Erster allgemeinbildender Schulabschluss. Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

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1 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Hinweise und Beispiele zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben

2 Schriftliche Prüfung zum ersten allgemeinbildenden Schulabschluss Mathematik Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung

3 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben mpressum Herausgeber: Freie und Hansestadt Hamburg Behörde für Schule und Berufsbildung Hamburger Straße 1, 08 Hamburg Referatsleitung Mathematisch-naturwissenschaftlich-technischer Unterricht: Britta Kieke Fachreferentin Mathematik für Stadtteilschulen: Jennifer Waygood Redaktion: Jirko Michalski Lis Nielsen Anna Catharina Serck Christine Töllner Urheberrechtliche Hinweise zu Änderungen ggü. der 1. Auflage: Vorwort sowie Überarbeitung des Aufbaus, der Formatierung und Schlussredaktion: Jennifer Waygood und Britta Kieke Alle Rechte vorbehalten. nternet: überarbeitete Auflage, Hamburg 018

4 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik nhaltsverzeichnis 1. Vorwort Lösungen zu den Aufgaben ohne Einsatz des Taschenrechners.1 Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen nach Leitideen Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen - leitideenübergreifend Lösungen zu den komplexen Aufgaben mit Einsatz des Taschenrechners.1 Aufgaben zur Leitidee Zahl und zur Leitidee Messen.... Aufgaben zur Leitidee Raum und Form sowie zur Leitidee Messen Aufgaben zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang Aufgaben zur Leitidee Daten und Zufall... 64

5 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben 1. Vorwort Sehr geehrte Kolleginnen und Kollegen, die vorliegende Handreichung versteht sich als Ergänzung zu den Regelungen für die zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben und enthält die Lösungen und shinweise der Übungsaufgaben und Beispiele für Prüfungsaufgaben, wie sie für die zentralen schriftlichen Abschlussprüfungen zum Erwerb des ersten allgemeinbildenden Schulabschlusses gestaltet sein werden. Die Aufgabenstellungen berücksichtigen die im Rahmenplan Mathematik für die Stadtteilschule sowie die in den Bildungsstandards der KMK für den ersten allgemeinbildenden Schulabschluss formulierten zentralen deen (Leitideen) und Anforderungen. Das bisherige Heft mit Beispielaufgaben wurde bereits im Vorjahr vollständig überarbeitet. Mit dem nun in der zweiten überarbeitenden Auflage vorliegenden Heft wurden neben formalen Änderungen und einer Modifikation des Aufbaus ggü. der ersten Auflage nun insgesamt folgende Aspekte gegenüber den vorherigen Beispielaufgaben berücksichtigt: Um dem Prüfling die Möglichkeit zu geben, Kompetenzen jeweils nur zu einer Leitidee zu überprüfen und zu üben, sind aus vorliegenden Prüfungsaufgaben kürzere, ohne Einsatz des Taschenrechners zu bearbeitende Übungsaufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen jeweils zu einer Leitidee erstellt worden. Es sind Tabellen mit den zugehörigen Anforderungen ergänzt worden, die eine Verknüpfung zwischen Aufgaben und Anforderungen herstellen. Hiermit soll ein Überblick über die mathematischen nhalte der Leitideen gegeben werden, welcher allerdings keinen Anspruch auf Vollständigkeit hat. m hilfsmittelfreien Teil stehen dem Prüfling zusätzlich acht vollständige Aufgabensätze zur Verfügung, die Aufgaben zu den verschiedenen Leitideen enthalten. Die Liste der verbindlichen Arbeitsaufträge (Operatoren) wurde dem aktuellen Stand angepasst. Die vorliegenden Aufgaben wurden entsprechend überarbeitet. Die Operatoren sind in den Aufgaben wie in den Prüfungsaufgaben fett gedruckt. Alle abgedruckten Beispiele für Prüfungsaufgaben entsprechen dem Format, das aktuell für die Prüfungen vorgesehen ist. Die komplexen Aufgaben, die mit Einsatz eines Taschenrechners gelöst werden, sind nach Leitideen geordnet, berücksichtigen die aktuellen Schwerpunktsetzungen und enthalten nur noch maximal sechs Teilaufgaben. Soweit möglich wurde auf Anhänge zu Teilaufgaben wie in den Prüfungsaufgaben verzichtet. Notwendige nformationen und Abbildungen wurden größtenteils direkt bei den Teilaufgaben eingefügt. Für die Schülerinnen und Schüler wurde eine Übersichtsseite eingefügt, in der notiert werden kann, welche Aufgabe wann und mit welchem Erfolg bearbeitet wurde. Die Lösungen und shinweise zu den Aufgaben werden in diesem Heft zur Verfügung gestellt. n der Hoffnung, dass die vorliegende Handreichung hilfreich für hre Unterrichtsarbeit und die Vorbereitung hrer Schülerinnen und Schüler auf die schriftliche Abschlussprüfung ist, wünschen wir hnen und hren Schülerinnen und Schülern viel Erfolg! Um die weitere Qualitätsentwicklung der Prüfungsaufgaben sind wir ständig bemüht, gern nehmen wir daher hre Rückmeldungen entgegen. Dem Koordinator und den Mitgliedern der Arbeitsgruppe, die diese Handreichung erstellt haben, möchten wir sehr herzlich für die intensive und zeitaufwendige Arbeit danken. Jennifer Waygood Fachreferentin Mathematik Stadtteilschulen Britta Kieke Referatsleiterin MNT-Referat 4

6 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik. Lösungen zu den Aufgaben ohne Einsatz des Taschenrechners.1 Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen nach Leitideen Leitidee Zahl (Teil 1) Aufgabe Lösung Buchstabe = B 1. 15:5 = 5 C 1. Sandra möchte sich ein Shirt für 9,98 kaufen. Sie hat 5,50 gespart. Wie viel Geld fehlt ihr? 4,48 B = A 1 5. Welche Aufgabe ergibt 7? 49:( + 4) C 1 6. Richtig gerundet sind ,86 Mio. B 1 7. Welche Angabe lässt sich sinnvoll runden? Körpergewicht C 1 8. Welche Zahl ist die größte? 0,5 Mrd. D 1 9. Welche Zahl ist die kleinste? 0, C Die Temperatur fällt von 8 C auf 4 C. Das ist ein Unterschied von 1 C A ( 8) ( 5) = 40 D = 1 B = 11 C = 8 B ( 1) = 1 B 1 5

7 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Zahl (Teil ) Aufgabe Lösung Buchstabe 1. 5,,1 =, D 1. 1, + 0,15 + 0, 65 = C 1. 0,6 0,5 = 0, C :0, = 500 D = B = 4 4 C = 1 6 A : 4 4 = D von 1 Stunde sind 4 min C Gib an, wie viel Prozent vom Kreis gefärbt sind., % A % von 450 g sind 15 g C 1 1. Doppelt so teuer! Das ist eine Erhöhung um 100 % C von 0 Kindern haben kein Handy. Das sind 0 % C Ein Kleid kostet 50. Die Kundin bekommt 0 % Rabatt. Das Kleid kostet jetzt 40 C n einer 9. Klasse sind 18 Schüler 16 Jahre alt. Das sind 60 % der Schüler. Die Klasse hat also 0 Schüler D 1 6

8 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Leitidee Messen Aufgabe Lösung Buchstabe cm = 40 m C 1.,5 kg sind mehr als 450 g A 1. 0,07 km = 7 m B 1 4. Ein Volumen wird angegeben in Litern C 1 5. Eine Landstraße hat eine ungefähre Breite von 8 m B 1 M. Waygood 6. Der Winkel β hat in etwa eine Größe von 60 C 1 7. Ein Zug fährt durchschnittlich 00 km/h. Nach 75 min ist er ungefähr 50 km gefahren C 1 8. Abfahrt: :4 Uhr Fahrzeit: 4:5 h Die Ankunft ist dann um 9. Ein Rechteck hat die Seiten a = 9 cm; b = 1 cm. Sein Umfang beträgt 0:07 Uhr B 1 4 cm D Ein Dreieck mit der Grundseite 1 m und der Höhe 5 m hat den gleichen Flächeninhalt wie ein Dreieck mit der Grundseite 15 m und der Höhe 4 m D Bei einem Dreieck mit α = 40 und γ = 50 istβ = 1. n einem Parallelogramm ist Winkel α= 44 groß. Bestimme die Größe von β. 1. a = 8 cm; b = 6 cm Die Länge der Seite c beträgt 14. Ein Würfel hat die Kantenlänge a. Seine Oberfläche beträgt dann 15. Das Volumen eines Würfels beträgt 64 cm. Die Länge einer Kante des Würfels beträgt 90 A 1 16 C 1 10 cm B 1 6a B 1 4 cm D 1 7

9 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Raum und Form Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Ein Quadrat ist eine Fläche A 1. Dies ist ein Parallelogramm A 1. Ein Würfel hat 1 Kanten C 1 4. Welches Netz ergibt einen Würfel? C 1 5. Bei einem rechtwinkligen Dreieck gilt immer der rechte Winkel ist der größte D 1 6. Die Anzahl der Symmetrieachsen bei einem Quadrat beträgt 4 D 1 7. Ein Quader ist auch ein Prisma B 1 8. m stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als Zu einem Prisma passt folgendes Netz B 1 A Ein quadratisches Prisma hat als Seitenflächen 4 gleiche Rechtecke C Die Anzahl der Kanten beträgt 6 D 1 1. Ein Kegel hat folgende Form B 1 1. Die Diagonalen im Rechteck sind immer gleich lang 14. n einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Winkel immer gleich groß C 1 C Zu einem Quadrat fehlt der Punkt mit den Koordinaten P( ) C 1 8

