Formale Semantik. Anke Assmann Heim & Kratzer 1998, Kap. 2. Universität Leipzig, Institut für Linguistik

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1 1 / 52 Formale Semantik Heim & Kratzer 1998, Kap. 2 Anke Assmann anke.assmann@uni-leipzig.de Universität Leipzig, Institut für Linguistik

2 2 / 52 Inhalt 1 Ein sanfter Einstieg 2 Ermittlung von Wahrheitswerten Komponenten der Semantik Anwendung 3 Mengen und charakteristische Funktionen von Mengen 4 Semantische Typen 5 Currying (Schönfinkeln) 6 λ-notation

4 4 / 52 Rauchen gefährdet die Gesundheit (1) Ann smokes. Hin zur richtigen Frage: Was bedeutet dieser Satz? Was denotiert dieser Satz? Was ist die Extension dieses Satzes?

5 5 / 52 Wahrheitswerte Die Extension eines Satzes ist sein Wahrheitswert. Mögliche Wahrheitswerte: 0 (Falsch) 1 (Wahr)

6 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP N Ann VP V smokes

7 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP N Ann(= Ann) VP V smokes

8 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP N (= Ann) Ann(= Ann) VP V smokes

9 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP (= Ann) N (= Ann) Ann(= Ann) (= Wahrheitswert) VP V smokes

10 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP (= Ann) N (= Ann) Ann(= Ann) (= Wahrheitswert) VP (=??) V smokes

11 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP (= Ann) N (= Ann) Ann(= Ann) (= Wahrheitswert) VP (=??) V (=??) smokes

12 6 / 52 Kompositionalität Um herauszufinden, was die Extension eines Satzes ist, muss man die Extensionen seiner Bestandteile kennen: (2) S NP (= Ann) N (= Ann) Ann(= Ann) (= Wahrheitswert) VP (=??) V (=??) smokes (=??)

13 7 / 52 Extension von smoke Der Knoten S in (2) hat eine Denotation; die der Knoten NP hat eine Denotation; also sind beide saturiert VP (und damit V und smoke) müssen unsaturiert, also Funktionen sein Was für Funktionen?: Offensichtlich Funktionen von Individuen in Wahrheitswerte Wie definiert man das formal?

15 9 / 52 Inventar an Denotationen Sei D die Menge aller existierenden Individuen. Mögliche Denotationen sind: Elemente von D (Individuen) Elemente von {0,1} (Wahrheitswerte) Funktionen von D in {0,1}

16 10 / 52 Lexikon Ann = Ann Jan = Jan etc. für Eigennamen works = f : D {0, 1} x D, f(x) = 1 gdw x arbeitet smokes = f : D {0, 1} x D, f(x) = 1 gdw x raucht etc. für intransitive Verben

17 11 / 52 Regeln für nicht-terminale Knoten (S1). Wenn α die Form S hat, dann α = γ(β). β γ (S2). Wenn α die Form NP hat, dann α = β. β (S3). Wenn α die Form VP hat, dann α = β. β (S4). Wenn α die Form N β hat, dann α = β. (S5). Wenn α die Form V hat, dann α = β. β

18 12 / 52 Zu überprüfende Behauptung S (3) NP N VP V = 1 gdw Ann raucht. Ann smokes

19 13 / Schritt: Anwendung Regel (S1) (4) NP N Ann S VP V smokes = VP V smokes NP N Ann

20 14 / Schritt: Anwendung Regel (S3) (5) (6) VP V smokes S NP N Ann = VP V smokes V smokes = V smokes NP N Ann

21 15 / Schritt: Anwendung Regel (S5) (7) (8) V smokes S NP N Ann = smokes VP = V smokes smokes NP N Ann

22 16 / Schritt: Anwendung Regel (S2) (9) NP N Ann = S N Ann (10) NP N VP V = smokes N Ann Ann smokes

23 17 / Schritt: Anwendung Regel (S4) (11) N Ann = S Ann (12) NP N VP V = smokes ( Ann ) Ann smokes

24 18 / Schritt: Einsetzung Lexikoneinträge (13) S NP N VP V = [ f : D {0, 1} x D, f(x) = 1 gdw x raucht ] ( Ann ) Ann smokes

25 19 / Schritt: Applikation der Funktion auf Ann (14) [ f : D {0, 1} x D, f(x) = 1 gdw x raucht ] ( Ann ) = 1 gdw Ann raucht.

