Mathematische Strukturen Sommersemester Vorlesung. Mengen. Mengen. Prof. Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte

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1 Vorlesung Mathematische Strukturen Sommersemester 207 Prof Janis Voigtländer Übungsleitung: Dennis Nolte Menge Menge M von Elementen, oft beschrieben als Aufzählung M = {0, 2, 4, 6, 8, } oder als Menge von Elementen mit einer bestimmten Eigenschaft M = {n n N 0 und n gerade} = {n N 0 n gerade} Allgemeines Format: M = {x E(x)} M ist Menge aller Elemente, die die Eigenschaft E erfüllen M = {x X E(x)} M ist Menge aller Elemente aus der Grundmenge X, die E erfüllen Bemerkungen: Die Elemente einer Menge sind ungeordnet, dh, ihre Ordnung spielt keine Rolle Beispielsweise gilt: {, 2, 3} = {, 3, 2} = {2,, 3} = {2, 3, } = {3,, 2} = {3, 2, } Ein Element kann nicht mehrfach in einer Menge auftreten Es ist entweder in der Menge, oder es ist nicht in der Menge Beispielsweise gilt: {, 2, 3, 4, 4} = {, 2, 3, 4} {, 2, 3}

2 Element einer Menge Wir schreiben a M, falls ein Element a in der Menge M enthalten ist Anzahl der Elemente einer Menge Für eine endliche Menge M gibt M die Anzahl ihrer Elemente an Teilmengenbeziehung Wir schreiben A B, falls jedes Element von A auch in B enthalten ist Die Beziehung heißt auch Inklusion Leere Menge Mit oder {} bezeichnen wir die leere Menge Sie enthält keine Elemente und ist (echte) Teilmenge jeder anderen Menge Beispiele: 4 {, 2, 3, 4} 4 {, 2, 3} 4 4 N 0 {, 2, 3, 4, 4} = 4 = 0 {, 2, 3} {, 2, 3, 4} N 0 Z {, 2, 3, 4} {, 2, 3} {, 2, 3, 4} {, 2, 3, 5} und {, 2, 3, 5} {, 2, 3, 4} Anmerkungen: Wenn A B und beide sind endlich, dann A B N 0 N 0 Wenn M = {x X E(x)}, dann M X, unabhängig von E Insbesondere, {x E(x)} =

3 vereinigung Die Vereinigung zweier A und B ist diejenige Menge, welche die Elemente enthält, die in A oder B (oder in beiden) vorkommen Man schreibt dafür A B A B = {x x A oder x B} schnitt Der Schnitt zweier A und B ist diejenige Menge, welche die Element enthält, die sowohl in A als auch in B vorkommen Man schreibt dafür A B A B = {x x A und x B} = {x A x B} Veranschaulichung von Vereinigung und Schnitt durch Venn-Diagramme: Blau eingefärbte Fläche entspricht der Vereinigung A B Blau eingefärbte Fläche entspricht dem Schnitt A B Beispiele: {, 2, 3} {3, 4} = {, 2, 3, 3, 4} = {, 2, 3, 4} {, 2, 3} N 0 = N 0 {, 2, 3} {3, 4} = {3} {, 2, 3} {4} = {, 2, 3} N 0 = {, 2, 3} Allgemeine Anmerkungen: A B = A + B A B (A B) A (A B) und (A B) B (A B) Wenn A B, dann A B = B und A B = A

