DGB 38 Semantik Universität Athen, WS 2008/09. Handout #5 PRÄDIKATE (UND PRÄDIKATENLOGIK)

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1 DGB 8 Semantik Universität Athen, WS 2008/09 Winfried Lechner wlechner@gs.uoa.gr Handout #5 PRÄDIKATE (UND PRÄDIKATENLOGIK) 1. PRÄDIKATENLOGIK Im Gegensatz zur Aussagenlogik, in welcher Sätze nicht weiter zerlegbare Einheiten darstellen, werden Sätze in ihrer prädikatenlogischen Darstellung in das Prädikat und seine Argumente dekomponiert. Dergestalt wird es möglich, eine separate Bedeutung für Verben und andere Prädikate anzugeben. Die Sätze in (1) können z.b. in die prädikatenlogischen Formeln in (2) übersetzt werden. (Für Definition und Diskussion der relevanten Grundbegriffe siehe Lohenstein, S.65ff; s.a. Partee et. al 1990, S.17ff.). (1) a. Maria schnarcht. b. Maria kennt Peter. c. Maria zeigte Peter das Buch. d. Maria legte das Buch auf das Regal. (2) a. schnarchen(maria) b. kennen(maria, Peter) c. zeigen(maria, Peter, das Buch) d. legen_auf(maria, das Buch, das Regal) So wie schon bei der Aussagenlogik werden im Übergang von (1) zu (2) Ausdrücke der natürlichen Sprache in Ausdrücke einer formalen Sprache - diesmal der Prädikatenlogik - übersetzt. Dies kann man sich ähnlich vorstellen, wie den Übersetzungsvorgang zwischen zwei natürlichen Sprachen. Da Deutsch hier als Objektsprache und auch als (logische) Metasprache verwendet wird, sehen die Ausdrücke der Ausgangs- und der Zielsprache noch sehr ähnlich aus. Man kann aber natürlich mit der selben Methode Sätze einer anderen Sprache (hier des Englischen) in die formale Metasprache der Prädikatenlogik übersetzen. Hält man an der Konvention fest, diese auf der Basis des Deutschen zu formulieren, sieht man dann die Effekte des Übersetzungsprozesses deutlicher: () Queen Elisabeth II sleeps ÿ sleep(königin Elisabeth II) Im Gegensatz zur Aussagenlogik werden in der Prädikatenlogik nun Prädikate und Argumente voneinander getrennt. Dabei werden die Argumente in Klammern gesetzt, und folgen dem zugehörigen Prädikat. Die generelle Form der Ausdrücke ist also: (4) Prädikat(Argument 1, Argument 2,... Argument n ) (In Abschnitt 5 wird diese Art der Darstellung, in der alle Argumente innerhalb einer einzigen Klammer aufscheinen, noch einmal modifiziert werden.)

2 Was sind Prädikate? Die Definition des Begriffs Prädikat führt häufig zu Verwirrung und Unsicherheiten. In der Semantik sind Prädikate Ausdrücke, die, um eine Proposition zu bilden, mit einem Argument kombiniert werden müssen. Demnach fungieren in (5) eine AP, NP und eine PP (unterstrichen) als Prädikat des Satzes. (5) a. Maria ist [ AP müde] b. Maria ist [ NP Griechin] c. Maria ist [ PP oben] " Die Beispiele (6) - (9) illustrieren Konstruktionen mit transitiven Verben, Adjektiven, Nomen oder Präpositionen: (6) a. Hans [ VP kennt Maria] b. *Maria kennt (7) a. Hans ist [ AP Maria fremd/ähnlich] b. *Hans ist fremd/ähnlich (sofern fremd/ähnlich die gleiche Bedeutung wie in a. hat) (8) a. Hans ist [ NP