26 20 / Schritt: Einsetzung von (14) in (13) S (15) NP N VP V = 1 gdw Ann raucht. Ann smokes vgl. (3)

27 21 / 52 Und was ist nun der Wahrheitswert? Um den letztendlichen Wahrheitswert des Satzes zu ermitteln braucht man Weltwissen. Um zu wissen ob Ann smokes wahr oder falsch ist, muss man die Menge aller Individuen kennen, die rauchen. Dann kann man bestimmen, ob der Satz wahr oder falsch ist.

28 22 / 52 Wahrheitswertbestimmung (16) Sei smokes = S Ann 1 Jan 1 Maria 0. (17) NP N VP V = Ann 1 Jan 1 Maria 0 (Ann) = 1. Ann smokes

29 23 / 52 Meta- vs. Objektsprache Man unterscheidet (wie auch in anderen Teilbereichen der Linguistik) Metasprache und Objektsprache. Objektsprache (sprachliche Ausdrücke): Sprache, die untersucht wird (z.b. Englisch) Metasprache (Denotationen): Sprache, die genutzt wird, um die Objektsprache zu beschreiben (hier: Deutsch)

31 25 / 52 Alternative Denotationsbeschreibung Denotationen können auch als Mengen beschrieben werden. (18) smokes = {x D : x raucht}. Frage: Wie müsste man Regel (S1) umschreiben, um die Mengendefinition nützen zu können?

32 26 / 52 Zusammenhang Mengen und Funktionen (19) Sei M eine Menge. Dann ist char M (die charakteristische Funktion von M) eine Funktion f, so dass gilt: für jedes x M, f(x) = 1, für jedes x M, f(x) = 0. (20) Sei f eine Funktion mit der Zielmenge {0, 1}. Dann ist char f (die von f charakterisierte Menge) {x D : f(x) = 1}.

33 Beispiel Sei D = {Ann, Jan, Maria}. Ann und Jan schlafen; Ann ist die einzige, die schnarcht. sleeps = {Ann, Jan}. sleeps = snores = {Ann}. snores = Ann 1 Jan 1 Maria 0 Ann 1 Jan 0 Maria 0 27 / 52

34 28 / 52 Parallelitäten Ann sleeps. sleeps(ann) = 1. snores sleeps. {x : snores(x) = 1} {x : sleeps(x) = 1} snores sleeps = 1. {x : snores(x) = 1} {x : sleeps(x) = 1} = 1

36 30 / 52 Ziel Semantik auch für transitive Sätze erweitern. (21) Ann likes Jan. (22) S NP VP N Ann V likes NP N Jan

37 31 / 52 Was ist die Denotation eines transitiven Verbs? Am obigen Beispiel Ann smokes haben wir gesehen, dass die Denotation von VPn Funktionen von Individuen in Wahrheitswerte sind. Dann muss die Denotation von V in (22) (und damit die Denotation von likes) eine Funktion von Individuen in eine Funktion von Individuen in Wahrheitswerte sein. (23) like = f : D {g : g ist eine Funktion von D in {0, 1}} x D, f(x) = g x : D {0, 1} y D, g x (y) = 1 gdw y mag x. (24) like = f : D {g : g ist eine Funktion von D in {0, 1}} x, y D, f(x)(y) = 1 gdw y mag x.

