Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik. Sommersemester 2012

Transkript

1 Automaten und Formale Sprachen alias Theoretische Informatik Sommersemester 2012 Dr. Sander Bruggink Übungsleitung: Jan Stückrath Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 1

2 Wer sind wir? Dozent: Dr. Sander Bruggink Raum LF Übungsleitung: Jan Stückrath Raum LF Tutoren: Dennis Nolte / Martin Kutscher Dennis Nolte: JokerX@gmx.de Martin Kutscher: martin.kutscher@uni-due.de Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 2

3 Vorstellung Wer seid ihr? BAI ISE Nebenfach Webseite Moodle-Seite Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 3

4 Termine Vorlesung: Dienstag, 12:00 14:00 Uhr, Raum LB 131 Übungsgruppen: Gruppe ISE: Dienstag, 8 10 Uhr, Raum LC 137 (English) Jan Stückrath Gruppe BAI-1: Mittwoch, Uhr, Raum LE 120 Martin Kutscher Gruppe BAI-2: Donnerstag, Uhr, Raum LF 125 Dennis Nolte Gruppe BAI-3: Donnerstag, Uhr, Raum LF 125 Dennis Nolte Gruppe BAI-4: Freitag, Uhr, Raum LE 120 Dennis Nolte Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 4

5 Hinweise zu den Übungen Bitte versuchen Sie, sich möglichst gleichmäßig auf die Übungen zu verteilen. Besuchen Sie die Übungen und machen Sie die Hausaufgaben! Diesen Stoff kann man nur durch regelmäßiges Üben erlernen. Auswendiglernen hilft nicht besonders viel. Die Übungen beginnen in der dritten Semesterwoche. Die erste Übungen sind also von 24. bis zum 27. April. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 5

6 Hinweise zu den Übungen Das Übungsblatt wird jeweils spätestens am Dienstag ins Netz gestellt. Die schriftlichen Aufgaben müssen bis spätestens Montag, 16:00 Uhr der darauffolgenden Woche abgegeben werden. In dieser Woche wird dann das Übungsblatt in der Übungsgruppe besprochen. Abgabe: Einwurf in den Briefkasten neben dem Raum LF259. Online-Abgabe über Moodle. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung deutlich Ihren Namen, Ihre Matrikelnummer und Ihre Gruppennnumer an. Geben Sie auch die Vorlesung an. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 6

7 Prüfung BAI: Mündliche Prüfung des Moduls Theoretische Informatik ( Automaten und formale Sprachen zusammen mit Berechenbarkeit und Komplexität ). Studierenden, die im Sommersemester angefangen haben, können sich getrennt prüfen lassen. ISE: Klausur am Ende der Vorlesung. Nebenfach: Klausur am Ende der Vorlesung. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 7

8 Bonuspunkte Bonusregelung: Während des Semesters gibt es voraussichtlich 12 Übungsblätter von jeweils 20 Punkten. Für die Prüfung gibt es einen Übungsbonus von einer Notenstufe (z.b. 2,0 statt 2,3), wenn Sie 50% der Hausaufgabenpunkten (d.h. 120) erhalten. Für die Bachelor-Modulprüfung Theoretische Informatik gilt: es ist für jede der beiden Vorlesungen ( Automaten und Formale Sprachen und Berechenbarkeit und Komplexität ) erforderlich den Bonus zu erzielen. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 8

9 Literatur Die Vorlesung basiert im wesentlichen auf folgendem Buch: Uwe Schöning: Theoretische Informatik kurzgefaßt. Spektrum, (5. Auflage) Weiteres relevantes Buch: Neuauflage eines alten Klassikers: Hopcroft, Motwani, Ullman: Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation. Addison-Wesley, Auf Deutsch: Hopcroft, Motwani, Ullman: Einführung in die Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Pearson, Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 9