ein Feind vieler Worte] b. *Hans ist ein Feind (sofern Feind die gleiche Bedeutung wie in a. hat) (9) a. Hans ist [ PP aus Purkersdorf] b. *Hans ist aus " In jedem Satz findet sich ein Hauptprädikat. Gewisse Konstruktionen beinhalten darüber hinaus ein sogenanntes sekundäres Prädikat (unterstrichen): Typ des sekundären Prädikates (10) a. Sie hämmerten das Eisen [ AP flach] Resultative AP b. Hans öffnete die Tür [ AP nackt] Subjektsmodifizierende AP c. Hans öffnete die Tür [ PP mit einem Buch in der Hand] Subjektsmodifizierende PP d. Hans aß das Fleisch [ NP roh] Objektsmodifizierende AP " Einem weitverbreiteten Irrtum zufolge ist das Prädikat eines Satzes das finite Verb, oder eine Kategorie, die jenes enthält. Dies kann, muß aber nicht korrekt sein. Im vielen Sprachen (wie etwa dem Japanischen) kann z.b. eine AP ohne das Auxiliarverb sein mit dem Subjekt verbunden werden. Natürlich beinhaltet auch die japanische Version von (5)a ein Prädikat (AP). Für weitere Detail s. Handout 4, 2. SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK Die Syntax der Prädikatenlogik unterscheidet sich von der Syntax der Aussagenlogik hauptsächlich darin, daß die erstgenannte nicht nur mit Aussagen (Propositionen) und Aussagenvariablen (p, q, r...) operiert, sondern auch auf Prädikate und Individuen, die als Argumente für diese Prädikate dienen, zugreifen kann. Alle nicht-zusammengesetzten, atomaren Elemente der Sprache werden im sogenannten Vokabular zusammengefaßt. Das Grundvokabular der Prädikatenlogik sieht demnach so aus wie in (11) (zur Terminologie und für genauere Diskussion siehe Lohenstein S. 67f):

3 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 (11) VOKABULAR DER PRÄDIKATENLOGIK a. Individuenkonstanten: Peter, Hans, das Buch, Athen,... b. Individuenvariablen: x, y, z,... c. Prädikate: schlafen, kennen, zeigen,... d. Die logischen Operatoren der Aussagenlogik:, v,w, ÿ, : Individuenkonstanten und Individuenvariablen werden zusammen Terme genannt. Terme sind also Ausdrücke, die als Argumente eines Prädikats fungieren können. Die zulässigen WFFs werden wiederum durch die rekursive Syntax definiert, wobei nur (12)a neu ist - die Definitionen (12)b sind bereits aus der Aussagenlogik bekannt. (12) SYNTAX DER PRÄDIKATENLOGIK neu L a. Wenn P ein n-stelliges Prädikat ist und t 1,t 2,...,t n Terme sind, dann ist P(<t 1, t 2,...t n >) eine WFF b. i. Wenn φ eine WFF ist, dann ist auch φ eine WFF (Negation, nicht φ ) ii. Wenn φ und ψ WFFs sind, dann sind auch die folgenden Ausdrücke WFFs: (φ v ψ) (Konjunktion, φ und ψ ) (φ w ψ) (Disjunktion, φ oder ψ ) (φ ÿ ψ) (Materielle Implikation, wenn φ dann ψ ) (φ : ψ) (Materielle Äquivalenz, φ genau dann wenn ψ ) ÜBUNGEN Wie lauten die prädikatenlogischen Darstellung der folgenden Sätze? (1) a. Hans kennt dieses Buch nicht. b. Maria stellte ihren Freunden einen Kollegen vor. c. Peter sah den Film und las das Buch. d. Wenn Peter oder Maria kommen, wird Hans nicht kommen. e. Dieses Buch kennt weder Peter noch Maria.