38 32 / 52 Erweiterung der Komponenten der Semantik Weitere mögliche Denotationen: Funktionen von D in Funktionen von D in {0, 1} Weitere Lexikoneinträge: like = f : D {g :g ist eine Funktion von D in {0, 1}} x D, f(x) = g x : D {0, 1} y D, g x (y) = 1 gdw y mag x. Weitere Interpretationsregeln: (S6). Wenn α die Form VP hat, dann α = β(γ). β γ

39 33 / 52 Systematisierung der Denotationstypen Grundtypen: (25) e ist der Typ für ein Individuums. D e D. (26) t ist der Typ für einen Wahrheitswert. D t {0, 1}. abgeleitete Typen: (27) <e,t> ist der Typ für eine Funktion von Individuen in Wahrheitswerte. D <e,t> {f : f ist eine Funktion von D e in D t.} (28) <e,<e,t>> ist der Typ für eine Funktion von Individuen in eine Funktion von Individuen in Wahrheitswerte. D <e,<e,t>> {f : f ist eine Funktion von D e in D <e,t>.}

40 34 / 52 Allgemeine Definitionen (29) Semantische Typen a. e und t sind semantische Typen b. Falls σ und τ semantische Typen sind, dann ist < σ, τ > ein semantischer Typ. c. Nichts sonst ist ein semantischer Typ. (30) Semantische Denotationsdomänen a. D e D. b. D t {0, 1}. c. For jeden beliebigen semantischen Typ σ und τ is D <σ,τ> die Menge aller Funktionen von D σ in D τ.

42 36 / 52 Problem Im Moment verlangt unsere Semantik, dass die Denotationen von Verben 1-stellige Funktionen sind. Warum? Binäre Verzweigung Subjekt und Objekt werden nicht gleichzeitig mit dem Verb verkettet Lokalität Die Denotation des Mutterknotens ergibt sich aus der Denotation der Töchter Frege s Hypothese Semantische Komposition ist funktionale Applikation.

43 36 / 52 Problem Im Moment verlangt unsere Semantik, dass die Denotationen von Verben 1-stellige Funktionen sind. Warum? Binäre Verzweigung Subjekt und Objekt werden nicht gleichzeitig mit dem Verb verkettet Lokalität Die Denotation des Mutterknotens ergibt sich aus der Denotation der Töchter Frege s Hypothese Semantische Komposition ist funktionale Applikation. Problem Was ist nun mit 2-stelligen Prädikate, wie wir sie aus der Logik kennen.

44 Beispiel 37 / 52

45 38 / 52 größer-als (31) größer-als-relation: R gr = {<Shirley,Shaun>, <Shirley,Timmy>, <Shaun, Timmy>} (32) char Rgr : <Shaun,Shaun> 0 <Shaun,Shirley> 0 <Shaun,Timmy> 1 <Shirley,Shaun> 1 f gr = <Shirley,Shirley> 0 <Shirley,Timmy> 1 <Timmy,Shaun> 0 <Timmy,Shirley> 0 <Timmy,Timmy> 0 f gr ist eine 2-stellige Funktion.

46 39 / 52 Currying (Schönfinkeln) (33) Allgemein: f : A 1 A n B wird zu f : A 1 (A 2 (... (A n B)... ))

47 39 / 52 Currying (Schönfinkeln) (33) Allgemein: f : A 1 A n B wird zu f : A 1 (A 2 (... (A n B)... )) Links-nach-Rechts (1. Argument von f gr zuerst) f gr = Shaun Shirley Timmy Shaun 0 Shirley 0 Timmy 1 Shaun 1 Shirley 0 Timmy 1 Shaun 0 Shirley 0 Timmy 0 Rechts-nach-Links (2. Argument von f gr zuerst) f gr = Shaun Shirley Timmy Shaun 0 Shirley 1 Timmy 0 Shaun 0 Shirley 0 Timmy 0 Shaun 1 Shirley 1 Timmy 0

48 40 / 52 Frage Welche Richtung des Currying ist die richtige in Bezug auf natürliche Sprache?

50 42 / 52 Schreibfaulheit (34) Lang F +1 = f : IN IN x IN, f(x) = x + 1. (35) Kurz F +1 [λx : x IN.x + 1] (die kleinste Funktion, die jedes x, für das gilt x ist Element von IN, abbildet auf x + 1.)

