Grundkurs Logik - 2. Einheit

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1 19. Oktober 2012

2 Logische Form Um die logische Form eines Argumentes (bzw. der Behauptungssätze, aus denen es aufgebaut ist) ersichtlich zu machen, sind zwei Dinge besonders wichtig:

3 Logische Form Um die logische Form eines Argumentes (bzw. der Behauptungssätze, aus denen es aufgebaut ist) ersichtlich zu machen, sind zwei Dinge besonders wichtig: 1 Auszeichnung der logischen Konstanten

4 Logische Form Um die logische Form eines Argumentes (bzw. der Behauptungssätze, aus denen es aufgebaut ist) ersichtlich zu machen, sind zwei Dinge besonders wichtig: 1 Auszeichnung der logischen Konstanten 2 Verwendung von Variablen für Bestandteile von Sätzen

5 Logische Form Um die logische Form eines Argumentes (bzw. der Behauptungssätze, aus denen es aufgebaut ist) ersichtlich zu machen, sind zwei Dinge besonders wichtig: 1 Auszeichnung der logischen Konstanten 2 Verwendung von Variablen für Bestandteile von Sätzen

6 Beispiel Max war beim letzten Kreisky-Konzert oder Miriam war beim letzten Kreisky-Konzert. (1. Prämisse) Max war nicht beim letzten Kreisky-Konzert. (2. Prämisse) Also Miriam war beim letzten Kreisky-Konzert (Konklusion)

7 Um sich die logische Form des Arguments klarzumachen, fixiert man bestimmte Ausdrücke - die sogenannten logischen Konstanten - und ersetzt die anderen durch Variablen. p oder q nicht p Also q

8 Im Beispiel wurden die Ausdrücke nicht und oder fixiert - es handelt sich um logische Konstanten. Die restlichen Bestandteile des Argumentes, lauter Sätze, wurden durch Satzvariablen ersetzt. Das Argument ist gültig aufgrund seiner logischen Form und der Bedeutung der logischen Konstanten. Man beachte, dass im vorigen Beispiel nur die Struktur dargestellt wurde, insofern sie sich auf ganze Sätze bezieht! Der Satz Max war beim letzten Kreisky-Konzert wurde als unanalysierte Einheit betrachtet!

9 Andererseits betrachte man das folgende Argument: Max war beim letzten Kreisky-Konzert oder Miriam war beim letzten Kreisky-Konzert. (Prämisse) Also Irgendjemand war beim letzten Kreisky-Konzert. (Konklusion)

10 Um die Gültigkeit dieses Arguments einzusehen, muss man auch auf die innere Struktur der im Argument beteiligten Sätze Rücksicht nehmen! a ist ein P oder b ist ein P. (1. Prämisse) Also Irgendein x ist ein P. (Konklusion)

11 Die Art von Logik, die sich nur auf unanalysierte, einfache Basis-Sätze (wie Dave spielt Schlagzeug ) bezieht, heisst Aussagenlogik Die Art von Logik, die auch auf die innere Struktur von Basis-Sätzen Rücksicht nimmt, heisst Prädikatenlogik

12 Beispiel (A) Martin spielt Gitarre und nicht Bass Aussagenlogische Struktur von (A): p und nicht q wobei p für Martin spielt Gitarre steht und q für Martin spielt Bass. Prädikatenlogische Struktur von (A): a ist ein G und a ist kein B wobei a für Martin steht, G für spielt Gitarre und B für spielt Bass.

13 In den nächsten Einheiten werden wir uns zunächst ausschließlich mit der formalen Sprache der Aussagenlogik beschäftigen und mit Methoden wie man Argumente auf aussagenlogische Gültigkeit testen kann.

14 Syntax und Semantik Davor noch ein Wort zur Unterscheidung Syntax vs. Semantik. Grob: Syntax beschäftigt sich mit Eigenschaften von sprachlichen Entitäten (Sätzen, Namen,...), die sich ausschließlich auf deren äußere Gestalt beziehen. Syntax behandelt sprachliche Ausdrücke als bloße Zeichenreihen. Semantik beschäftigt sich auch mit der Bedeutung solcher Zeichenreihen. Zentrale (extensionale) semantische Begriffe sind etwa der Begriff der Referenz (auf was verweist / bezieht sich ein sprachlicher Ausdruck) und der Begriff der Wahrheit.