10 Literatur Organisatorisches und Einführung Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 10

11 Adventure-Problem Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 11

12 Adventure-Problem Adventure-Problem (Level 1) Natürlich gibt es bestimmte Regeln, die bei einem erfolgreichen Abenteuer zu beachten sind: Die Schatz-Regel Man muss mindestens zwei Schätze finden. Die Tür-Regel Durch eine Tür kann man nur gehen, wenn man zuvor einen Schlüssel gefunden hat. (Dieser Schlüssel darf aber dann beliebig oft verwendet werden.) Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 12

13 Adventure-Problem Adventure-Problem (Level 1) Die Drachen-Regel Unmittelbar nach der Begegnung mit einem Drachen muss man in einen Fluss springen, da uns der Drache in Brand stecken wird. Dies gilt nicht mehr, sobald man ein Schwert besitzt, mit dem man den Drachen vorher töten kann. Bemerkung: Drachen, Schätze und Schlüssel werden nachgefüllt, sobald man das entsprechende Feld verlassen hat. Gesucht ist einen Weg, von einem Anfangszustand zu einem Endzustand, der alle diese Bedingungen erfüllt: Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 13

14 Adventure-Problem Adventure-Problem (Level 1) Fragen (Level 1) Gibt es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure Ja! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 11, 12 (Länge 16). Gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren, das gegeben ein Adventure in Form eines Graphen immer bestimmen kann, ob es eine Lösung gibt? Ja! Wir werden dieses Verfahren noch kennenlernen. Um das Verfahren implementieren zu können, benötigen wir auch formale Beschreibungen der Regeln (Tür-Regel, Drachen-Regel, Schatz-Regel). Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 14

15 Adventure-Problem Adventure-Problem (Level 2) Neue Tür-Regel Die Schlüssel sind magisch und verschwinden sofort, nachdem eine Tür mit ihnen geöffnet wurde. Sobald man eine Tür durchschritten hat, schließt sie sich sofort wieder. Man kann aber mehrere Schlüssel tragen. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 15

16 Adventure-Problem Adventure-Problem (Level 2) Fragen (Level 2) Gibt es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure Ja! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 7, 8, 9, 4, 7, 8, 9, 4, 11, 12. (Länge 18) Gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren? Ja! Wir werden dieses Verfahren noch kennenlernen. Warum ist das Problem jetzt schwieriger? Wir haben jetzt durch die Schlüssel eine Art Zähler eingeführt. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 16

17 Adventure-Problem Adventure-Problem (Expertelevel) Neue Drachen-Regel Auch Schwerter werden durch das Drachenblut unbenutzbar, sobald man einen Drachen damit getötet hat. Außerdem werden Drachen sofort wieder ersetzt. Schlüssel-Regel Der magische Torbogen kann nur passiert werden, wenn man keinen Schlüssel besitzt. Schwert-Regel Ein Fluss kann nur passiert werden, wenn man kein Schwert besitzt (weil man sonst ertrinkt!). Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 17

18 Adventure-Problem Adventure-Problem (Expertelevel) Fragen (Expertelevel) Gibt es in dem Beispiel eine Lösung? Adventure Ja! Die kürzeste Lösung ist 1, 2, 3, 1, 2, 4, 10, 4, 7, 8, 9, 4, 10, 4, 5, 6, 4, 11, 12. (Länge 19) Gibt es ein allgemeines Lösungsverfahren? Nein! Es handelt sich hier um ein sogenanntes unentscheidbares Problem. Wird nicht in dieser Vorlesung behandelt, sondern in Berechenbarkeit und Komplexität. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 18

19 Formale Sprachen Adventure-Problem und Formale Sprachen (Formale) Sprachen Sprachen = Mengen von Wörtern Sprachen enthalten im allgemeinen unendlich viele Wörter. Daher: Man benötigt endliche Beschreibungen für unendliche Sprachen. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 19