10 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Leitidee Funktionaler Zusammenhang Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Wenn 4 Steine 4 kg wiegen, dann wiegen 9 Steine der gleichen Sorte 54 kg B 1. 8 LKW fahren einen Müllberg in Tagen weg. Wie lange bräuchten 4 LKW? 6 Tage C 1. Vier Dosen Hundefutter kosten 1,96. Der Preis für 9 Dosen beträgt 4,41 C 1 4. Pumpen benötigen Stunden, um einen Keller leer zu pumpen. Eine Pumpe allein benötigt 6 Stunden A 1 5. x + y + x + x + y = x + y B 1 6. Die Gleichung x = 4 hat die Lösung x = 1 A 1 7. x =,5 ist die Lösung der Gleichung 8x = 0 D x = 4x + 4ergibt umgeformt x = 7 A 1 9. ( x + ) = x + 6 B Eine Kerze von 5 cm Höhe brennt gleichmäßig ab. Welcher Graph passt dazu? Höhe in cm Zeit in min D Welche Graphik zeigt die Darstellung einer linearen Funktion? C 1 1. Der Term y = x passt zu folgender Aussage Lena ist dreimal so alt wie Tim D 1 1. m Rechteck ist eine Seite dreimal so lang wie die andere. Der Umfang lässt sich mit folgendem Term berechnen u = 8x D Ein zylinderförmiger Tank wird mit unterschiedlich starkem Wasserzulauf gefüllt. Es passt der Graph A Welcher Graph beschreibt die Kosten einer Telefonflatrate? x entspricht der Zeit; y entspricht den Kosten in Euro B 1 9

11 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Leitidee Daten und Zufall Aufgabe Lösung Buchstabe 1... Welches Diagramm passt zu folgender Tabelle: Klasse Siege 9a 9b 9c 5 Der FC St. Pauli hat von 4 Spielen 1 gewonnen. Das ist eine absolute Häufigkeit von 0 Schüler wurden befragt, wie viel Zeit sie für Hausaufgaben pro Woche brauchen: Stunden Schüler m Durchschnitt macht jeder Schüler Stunden Hausaufgaben. A 1 1 A 1,5 B von 5 Schülern haben ihre Hausaufgaben nicht gemacht. Das entspricht einer relativen Häufigkeit von von 5 Schülern haben Ebru zur Klassensprecherin gewählt. Das ist eine relative Häufigkeit von 8 % D 1 0,6 C 1 6. Der Mittelwert von 6 und 10 ist 8 C Theo ist 7 Jahre, Max 14 Jahre und Kai 18 Jahre alt. Gib die Spannweite an. Die Schuhgrößen der Familie Görtz sind 7,, 9 und 4. Bestimme den Zentralwert. 11 Jahre B 1 5,5 C 1 9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man einen der vier Buben aus einem Kartenspiel mit Karten? 10. Die Wahrscheinlichkeit, von 4 Streichhölzern das kürzeste Streichholz zu ziehen, beträgt 1,5 % C 1 5 % C 1 10

12 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Leitidee Daten und Zufall Aufgabe Lösung Buchstabe 11. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Spielwürfel eine gerade Zahl zu würfeln? 1. Beim 1. Wurf mit einem normalen Spielwürfel fällt eine. Die Wahrscheinlichkeit, beim. Wurf eine zu würfeln, beträgt 1. Die Wahrscheinlichkeit, aus den Zahlen von 1 bis 49 eine Zahl zu ziehen, die durch 5 teilbar ist, beträgt 14. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Spielwürfel keine 4 zu würfeln? C 1 A 1 C 1 D n einem Säckchen liegen 15 Buchstaben des Wortes ABSCHLUSSARBET. Welcher Buchstabe wird mit einer Wahrscheinlichkeit 1 5 gezogen? S C 1 11

13 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben. Aufgaben zur Überprüfung der Kompetenzen - leitideenübergreifend Erstes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Erstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. 1,0 m sind 10 cm C = 5 % B = B 1 4. Heute ist der 5. Mai. n genau vier Wochen ist der 0. Juni C = 50 D :10= 7,8 C 1 7. ( 8 ) = 1 A 1 8. Eine Münze wird geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet sie auf der Seite mit der Zahl? % vom Taschengeld sind 5 Euro. Wie hoch ist das Taschengeld? 50 % C 1 50 Euro D Stunden sind 0 min C ,14:100= 56,4714 A 1 1. Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 6 m. Wie lang ist die Seite a des Quadrats? = a = 6 m B 1 D Dies ist kein Drachen C ,5a+ 1,5=,5 Wie heißt die Lösung für a? a= 4 D Eine Tonne entspricht kg C a = c b = 4 c = 5 cm B 1 Wie lang ist die Seite c? 1

14 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Erstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe g Käse kosten,0 Euro. Zwei Kilogramm Käse kosten 19. Eine Schulstunde dauert 45 Minuten. Das sind 0. x+ = x+ 5 Berechne x % aller Jugendlichen tragen Turnschuhe. Das ist. Ein kreisförmiges Beet hat einen Radius von m. Wie groß ist ungefähr der Flächeninhalt des Beetes? 46 Euro C 1 0,75 h D 1 x= 1 A 1 jeder Zweite D 1 1,5 m C 1. Die Wahrscheinlichkeit, aus den Zahlen von 1 bis 49 eine Zahl zu ziehen, die durch 9 teilbar ist, beträgt 5 49 B 1 4. Das Volumen eines Würfels beträgt 0,15 cm. Dann ist die Länge der Kante a des Würfels 5. Der abgebildete Körper sieht in der Seitenansicht von rechts so aus: 0,5 cm A 1 C ist die Lösung von 6+ D 1 7. Die Funktion mit der Gleichung y= x+ 4 hat die Steigung 8. Wird von 0,6567 die Zahl 0,00 subtrahiert, dann ist die Lösung 9. Für den Flächeninhalt des schwarzen Kreisausschnittes gilt 0. Der Wasserpegel in einer Schleuse steigt um cm pro Sekunde. Der Wasserspiegel steigt dann um einen Meter in 1. Von 400 Äpfeln sind 0 verfault. Das sind A 1 0,657 B 1 π r A= B sec B 1 5 % A 1 1

15 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Erstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe. Mit a + b berechnet man den Umfang eines. Noten eines Tests: 1; 1; 1; ; ; ; ; ; 4; 4. Der Durchschnitt liegt bei Rechtecks B 1,4 B ,15 ist der fünfte Teil von 75,75 A 1 nsgesamt 4 BWE 8 Zweites Beispiel - Erwartungshorizont Lösung: Zweites Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = C = C 1. (4 8) 0 = 0 B = 50 % A 1 5.,4 m = 40 cm D = A 1 7. Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit einem normalen Spielwürfel eine 6 zu würfeln. 1 6 A ( 00) = A ,1 ist kleiner als 1,11 D : = 0,5 D Der Temperaturunterschied zwischen 5 C und 7 C beträgt 1 C B 1 14

16 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Zweites Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Die Wahrscheinlichkeit, von 4 Streichhölzern nicht das kürzeste Streichholz zu ziehen, beträgt 75 % D 1 1. Abfahrt eines Busses in Hamburg 8:50 Uhr, Ankunft in Berlin 1:10 Uhr. Der Bus fährt h 0 min A Ergänze: 4 = 4 18 A Ein Kegel hat Flächen D : = B Für ein gleichschenkliges Dreieck gilt zwei Winkel sind gleich groß C = 16 C Bei einem Dreieck mit α= 60 und γ= 50 ist β = 70 B 1 0. Ein Rechteck mit den Seitenlängen a =,5 cm und b = 6 cm hat den Flächeninhalt 15 cm D 1 1. Ein rechteckiges Grundstück mit einer Länge von 40 m und einer Breite von 0 m braucht einen Zaun mit der Länge von 10 m C 1. Eine Jeans kostete 10. Der Preis wird um 10 % reduziert. Die Jeans kostet jetzt 108 C 1. 4 von 400 Sportlern bekommen eine Medaille. Das sind 1 % A 1 4. Welcher Prozentteil vom Kreis ist eingefärbt? 1,5 % C 1 5. Schüler putzen bei gleichbleibender Fegeleistung ihren Klassenraum in 15 Minuten. Ein. Schüler hilft mit. Sie brauchen nun 10 Minuten C 1 15

17 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Zweites Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 6. Zum Volumen eines Körpers passt die Maßeinheit m C 1 7. Der Satz des Pythagoras kann bei jedem rechtwinkligen Dreieck angewandt werden C 1 8. Gib den Bruchteil des Rechtecks an, der grau gefärbt ist. 1 4 A 1 9. Entscheide, welcher Füllgraph hier skizziert wird: ein zylinderförmiges Glas wird mit Limonade gefüllt B ( x+ ) = 8x + 1 B 1 1. Ein Motoradfahrer fährt mit einer Geschwindigkeit von durchschnittlich 65 km/h eine Strecke von 70 km. 4 Stunden B 1 Er benötigt ca.. π ist dasselbe wie u : d D 1. 4x 10 = x = B 1 4. Ein Wettläufer auf Position überholt den Wettläufer auf Position und ist somit. C 1 nsgesamt 4 BWE

18 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Drittes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Drittes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = D 1. Es ist 15:40 Uhr. 60 min später ist es 16:40 Uhr D 1. dm = 0 cm B 1 4. Dieses Rechteck hat einen Flächeninhalt von 1 cm B 1 5. Dieses Rechteck hat einen Umfang von 14 cm C 1 6. Wie viele Flächen hat ein Dreiecksprisma? 5 C 1 7. Dieser Winkel ist ein rechter Winkel A ( 100) = D 1 9. Der Pfeil zeigt auf 10. Die Lösung der Gleichung 0= 10x+ 10 ist 0, B 1 x = 1 C Der Mittelwert aus diesen Daten A 1 kann berechnet werden mit 17