4 #5: Prädikate 4. SEMANTIK DER PRÄDIKATENLOGIK.1. LEXIKONEINTRÄGE FÜR EINSTELLIGE PRÄDIKATE Wie werden nun Prädikate, wie etwa die VP, die AP oder die NP in (14) interpretiert? (14) a. Hans [ VP schläft] b. Hans ist [ AP müde] c. Hans ist [ NP ein Linguist] All die einstelligen Prädikate in (14) können als Menge aufgefaßt werden, genauer gesagt als die Menge der Elemente, auf die das Prädikat zutrifft. Dabei spielt es keine Rolle, ob das Haupt des Prädikates der Kategorie Verb, Adjektiv, Nomen oder Präposition zugehört. Relativiert auf Situationen ergibt dies die Denotationen in (15): (15) a. ƒschlafen = für jede Situation s: {x x schläft in s} b. ƒmüde = für jede Situation s: {x x ist müde in s} c. ƒgewinner = für jede Situation s: {x x ist der Gewinner in s} Die in (15) bereitgestellte Information ist Teil des (mentalen) Lexikoneintrags der Wörter. Man bezeichnet diese Definition des semantische Beitrags eines jeden Lexikoneintrags auch als die Bedeutungsregel für dieses Wort. Wenn ein Sprecher einer Sprache also z.b. die Bedeutung von schlafen kennt, dann hat er/sie etwas ähnliches wie die Regel (15)a erlernt..2. KOMPOSITIONALE DERIVATION Intuitiv ist nun ein Satz wie (14)a genau dann in einer Situation wahr, wenn Hans ein Element der Menge ist, welche die schlafenden Individuen in dieser Situation umfaßt. In mengentheoretischer Notation kann dies so ausgedrückt werden: (16) Für jede Situation s, ƒhans schläft = 1 in s gdw ƒhans 0 ƒschlafen in s = 1 in s gdw Hans in s schläft Um nun die Bedeutung des Satzes aus den Bedeutungen der Teile abzuleiten benötigt man, abgesehen von den Bedeutungsregeln für Hans und schlafen, noch eine weitere Regel. Diese Kompositionsregel verbindet die jeweils vom Subjekt und der VP bereitgestellten Denotationen miteinander 1, und wird auch Satzregel genannt. Mit Hilfe der Satzregel ist es möglich, aus der Subjektsdenotation und der Prädikatsdenotation die Satzbedeutung abzuleiten. (17) SATZREGEL Wenn α die Form IP hat, dann gilt für jede Situation s: 2 ƒα = 1 in s gdw ƒβ in s 0 ƒγ in s β γ 1 Nichtverzweigende Knoten (etwa N und V ) werden als semantisch durchlässig betrachtet, in dem Sinn, daß sie die Bedeutung von unten nach oben weiterreichen.

5 5 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 In Worten kann (17) folgendermaßen formuliert werden: Die IP-Denotation nimmt in einer Situation s den Wert 1 an, genau dann, wenn die Denotation von β in s ein Element der Denotation von γ in s ist. β ist hier das Subjekt, und γ steht für das Prädikat. Subjekt und Prädikat werden nicht näher spezifiziert (etwa als NP und VP), da ja auch Sätze als Subjekte fungieren können, und manche Prädikate keine VPs sind (Wir erachten sie eine Gefahr). (Der Grund, warum in dieser Definition die Variable s nicht nur nach dem Prädikat, sondern auch nach der Subjektsdenotation aufscheint wird weiter unten besprochen werden.) Im vorliegenden Beispiel Hans schläft führt die Anwendung der Satzregel zur Belegung der Variable β mit dem Namen Hans und zur Belegung der Variable γ mit dem VP-Knoten. Die gesamte semantische Derivation des Satzes Hans schläft sieht dann so aus wie in (18): (18) Für jede Situation s, ƒip = 1 in s gdw Hans in s schläft wo a. ƒn = ƒnp ƒvp = ƒv º s. fn. 1!! b. ƒhans = ƒn ƒv = ƒschlafen!! c. die Person Hans = ƒhans ƒschlafen = für jede Situation s:{x x schläft in s} Was von besonderer Relevanz ist, ist die Tatsache, daß die Derivation in (16) kompositional definiert werden kann. Wie der Baum in (18) zeigt, wird jedem einzelnen Knoten eine Denotation zugewiesen, so wie vom Kompositionalitätsprinzip verlangt wird. Die Satzregel stellt also ein generelles Bildungsgesetz dar, welches es einem erlaubt, die Bedeutung eines komplexen Knotens (der IP) aus den Denotation der unmittelbaren Teile abzuleiten. (17) hat zwei Effekte: Im Detail betrachtet beinhaltet die Satzregel zwei unterschiedliche Arten von Information: I. (17) legt das Kompositionsprinzip fest. Im konkreten Fall werden Subjekts- und Prädikatsbedeutung durch die Element_von Beziehung (ausgedrückt durch das Symbol 0 ) miteinander kombiniert. II. (17) definiert die Wahrheitsbedingungen für das Resultat. Bei genauem Hinsehen wird nämlich offensichtlich, daß der Lexikoneintrag des Prädikats (15)c noch keine Wahrheitsbedingungen angibt, also die Bedingungen unter denen ein Ausdruck als wahr interpretiert wird. Erst die Satzregel macht es möglich, von Mengen (Verbbedeutung) zu Wahrheitswerten (Satzbedeutung) zu gelangen. (Eine alternative Methode, die charakteristische Funktionen verwendet, wird z.b. in Grewendorf, Hamm & Sternefeld 1987: 41f beschrieben)

6 #5: Prädikate 6.. SUBJEKTSBEDEUTUNG UND SITUATIONEN Eine wichtige Bemerkung zur Form der Satzregel (17). Es stellt sich nämlich in Zusammenhang mit (17) die Frage, warum in den Wahrheitsbedingungen (dem Teil rechts von gdw. ) die Situationsvarible s zweimal, und nicht nur einmal auftaucht. Konkret ist noch nicht erklärt worden, warum sich auch ein s nach der Subjektsdenotation findet (doppelt unterstrichen in (19)), d.h. warum nicht nur die Prädikatsdenotation, sondern auch die Bedeutung des Subjekts von der Situation abhängig gemacht werden muß: (19)... ƒα = 1 in s gdw ƒβ in s 0 ƒγ in s (Ausschnitt aus (17)) Daß die Subjektsdenotation tatsächlich von der Situation abhängt, in welcher der Satz interpretiert wird, kann anhand von Beispielen wie (20) verdeutlicht werden: (20) Der Präsident der USA ist Demokrat. (20) wird so verstanden, daß jenes Individuum, welches in einer Situation s die Eigenschaft Präsident der USA besitzt, in dieser Situation s Republikaner ist. Etwas formaler: (21) a. ƒder Präsident der USA ist Demokrat = 1 in s gdw. b. ƒder Präsident der USA in s 0 ƒist Demokrat in s gdw. c. das Individuum, das in s Präsident der USA ist, in s ein Demokrat ist Die Wahrheitsbedingungen für (20) sind also wie folgt: (22) ƒder Präsident der USA ist Demokrat = 1 in s gdw. das Individuum, das in s Präsident der USA ist, in s ein Demokrat ist Was (20) aussagt, ist, daß jenes Individuum, welches in der Äußerungssituation als Präsident der USA fungiert, in der Äußerungssituation ein Demokrat ist - und nicht, daß jedes Individuum, auf welches die Bezeichnung Präsident der USA zutrifft 2, in der Äußerungssituation Demokrat sei. Man betrachte nun die folgenden zwei Beispielsituation s 1 und s 2 : (2) s 1 : Planet Erde im Jahr 2005 s s : Planet Erde im Jahr 2010 Intuitiv ist (20) falsch in s 1, da in s 1 der Republikaner Bush Präsident war, jedoch (hoffentlich) wahr in s 2. Wenn die Subjektsdenotation nicht von der Situation abhängig gemacht wird, dann sollte (20) auch in s 2 falsch sein, da die DP der Präsident der USA ebensogut auf den früheren Präsidenten G.W. Bush referieren könnte: 2 Eine Komplikation besteht darin, daß in den USA interessanterweise auch ehemalige Präsidenten den Titel Predisident of the USA tragen. Letztere Gruppe umfaßte 2005 George Bush sen., George W. Bush, Bill Clinton, Gerald Ford und Jimmy Carter.