15 Beispiel: Z.B.: Beryllium hat die Ordnungszahl 4 Eine syntaktische Eigenschaft dieses Satzes ist, dass er aus 32 Buchstaben besteht. (Leerzeichen mitgerechnet) Eine semantische Eigenschaft des Satzes ist, dass er wahr ist.

16 Wir werden im Folgenden eine formale Sprache - die Sprache AL - konstruieren. Dazu werden wir sehr präzise angeben, wie die Syntax und Semantik der Sprache AL aussehen. Ziel: Wir wollen dann mit Hilfe dieser formalen Sprache Licht auf die Gültigkeit von umgangsprachlichen Argumenten werfen.

17 Syntax von AL Syntax von AL: 1 Alphabet Atomare Satzbuchstaben Logische Konstanten Hilfszeichen 2 Bildungsregeln

18 Alphabet Das Alphabet legt fest, aus welchen Grundzeichen wohlgeformte Zeichenreihen der Sprache AL aufgebaut sind. Definition 1 Atomare Satzbuchstaben: p, q, r, s, p 1, q 1,... p 2,... 2 Logische Konstanten - die Junktoren: (Negation, nicht ), (Konjunktion, und ), (Konditional, wenn, dann ), (Disjunktion, oder ) 3 Hilfszeichen: ( (linke Klammer) und ) (rechte Klammer)

19 Für die Menge aller atomaren Satzbuchstaben {p, q, r,...} schreiben wir oft einfach AT. Alle Zeichenreihen, die sich in der Sprache von AL bilden lassen (insbesondere die wohlgeformten Zeichenreihen), ergeben sich durch Aneinanderreihung dieser Grundzeichen!

20 Anmerkungen AL hat unendlich viele Grundzeichen (wegen der unendlich vielen atomaren Satzbuchstaben) - notwendig, um beliebig lange Argumente mit Hilfe von AL zu rekonstruieren Das könnte man vermeiden, indem man statt der unendlich vielen atomaren Satzbuchstaben nur einen atomaren Satzbuchstaben verwendet, etwa p, und zusätzlich ein Hilfszeichen, etwa, ins Alphabet mitaufnimmt. Weiters würde man dann festlegen, dass 1 p ein atomarer Satzbuchstabe ist und 2 Wenn α ein atomarer Satzbuchstabe ist, dann auch α Die Klasse der atomaren Satzbuchstaben setzt sich dann zusammen aus p, p, p, p,...

21 Anmerkungen Es gibt verschiedene andere Zeichen für die logischen Konstanten. Gebräuchlich sind auch folgende Zeichen Negation: Konjunktion: &, Konditional:,

22 Bildungsregeln Mit Hilfe von Bildungsregeln legen wir die Klasse der sogenannten wohlgeformten Formeln (WFF s) fest, also die Klasse derjenigen (endlichen) Folgen von Zeichen unseres Alphabets, die als korrekt gebildet gelten sollen. Dies tun wir mit Hinblick auf eine bestimmte Vorstellung hin: Stehen p und q für irgendwelche atomaren Sätze, so wollen wir mit der Formel (p q) den (semi-umgangssprachlichen) Satz Es ist nicht der Fall, dass p und q beide gelten. verbinden. Andererseits wollen wir mit der Zeichenreihe p keinen vernünftigen (semi-umgangssprachlichen) Satz verbinden.

23 Die Klasse WFF der wohlgeformten Formeln Wir definieren die Klasse der wohlgeformten Formeln (WFF) von AL wie folgt: Definition 1 Jeder atomare Satzbuchstabe ist eine WFF. 2 Wenn α eine WFF ist so ist auch α eine WFF. Wenn α und β WFF s sind, so auch (α β). Wenn α und β WFF s sind, so auch (α β). Wenn α und β WFF s sind, so auch (α β). 3 Nichts ist eine WFF, wenn nicht durch endlich ofte Anwendung der Regeln 1 und 2.