19 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Drittes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. 0 Schüler eines Jahrgangs spielen gerne Handball. Das ist eine absolute Häufigkeit von 0 B 1 1. Gestern zeigte das Thermometer 5 C an, heute zeigt es 1 C. Das ist ein Unterschied von 6 C C = 1 C Kugeln Eis kosten,60. Dann kosten 5 Kugeln 6,00 C Ein Würfel ist auch ein Quader D : 00 = 0 A Der Punkt A hat die Koordinaten ( 4 ) C = 4 4 C 1 0. Eine Aufteilung in 50 %, 0 %, 0 % passt zu folgendem Diagramm B 1 1. Martins altes Handy kostete 150. Das neue Handy ist 10 % teurer. Es kostet also 165 D 1. Folgendes Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 50 % mit einem normalen Spielwürfel eine gerade Zahl werfen A 1. Für dieses Dreieck gilt c ² = 5 cm² B 1 18

20 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Drittes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 4. Wie viel wiegt eine Getränkedose mit 0 ml nhalt ungefähr? 50 g C 1 5. Eine Raute ist auch ein Parallelogramm A 1 6. Es gilt x= y z. Wenn x= 18 und z= 6 ist, dann ist y= C 1 7. Zu der linearen Funktion mit der Funktionsgleichung y= x+ passt folgender Graph A 1 8. Die Lösung der Gleichung x= x+ 8ist x = 4 C 1 9. n einem Säckchen befinden sich eine gelbe und drei rote Kugeln. Es wird eine gelbe Kugel gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Ziehen eine rote Kugel zu ziehen, beträgt 1 D 1 0. Ein Würfel hat einen Oberflächeninhalt von 4 cm. Die Kantenlänge beträgt cm A 1 1. Die Summe der nnenwinkel in einem Trapez beträgt 60 D 1. n einem Säckchen befinden sich Kugeln mit den Buchstaben M-A-T-H-E-M-A-T-- K. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein A zu ziehen? 10 A 1. Der Graph passt zu folgender Funktionsgleichung y= 5 A 1 4. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Spielwürfel eine gerade und durch teilbare Zahl zu würfeln, beträgt 1 6 B 1 nsgesamt 4 BWE

21 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Viertes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Viertes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = C 1. m= 00 cm B 1. Wie viele nnenwinkel hat ein Trapez? 4 B = 50 A 1 5. Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von 6 cm A 1 6. Es ist 1:0 Uhr. 40 min früher war es 11:40 Uhr A 1 7. n einem Säckchen sind 8 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 8. Die Wahrscheinlichkeit, die Kugel mit der 1 oder 8 zu ziehen, beträgt 8. 1 = C 1 B 1 9. Dieses Diagramm ist ein Streifendiagramm C Gestern zeigte das Thermometer 15 C an, heute 4C. Das ist ein Unterschied von 11C B Ein Volumen kann angegeben werden in Kubikmetern A 1 1. Die Lösung der Gleichung x+ 7= 15ist x= 4 C 1 1. Welche Abbildung zeigt einen spitzen Winkel? D Folgender Körper ist ein(e): Halbkugel D ( 60) ( ) = 180 D kg Bananen kosten 7,50. Dann kosten kg 4,50 C 1 0

22 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Viertes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe von 80 entsprechen 4 C Welche Zahl ist die größte? 4,015 C Ein Auto soll 6 00 kosten. Der Käufer bekommt 5 % Rabatt. Es kostet nun B 1 0. n einem Sack befinden sich 1 Kugeln: rote und 9 blaue. Welches Ereignis hat eine Wahrscheinlichkeit von 5 %? eine rote Kugel ziehen A 1 1. Ein Quadrat ist auch ein Rechteck D 1. Den Umfang eines gleichschenkliges Trapezes berechnet man mit folgendem Term. Zur Funktionsgleichung y= x passt folgender Graph a + b + c D 1 D 1 4. Folgendes Glas ist teilweise mit Wasser gefüllt. Es wird Wasser gleichmäßig nachgefüllt. x entspricht der Zeit, die beim Nachfüllen vergeht. y entspricht der Wasserhöhe. Welcher Graph passt? M. Waygood B = 1 C 1 6. Es wird mit einem normalen Spielwürfel eine 6 gewürfelt. Die Wahrscheinlichkeit, beim nächsten Wurf eine 6 zu werfen, beträgt 1 6 A 1 7. Ein Auto hat eine Breite von etwa 180 cm B 1 8. Auf der Geraden mit der Funktionsgleichung y= x+ 5 befindet sich folgender Punkt 9. Wie viele Flächen hat eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche? 0. Es gilt: z= a+ b. Wenn z= 15 und b= 18 ist, dann ist a= P( 1 8 ) A 1 4 B 1 C 1 1

23 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Viertes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Wie lang ist die Diagonale des folgenden Rechtecks? 61 cm B 1. Ein Quader hat ein Volumen von 600 Dazu passen die Seitenlängen. Der Durchschnitt eines Zeugnisses wird berechnet, indem man cm. a= 0 cm b= 1 dm c= cm die Summe der Noten durch die Anzahl der Fächer teilt A 1 A 1 4. Der Radius eines Kreises wird verdoppelt. Der Flächeninhalt ist dann 4 mal so groß C 1 nsgesamt 4 BWE Fünftes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Fünftes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = 60 B 1. 1, 1,= 1,44 C km = 50 m B kg = 0,050 t D 1 5. Die Winkelsumme eines Rechtecks beträgt 60 C ,07 km = 7 m C 1 7. x = 61. Dann ist x = 19 C : 80 = B , = 4 A 1

24 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Fünftes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 10. Eine Höhe im Dreieck steht senkrecht auf der zugehörigen Grundseite A gleiche Steine wiegen 40 kg. Dann wiegen 10 Steine der gleichen Sorte 50 kg B 1 1. Ayse hat 117 Schulden auf dem Konto. n einem Jahr vervierfacht sie ihre Schulden auf 468 C 1 1. Ein rechteckiges Zimmer ist 1,96 m breit und 4,57 m lang. Die Größe des Flächeninhalts des Bodens beträgt ca. 9 m C Pumpen benötigen Stunden, um einen Teich leer zu pumpen. Eine Pumpe allein benötigt 6 Stunden A Eine Raute hat immer 4 gleich lange Seiten D = D von 80 kg sind kg C Die Gleichung,5x 8 = 1 hat die Lösung x = 8 D Welche Dreiecksart gibt es nicht? Dreieck mit zwei rechten Winkeln B 1 0. Ein Zug fährt durchschnittlich 50 km/h. Nach 90 min ist er ca. 75 km gefahren D 1 1. kein Netz. D 1 Dies ist. Die Summe der nnenwinkel in einem Viereck beträgt 60 B 1

25 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Fünftes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe. Aus einer gefüllten Badewanne wird Wasser abgelassen. Welcher Graph passt? x entspricht der Zeit; y entspricht der Füllhöhe 4. Setze die Reihe sinnvoll fort: 1, 4, 9, 16, 5. Ein halber Liter Milch wird auf Becher verteilt. n jedem Becher sind dann A 1 5 C 1 50 ml A 1 6. Murat hat folgende Noten Mathe: 1 Englisch: Deutsch: Der Mittelwert wird berechnet mit 1+ + D 1 7. Welche Aussage ist falsch? jeder Quader ist ein Würfel A 1 8. Eine Bakterienart verdoppelt sich alle 6 Stunden. 0 Bakterien vermehren sich innerhalb eines Tages auf 9. Ein Quadrat hat die Seitenlänge a. Sein Umfang beträgt dann 0. Das Volumen eines Quaders mit der Länge 4 m, der Breite 0,5 m und der Höhe 0,5 m beträgt 0 Bakterien D 1 0,5 4a B 1 m D 1 1. Die beiden Diagonalen eines Quadrates sind senkrecht zueinander D 1. Ein Auto kostet Die im Preis enthaltene Mehrwertsteuer von 19 % beträgt ungefähr B 1. 0,1 % Fett in 00 g Jogurt entsprechen 0, g Fett B 1 4. Welches der Dreiecke ist rechtwinklig? a = cm, b = 4 cm c = 5 cm D 1 nsgesamt 4 BWE

26 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Sechstes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Sechstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = D 1. 7, == D 1. 49,05 100= D ,5:5= 15,1 A : 1, = 10 B = 54 D = 146 A = A :100= 0,46 B ( ): 4= 1 B = 64 B A ,01 ist um 0,1 kleiner als 14,11 A = 0 % C von 1 l sind 750 cm A Stunden sind 10 min C Wer Monate alt ist, ist etwa 80 Jahre alt B g sind weniger als,45 kg A Auf einem Sparkonto sind 484. Wie oft kann man 160 abheben und nicht ins Minus geraten? dreimal C 1 5