20 Formale Sprachen Adventure-Problem und Formale Sprachen Fragen Typische Fragen in diesem Zusammenhang sind: Ist eine bestimmte Sprache L leer oder enthält sie (mindestens) ein Wort? L =? Ist ein gegebenes Wort w in der Sprache? w L? Sind zwei Sprachen ineinander enthalten? L 1 L 2? Abhängig von der betrachteten Sprache (bzw. den betrachteten Sprachen) sind diese Probleme entscheidbar (es gibt ein allgemein anwendbares Lösungsverfahren) oder unentscheidbar Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 20

21 Formale Sprachen Adventure-Problem und Formale Sprachen Die einzelnen Level des Adventures entsprechen in etwa folgenden Sprachklassen: Level 1 reguläre Sprachen Level 2 kontextfreie Sprachen Expertelevel Chomsky-0-Sprachen (semi-entscheidbare Sprachen) Diese werden in der Vorlesung Berechenbarkeit & Komplexität behandelt. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 21

22 Inhalt der Vorlesung Vom Nutzen der theoretischen Informatik Wie kann man unendliche Strukturen (Sprachen) durch endliche Beschreibungen (Automaten, Grammatiken) erfassen? Es gibt zahlreiche Anwendungen beispielsweise in folgenden Gebieten: Suchen in Texten (reguläre Ausdrücke) Syntax von (Programmier-)Sprachen und Compilerbau Modellierung des Systemverhaltens Verifikation von Systemen Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 22

23 Inhalt der Vorlesung Inhalt der Vorlesung Automatentheorie und Formale Sprachen Mathematische Grundlagen und formale Beweise Sprachen, Grammatiken und Automaten Chomsky-Hierarchie (verschiedene Klassen von Sprachen) Reguläre Sprachen, kontextfreie Sprachen Wie kann man zeigen, dass eine Sprache nicht zu einer bestimmten Sprachklasse gehört? (Pumping-Lemma) Entscheidungsverfahren Abschlusseigenschaften (Ist der Schnitt zweier regulärer Sprachen wieder regulär?) Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 23

24 Grundlagen und formale Beweise Mengen Eine kleine Wiederholung: Menge Eine Menge M von Elementen, wird beschrieben als Aufzählung M = {0, 2, 4, 6, 8,... } oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft M = {n n N und n gerade} Allgemeines Format: M = {x P(x)} (M ist die Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft P erfüllen.) Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 24

25 Grundlagen und formale Beweise Mengen Bemerkungen: Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, d.h., ihre Ordnung spielt keine Rolle. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} = {1, 3, 2} = {2, 1, 3} = {2, 3, 1} = {3, 1, 2} = {3, 2, 1} Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten. Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge. Beispielsweise gilt: {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4, 4} Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 25

26 Grundlagen und formale Beweise Mengen Element einer Menge Wir schreiben a M, falls ein Element a in der Menge M enthalten ist. Anzahl der Elemente einer Menge Für eine Menge M gibt M die Anzahl ihrer Elemente an. Teilmengenbeziehung Wir schreiben A B, falls jedes Element von A auch in B enthalten ist. A heißt dann eine Teilmenge von B. Die Relation heißt auch Inklusion. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 26

27 Grundlagen und formale Beweise Mengen Beispiel: 2 {1, 2, 3}? 2 {1, 2, 3}? {1, 2} {1, 2, 3}? {1, 2} {1, 2, 3}? Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 27

28 Venn-Diagramme Organisatorisches und Einführung Grundlagen und formale Beweise Venn-Diagramme sind eine graphische Darstellung von Mengen und ihren Beziehungen. A B B A Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 28

29 Grundlagen und formale Beweise Mengenoperationen Vereinigung: A B = {e e A oder e B} Schnitt: A B = {e e A und e B} Differenz: A \ B = {e e A und e / B} A B A B A \ B A B A B A B Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 29

30 Grundlagen und formale Beweise Potenzmenge Potenzmenge Sei M eine Menge. Die Menge P(M) ist die Menge aller Teilmengen von M. P(M) = {A A M} Es gilt: P(M) = 2 M (für eine endliche Menge M). Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 30