4 differenz Die Differenz zweier A und B ist diejenige Menge, welche die Elemente enthält, die in A vorkommen und in B nicht vorkommen Man schreibt dafür A \ B A \ B = {x x A und x B} = {x A x B} Beispiele: {0,, 2, 3, 4, 5} \ {0} = {, 2, 3, 4, 5} {a, b, c} \ {c, d} = {a, b} {, 2, 3} \ = {, 2, 3} {, 2, 3} \ N 0 = ({, 2, 3} \ {, 2}) \ {} {, 2, 3} \ ({, 2} \ {}) Veranschaulichung der Differenz durch ein Venn-Diagramm: Blau eingefärbte Fläche entspricht der Differenz A \ B Anmerkungen: (A \ B) A A \ B = A A B Wenn A B, dann A \ B = (und umgekehrt) Potenzmenge Die Potenzmenge einer Menge M ist diejenige Menge, welche alle Teilmengen von M enthält Man schreibt dafür P(M) Beispiele: P(M) = {A A M} P({, 2, 3}) = {, {}, {2}, {3}, {, 2}, {, 3}, {2, 3}, {, 2, 3}} P( ) = { } P(P( )) = {, { }} Anmerkungen: Für endliche M gilt P(M) = 2 M Es gilt P(A) P(B) genau dann wenn A B

5 Kreuzprodukt (Kartesisches Produkt) Das Kreuzprodukt zweier A und B ist diejenige Menge, welche alle Paare (a, b) enthält, wobei die erste Komponente des Paars aus A, die zweite aus B kommt Man schreibt dafür A B Beispiele: A B = {(a, b) a A und b B} {, 2} {3, 4, 5} = {(, 3), (, 4), (, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} {, 2} = Anmerkungen: Für endliche A und B gilt A B = A B Wenn A B, dann A C B C und C A C B Weitere Bemerkungen: Wir betrachten nicht nur Paare, sondern auch sogenannte Tupel aus mehr als zwei Komponenten Ein Tupel (a,, a n ) bestehend aus n Komponenten heißt auch n-tupel In einem Tupel sind die Komponenten geordnet! Es gilt zb: (, 2, 3) (, 3, 2) N 0 N 0 N 0 Ein Element kann mehrfach in einem Tupel auftreten Tupel unterschiedlicher Länge sind immer verschieden Beispielsweise: (, 2, 3, 4) (, 2, 3, 4, 4) Runde Klammern (, ) und geschweifte Klammern {, } stehen für ganz verschiedene mathematische Objekte! Beispiel: Zustandsmodellierung Angenommen, wir betrachten einen einfachen Snackautomaten für Riegel und Chips Von jedem dieser beiden Snacks hat er maximal 30 Stück auf Vorrat Der Automat hat eine gelbe und eine rote Warnleuchte ( kein Wechselgeld mehr bzw keine Scheine mehr akzeptiert ), die unabhängig voneinander leuchten können Die Menge der möglichen Zustände dieses Automaten können wir als P({gelb, rot}) {0,,, 30} {0,,, 30} beschreiben Das Element (, 20, 0) dieser Menge zum Beispiel entspricht dem Zustand, in dem beide Warnleuchten ausgeschaltet sind und noch 20 Riegel und 0 Packungen Chips vorrätig Wären bei diesem Vorrat die Warnleuchten beide eingeschaltet, so befände sich der Automat stattdessen im Zustand ({gelb, rot}, 20, 0)

6 Relation zwischen Seien A und B Eine (binäre) Relation zwischen A und B (oder von A nach B ) ist eine Teilmenge ihres Kreuzprodukts R A B Beispiel: A = {, 2, 3} B = {a, b, c, d} R = {(, a), (, b), (2, b), (3, d)} Endliche können wie folgt dargestellt werden: 2 3 a b c d Auch arithmetische passen zu dieser Definition, zum Beispiel N 0 N 0, mit (0, 3) und (3, 2) Schreibweise: Wir notieren folgendermaßen, dass ein Paar in einer Relation liegt Standard-Schreibweise: (2, b) R Infix-Schreibweise: 2 R b Für wie =, <,, >, wird fast immer die Infix-Schreibweise verwendet (beispielsweise 2 < 5 und 7 3) Darstellung in Tabellenform: Das vorige Beispiel mit A = {, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, R = {(, a), (, b), (2, b), (3, d)} lässt sich auch darstellen als: a b c d 2 3 Geht das auch bei zwischen unendlichen?