27 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Sechstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 0. Ein Pflasterstein misst 5 cm mal 50 cm. Für einen Quadratmeter Pflasterung braucht man 8 Steine D 1 1. An einem Langlauf nehmen 900 Menschen teil. 15 % erreichen das Ziel nicht. Wie viele Personen kommen ins Ziel? 765 C 1. Ein Preis von 4,50 wird um 10 % erhöht. Der neue Preis ist 4,95 B 1. Sonderangebot: 40 % Rabatt auf Hosen zu je 90. Eine Hose kostet jetzt 54 C 1 4. Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck hat immer zwei 45 -Winkel D 1 5. Ein Rechteck hat die Längen a = cm und b = 4 cm. Welche Eigenschaft trifft nicht zu? die Diagonalen stehen senkrecht zueinander A 1 6. n einem Rechteck mit ganzzahligen Seitenlängen beträgt der Flächeninhalt 0 m. Der Umfang könnte dann sein 4 m B von 10 befragten Schülern sind für die neue Pausenordnung. Das sind etwas mehr als 50 % C 1 8. Ein Fahrradfahrer fährt gleichmäßig mit 0 km/h. Welches Weg Zeit Diagramm passt? D 1 9. Die Größe des Winkels α beträgt 84. Gib die Größe von β an. 96 B 1 0. n einem Säckchen liegen 9 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 9. Die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Ziehen eine gerade Zahl zu erhalten, beträgt 4 9 C 1 6

28 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Sechstes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Drei verschiedene Ziffern liegen verdeckt auf dem Tisch. Sie werden mehrfach nacheinander gezogen und nebeneinander gelegt. Wie viele unterschiedliche dreistellige Zahlen können entstehen?. Die schwarz gefärbte Fläche hat einen Anteil von. 100 Autos werden kontrolliert. Jedes zwanzigste Auto hat einen Mangel. Das sind 6 C 1 70 % B 1 5 % A 1 4. Denke dir eine Zahl a aus, addiere, multipliziere mit und subtrahiere 6. Das Ergebnis ist das Doppelte von a B 1 nsgesamt 4 BWE Siebtes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Siebtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe = 4 C = 56 A ( 11) = 495 D = 9 7 A = 1 D = 7 D , = D ,79:100= 0,0679 C 1 9., = C Welche Figur ist zu 75 % eingefärbt? B 1 7

29 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Siebtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 11. Der Umsatz einer Firma hat sich verdoppelt. Das ist eine Steigerung um 100 % B 1 1. Welche Aussage ist richtig? das Rechteck hat den kleineren Umfang B 1 1. Was gilt nicht? der Umfang vom Parallelogramm ist doppelt so groß wie beim Dreieck D Ein Rechteck mit den Seiten a = 6 cm und b = 1 cm hat denselben Umfang wie ein Quadrat mit der Seite c = 9 cm A Die Anzahl der Symmetrieachsen in einem gleichschenkligen Trapez ist 1 B Ein Rechteck hat die Seiten a = 5 cm, b = 10 cm. Verkürzt man b um 10 %, so wird der Flächeninhalt 10 % kleiner B Ein Kreis hat den Radius a. Sein Umfang ist dann π a B l = 0,15 dm C Ein Langläufer läuft mit gleichbleibender Geschwindigkeit von m s 10 Minuten. Er schafft in m C 1 0. Eine Uhr zeigt 1:1 Uhr an. 50 Minuten später ist es 14:0 Uhr C 1 1. Am 15. Geburtstag hat man ungefähr so lang gelebt Tage D 1. Ein kugelförmiger Tank wird bei gleich bleibendem Zulauf mit Wasser gefüllt. Welcher Graph passt? D 1 8

30 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Siebtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe. Eine 10 cm hohe Kerze brennt gleichmäßig ab. Bei einer Höhe von cm wird sie ausgeblasen. Welcher Graph passt? A = 16 B 1 5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem normalen Spielwürfel eine ungerade Zahl zu würfeln? 6 C 1 6. Eine Hose kostet 10. Sie wird 15 % billiger. Sie kostet dann 7. Ein Würfel hat eine Oberfläche von O= 96 cm. Sein Volumen ist 10 C 1 64 cm B 1 8. Ein Halbkreis hat den Radius a. Sein Flächeninhalt ist dann π a A 1 9. Ein Tag hat s C % der Autofahrer fahren zu schnell vor Schulen mit Tempo 0! Das sind 4 von 5 Fahrern C 1 1. Die Teilnehmerzahl bei einem 10 km-lauf hat sich verzehnfacht. Das ist eine Steigerung um. Ein Rechteck mit den Seiten a = 4 cm, b = 9 cm ist flächengleich mit einem Quadrat mit. Eine Pause wird bei der Besteigung eines Berges eingelegt. Es passt der Graph 900 % D 1 c = 6 cm A 1 D 1 4. Die Größe des Flächeninhalts von einem a+ c h C 1 Trapez wird berechnet mit A = nsgesamt 4 BWE

31 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Achtes Beispiel Erwartungshorizont Lösung: Achtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 1. Die kleinste Zahl ist 0,066 A = 94 B 1. Am längsten sind m D 1 4. Die Winkelgröße beträgt 90 B 1 5. Ein Parallelogramm ist ein Viereck B ,5 Stunden entsprechen 0 min D m steht für eine Strecke A 1 8. Diesen Körper nennt man Kegel D 1 9. Ein Rechteck hat 4 rechte Winkel C Welcher Winkel ist ein stumpfer Winkel? A Zwei Konzerttickets kosten 46. Dann kosten Konzerttickets 69 B % von 5 sind 0,50 C = 1 + A

32 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösung: Achtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 14. Sportart Fußball Kinder Handball Hockey 4 Kinder spielen Handball B 1 Der Tabelle kann man die folgende nformation entnehmen 15. Milad hatte 150 Guthaben auf seinem Konto. Eine Woche später hat er 100 Schulden. Das ist ein Unterschied von 50 C = 101 C Es wird mit einem normalen Spielwürfel einmal gewürfelt. Ein unmögliches Ereignis ist 18. Bei einem Maßstab von 1:100 sind cm auf der Karte das Würfeln einer 8 00 cm in der Wirklichkeit D 1 C ,06 m = 0,6 dm B 1 0. Ein normaler Kugelschreiber hat eine Länge von ungefähr 14 cm B von Kindern trinken gerne Kakao. Das entspricht einer relativen Häufigkeit von. 1 1 = 4 4. Dies ist das Netz eines Quaders. C 1 A 1 C 1 1

33 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösung: Achtes Beispiel Aufgabe Lösung Buchstabe 4. n einem Beutel befinden sich blaue und grüne Kugeln. Es wurden bereits grüne Kugeln gezogen und nicht wieder zurückgelegt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Beim nächsten Ziehen ist die Wahrscheinlichkeit höher, eine blaue Kugel zu ziehen als eine grüne. A 1 5. Wie viele Symmetrieachsen hat ein Quadrat? 6. Aus einer gefüllten Badewanne wird Wasser abgelassen. Welcher Graph passt? x entspricht der Zeit; y entspricht der Füllhöhe 4 D 1 A 1 7. Der Mittelwert ist der Durchschnitt A 1 8. Die Wahrscheinlichkeit für schwarz beträgt bei folgendem Glücksrad 1 8 C 1 9. Die Lösung der Gleichung 6 0 x = ist x= C 1 0. Den Unterschied zwischen größter und kleinster Zahl einer Umfrage nennt man Spannweite D 1 1. Auf der Geraden mit der Funktionsgleichung y= x+ 5 befindet sich folgender Punkt P( 1 8 ) A 1. n folgendem Dreieck hat c die Länge (in cm) A 1. Welche der Gleichungen ist richtig? = 8 D 1 4. Den Flächeninhalt eines Kreises mit einem Durchmesser von 6 cm berechnet man wie folgt π A 1 nsgesamt 4 BWE

34 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik. Lösungen zu den komplexen Aufgaben mit Einsatz des Taschenrechners.1 Aufgaben zur Leitidee Zahl und zur Leitidee Messen Schulden (Leitidee Zahl) Lösungsskizze: Schulden Zuordnung a) = Etwa Jugendliche haben Schulden. b) = nsgesamt haben diese 1 % der Jugendlichen im Alter von 1 bis 4 Jahren etwa Schulden. Dies entspricht etwa Mrd. oder, Mrd. Schulden. c),99 5= 414,96 Die jährlichen Kosten betragen 414,96. d) Angebot A: 00 1,05+ 5= 5 Die Gesamtkosten bei Angebot A betragen 5. Angebot B: 00 1,06= Die Gesamtkosten bei Angebot B betragen. Angebot C: 195 1= 40 Die Gesamtkosten bei Angebot C betragen 40. Petra sollte das Angebot B wählen. 1 4 e) :60= 16,6 Harun hat nach 17 Monaten die Schulden zurückgezahlt = 40 Die letzte Rate beträgt f) = = Roland hat Schulden. 4 nsgesamt BWE

35 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Wasserverbrauch (Leitidee Zahl) Lösungsskizze: Wasserverbrauch a) Gesamtverbrauch: = 14. Der Verbrauch einer Person pro Tag beträgt 14 Liter. 14 7= Der Verbrauch einer Peron in einer Woche liegt bei Litern. b) 80 % von 46 = = 6,8 Stefanie verbraucht täglich durchschnittlich 6,8 Liter zum Baden/Duschen. 6,8 7 = 57,6 n der Woche verbraucht Stefanie durchschnittlich 57,6 Liter. c) Durchschnittlicher Verbrauch: 5 4= = 0,7= 70 %. 100 % 70 % = 0 % Der Wasserverbrauch von Familie Kaya liegt 0 % unter dem durchschnittlichen Verbrauch. d) 80,8 = 4, m Wasser kostet 4,51. 1 m 1000 Liter 4,51:1 000= 0, Liter Wasser kostet etwa 0,00451 bzw. 0,45 ct. Folgefehler sind zu beachten. e) Diagramm passt zur Abbildung 1. Begründungen (pro Begründung 1 P, maximal P): Säule für Baden und Duschen ist zu niedrig. Säule für Toilettenspülung ist zu hoch. Säule Wäschewaschen/Raumreinigung fehlt. Andere Begründungen möglich. 1 4

