur Charakterisierung von Drehimpulsen verwendet hatten: ] ] ] [j x, j y = [l x + s x, l y + s y = [l x, l y ][s x, s y = i (l z + s z = i j z 133

17 Daraus kann man wieder alle Regeln herleiten, die wir schon in der Drehimpulsalgebra und beim Spin kennen gelernt haben. Insbesondere gilt: ] [ j, j z = 0 Nun wollen wir sehen, ob man das bisherige Funktionensystem auch als Eigensystem für den Gesamtdrehimpuls verwenden kann. j z lλsσ = (l z + s z lλsσ = l z lλsσ + s z lλsσ = (Λ + Σn lλsσ Wir sehen also, dass sich der Eigenwert der z-komponente von j einfach als Summe der entsprechenden Eigenwerte bei Bahndrehimpuls und Spin ergibt. Ob das bei j auch noch so gut funktioniert? Wohl kaum - hier handelt es sich um einen quadratischen Term. In der Tat werden wir gleich durch Ausrechnen sehen, dass unser bisher betrachtetes Eigenfunktionssystem gar keine Eigenwerte für j liefern kann. Voerher definieren wir noch: j ± = j x ± i j y j ± = l ± + s ± Dann ist: j x = 1 (j + + j j y = 1 i (j + j Damit erhält man: l ± vertauscht mit s ±, aber: j = j x + j y + j z = j z (j + + j +j + j j + + j 1 (j + j +j j j + + j + = jz + 1 (j +j + j j + = l z + l zs z + s z + 1 { } (l + + s z (l + s + (l + s (l + + s + [l +, l ] 0 [s +, s ] 0 = l z + 1 (l +l + l l + + s z + 1 (s +s + s s + + l z s z + (l +s + l s + j = l + s + l z s z + l + s + l s + Zu l + s + l s + sind unsere lλsσ aber keine Eigenfunktionen, also auch nicht zu j. Die step-up (down- Operatoren l ±, s ± erzeugen Funktionen von der Form l Λ ± 1, s, Σ ± 1. Das könnte uns auf eine Idee bringen: Vielleicht sind gewisse Linearkombinationen unserer alten ψ lλsσ gute Eigenfunktionen. Fassen wir noch einmal zusammen: 134

18 Problem: Zum Quadrat des Gesamtdrehimpulses j sind die herkömmlichen Eigenfunktionen lλsσ keine Eigenfunktionen. Wir suchen Funktionen jm, die erfüllen. Bemerkungen: j jm = j(j + 1 jm und j z jm = m jm 1. Wir wissen, dass solche Funktionen existieren, denn [ j, j z ] = 0.. Manchmal schreibt man statt jm auch ausführlich (lsjm. Darin bedeutet (ls, dass l und s gekoppelt sind. jm wird nun in dem vollständigen System unserer Eigenfunktionen entwickelt: jm = ΛΣ lλsσ lλsσ jm Da die Operatoren j ±, die uns störten, nur in den z-komponenten Λ und Σ Änderungen hervorrufen, haben wir l und s konstant gelassen. Die nächste Vereinfachung erhalten wir, wenn wir j z = l z + s z auf diese Gleichung anwenden: m jm = m lλsσ lλsσ jm ΛΣ = (Λ + Σ lλsσ lλsσ jm ΛΣ Da die lλ 1 Σ linear unabhängig sind, muss gelten: Endgültig ergibt sich: Λ + Σ = m jm = ΛΣ Λ+Σ=m lλsσ C(lsj ΛΣm Dabei haben wir die Clebsch-Gordan-Koeffizienten C(lsj ΛΣm def = lλsσ jm eingeführt. Zur Ausrechnung der Koeffizienten lassen wir j auf jm wirken: j jm = j(j + 1 jm = j lλsσ C(lsj ΛΣm ΛΣ Λ+Σ=m Multiplizieren von links mit lλ Σ ergibt: ΛΣ Λ+Σ=m lλ sσ j lλsσ C(lsj ΛΣm = j(j + 1C(lsj Λ Σ m 135

19 Dabei läuft Λ von l bis l und Σ von s bis s. Es handelt sich also um Min {(l + 1, (s + 1} homogene Gleichungen zur Bestimmung der M in {(l + 1, (s + 1} Unbekannten C(lsj ΛΣm. Da ein homoegenes Gleichungssystem nur Lösungen hat, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, legt uns dies den freien Parameter j(j + 1 fest. Eine äquivalente Darstellungsform ist die Eigenwertgleichung: A C = j(j + 1 }{{} λ Dabei ist A die Koeffizientenmatrix des Systems und C der Spaltenvektor aus den C(lsj ΛΣm. Die Matrix ist diagonal, wenn gilt: C det (A λi = 0 Durch diese so genannte Säkulargleichung werden die möglichen Werte von λ bestimmt. Für den Spezialfall des Elektrons ist s = 1, Σ = ±1 und es folgt: Λ = m ± 1 Wenn man den Spin s = 1 zum Drehimpuls l hinzukoppelt, reduziert sich die ganze Entwicklung auf zwei Terme, die summiert werden: jm = ( l, m 1, 1, 1 C l, m 1 j 1, 1, m ( + l, m + 1, 1, 1 C l, 1, j m + 1, 1, m Die Ausrechnung (Anhang ergibt, dass j nur zwei Werte annehmen kann: (Anwendung z.b. in Kapitel 7.4 j 1 = l + 1 Die zugehörigen Clebsch-Gordan-Koeffizienten lauten: j = l 1 C (l, 1, l + 1 m 1, ±1, m C (l, 1, l 1 m 1, ±1, m = = ± l + 1 ± m l + 1 l + 1 m l + 1 Viel öfter als spezielle Werte der Clebsch-Gordan-Koeffizienten benötigt man die Orthogonalitätsrelation: Ebenso: ( C l 1 j ΛΣm C (l 1 j ΛΣm ΛΣ = ΛΣ jm lλ 1 Σ lλ 1 Σ j, m = δ jj δ mm }{{} I ( C l 1 j Λ Σ m C (l 1 j ΛΣm = δ ΛΛ δ ΣΣ jm 136

20 Im Allgemeinen wählt man die Clebsch-Gordan-Koeffizienten reel und kann auf verzichten. Noch eine Bemerkung zum Abschluss des Kapitels: Häufig misst man Drehimpulse in Einheiten von. Dann vereinfachen sich die Eigenwertgleichungen zu: J j M = J(J + 1 J M J z J M = M J M 137