31 Grundlagen und formale Beweise Tupel Tupel Außer Mengen betrachten wir auch Tupel, die mit runden Klammern notiert werden: (a 1,..., a n ) In einem Tupel sind die Elemente geordnet! Beispielsweise gilt: (1, 2, 3) (1, 3, 2) Ein Element kann mehrfach in einem Tupel auftreten. Tupel unterschiedlicher Länge sind immer verschieden. Beispielsweise: (1, 2, 3, 4) (1, 2, 3, 4, 4) Ein Tupel (a 1,..., a n ) bestehend aus n Elementen heißt auch n-tupel. Ein 2-Tupel heißt auch Paar. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 31

32 Grundlagen und formale Beweise Das Kreuzprodukt Kreuzprodukt (oder cartesisches Produkt) Seien A, B zwei Menge. Die Menge A B ist die Menge aller Paare (a, b), wobei das erste Element des Paars aus A, das zweite aus B kommt. A B = {(a, b) a A, b B} Es gilt: A B = A B (für endliche Mengen A, B). Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 32

33 Grundlagen und formale Beweise Relationen Binäre Relation Seien A, B zwei Mengen. Eine binäre Relation zwischen A und B ist eine Menge von Paaren R A B. Relation Seien A 1,..., A n Mengen. Eine (n-äre) Relation ist eine Menge von Tupeln R A 1 A n. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 33

34 Grundlagen und formale Beweise Eigenschaften von Relationen Sei R A A eine Relation von A nach A. R heißt reflexiv, falls für alle x A gilt, dass x R x. R heißt symmetrisch, falls für alle x, y A gilt, dass wenn x R y, dann auch y R x. R heißt antisymmetrisch, falls für alle x, y A gilt, dass wenn x R y und y R x, dann x = y. R heißt transitiv, falls für alle x, y, z A gilt, dass wenn x R y und y R z, dann x R z. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 34

35 Grundlagen und formale Beweise Eigenschaften von Relationen (Fortsetzung) Reflexiv: a Symmetrisch: a b Antisymmetrisch: a b wobei a b Transitiv: a b c Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 35

36 Spezielle Relationen Organisatorisches und Einführung Grundlagen und formale Beweise Eine Quasi-Ordnung (oder Pre-Ordnung) ist eine reflexive, transitive Relation. Eine Ordnung ist eine reflexive, transitive und antisymmetrische Relation. Eine Äquivalenzrelation ist eine reflexive, transitive und symmetrische Relation. Quasi-Ordnung: Ordnung: Äquivalenzrelation: a c a c a c b d b d b d Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 36

37 Grundlagen und formale Beweise Funktionen Funktion f : A B a f (a) Die Funktion f bildet ein Element a A auf ein Element f (a) B ab. Dabei ist A der Definitionsbereich und B der Wertebereich. Formal: Eine Funktion f : A B ist eine totale und eindeutige Relation zwischen A und B. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 37

38 Grundlagen und formale Beweise Mathematische Aussagen Aussagen sind in der Mathematik entweder wahr oder unwahr. Aussagen können aus kürzeren Aussagen aufgebaut sein: P und Q Wenn P, dann Q Für alle P gilt Q P gilt nicht Es gibt: Grundaussagen der Mathematik (Axiomen) schon aus den Axiomen bewiesene Aussagen (Sätze, Theoreme) Aussagen, dessen Wahrheit wir angenommen haben (Hypothesen, Prämissen, Annahmen) Aussagen, die zu zeigen oder zu widerlegen sind. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 38

39 Formale Beweise Organisatorisches und Einführung Grundlagen und formale Beweise Beispiel eines Satzes Für alle n > 0 gilt, n = n (n + 1). 2 Prämisse: n ist eine Zahl größer als 0. Konklusion: n = n (n + 1). 2 Wenn die Prämissen wahr sind, dann muss auch die Konklusion wahr sein. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 39