36 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Wasserverbrauch f) Für die grafische Darstellung sind nur zwei der drei fehlenden Werte für Geschirrspülen, Wäschewaschen/Raumreinigung und Sonstiges zu bestimmen. Der dritte ergibt sich von selbst. 8 G: 60 0, ,1 14 = Wä/R: 60 57, ,9 14 = S: , ,7 14 = Kreisdiagramm: Toleranz: ± 1 nsgesamt BWE

37 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Handy-Speicher (Leitidee Zahl) a) = 4 Lösungsskizze: Handy-Speicher Es sind noch 4 GB vom Speicher frei. b) c) Musik Fotos Video Programme andere Genauigkeit, Sauberkeit, Vollständigkeit, richtiges Eintragen 5 p W= G 100 : G 100 W p= 100 G 4 p= p= 6,5 Vom Gesamtspeicher sind noch 6,5 % frei. d) Speicher für Musik und Video: = 4 Drei Viertel des Speichers für Musik und Video: = < = 64 4 Die Aussage stimmt nicht. Auch andere Begründungen sind möglich. 4 e) 4 104= : = 6, Ein Musiktitel nimmt etwa 7 MB Speicher ein. f) Ein Titel könnte 4 min dauern, d.h.: = Bei 4 min Spielzeit eines Titels ergibt sich eine Gesamtspielzeit von min : 60 = Das entspricht h. : 4 = 1,8 Die Gesamtspielzeit beträgt demnach rund 14 Tage. Andere Schätzungen sind möglich. 1 nsgesamt BWE

38 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Kartoffelchips (Leitidee Zahl und Leitidee Messen) Lösungsskizze: Kartoffelchips Zuordnung a) 1 t = 1000 kg t = kg : =0, m Durchschnitt verzehrt jeder Deutsche rund 0,876 kg Kartoffelchips im Jahr. Andere Lösungswege sind möglich. 4 b) 0 5 = 10, ,5= 4,5 100 g Jo-Chips-Light enthalten 4,5 g Fett. Andere Lösungswege sind möglich. c) Kaja bezieht sich nur auf den absoluten Preis und nicht auf den Preis pro 100 g. Vergleicht man die Preise pro 100 g, stellt man fest, dass Jo-Chips günstiger sind: Jo-Chips 00 g,0 100 g 1,15 Jo-Chips light 150g 1,99 50g 0,66 100g 1,6 Timo hat also Recht, was den relativen Preis angeht. Kaja hat Recht, wenn der absolute Preis betrachtet wird. Andere Begründungen sind möglich. 4 1 d) d 7,5 r = = =,75 AMantel π π = r h =,75 = 541, ABoden A Mantel π = r π =,75 = 44, A = 541, , Boden = 586,10... Die Pappe hat einen Flächeninhalt von etwa 586 cm

39 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze: Kartoffelchips Zuordnung e) Die Berechnung über den halben Liter: 0,5 Liter 500 cm π π V= r h 500=, 75 h :(,75 ) 11, = h Die Wasserhöhe in der Dose beträgt etwa 11, cm. h = = 11,5 Die Dose ist in etwa zur Hälfte gefüllt. Es fehlen nur mm. π Die Berechnung über die halbe Höhe: V V V = π r h = π,75 11,5 = 508, Wird die Dose zur Hälfte mit Wasser gefüllt, entspricht das etwa einem halben Liter. Andere Lösungswege sind möglich. 4 nsgesamt BWE

40 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Hamburgs U-Bahn (Leitidee Zahl und Leitidee Messen) Lösungsskizze: Hamburgs U-Bahn Zuordnung a) 17,5 6,6,7 4,7=,5 Die Strecke zwischen St. Pauli und Rathaus ist,5 km lang.,5 km = 500 m Die Streckenlänge beträgt 500 m. b) 17,5:= 0, Der durchschnittliche Abstand beträgt etwa 761 m. 1 c) Der Zuwachs beträgt: 4, 4,8= 17,5 17,5 100 = 70, ,8 Der prozentuale Zuwachs liegt bei etwa 71 %. d) 9,60 Meter entsprechen 960 Zentimetern. 960:87= 45, Das Modell ist also maßstabsgerecht. Andere Rechenwege sind möglich. Wenn bei richtiger Rechnung entschieden wird, dass der Maßstab nicht eingehalten wird, ist die volle Punktzahl zu geben. e) 8,90, 4, 46= 9,6656 Das Volumen beträgt etwa 9,67 Wenn auf 0 m. m gerundet wird, gibt es die volle Punktzahl. 1 f) Die Grundfläche beträgt: 8,90,4 = 9,6 95 % davon sind: 9,6: = 88,69 Platzbedarf sitzend: 96 0,6 = 57,6 Platz zum Stehen gesamt: 88,69 57,6 = 1,09 Platz pro Stehplatz: 1,09:18 = 0,49... Für einen Stehplatz sind ca. 0,4 m eingeplant. nsgesamt BWE

41 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Pi und Pizza (Leitidee Zahl und Leitidee Messen) Lösungsskizze: Pi und Pizza Zuordnung a) Rundung auf 4 Nachkommastellen Hundertstel π,1416,14 b) u r π = π = r u u d π = π = d u Begründung kann über die Bedeutung der Formel, dass der Quotient aus Umfang und Durchmesser die Kreiszahl Pi ergibt. Alternative Begründungen möglich. 1 c) Flächenberechnung: d,4 AKreis = π r ; r= ; r= = 1, A = π 1, = 4,5... Kreis Die Größe der Grundfläche der Party-Pizza beträgt etwa 4,5 m Riesenpizza 1, 57 =, Party-Pizza 4,5... = oder: Party-Pizza 4, = = 0,59... Riesenpizza 1, 57 Vergleicht man die beiden Pizzaflächen, so zeigt sich, dass Polly Recht hat. Falls die Aussage durch die genauen Ergebnisse der Rechnungen verneint wird, soll die volle Punktzahl gegeben werden. Auf Folgefehler bei der Berechnung des Flächeninhalts der Party-Pizza ist zu achten. d) gegeben: A = 1,57 m Formel: ARechteck = a b gesucht: a und b Eine mögliche Lösung (von zahlreichen Möglichkeiten) lässt sich durch Probieren finden. Zum Beispiel für a = gilt: 1,57:= 4,19 Mögliche Maße für eine rechteckige Fläche: a = m; b = 4,19 m 40

42 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Pi und Pizza Zuordnung e) Flächenberechnung einer Pizza (d = 8 cm) d A= π r ; r= 8 r= = = π = 615,75...cm = 0, m 14; A ,75... Berechnung der Anzahl: 1,57:0, = 04, Der Flächeninhalt einer Riesenpizza entspricht etwa 00 Pizzen mit dem Durchmesser von 8 cm. Andere Lösungswege sind möglich. 4 1 f) Mögliche Lösung: Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt den Ansatz: x + x = r x = : x x 1/ = ± Der negative Wert hat hier keine Relevanz. A =± ( ) Quadrat = x = = Das Pizza-Quadrat hat eine Fläche von m. Andere Lösungen sind möglich, z.b. durch Zerlegen des Quadrats in vier rechtwinklige Dreiecke und Zusammensetzen der Dreiecke zu einem Rechteck. 4 nsgesamt BWE

43 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben City Kids Triathlon (Leitidee Zahl und Leitidee Messen) Lösungsskizze: City Kids Triathlon Zuordnung a) = Teilnehmer sind aus den Klassen. b) = 5100 Die Gesamtlänge der Strecke beträgt m bzw. 5,1 km. 1 c) Noorams Geschwindigkeit: 15 min= 0,5h v= v= s t 4 0,5 v= 16 Nooram ist mit einer Geschwindigkeit von 16 km/h gefahren. Andere Lösungswege sind möglich. 4 d) 70 von 500 Teilnehmern erhalten eine Medaille: 70 0,0 % 500 = = % der Teilnehmer erhalten eine Medaille. Andere Lösungswege sind möglich. 1 e) Die Medaille hat die Form eines Zylinders. V Zylinder = π r h r= V π h Zylinder 15 r= π 0, r=, d= r d=, = 7, Die Medaille hat einen Durchmesser von etwa 8 cm. 1 4

44 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: City Kids Triathlon Zuordnung f) Umfang der Medaille: u= r u π = π, = 5, ,066...:5= 5,01... Lösung mit d = 8 cm u= r= d u π π = π 8= 5, ,17...:5= 5, Der Abstand zwischen den Schmucksteinen auf dem Kreisbogen beträgt etwa 5 cm. nsgesamt BWE

45 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben. Aufgaben zur Leitidee Raum und Form sowie zur Leitidee Messen Schatzsuche (Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen) Lösungsskizze: Schatzsuche Zuordnung a) 4 = 1 An den vier Stationen müssen 1 Zettel mit Nachrichten gefunden werden. b) S( 0 4 ), Z( 7 8 ) Es handelt sich bei dem Viereck SZQP um ein Trapez. c) d) Der Abstand zwischen den Punkten P und S beträgt 8 Kästchen. Kästchen 00 m 8Kästchen 1 00m= 1, km Der Abstand zwischen den Punkten S und P beträgt in Wirklichkeit 1, Kilometer. Bestimmung des Maßstabs: 00m= cm 1 Kästchen 0,5 cm Kästchen 1cm 1 cm auf der Karte entsprechen cm in Wirklichkeit, somit ist der Maßstab 1:

46 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Schatzsuche Zuordnung e) Die Strecke SZ lässt sich über den Satz des Pythagoras berechnen: SZ= = 8,06... SZ= 8, = 418, alternativ : mit Kästchen SZ= = 16,14... SZ= 16, = 418, Die Entfernung beträgt in Wirklichkeit etwa 400 Meter bzw.,4 Kilometer. f) Es handelt sich um einen Kreis mit dem Radius von 5 Metern. π π A= r² A= 5² A= 78,59... Die abzusuchende Fläche beträgt etwa78,54 m. 1 nsgesamt BWE

47 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Umzug (Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen) Lösungsskizze: Umzug a) Ein Umzugskarton ist mathematisch betrachtet ein Quader oder Viereck- Prisma. 1 b) Leihkosten für 0 Umzugskartons 0 41= Cent = 1,0 19 % von 1,0 =,7,4 1,0 +,4 = 14,64 Ohne Mehrwertsteuer kosten die Umzugskartons 1,0, mit Mehrwertsteuer muss John 14,64 bezahlen. Andere Lösungswege sind möglich. 5 c) Die Skizze zeigt zwölf Umzugskartons. Es fehlen also noch 18 Umzugskartons. Beispiel für andere Stapelmöglichkeit: zwei Lagen: 5 Umzugskartons mit drei Reihen Andere Lösungswege sind möglich. 1 d) Beladung in der Länge:,9 7,... 0,54 = Beladung in der Breite: 1,45 4, ,5 = Es können sieben Reihen mit jeweils vier Umzugskartons aufgeladen werden. Die Ladefläche kann also mit 8 Umzugskartons beladen werden. Andere Lösungswege sind möglich. Die Seiten der Umzugskartons können vertauscht werden, die Umzugskartons können hochkant gestapelt werden. Diese Möglichkeiten entsprechen zwar nicht der Skizze, sollen aber trotzdem mit voller Punktzahl bewertet werden. 7 e) Zu berechnen ist die Länge der Diagonalen d mithilfe vom Satz des Pythagoras: d d d = 1,8 + 1,45 = 5,45 =,11... Die Diagonale des Laderaumes hat eine Länge von etwa,1 m. Die Rückwand passt in Schräglage in den Umzugswagen. Andere Lösungswege sind möglich. 5 nsgesamt BWE

48 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Gärtnerei (Leitidee Raum und Form) a) Lösungsskizze: Gärtnerei Form 1 Form Form Form 4 Quader 6-Eck- Prisma Würfel Zylinder Statt 6-Eck-Prisma ist auch die Bezeichnung Prisma zulässig. 4 b) V V = a b c ( ) = = n das Gefäß lassen sich cm Gartenerde einfüllen. Andere Lösungswege sind möglich. 1 c) cm =6,4 dm 6,4 dm =6,4 Liter 6,4>50 Frau Krüger hat Recht, ein 50 Liter-Sack-Blumenerde reicht nicht aus. Andere Lösungswege sind möglich. d) Grundfläche des ursprünglichen Pflanz-Gefäßes: A= a b A = 80 0 = 400 Die Grundfläche des Pflanz-Gefäßes hat eine Größe von Größe der Grundfläche von dem verkleinerten Pflanz-Gefäß: a= = 1, b= = 7,5 7,5 1,5 A= 4 = 187,5 187,5 = 0,07815= 7,815 % cm. Zum Befüllen des verkleinerten Pflanz-Gefäßes werden ungefähr 7,8 % weniger Blumenerde benötigt. Andere Lösungswege sind möglich. 6 1 e) Die Größe der Grundfläche vervierfacht sich, das Volumen verachtfacht sich. 4 nsgesamt BWE

49 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Tangram (Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen) Lösungsskizze: Tangram a) Die Figur e kann bezeichnet werden mit: Quadrat, Viereck, Rechteck, Raute, Parallelogramm oder Trapez. Zuordnung b) Aussage wahr falsch Alle Dreiecke haben zwei stumpfe Winkel. x Alle Dreiecke haben zwei spitze Winkel. Alle Dreiecke sind gleichschenklig. x x Alle Dreiecke sind gleichseitig. x 4 c) Diese Zeichnungen sind nicht maßstabsgerecht. Punktabzüge bei unsorgfältigen Zeichnungen. 6 d) e) A= a A= 8 A= 64 Die Flächengröße der zusammengelegten Figur beträgt 64 cm. Beispiel: 1 Andere Lösungen sind möglich. 48

50 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik f) Lösungsskizze: Tangram Satz des Pythagoras: a + b = c Da die Katheten jeweils gleich lang sind, gilt: x + x = 8 x = 8 : x = 8 8 x= = 5, Zuordnung Eine Kathete hat im Dreieck g eine Länge von ungefähr 5,7 cm. Andere Lösungswege sind möglich. 5 nsgesamt BWE

51 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Geburtstagsgeschenk (Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen) Lösungsskizze: Geburtstagsgeschenk a) Der Karton ist mathematisch ein Quader oder Viereck-Prisma. 1 b) Beide Netze lassen sich nicht zu dem gewünschten Karton falten, weil bei Netz 1 die rechte Seitenfläche im Netz zu kurz ist.... Netz die beiden oberen Seitenflächen doppelt überlappen würden. Andere Begründungen sind möglich. c) Maßstab 1:5 bedeutet, dass ein Zentimeter auf dem Papier 5 cm in Wirklichkeit entsprechen. Das heißt, im gezeichneten Netz gilt: 0 cm 4 cm; 15 cm cm; 10 cm cm. Punktabzug bei ungenauer, unsorgfältiger Zeichnung Flächeninhalt des Netzes: O= ( ab+ ac+ bc) ( ) O= = 100 Der Flächeninhalt des Netzes beträgt 100 m. Andere Lösungswege sind möglich. Andere Netzdarstellungen sind möglich. 5 d) Berechnung der Größe des Flächeninhalts vom DN A-Karton: 59,4 4= 494,8 Berechnung des Verschnitts: 494,8 100 =1 194, ,8 =0, , ,8 cm Verschnitt ergeben sich beim Ausschneiden des Netzes aus einem DN A-Karton. Das entspricht ungefähr 47,9 %. Andere Lösungswege sind möglich. 50

52 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik e) Volumen des Quaders: V= a b c V= = l = 5 dm = cm = 000 Lösungsskizze: Geburtstagsgeschenk Für Miriam bleiben 000 cm Popcorn. Die Schwester erhält also mehr Popcorn als Miriam. Andere Lösungswege sind möglich. f) 5 l 5 dm = cm : = Das Volumen des Quaders muss 500 cm betragen. Der Quader könnte zum Beispiel folgende Abmessungen haben: 10 cm x 10 cm x 5 cm oder dm x 1,5 dm x 1 dm Andere Lösungswege sind möglich. nsgesamt BWE

53 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Mathematik und Kunst (Leitidee Raum und Form) Lösungsskizze: Mathematik und Kunst Zuordnung a) () Quadrate, (4) Trapeze, (4) Dreiecke Die jeweilige Anzahl der geometrischen Form wird nicht erwartet. Viereck, Rechteck, Raute oder Parallelogramm wird auch als gültige Antwort für das Quadrat gewertet. b) Punktabzug bei ungenauer, unsorgfältiger Zeichnung 4 c) A(0 6); C( ); F(4,5 1,5) d) Punktabzug bei ungenauer, unsorgfältiger Zeichnung 4 e) Die Strecke AElässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen: a + b = c eingesetzt : ( ) = AE AE= 700= 84, Die Strecke AEist im Wandbild etwa 85 cm lang. Andere Lösungswege sind möglich. 1 5

54 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Mathematik und Kunst Zuordnung f) Rechnerische Lösung: a+ c ATrapez= h 6+ ATrapez= 1,5= 6,75 g h 1,5 ADreieck= = =,5 6,75:,5= Alternativ lässt sich die Größe der Fläche auszählen 1 (Trapez 6 Kästchen, Dreieck Kästchen). 4 4 Der Größe der Fläche des Trapezes ist also dreimal so groß wie die Größe der Dreiecksfläche. Andere Lösungswege möglich. 4 nsgesamt BWE

55 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Verkehrsinsel (Leitidee Raum und Form sowie Leitidee Messen) a) Die Teilflächen sind Lösungsskizze: Verkehrsinsel 1 Halbkreis; (Rechtwinkliges) Dreieck; Rechteck; 4 Halbkreis Die Antwort Halbkreise wird auch anerkannt. 4 b) n Fläche liegen mal 10 Platten nebeneinander. Es werden für Fläche also 0 Platten benötigt. A A Steinplatte = 0,5 0,5= 0,5 = 1,5 5= 7,5 Anzahl Steinplatten 7,5 = = 0 0,5 Eine Rechnung wird nicht erwartet. c) Für Fläche wird die Hälfte der Platten benötigt, also 15 Platten. 15 0,= Bei 0 % Verschnitt sind Platten zusätzlich einzuplanen. Es werden also insgesamt 18 Platten benötigt. Andere Lösungswege sind möglich. 4 d) Der Umfang der Verkehrsinsel ergibt sich aus der Summe der beiden Halbkreisumfänge und der beiden bekannten Längen. u u ges ges = π 0,75 :+ π 1,5 :+ 5+ 5, = 17, Der Umfang beträgt ungefähr 17, m. 5 e) A ( π r ) ( π 1 ) A ( π r ) ( π 4 ) = := 0,75 := 0,88... = := 1,5 :=,54... Volumen für Fläche 1: V 1= π 0,75 0,11:= 0, Volumen für Fläche 4: V 4 = π 1,5 0,11 : = 0, Summe: V ges= 0, , = 0, Eine Lieferung von 1 m Erde reicht aus, da nur etwa 0,5 m benötigt werden. 1 5 nsgesamt BWE