7 Weitere Beispiele: {(x, sin x) x R} R R parall Seiten rechte Winkel orthog Diagonalen Quadrat Drachenviereck Parallelogramm Ingo Selim Petra Math Strukturen Modellierung Umkehrung einer Relation Sei R eine Relation zwischen A und B, also R A B Die Umkehrung von R, bezeichnet mit R, entsteht durch Vertauschen der Elemente in jedem enthaltenen Paar R = {(b, a) (a, b) R} B A Beispiel: R: 2 a b c R : 2 a b c 3 d 3 d Beispiel für Modellierung mit : Betrachten wir erneut das einfache Snackautomaten-Szenario Die Menge der möglichen Zustände des Automaten war: P({gelb, rot}) {0,,, 30} {0,,, 30} Wenn wir dies als A (B C) lesen, können wir eine binäre Relation dafür aufstellen, welche Warnleuchtenkonstellationen bei welchen Vorratsständen kritisch sind Zum Beispiel: Dann: aber nicht: kritisch bei = {(W, (r, c)) r + c > W } {gelb} kritisch bei (25, 25) {gelb, rot} kritisch bei (20, 0) {rot} kritisch bei (20, 0) {gelb, rot} kritisch bei (5, 5)

8 Wir sehen uns einige besondere Arten von an: Äquivalenzrelationen Ordnungen Funktion (Abbildung) von der Menge A in die Menge B Eine Relation R A B heißt Funktion, wenn folgendes gilt: für jedes Element a A gibt es genau ein Element b B mit (a, b) R Üblicherweise bezeichnet man solch spezielle, die also sind, mit Kleinbuchstaben, etwa f statt R Anschaulich: Jedes Element in A hat genau einen ausgehenden Pfeil In Tabellendarstellung enthält jede Zeile genau ein Häkchen (Die meisten vorherigen Beispiels- waren also keine ) Notation und Begriffe für Um auszudrücken, dass eine Relation f A B sogar eine Funktion ist, schreibt man spezieller f : A B Man bezeichnet A als Definitionsbereich und B als Wertebereich Paare aus einem Element a A und dem (eindeutig gegebenen) Element b = f (a) B, auf welches die Funktion es abbildet, schreibt man, statt als (a, b), auch in der Form a b Die gleiche Notation verwendet man, um eine allgemeine Zuordnungsvorschrift anzugeben: a f (a) Beispiel: Quadratfunktion auf der Menge der ganzen Zahlen f : Z N 0, f (z) = z 2, bzw Angabe als: z z 2 Angabe konkreter Paare:, 3 9, 2 4,, 0 0,, 2 4, 3 9,

9 Weiteres Beispiel: Zuordnung Studierender zu Übungsgruppen Gruppe Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Ingo Selim Marina Kiril Ewa Angabe konkreter Paare: Ingo Gruppe 2, Selim Gruppe 4, Marina Gruppe 4, Angabe einer Zuordnungsvorschrift als mathematische Formel hier eher nicht möglich Bild einer Menge, Urbild einer Menge Sei f : A B eine Funktion und A A Dann nennt man die Menge f (A ) = {f (a) a A } das Bild von A unter der Funktion f Sei andererseits B B Dann nennt man die Menge f (B ) = {a A f (a) B } das Urbild von B unter der Funktion f Beispiel: Gruppe Gruppe 2 Gruppe 3 Gruppe 4 Ingo Selim Marina Kiril Ewa Bild der Menge {Kiril, Ewa} unter dieser Funktion: f ({Kiril, Ewa}) = {Gruppe, Gruppe 3} Urbild der Menge {Gruppe, Gruppe 3} unter dieser Funktion: f ({Gruppe, Gruppe 3}) = {Kiril, Ewa, } Auch interessant, Urbild einelementiger, etwa: f ({Gruppe 4}) =