40 Grundlagen und formale Beweise Implikation Implikation ( wenn, dann ) Wenn P, dann Q (P Q) ist wahr, wenn Q aus P folgt. Verwenden: Wenn P bekannt ist, und P Q ist bekannt, dann ist auch Q bekannt (Modus Ponens). Beweisen: Um P Q zu beweisen, nimmt man P an, und beweist unter dieser Annahme, dass Q gilt. Widerlegen: Um P Q zu widerlegen, zeigt man, dass P wahr ist, aber Q nicht. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 40

41 Grundlagen und formale Beweise Konjunktion Konjunktion ( und ) P und Q (P Q) ist wahr, wenn P und Q beide wahr sind. Verwenden: Wenn P Q bekannt ist, dann sind auch P und Q einzeln bekannt (und können deswegen als Prämissen verwendet werden). Beweisen: Um P Q zu beweisen, muss man P beweisen und Q beweisen. Widerlegen: Um P Q zu widerlegen, muss man P widerlegen, oder Q widerlegen. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 41

42 Grundlagen und formale Beweise Disjunktion Disjunktion ( oder ) P oder Q (P Q) ist wahr, wenn P wahr ist, oder Q wahr ist. Widerlegen: Um P Q zu wiederlegen, muss man P wiederlegen und Q wiederlegen. Verwenden: Um R aus P Q abzuleiten: Nehme P an, und zeige unter der Annahme, dass R gilt. Nehme Q an, und zeige unter der Annahme, dass R gilt. Weil R sowohl aus P und aus Q folgt, und P oder Q gilt, muss R gelten. Beweisen: Um P Q zu beweisen, beweist man P oder man beweist Q. (Funktioniert in den meisten Fällen nicht.) Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 42

43 Grundlagen und formale Beweise Negation Negation ( nicht ) Nicht P ( P) ist wahr, falls P nicht wahr ist, und nicht wahr, falls P wahr ist. Verwenden: Negationen können verwendet werden, um einen Widerspruch abzuleiten. Beweisen: Man beweist P, indem man P widerlegt. (In vielen Fällen braucht man einen Widerspruchsbeweis. Widerlegen: Man widerlegt P, indem man P beweist. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 43

44 Grundlagen und formale Beweise Allquantor Allquantor ( für alle ) Für alle x aus P, gilt Q ( x P : Q) ist wahr, wenn Q für alle Objekte x aus P wahr ist. Verwenden: Wenn x P : Q bekannt ist, und man ein Objekt a aus P hat, weiß man, dass Q für a gilt. Beweisen: Nehme an, dass x ein Element aus P ist (und dass P nicht leer ist). Beweise unter dieser Annahme, dass Q für x gilt. Man darf sonst nichts über x annehmen! Wiederlegen: Suche einen Gegenbeispiel, das heißt ein Objekt aus P, für das Q nicht gilt. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 44

45 Grundlagen und formale Beweise Existenzquantor Existenzquantor ( es gibt ein ) Es gibt ein x aus P, so dass Q gilt ( x P : Q) ist wahr, wenn es ein Objekt x P gibt, so dass Q wahr ist. Verwenden: Wenn x P : Q bekannt ist, darf man ein Objekt aus P (mit einem beliebigen Namen) einführen, für das Q gilt. Sonst darf man nichts über x annehmen. Beweisen: Suche ein Beispiel: ein Objekt x P für das Q gilt. Widerlegen: Nehme an, dass x P, und beweise, dass Q nicht für x gilt. Sonst darf man nichts über x annehmen. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 45

46 Beispiel Organisatorisches und Einführung Grundlagen und formale Beweise Beweisen Sie den folgenden Satz: Satz Sei A eine Menge, und A A eine Quasi-Ordnung auf A. Definiere die Relation wie folgt: Dann ist eine Äquivalenzrelation. x y falls x y und y x. Sander Bruggink Automaten und Formale Sprachen 46