56 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik. Aufgaben zur Leitidee Funktionaler Zusammenhang Schneckenrennen a) Schnecke 1 macht eine Pause. Lösungsskizze: Schneckenrennen Sie hatte bis dahin 80 cm zurückgelegt. Die Pause betrug 4 Minuten. b) Rangliste: 1. Platz: Schnecke in 16 min. Platz: Schnecke 1 in 18 min. Platz: Schnecke in 0 min c) Bei Schnecke 4 wurde offensichtlich geschummelt. Sie hat 0 cm zurückgelegt, ohne dass Zeit vergangen ist. Sie muss dorthin gehoben worden sein. Andere Begründungen sind möglich. 1 d) Schnecke 1 hat im ersten Teilabschnitt die höchste Geschwindigkeit erreicht, erkennbar an der höchsten Steigung. v s 80 = = = 10 t 8 Schnecke 1 hat eine Geschwindigkeit von 10 cm min erreicht e) Schnecke 4 schafft 10 cm in 10 min. Bei gleichbleibender Geschwindigkeit kommt sie nach 45 min ins Ziel. f) Der y-achsenabschnitt ist 0 wegen 0 zurückgelegter Meter nach 0 Minuten. Die Schnecke hat nach 0 Minuten 100 cm zurückgelegt, das entspricht 5 cm/min. Die Steigung (zurückgelegte Meter pro Minute) beträgt also 5, das heißt, die Funktionsgleichung lautet y = 5x. Andere Lösungswege sind möglich. 1 nsgesamt BWE

57 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Datentarife (Leitidee Funktionaler Zusammenhang) Lösungsskizze: Datentarife Zuordnung a) Geld von der Oma: 499:= 49, , ,5= 50 hr Onkel muss noch 50 Euro dazugeben. b) , = Eslems Eltern übernehmen ungefähr 4 % der Kosten. Andere Lösungswege sind möglich. c) 1 5= 00 Die jährlichen Kosten beim Tarif Flat betragen 00 Euro. 1 d) Umrechnung: Cent = 0,0 Euro, ,0= 9, 40 Die gesamten Kosten betragen in diesem Monat 9,40 Euro. 4 e) Man darf im Tarif Easy nicht mehr als 5 Euro ausgeben, da der Tarif Flat sonst günstiger ist. Da man beim Tarif Easy Euro als Grundgebühr bezahlen muss, hat man noch höchstens 5 Euro minus Euro zum Surfen verfügbar. Diese Differenz ist durch 0,0 Euro zu dividieren, um zu berechnen, wie viele Megabyte (MB) man nutzen kann. (5 ):0,0= 1100 Der Tarif Flat ist also günstiger, falls man mehr als Megabyte (MB) im Monat nutzen möchte. Andere Lösungswege sind möglich. 1 f) Der Graph () gehört zum Tarif Flat, der Graph () zum Tarif Easy. Der Graph () passt nicht, da er im Ursprung beginnt. Für 0 MB zahlt man laut Abbildung 0 Euro. n den beiden genannten Tarifen zahlt man aber auch dann, wenn man das nternet nicht nutzt. Der Graph (V) passt nicht: Je mehr Megabyte (MB) man nutzt, umso kleiner wird der Rechnungsbetrag. Andere Lösungswege sind möglich. 4 nsgesamt BWE

58 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Kerzenverkauf (Leitidee Funktionaler Zusammenhang) Lösungsskizze: Kerzenverkauf Zuordnung a) 15 kg= g :00 = 75 Sie können 75 Kerzen aus 15 Kilogramm Wachs fertigen = cm= 11,5 m Sie benötigen 11,5 m Docht. 1 b), 50 75= 6,50 6, 50 65,50= 197 Der Gewinn beim Verkauf aller Kerzen beträgt c) 0,5:,5 = 6 Sie haben 6 Kerzen verkauft. 75 6= 1 Es bleiben noch 1 Kerzen übrig. d) Zeit (h) Höhe der Kerze (cm) 1,5 1 y= 1, 5x+ 1,5 beschreibt die Brenndauer von Maries Kerze. Begründungen: y-achsenabschnitt liegt bei +1,5 negative Steigung, da die Kerze abbrennt 57

59 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze: Kerzenverkauf Zuordnung e) 1 6= 6 6:5= 1, Kais Kerze brennt 1, cm pro Stunde herunter. 1,5x+ 1,5= 1,x ,x ( ) 0,x= 1,5 : 0, x= 5 Nach 5 Stunden haben sie die gleiche Höhe erreicht. Bei der falschen Wahl der Funktionsgleichung im Aufgabenteil d) und bei falscher Berechnung der Brenndauer von Kais Kerze ist auf Folgefehler zu achten. Andere Lösungswege sind möglich. nsgesamt BWE

60 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Motorrad (Leitidee Funktionaler Zusammenhang) a) Lösungsskizze: Motorrad Weglänge in km Benzinverbrauch in l 6 7, b) Erdems Motorrad verbraucht 5 Liter Benzin auf 100 km. Liter km 1 c) 1 von Litern sind 4,6 Liter. Es sind noch 4,6 Liter im Tank. 5 4,6= 18, 4 Max kann also 18,4 Liter tanken. 1 d) Mit 6 Litern kann er 100 km fahren 6 Liter 100 km Liter, km Max kann also noch mehr als 0 km fahren, folglich wird er die Tankstelle mit dem Benzinvorrat erreichen. e) 0:1,199 = 16, Max kann für 0 etwa 16,7 Liter tanken. 6 Liter 100 km 1 Liter 16,6 km 16, Liter 78, km Er kann etwa 78 km weit fahren. f) 6 1,= 7, m Stadtverkehr beträgt der Verbrauch 7, Liter auf 100 km. Andere Lösungswege sind möglich. y= 0, 07x 1 nsgesamt BWE

61 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Wasserrechnung (Leitidee Funktionaler Zusammenhang) Lösungsskizze: Wasserrechnung Zuordnung a) + 7= 70 Der Gesamtverbrauch beträgt 70 Die Rechnung in m. m ergibt 70:65= 0, Umgerechnet in Liter liegt der durchschnittliche Tagesverbrauch bei etwa 19 Litern. b) 1, , 65= 5,1+61, 05= 114,18 114,18 + 6,76= 140,94 Sie müssen für das Jahr 015 einen Betrag von 140,94 Euro bezahlen. 1 c) Die Preissteigerung ergibt sich durch Subtraktion: 1,65 1,61= 0,04 Die Steigerung um 0,04 Euro entspricht: 0,04 1,61 = 0, Die Preissteigerung liegt bei etwa,5 %. Andere Lösungswege sind möglich. 1 d) Für einen Verbrauch von 70 1, ,76= 14,6 m ergibt sich: Die Gesamtkosten betragen 14,6. Verbrauch in m Preis in 6,76 59,76 84,51 Abzüge bei unsauberer Zeichnung oder ungenau eingezeichneten Punkte. 60

62 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Wasserrechnung Zuordnung e) Es gilt: 150= 1, 65x+ 6,76 6,76 1,4= 1,65 x :1,65 x= 74, Bei einem Gesamtpreis von 150 ergibt sich ein Verbrauch von ungefähr 75 m. 1 f) - Der Startpunkt ist der Schnittpunkt mit der y-achse und hat die Koordinaten ( 0 6,76 ). - Die Steigung hat den Wert von m = 1,5. nsgesamt BWE

63 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Foto-Bestellung (Leitidee Funktionaler Zusammenhang) Lösungsskizze: Foto-Bestellung Zuordnung a) = 100 Es sind insgesamt 100 Fotos. b) Harun: 0,5 100 = 5,00 Harun müsste 5 Euro bezahlen. Gregor: 0, ,00 = 0,00 Gregor müsste 0 Euro bezahlen. Andere Lösungswege sind möglich. c) Anzahl der Fotos Kosten in 0,50 5,75 8,5 5 Die Ergebnisse für 10 und Fotos geben je einen Punkt. Die Rechnung von 8,5 Euro auf Fotos gibt zwei Punkte. d) Der Schnittpunkt der beiden Graphen hat die Koordinaten S ( 50 1,5). Ein korrektes und sauberes Zeichnen des Graphen ergeben die Punkte. Auch das Eintragen der Punkte ohne Verbindung zu einem Graphen ergibt volle Punktzahl 1 6

64 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Lösungsskizze: Foto-Bestellung Zuordnung e) 15 Steigung: = = 0, y-achsenabschnitt: 5 y= 0,15x+ 5 Die Punkte gibt es für die richtige Form der Gleichung, den richtigen Wert für die Steigung und den richtigen Wert für den Schnittpunkt mit der y-achse. 1 f) Der Graph der linearen Funktion beginnt bei 5, weil die Versandkosten bei jeder Bestellung anfallen würden. Falls darauf hingewiesen wird, dass bei keiner Bestellung auch keine Versandkosten anfallen, wurde innerhalb des Sachkontextes richtig geantwortet. Der Schnittpunkt der Graphen kennzeichnet die Anzahl der Fotos, ab der die Bestellung im nternet günstiger ist als der Ausdruck im Geschäft. Andere Formulierungen sind möglich. nsgesamt BWE