10 Weitere Beispiele: 2 3 a b c d f ({, 2, 3}) = {a, b, d} f ({, 2}) = {a, b} f ({b, d}) = {2, 3} sin : R R sin({k π k Z}) = {0} (= {(x, sin x) x R}) (und umgekehrt ) Anmerkungen: (für beliebige f ) f ( ) =, f ( ) = Wenn A A 2, dann f (A ) f (A 2 ) (analog für f ) Für endliche A gilt f (A ) A (und für f?) Kann man eigentlich auch direkt umkehren? Gedankengang: Jede Funktion ist eine Relation Jede Relation kann man umkehren (R R ) Also warum denn nicht? Injektive Funktion Eine Funktion f : A B heißt injektiv, falls es keine Elemente a, a 2 A gibt mit a a 2 und f (a ) = f (a 2 ) Alternativ: Eine Funktion f heißt injektiv, falls für alle Elemente a, a 2 A aus f (a ) = f (a 2 ) immer a = a 2 folgt Anschaulich: Auf kein Element in B zeigt mehr als ein Pfeil In Tabelle enthält jede Spalte höchstens ein Häkchen Welche der Beispielfunktionen sind injektiv? Quadratfunktion? Zuordnung Studierender zu Übungsgruppen? f : {, 2, 3} {a, b, c, d} mit a, 2 b, 3 d? sin?

11 Surjektive Funktion Eine Funktion f : A B heißt surjektiv, falls es für jedes b B mindestens ein a A gibt mit f (a) = b Alternativ: Eine Funktion f heißt surjektiv falls f (A) = B Anschaulich: Auf jedes Element in B zeigt mindestens ein Pfeil In Tabelle enthält jede Spalte mindestens ein Häkchen Welche der Beispielfunktionen sind surjektiv? Quadratfunktion f : Z N 0 mit z z 2? Zuordnung Studierender zu Übungsgruppen? f : {, 2, 3} {a, b, c, d} mit a, 2 b, 3 d? sin : R R? Sind eigentlich alle Kombinationen der beiden gerade eingeführten Eigenschaften realisierbar? Also, gibt es:, die weder injektiv noch surjektiv sind?, die injektiv, aber nicht surjektiv sind?, die nicht injektiv, aber surjektiv sind?, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind? Bijektive Funktion Eine Funktion f : A B heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist Anschaulich: Auf jedes Element in B zeigt genau ein Pfeil Das heißt, es gibt eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den Elementen des Definitionsbereichs und denen des Wertebereichs In Tabelle enthält jede Spalte genau ein Häkchen

12 Anmerkung: Ist f : A B bijektiv und ist eine der beiden A und B endlich, so ist es auch die andere, und sie sind sogar gleich groß Begründung: Stellen wir uns f wieder als Relation in Tabellendarstellung vor, dann enthält jede Zeile genau ein Häkchen (da f eine Funktion ist) Da f injektiv sein soll, enthält außerdem jede Spalte höchstens ein Häkchen Und da f auch surjektiv sein soll, enthält jede Spalte mindestens ein Häkchen, folglich genau ein Häkchen Es gibt also genauso viele Häkchen wie Zeilen und genauso viele Häkchen wie Spalten Also gleich viele Zeilen wie Spalten Daraus folgt die obige Anmerkung unmittelbar Schließlich: Die bijektiven sind genau die invertierbaren (umkehrbaren ) Zu jeder bijektiven Funktion f : A B gibt es eine Umkehrfunktion f : B A mit folgenden Eigenschaften: f (f (a)) = a für alle a A f (f (b)) = b für alle b B Beispiel: Die Funktion f : Z Z, z z hat als Umkehrfunktion f : Z Z, z z + Verknüpfung (Komposition) von Gegeben seien zwei f : B C und g : A B Mit f g bezeichnen wir die Verknüpfung oder Hintereinanderausführung von g und f (in dieser Reihenfolge) Diese Funktion ist wie folgt definiert: f g : A C a f (g(a)) Das ist wirklich nur erlaubt, wenn der Definitionsbereich von f gleich dem Wertebereich von g ist Verdeutlichung: A g B f C f g