7 7 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 (24) a. ƒder Präsident der USA ist Demokrat = 1 in s gdw. b. ƒder Präsident der USA 0 ƒist Demokrat in s gdw. c. das Individuum, das Präsident der USA ist, in s ein Demokrat ist Noch deutlicher sieht man, daß die Situationsvariable auch im Subjekt auftauchen muß, wenn man Sätze betrachtet, in denen dieses Subjekt durch ein deiktisches Pronomen realisiert wird: (25) Ich habe gewonnen ÜBUNG Zeigen Sie, wie die richtige Bedeutung von (25) abgeleitet werden kann, wenn das Subjekt von s abhängig gemacht wird. Nehmen Sie dazu an, daß ƒich den Sprecher in s bezeichnet, sodaß es in unserem Ausschnitt der Welt die drei Situationen in (26) gibt: (26) s 1 : Maria hat gewonnen, und Maria äußert (25) s : Maria hat gewonnen, und Hans äußert (25) s 6 : Hans hat gewonnen, und Maria äußert (25)

8 #5: Prädikate 8 4. TYPENTHEORIE In Handout #2 wurden die drei Grundbestandteile der Bedeutung (Individuen, Situationen, und Wahrheitswerte) den drei Typen e, s und t zugewiesen. Diese Typen können, wie oben gezeigt wurde, unter gewissen Voraussetzungen miteinander kombiniert werden. Wie dies im Detail funktioniert wird in diesem Abschnitt kurz erläutert. Man nehme zur Veranschaulichung die Denotation eines einfachen Satzes in (27). (27) ƒhenry Rollins liest die Zeitung = {s HR liest die Zeitung in s} ÆÈÇ ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ Variable (Typ s) Bedingung (Typ t) Die Menge der Situationen s sodaß gilt, daß HR in s... Wird diese Bedeutung in der Mengennotation angegeben, so kann man das als eine Kombination einer Variable und einer Bedingung interpretieren, welche diese Variable erfüllen muß. Im konkreten Fall (27) handelt es sich um eine Kombination einer Situation von Typ s mit einem Wahrheitswert vom Typ t. Dieser komplexe Typ wird in spitze Klammern gesetzt und dann als <s,t> geschrieben. <s,t> ist der logische Typ von Propositionen, den Bedeutungsträgern von Sätzen. Ähnlich kann man bei der Bestimmung des Typs von Prädikaten vorgehen, wobei hier ein einfacher Typ mit einem komplexen Typ kombiniert wird. Dies sieht man, wenn man die (zugegebenermaßen etwas komplizierte) Bedeutung eines Verbs wie schlafen betrachtet: (28) ƒschlafen = {x {s x schläft in s}} Typ <e,<s,t>> Einstellige Prädikate erhalten demnach den Typ <e,<s,t>>. So wie Ausdrücke von Typ <s,t> terminologisch mit einem spezifischen Namen (Propositionen) versehen werden, gibt es auch einen Fachausdruck für natürlichsprachliche Ausdrücke, welche dem Typ <e,<s,t>> zugeordnet sind - sie werden als Eigenschaften bezeichnet. Kombination von Typen: Die Notation hilft einem auch zu verstehen, welchen Typ das Resultat der Kombination von zwei Knoten erhält. Wird z.b. ein Ausdruck vom Typ <e,<s,t>> mit einem Individuum (Typ e) kombiniert, dann resultiert daraus ein Proposition vom Typ <s,t>. Und wird eine Proposition in einer spezifischen Situation (Typ s) ausgewertet, dann ergibt sich aus der Kombination von s und <s,t> ein Wahrheitswert vom Typ t. (29) a. <e,<s,t>> + e Y <s,t> b. <s,t> + s Y t Generell gilt also, daß zwei Ausdrücke miteinander verbunden werden können, wenn der linke Teil des Typs des einen Ausdrucks mit dem Typ des anderen Ausdrucks übereinstimmt. Dies kann wie in (0) formuliert werden, wobei angenommen wird, daß die beiden Variablen δ und ε Variablen über Typen sind. Wenn δ den Wert e annimmt, und ε den Wert <s,t>, dann erhält man z.b. Zeile (29)a.