24 Bemerkungen zur Definition 1 Klammern sind notwendig um eindeutige Lesbarkeit zu garantieren. 2 Die griechischen Buchstaben α und β gehören NICHT zu unserer Sprache AL (dazu gehören nur die Zeichen, die wir explizit in unser Alphabet aufgenommen haben)! Es handelt sich um meta-sprachliche Variablen, um über Zeichenfolgen unserer Objekt-Sprache zu sprechen. 3 Bei der Definition handelt es sich um eine sogenannte rekursive (induktive) Definition.

25 Eindeutige Lesbarkeit Damit Formeln unserer künstlichen Sprache AL eindeutig lesbar sind (d.h. damit auch ein entsprechend programmierter Computer entscheiden könnte, ob eine Zeichenreihe wohlgeformt ist), braucht man Klammern. Sonst wäre z.b. unklar, ob sich die Negation in p q nur auf p oder auf p q bezieht. Es wäre also unklar ob 1 nicht p und q (also ( p q) ) oder 2 nicht beides: p und q (also (p q) ) gemeint ist. Anmerkung: Wenn Zweideutigkeiten nicht zu erwarten sind, werden äussere Klammern der besseren Lesbarkeit halber oft weggelassen.

26 Alternativen zu Klammern 1 Punkt-vor-Strich-Regeln Man kann die Junktoren,,, ihrer Bindungsstärke nach ordnen, sodass z.b. p q r s immer als (( p (q r)) s) gelesen werden soll. D.h. bindet stärker als, bindet stärker als und bindet stärker als. 2 Polnische Notation Man schreibt die Junktoren vor (statt zwischen) zwei Sätzen und legt fest dass sich der einstellige Junktor auf die nächste ganze Formel bezieht und die zweistelligen Junktoren,, jeweils auf die nächsten beiden ganzen Formeln. Die Formel ( (p q) p) würde also dargestellt durch pq p. 3 Zweidimensionale (statt linearer) Schreibweise: Statt Zeichen linear, d.h. der Reihe nach anzuordnen, stellt man sie graphisch dar (C. S. Peirce, G. Frege)

27 Objekt- und Metasprache Spricht man über sprachliche Entitäten, so ist es oft wichtig, den Unterschied zu beachten zwischen der Sprache, über die man spricht (der Objektsprache) und der Sprache, mit der man über diese Sprache spricht (der Metasprache). Beispiel: Man vergleiche etwa die deutschen Sätze 1. Äpfel sind köstlich und schön anzusehen. und 2. Äpfel ist ein Wort der deutschen Sprache.

28 Objekt- und Metasprache Der erste Satz ist ein Satz der deutschen Sprache der etwas über Äpfel aussagt. Das Wort Äpfel wird in diesem Satz gebraucht. Der zweite Satz sagt nichts über Äpfel aus. Das Wort Äpfel wird hier bloßerwähnt, was durch den Gebrauch von Anführungszeichen angedeutet wird. Der Satz sagt etwas über eine bestimmte Zeichenfolge aus. Der zweite Satz sagt etwas über die deutsche Sprache, hat also Deutsch als Objektsprache zum Gegenstand. Gleichzeitig ist er ein Satz der deutschen Sprache, d.h. in diesem Fall fallen Objekt- und Metasprache zusammen.

29 Objekt- und Metasprache Im folgenden wird unsere Objektsprache immer AL sein und unsere Metasprache wird immer Deutsch sein, angereichert um Zeichen, die es uns ermöglichen, über AL zu sprechen. Insbesondere werden wir des öfteren metasprachliche Variablen (wie α, β,... in der Definition der WFF s) verwenden, um allgemeine Aussagen über AL treffen zu können.

30 Rekursive Definitionen Die Definition der WFFs oben ist eine sogenannte Definition durch Rekursion. Rekursive Definitionen sind - nicht nur in der Logik - sehr gebräulich, und kommen auch später immer wieder vor. Aus der Schule kennt man vielleicht noch rekursiv definierte Folgen.