51 43 / 52 λ-notation Allgemeines Schema: (36) [λα : φ.γ] (i) (ii) die (kleinste) Funktion, die jedes α, so dass φ gilt, auf γ abbildet die (kleinste) Funktion, die jedes α, so dass φ gilt, auf 1 abbildet falls γ, und sonst auf 0 abbildet α: Argumentvariable (Variable, z.b. x, y, z, x, etc.) φ: Domänenbedingung (Definitionsbereich, z.b. IN, D e, D t, D <e,t>, etc.) γ: Wertebeschreibung (Element aus Zielbereich, z.b. x+1, Maria, 0, likes Maria)

52 44 / 52 Funktionale Applikation mit λ-notation (37) [λx : x IN.x + 1](5) =???

53 45 / 52 Funktionen in λ-notation überführen (38) smokes = f : D e D t x D, f(x) = 1 gdw x raucht (39) smokes =??? (40) like = f : D {g : g ist eine Funktion von D in {0, 1}} x, y D, f(x)(y) = 1 gdw y mag x. (41) like =???

54 46 / 52 Mehr Funktionale Applikation (42) [λf : f D <e,t>.es gibt ein x D e so dass gilt f(x) = 1]([λy : y D e.y stinkt]) = 1???

55 47 / 52 Noch mehr Schreibfaulheit (43) [λx : x D.[λy : y D.y liebt x]] = λx : x D.[λy : y D.y liebt x] = λx D.[λy D.y liebt x] = λx.[λy.y liebt x] (44) λx.[λy.y liebt x](sue) =??? falls x, y D

56 48 / 52 λ-notation und charakteristische Mengen Charakteristische Funktionen von Mengen können auch in λ-notation dargestellt werden: (45) a. M {x IN : x 0} b. char M = [λx IN.x 0]

57 49 / 52 Mengen vs. Funktionen Mengen Funktionen 29 {x IN : x 0} gdw 29 0 [λx IN.x 0](29) = 1 gdw 29 0 Leipzig {x D :Dresden ist die Landeshauptstadt von Sachsen} gdw Dresden die Landeshauptstadt von Sachsen ist. {x D :Dresden ist die Landeshauptstadt von Sachsen} = D falls Dresden die Landeshauptstadt von Sachsen ist. [λx D.Dresden ist die Landeshauptstadt von Sachsen](Leipzig) = 1 gdw Dresden die Landeshauptstadt von Sachsen ist. [λx D.Dresden ist die Landeshauptstadt von Sachsen](x) = 1 für alle x D falls Dresden die Landeshauptstadt von Sachsen ist.

58 50 / 52 mehr Mengen vs. Funktionen Mengen {x D :Leipzig ist die Landeshauptstadt von Sachsen} = falls Leipzig nicht die Landeshauptstadt von Sachsen ist. {x IN : x 0} = {y IN : y 0} {x IN : x {x IN : x 0}} = {y IN : y 0} {x IN : x {y IN : y 0}} = {y IN : y 0} Funktionen [λx D.Leipzig ist die Landeshauptstadt von Sachsen](x) = 0 für alle x D falls Leipzig nicht die Landeshauptstadt von Sachsen ist. [λx IN.x 0] = [λy IN.y 0] [λx IN.[λx IN.x 0](x)] = [λx IN.x 0] [λx IN.[λy IN.y 0](x)] = [λx IN.x 0]

59 51 / 52 λ-notation und semantische Typen Frage: Wie kann man aus der λ-notation den semantische Typ ablesen? (46) smokes < e, t > = [ λx D e. x raucht ] < e, t > (47) likes = [ λx D e. [ λy D e. y mag x ] ] < e, < e, t >> < e, < e, t > > (48) and S =???

60 52 / 52 Semantische Typen und λ-notation Frage: Wie kann man aus dem semantischen Typ die λ-notation ablesen? (49) < e, t > < [ (50) < e, < e, t >> < [ e, t > λx D e. φ ] e, < e, t > > λx D e. [ λy D e. φ ] ] (51) << e, t >, << e, t >, e >> =???