9 9 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 (0) <δ, ε > + δ Y ε Diese Art der Kombination von zwei Bedeutungen wird FUNKTIONALE APPLIKATION genannt, und stellt das wichtigste Kompositionsprinzip in der natürlichsprachlichen Semantik dar. Alle Ausdrücke der Sprache können (zumindest) einem Typ zugewiesen werden. Die Kenntnis des Typs ist insbesondere deshalb wichtig, um erkennen zu können, ob zwei Ausdrücke miteinander (mittels funktionale Applikation) kombiniert werden können oder nicht. Nach dem bisher gesagten wird z.b. sofort ersichtlich warum (1) nicht wohlgeformt ist: eine Proposition ist mit einer Eigenschaft nicht typenmäßig kompatibel: (1) *[Schnarcht] <e,<s,t>> [Hans schläft] <s,t> Hans schläft und schnarcht Ähnliches gilt für das folgende Beispiele: (2) *[Hans schläft] <s,t> Maria e Hans und Maria schlafen Die Russellmenge: Eine weitere wichtige Funktion der Typen liegt darin, gewisse semantische Paradoxa (auch Antinomien genannt) erklären zu können. Eine dieser Antinomien wurde 1901 von Bertrand Russell zum Anlaß genommen, Typen überhaupt in die Semantik einzuführen. Man nehme die Menge R in () an, die Menge aller Mengen die sich nicht selbst enthält (S ist die Menge aller Mengen). R wird auch die Russellmenge genannt: () R := {X0S X ó X} die Menge, der Mengen, die sich nicht selbst enthält Ist jetzt A ein Element von sich selbst? Im Prinzip existieren zwei Möglichkeiten: OPTION A. Man nehme an, daß R 0 R. Da A die Bedingung erfüllt, daß R eine Menge ist (R 0 S) sollte nun gelten, daß R nicht ein Element von R ist. Aber das widerspricht der Annahme. Die Annahme R 0 R kann also nicht korrekt sein. OPTION B. Man nehme alternativ an, daß R ó R. R erfüllt nun die Bedingung, die alle Elemente von R erfüllen müssen - nämlich X ó X. Es folgt, daß R0R. Wiederum ergibt sich ein Widerspruch, die Annahme R ó R kann nicht korrekt sein. Die Frage, ob R ein Element der Menge R ist kann also nicht entschieden werden. Das ist die charakteristische Signatur eines Paradoxons. Russell entwickelt eine Erklärung für dieses Paradox, welche auf der Typentheorie basiert. Konkret schlägt Russell vor, daß die Element_von Beziehung 0 niemals für zwei Objekte mit dem gleichen Typ gelten kann. Eine Menge vom Type <e,t> kann daher z.b. niemals Element einer anderen Menge von Typ <e,t> sein. Dies folgt direkt aus der Regel in (0), da in einer solchen Verbindung kein Typ für das Resultat gefunden werden kann: (4) <e,t > + <e,t> Y??

10 #5: Prädikate 10 Einige natürlichsprachliche Beispiele für die Russellmenge sind in (5) angegeben: (5) a. ein Friseur, der alle Männer rasiert, die sich nicht selbst rasieren b. eine Liste von allen Listen, die sich nicht selbst enthalten ÜBUNG Welchen Typ haben die folgenden Ausdrücke (ignorieren Sie den Typ s - einstellige Verben werden also einfachheitshalber als Ausdrücke vom Typ <e,t> behandelt): (6) a. Tisch b. Es regnet oder es schneit c. bunt d. unten e. Mutter von f. liest ein Buch 5. PROBLEM: TRANSITIVE PRÄDIKATE Obwohl die bisher vorgestellte Semantik einen großen Fortschritt erzielt hat, indem sie die kompositionale Derivation von intransitiven Konstruktionen erlaubt, kann sie noch nicht ganz korrekt sein. Es ist nämlich noch nicht möglich, einfache transitive Sätze zu interpretieren: (7) a. Hans [ VP kennt Maria] b. Hans ist [ AP Maria fremd/ähnlich] c. Hans ist [ NP ein Feind vieler Worte] d. Hans ist [ PP aus Purkersdorf] Ein Verb wie kennen denotiert z.b. nicht eine Menge von Individuen, so wie dies mit intransitiven Prädikaten der Fall ist. Daher kann auch nicht die Satzregel, die für Prädikate, die mit nur einem Argument kombiniert werden, formuliert worden ist, zur Anwendung kommen. Vielmehr bezeichnen transitive Verben Relation zwischen Individuen, im Fall von kennen z.b. die kennen -Relation, die auf alle Paare von Individuen zutrifft, in denen das erste Element des Paares das zweite Element des Paares kennt. Etwas formaler kann dies als eine Menge von geordneten Paaren ausgedrückt werden. Der Lexikoneintrag von kennen würde demnach so wie in (8) aussehen: (8) ƒkennen = für jede beliebige Situation s: {<x,y> x kennt y in s} In (8) wird die Menge (von geordneten Paare) durch die dem Definitionsstrich folgende Bedingung definiert. Auch hier kann natürlich die Bedeutung in einer spezifischen Situation angegeben werden (s. Handout #, 4). Dies geschieht einfach durch Aufzählung der Elemente Aus Gründen didaktischer Vereinfachung werden die Situationsvariablen beim Subjekt ab jetzt weggelassen. In der korrekten Theorie müssen diese natürlich auch angegeben werden.