13 Beispiel: Funktionsverknüpfung 2 g a b c f X Y 3 d Z Beispiel: Funktionsverknüpfung f g 2 3 X Y Z Anmerkungen: Die Bedingungen an die Umkehrfunktion f : B A einer bijektiven Funktion f : A B, zur Erinnerung: f (f (a)) = a für alle a A f (f (b)) = b für alle b B entsprechen genau den folgenden beiden Forderungen: f f : A A, f f : B B, a a b b Außerdem gelten Zusammenhänge wie: (f g) = g f (f ) = f

14 Wir betrachten nun spezielle (nicht mehr ), die auf nur einer Menge A definiert sind Äquivalenzrelation Eine Relation R A A heißt Äquivalenzrelation, falls alle drei folgenden Eigenschaften zutreffen: Reflexivität: für alle a A gilt (a, a) R Transitivität: für jede Wahl von a, a 2, a 3 A, falls sowohl (a, a 2 ) R als auch (a 2, a 3 ) R gilt, so muss auch (a, a 3 ) R gelten Symmetrie: für jede Wahl von a, a 2 A, falls (a, a 2 ) R gilt, so muss auch (a 2, a ) R gelten Beispiel für eine Äquivalenzrelation: R = {(m, n) N 0 N 0 m und n lassen denselben Rest bei ganzzahliger Division durch 3} = {(m, n) N 0 N 0 m mod 3 = n mod 3} Bemerkungen: Überprüfung von Reflexivität und Symmetrie ist meist einfach (wie auch in obigem Beispiel), Überprüfung von Transitivität nicht immer so sehr (selbst wenn sie gilt) Reflexivität und Symmetrie lassen sich auch leicht anschaulich etwa an Hand der Tabellendarstellung interpretieren (Wie?) Weitere Bemerkung: Durch jede Äquivalenzrelation R A A zerfällt die Menge A in sogenannte Äquivalenzklassen Grafische Darstellung der Äquivalenzklassen für das eben betrachtete Beispiel:

15 Formal: Äquivalenzklassen Sei R A A eine Äquivalenzrelation und a A Dann bezeichnen wir als Äquivalenzklasse von a die Menge aller Elemente, die mit a in dieser Relation stehen Notation: Bemerkungen: [a] R = {a A (a, a ) R} Wegen der Symmetrie-Eigenschaft von Äquivalenzrelationen ist es egal, ob in der obigen Definition (a, a ) R oder (a, a) R steht Für Elemente a, a 2 aus A gilt immer entweder [a ] R = [a 2 ] R oder [a ] R [a 2 ] R = Weiteres Beispiel: Äquivalenzrelation Besuch gleicher Übungsgruppe Ingo Selim Kiril Marina Ewa Ingo Selim Kiril Marina Ewa Die Äquivalenzklassen wären gerade die Übungsgruppen-: {Ingo, } {Selim, Marina, } {Kiril, } {Ewa, } Weiteres Beispiel: Äquivalenzrelation Besuch gleicher Übungsgruppe Diskussion: Ingo Selim Kiril Marina Ewa Ingo Selim Kiril Marina Ewa Was würde aus Symmetrie und Transitivität folgen, wenn wir auch noch ein Häkchen bei Selim / Ewa setzen wollten? Und was würde das für die Äquivalenzklassen bedeuten?