65 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben.4 Aufgaben zur Leitidee Daten und Zufall Glücksrad Lösungsskizze: Glücksrad a) Die Wahrscheinlichkeit für B ist 5 = 1 = 0,5 oder 50 %. 10 b) Die Wahrscheinlichkeit, dass C nicht angezeigt wird, ist = = 0,6 = 60 % Eine Rechnung wird nicht verlangt. 1 c) Hier sind mehrere Gestaltungsformen zulässig. Genaue Winkelberechnungen sind nicht erforderlich. 4 Felder sind noch darzustellen, pro Feld werden P. vergeben, das 4. Feld ergibt sich von selbst. Toleranz beim Zeichnen: ±. 1 Bei größerer Abweichung 1 P. pro Winkel. 1 Winkel Feld B: 60 = Winkel Feld C: 60 = Winkel Feld D: 60 = Winkel Feld E: 60 =, d) Hier sind unterschiedliche Ergebnisse möglich. Ausschlaggebend ist die schlüssige Begründung. Zum Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für B ist 50 %. Wenn bei Drehungen 750-mal B auftritt, entspricht das allerdings einer Wahrscheinlichkeit von 75 %, so dass das Ergebnis schon ungewöhnlich ist. Eine Begründung, die dahin geht, dass ein solches Ergebnis gar nicht möglich ist, wäre allerdings falsch. e) Jacqueline: Feld B hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 50 %. = Kevin: Feld C hat eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 1, Feld D eine 8 Gewinnwahrscheinlichkeit von 1 4. Die Wahrscheinlichkeit für C oder D beträgt damit = = 7,5 % Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Jacqueline ist deutlich größer. f) Kevin hat nicht Recht. Die Wahrscheinlichkeit für B ist und bleibt 1, unabhängig davon, wie oft das Ergebnis B im bisherigen Verlauf erschienen ist oder nicht. nsgesamt BWE

66 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Kugeltopf (Leitidee Daten und Zufall) Lösungsskizze: Kugeltopf a) Topf A: Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel beträgt 1 4, also 5 %. Topf B: Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel beträgt 4 =, also 40 % Topf C: Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel beträgt = 1, also 5 % b) = Es ist zu erwarten, dass etwa 40-mal eine weiße Kugel gezogen wird. c) Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel aus Topf C zu ziehen, beträgt Die Wahrscheinlichkeit, keine weiße Kugel zu ziehen, beträgt 1 = 4 4 oder 75 %. 1 d) Nach dem Ziehen einer weißen Kugel sind noch 9 Kugeln im Topf B, davon weiße. Die Wahrscheinlichkeit, dass man beim. Zug wieder eine weiße Kugel erhält, ist also 9 bzw. 1 oder 1 %. e) Die Wahrscheinlichkeit, eine graue Kugel zu ziehen, beträgt 1 bei Topf A: oder 5 %, 4 bei Topf B: oder 0 %, bei Topf C: = oder 50 %. 8 Damit sind die Chancen bei Topf C am größten. 1 f) Eine mögliche Lösung: Es werden 10 Kugeln gezeichnet, von denen 6 grau, weiß und schwarz sind. Man kommt mit 5 Kugeln aus, um die Bedingung zu erfüllen: graue, 1 weiße, 1 schwarze. nsgesamt BWE

67 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Playlist (Leitidee Daten und Zufall) Lösungsskizze: Playlist Zuordnung a) Liednummern: 5, 6, 4,, 7,, 1 b) Minuten ,4 5, Liedlängen 4,6 4, 5,1 1 0 Superfine Love Will Survive Planet Claire Poker Face Kissed a Girl Waking Up in Uprising Punkte werden vergeben für die vergleichbare Höhe der Säulen ( P) die Sauberkeit der Zeichnung (1 P) 4 c) Summe der Minuten: = 8 Summe der Sekunden: = sek = min 4 sek Gesamtspieldauer = 8 min + min 4 sek = 0 min 4 sek Andere Lösungswege sind möglich. d) Gesamtspielzeit in Sekunden: 0 min 4 sek = 1 84 sek 79:1 84= 0, < 0,5 Kai hat somit Unrecht. Die Lieder dauern weniger als ein Viertel der Gesamtspielzeit. 79:= 189,5 Ein Lied von Katy Perry dauert im Durchschnitt 189,5 Sekunden. 1 84:7= 6 Die durchschnittliche Dauer aller Lieder ist 6 Sekunden. Das ist um mehr als 60 Sekunden länger als der Durchschnittswert von Kate Perry mit 189,5 Sekunden. Susan hat somit Recht. 6 66

68 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik e) ( ) Lösungsskizze: Playlist 1 P Lied von "The B-5's" = = 0, = 14,85... % 7 5 P kein Lied von "Kate Perry" = 1 = = 0, = 71, 4... % 7 7 ( ) Zuordnung 1 f) Lied Nr. 5 hat eine Spielzeit von 180 Sekunden. Die Wahrscheinlichkeit, dass es gerade läuft, ist 180 0, = Die Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr 10 %. nsgesamt BWE

69 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Verkehrszählung (Leitidee Daten und Zufall) Lösungsskizze: Verkehrszählung a) n dem Zeitraum zwischen 11:00 und 1:00 Uhr wurden die meisten Kraftfahrzeuge gezählt. b) = 57 c) = = 51,4 5 5 m Zeitraum von 8:00 Uhr bis 1:00 Uhr sind im Durchschnitt 51,4 Fußgänger pro Stunde gezählt worden. Die Spannweite von den Werten 8; 44; 56; 57; 6 ergibt sich aus 6 8= 4. Die Spannweite beträgt 4. d) Jeweils 1 P für Daten richtiger Zeit zugeordnet Säulen senkrecht zur x-achse gezeichnet Säulen bis zur richtigen Höhe eingetragen Säulen weisen alle die gleiche Breite auf Sauberkeit Fußgänger Uhrzeit 5 e) Diagramm 1 ist richtig. Begründung: Die Segmente Kraftfahrzeuge und Fahrräder sind ungefähr gleich groß und beide sind größer als das Segment für Fußgänger. Andere Begründungen sind möglich. 1 f) Dies ist eine offene Aufgabenstellung, bei der es verschiedene Lösungsmöglichkeiten gibt. Diese sollen aber vom Schüler gut begründet werden, sodass sie nachvollziehbar sind. Dann ist die volle Punktzahl zu geben. Es darf aber in keinem Fall die Durchschnittszahl von 51,4 Fußgängern für 4 Stunden als Grundlage der Rechnung genommen werden. Lösungsmöglichkeit: Lucy verwendet die unter c) errechnete Durchschnittszahl für den Zeitraum von etwa 7 bis 18 Uhr. Das sind 11 Stunden und ergibt etwa 565 Fußgänger. Für die anderen Zeiträume kann sie einen geringeren Wert im Durchschnitt von etwa 0 Fußgängern annehmen, da in den Abendstunden und während der Nacht erheblich weniger Fußgänger die Kreuzung überqueren. Dies sind 1 Stunden und entspricht 60 Fußgängern. Somit wären bei diesem Ansatz etwa 865 Fußgänger gezählt worden. 4 nsgesamt BWE

70 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Nutzung von Smartphones (Leitidee Daten und Zufall) Lösungsskizze: Nutzung von Smartphones Zuordnung a) 4 0,96 96 % 5 = = 96 % der Jugendlichen besitzen ein Smartphone. b) = 8 8 Jugendliche nutzen ihr Smartphone Stunden täglich. c) =,64 Durchschnittlich nutzen die Jugendlichen ihr Smartphone,64 Stunden pro Tag. Sollte mit der Anzahl von 4 Jugendlichen gerechnet werden, so ist auch volle Punktzahl zu geben. Es ergibt sich dann ein Durchschnittswert von,75. d) Punktabzug bei fehlenden oder fehlerhaften Balken bzw. unsauberer Zeichnung. 1 69

71 Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik - Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben Lösungsskizze: Nutzung von Smartphones Zuordnung e) Kreisdiagramm B gibt die Ergebnisse der Umfrage wieder. Begründungen: Diagramm A hat nur 4 statt 5 Kreissektoren. Diagramm C hat 4 gleichgroße Kreissektoren, doch jeder Kreissektor müsste unterschiedlich groß sein. Alternative Begründungen sind möglich. f) 7 P(4h täglich) = 0, 8 8 % 5 = = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher sein Smartphone täglich 4 Stunden nutzt beträgt 8 %. ( ) 10 P(weniger als h) = = = 0,4= 40 % 5 5 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Jugendlicher sein Smartphone weniger als Stunden nutzt, beträgt 40 %. nsgesamt BWE

72 Lösungen zu den zentralen schriftlichen Prüfungsaufgaben - Erster allgemeinbildender Schulabschluss Mathematik Eine Stadt im Regen (Leitidee Daten und Zufall) Lösungsskizze: Eine Stadt im Regen Zuordnung a) = 56 Es sind im März durchschnittlich 56 mm Niederschlag gefallen. Durchschnittliche Niederschlagsmenge pro m² in der betrachteten Stadt Punkte werden vergeben für die richtige Höhe der Säule und für die Sauberkeit der Zeichnung. 4 b) Am wenigsten Niederschlag fällt im Februar: 41 mm pro Am meisten Niederschlag fällt im Juli: 8 mm pro 8 41= 41 Die Spannweite beträgt 41 mm pro m m m. 1 c) 768:1= 64 Die durchschnittliche Niederschlagsmenge beträgt 64 mm pro Quadratmeter im Monat. d) Die durchschnittliche Niederschlagsmenge im März liegt bei 56 mm pro Quadratmeter. 56 mm 100 % 0,56 mm 1% 64,96 mm 116 % Die Niederschlagsmenge im März 015 betrug in etwa 65 mm pro Quadratmeter. Andere Lösungswege sind möglich. 4 e) 1 dm 1 Liter 8 mm = 0,8 dm 1 m = 10 dm V= ,8 V= 8 Es fallen 8 Liter pro Quadratmeter. 1 71