11 11 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 der Menge. Wenn z.b. in einer Situation s 8 Hans Maria kennt, und Maria Peter kennt, und sonst keine Individuen einander kennen, dann kann die Bedeutung von kennen in s 8 wie in (9) angegeben werden: (9) ƒkennen in s 8 = {<Hans, Maria>, <Maria, Peter>} Das Problem, das sich aus der Behandlung transitiver Prädikate für das Kompositionalitätsprinzip ergibt, stellt sich nun wie folgt dar. Keine der oben besprochenen Darstellungen erlauben eine kompositionale Derivation. Insbesondere setzt jeder der Einträge in (8) - (9) voraus, daß die Verbbedeutung gleichzeitig mit der Subjektsdenotation und der Objektsdenotation kombiniert werden muß. Wird (8) zugrunde gelegt, erhält man z.b. die untenstehende Gleichung, in der, um den Satz wahr zu machen, verlangt wird, daß das Paar <Hans, Maria> ein Element der Verbdenotation ist. Auf den ersten Blick scheint dieses Resultat plausibel zu sein: (40) Für jede Situation s, ƒhans kennt Maria = 1 in s gdw <Hans,Maria > 0 {<x,y> x kennt y in s} ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ = Denotation von kennen in (8) Doch die Details weisen auf die grundlegende Unzulänglichkeit von (40) hin. Konkret verlangt nämlich die Satzregel (17), daß die Bedeutung von kennen auf ein syntaktisches Objekt appliziert, dessen Bedeutung das Paar <Hans, Maria> darstellt. Um die korrekte Interpretation zu liefern, müßte der Baum demnach so aussehen wie in (41): (41) ƒip = 1 in s gdw <Hans, Maria > 0 {<x,y> x kennt y in s} qp ƒhans Maria = <Hans, Maria> VP! Hans Maria V! ƒkennt = für jede Situation s: {<x,y> x kennt y in s} Diese Struktur widerspricht nun aber allen bekannten syntaktischen Gesetzen. Eine sich auf (41) stützende Derivation kann daher nicht korrekt sein. Wird im Gegensatz dazu die konventionelle, syntaktisch wohlgeformte Struktur (42) interpretiert, führt die semantische Derivation zu keinem Resultat, der Satz wird fälschlicherweise als uninterpretierbar aussortiert. Die Gründe dafür können in (42) nachvollzogen werden.

12 #5: Prädikate 12 (42) ƒip = 1 in s gdw <Hans,Maria > 0 {<x,y> x kennt y in s} wo NP VP! wo ƒhans = Hans NP V!! ƒmaria = Maria ƒkennt = für jede Situation s: {<x,y> x kennt y in s} Die Bedeutung der Subjekts-NP von (42) ist das Individuum Hans, während die Objekts-NP die Person Maria denotiert. Im syntaktischen Baum findet sich jedoch kein einziger Knoten, dessen Denotation dem Paar <Hans, Maria> entsprechen würde. Die Derivation der Bedeutung von transitiven Sätzen leidet also an gravierenden Fehlern. Diese können alle auf eine Verletzung von Kompositionalität - der VP in (42) wird keine Bedeutung zugewiesen - zurückgeführt werden. Was folgt: Lösung des Kompositionalitätsproblems º Teil I: Prädikate als Funktionen (von Paaren zu Funktionen) º Teil II: λ-kalkül 6. PRÄDIKATE ALS MEHRSTELLIGE FUNKTIONEN Der erste Teil der Lösung des Problems wird durch eine alternative Repräsentation für Prädikate zur Verfügung gestellt. Anstatt zwei (oder dreistellige) Prädikate als Mengen von Paaren (oder Tripeln) aufzufassen, können diese mit dieser Methode als mehrstellige Funktionen interpretiert werden. Da solche mehrstellige Funktionen in jedem Derivationsschritt immer nur mit einem Argument kombiniert werden, kann die im vorigen Kapitel geschilderte Problematik umgangen werden. Unter dieser neuen Sichtweise besitzen zweistellige Verben zwei Argumentspositionen, und dreistellige drei Argumente. Die Sätze (1) (=(4)) werden in der alternativen Darstellung z.b. so wie in (44) übersetzt: (4) a. Maria kennt Peter b. Maria zeigte Peter das Buch c. Maria legte das Buch auf das Regal (44) a. kennen(peter)(maria) b. zeigen(peter)(das Buch)(Maria) c. legen_auf(das Buch)(das Regal)(Maria) Allgemein kann die neue Syntax der Prädikatenlogik durch eine revidierte Version von (12)a definiert werden:

13 1 DGB 8 Semantik, WS 2008/09 (12)a Wenn P ein n-stelliges Prädikat ist und t 1, t 2,...,t n Terme sind, dann ist P(t 1 )(t 2 ),...(t n ) eine WFF (45) Beispiel: zeigen ist ein -stelliges Prädikat und Peter, das Buch und Maria sind Terme. zeigen(peter)(das Buch)(Maria) ist daher eine WFF 6.1. REIHENFOLGE DER ARGUMENTE UND REKONSTRUKTION Man beachte daß die Reihenfolge der Argumente: das innerste Argument in der (revidierten) prädikatenlogischen Form (z.b. Peter in (4)b) ist das äußersteargument (das Subjekt) in der natürlichsprachlichen Form. Im Gegensatz zu formalen Sprachen zeichnen sich natürliche Sprachen durch die Eigenschaft aus, daß Ausdrücke disloziert, d.h. verschoben werden können. Wird in einem Satz die basisgenerierte Wortfolge durch Bewegungsprozesse (z.b. V2-Bewegung ) zerstört, dann muß daher vor der Übersetzung des natürlichsprachliche Ausdrucks in eine logische Sprache wieder die Grundwortfolge hergestellt werden. Dieser Prozeß der Rekonstruktion findet auf der abstrakten Repräsentationsebene der Logischen Form (LF) statt. (46) illustriert dies für ditransitive Konstruktionen, d.h. Sätze mit dreiwertigen Verben wie zeigen, geben, vorstellen, unterziehen, aussetzen, usw... (46) a. Oberflächensyntax CP Maria C zeigte 2 IP t VP Peter VP b. LF: Verb und Subjekt werden rekonstruiert IP ä Maria VP ã Peter VP â das Buch zeigte das Buch t 2 c. Prädikatenlogische Übersetzung: zeigen(das Buch)(Peter)(Maria) In der Oberflächensyntax (46)a wurde das Subjekt nach SpecCP, sowie das Verb nach C bewegt. Um eine interpretierbare Repräsentation zu erhalten, müssen beide wieder in ihre Grundposition rekonstruiert werden, wie in (46)b gezeigt REIHENFOLGE DER ARGUMENTE UND STRUKTUR Im Allgemeinen entspricht die Reihenfolge der Argumente der Reihenfolge, in der diese mit dem Verb kombiniert werden. Für komplexere Konstruktionen mit dreiwertigen Verben kann dies zu der Notwendigkeit führen, sich zwischen zwei Strukturen für ein und den selben Satz zu entscheiden. Der englische Satz Sally showed Bill the book kann so z.b. im Prinzip entweder so

14 #5: Prädikate 14 wie in (47)a oder so wie in (48) analysiert werden. Jede der beiden Analysen korreliert hierbei mit einer anderen prädikatenlogischen Form. Welche gewählt wird ist, sofern sich keine empirischen Argumente gegen eine der beiden Repräsentationen finden lassen, gleichbedeutend. Wichtig ist jedoch, daß (47)a nicht in zeigen(bill)(das Buch)(Sally) übersetzt werden kann, genauso wenig wie (48) in zeigen(das Buch)(Bill)(Sally). (47) a. Syntax IP Sally VP showed 2 VP Bill VP the book t 2 b. Logische Form IP ä Sally VP VP ã Bill VP show â the book ± zeigen(das Buch)(Bill)(Sally) (48) IP ä Sally VP VP ã the book showed â Bill ± zeigen(bill)(das Book)(Sally) Im Deutschen stellt sich dieses Problem (zumindest bei Doppelobjektskonstruktionen) nicht, da das Verb immer in die satzfinale Position rekonstruiert wird.