16 Beispiel: Nachweis der Eigenschaften einer Äquivalenzrelation Gegeben sei: R = {(m, n) m 0 = n 0 } N0 N 0 wobei q für eine rationale Zahl q 0 das Ergebnis beim Abrunden zur nächsten natürlichen Zahl ist Also zum Beispiel: = 20,7 = 20 Reflexivität: Für alle a N 0 gilt (a, a) R genau dann wenn a 0 = a 0 Das trifft aber offensichtlich stets zu Transitivität: Für jede Wahl von a, a 2, a 3 N 0 soll, falls sowohl (a, a 2 ) R als auch (a 2, a 3 ) R gilt, auch (a, a 3 ) R gelten Die beiden Voraussetzungen bedeuten a 0 = a2 0 und a2 0 = a3 0 Dann gilt ja wohl auch: a 0 = a3 0, also (a, a 3 ) R Symmetrie: ähnlich zu Nachweis der Transitivität Eine weitere spezielle Form von auf einer Menge A: (Partielle) Ordnung Eine Relation R A A heißt (partielle) Ordnung, falls alle drei folgenden Eigenschaften zutreffen: Reflexivität: wie bei Äquivalenzrelationen Transitivität: wie bei Äquivalenzrelationen Antisymmetrie: für jede Wahl von a, a 2 A, falls sowohl (a, a 2 ) R als auch (a 2, a ) R gilt, so muss a = a 2 gelten, dh, a und a 2 müssen dann das gleiche Element aus A sein Anmerkung: Aus der Schule kennen Sie vor allem totale Ordnungen, etwa gemäß der Anordnung von Zahlen auf dem Zahlenstrahl: {(m, n) m n} N 0 N 0 Diese erfüllen auch die Eigenschaften von partiellen Ordnungen, aber noch Zusätzliches darüber hinaus! Bei der Definition einer Ordnung hat sich gegenüber der Definition einer Äquivalenzrelation nur die letzte Eigenschaft geändert (Antisymmetrie versus Symmetrie) Achtung: Antisymmetrie ist nicht das Gegenteil von Symmetrie! Insbesondere erfüllt jede Relation der Form {(x, x) x M} beide Eigenschaften

17 Beispiel: Für jede Menge M ist die inklusion eine Ordnung auf der Potenzmenge P(M) Diskussion: Warum ist das, außer wenn M =, keine Äquivalenzrelation? Ordnungen werden grafisch als sogenannte Hasse-Diagramme dargestellt: Beispiel: P({x, y, z}) und Falls a R a 2 (und a a 2 ) gilt, dann: Inklusion {x, y, z} liegt a unterhalb von a 2 und liegen keine Elemente {x, y} {x, z} {y, z} zwischen a und a 2 (bezüglich R), dann werden beide mit einer Linie verbunden {x} {y} {z} Weiteres Beispiel: Teilbarkeit Für jedes n N 0 ist die Relation {(a, a 2 ) a ist ein Teiler von a 2 } {,, n} {,, n} eine Ordnung Zum Beispiel für n = 6, als Hasse-Diagramm dargestellt:

18 Ein Nicht-Beispiel: Besuch gleicher Übungsgruppe Ingo Selim Kiril Marina Ewa Ingo Selim Kiril Marina Ewa Warum ist Obiges keine Ordnungsrelation? Sowie: (aus Mathematikunterricht 7 Klasse) Viereck Drachen Trapez Parallelogramm symm Trapez Raute Rechteck Quadrat Warum ist Obiges kein Hasse-Diagramm (obwohl es tatsächlich eine Ordnungsrelation auf den Vierecks-Arten gibt)? Zahlenbereiche Wir betrachten folgende spezielle von Zahlen: Natürliche Zahlen mit 0 N 0 = {0,, 2, 3, 4, 5, } Ganze Zahlen Z = {, 5, 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4, 5, }

19 Zahlenbereiche Rationale Zahlen Q: die Menge aller Brüche aus ganzen Zahlen (= Menge aller Kommazahlen mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung) Reelle Zahlen ,75 32, = 0,3333 = 0,3 R: die Menge aller reellen Zahlen (= Menge aller Kommazahlen mit beliebiger auch unendlicher, nicht-periodischer Dezimaldarstellung) =,442 π = 3,459 e = 2,7828 Rechnen mit Beträgen Für jede Zahl z R (oder auch z Q oder z Z) bezeichnet z ihren Absolutwert oder Betrag: { z falls z 0 z = z sonst Beispielsweise: 7 = 7, 0 = 0, 3,5 = 3,5 Anmerkungen: Das ist die gleiche Notation wie M bei, aber nicht damit zu verwechseln Es gelten spezielle (jedoch leicht ersichtliche) Regeln wie a b = a b und a b = a b, aber nicht a + b = a + b und a b = a b Auch: z = z, z = z, z 2 = z 2 = z 2 und k z = k z für k 0