31 Rekursive Definitionen Der abstrakte Kern von Rekursion liegt darin, dass 1 ein oder mehrere Basiselemente ausgezeichnet werden und man 2 ein oder mehrere Operationen angibt, wie man von schon gegebenen Elementen einer bestimmten Klasse oder Folge auf weitere Elemente kommt

32 Rekursive Definitionen Dasselbe Schema wurde auch bei der Definition der WFFs benutzt: 1 Bestimmte Basiselemente wurden ausgezeichnet - die atomaren Satzbuchstaben 2 verschiedene Regeln wurden angegeben, wie man aus schon gegebenen WFFs auf neue WFFs kommt - die Regeln für die Junktoren

33 Induktion über den Formelaufbau Der Umstand, dass die WFFs rekursiv definiert wurden, ermöglicht es uns auch die Beweismethode der strukturellen Induktion (oder Induktion über den Formelaufbau) anzuwenden, um Aussagen über alle WFFs zu beweisen. Dabei geht man so vor:

34 Induktion über den Formelaufbau 1 Man zeigt, dass die Aussage auf alle atomaren Sätze zutrifft (also p, q, r...) 2 Man zeigt, dass die Aussage auf α zutrifft, falls sie auf α zutrifft Man zeigt, dass die Aussage auf (α β) zutrifft, falls sie auf α und auf β zutrifft Man zeigt, dass die Aussage auf (α β) zutrifft, falls sie auf α und auf β zutrifft Man zeigt, dass die Aussage auf (α β) zutrifft, falls sie auf α und auf β zutrifft

35 Damit ist dann gezeigt, dass die Aussage für alle WFFs gilt (weil es ja ausser den atomaren Satzbuchstaben und den Formeln, die sich durch endlich ofte Anwendung der Bildungsregeln bzgl. der Junktoren, ergeben, keine WFFs gibt).

36 Die Festlegung der Syntax unserer künstlichen Sprache AL ist damit beendet.

37 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen/Argumenten Bei der Übersetzung eines umgangsprachlichen Satzes in unsere künstliche Sprache AL (Formalisierung) sind folgende Punkte zu beachten: Jedem aussagenlogisch nicht weiter zerlegbaren Teilsatz des zu formalisierenden umgangsprachlichen Satzes muss ein atomarer Satzbuchstabe von AL zugeordnet werden. Alles, was aussagenlogisch relevant ist (oder auch sein könnte) muss repräsentiert werden.

38 Formalisierung von umgangssprachlichen Sätzen/Argumenten Um den umgangssprachlichen Satz Martin mag Jutta nicht, und wenn er Max mag, dann auch Julia. zu formalisieren, brauchen wir also 3 atomare Satzbuchstaben: p... Martin mag Jutta q... Martin mag Max r... Martin mag Julia Gemäss unseren intuitiven Festlegungen, wonach für das umgangssprachliche nicht steht, und und für das umgangssprachliche und und wenn, dann resp., lautet die Formalisierung also p (q r)

39 Alles was aussagenlogisch relevant ist (insbesondere alle Vorkommnisse von aussagenlogischen Junktoren), sollte sich in der Formalisierung widerspiegeln!

40 AL soll aber nicht ein bloßer Formalismus sein! Wir wollen die künstliche Sprache AL auf Argumente der Umgangssprache anwenden anwenden können. Bei der Aufstellung der Syntax von AL wollten wir also eine künstliche Sprache entwickeln, die gewisse Beziehungen zur Umgangssprache hat. Die Variablen p, q,... sollen etwa für - nicht weiter zerlegebare - umgangssprachliche Sätze stehen, soll für das umgangssprachliche und stehen usw. Wir haben also eine bestimmte Semantik für unseren Formalismus im Kopf.

41 Extension vs. Intension Wenn wir im Verlauf der Vorlesung von Semantik im Allgemeinen und der Bedeutung eines Ausdrucks im Besonderen sprechen, verstehen wir darunter in der Regel dessen extensionale - im Gegensatz zu seiner intensionalen - Bedeutung.

42 Extension vs. Intension Extension eines Satzes ist sein Wahrheitswert eines Prädikats ist die Menge aller Dinge, von denen das Prädikat wahr ist eines singulären Terms ist das bezeichnete Ding

43 Extension vs. Intensions Im Gegensatz dazu ist die Intension eines Satzes die von ihm ausgedrückte Proposition eines Prädikats die Eigenschaft, die ein Gegenstand haben muss, um unter das Prädikat zu fallen eines singulären Terms die Art und Weise wie uns der Gegenstand gegeben ist

44 Beispiel Man betrachte die beiden Prädikate ist ein Lebewesen mit Herz und ist ein Lebewesen mit Nieren Tatsächlich sind alle Lebewesen mit Nieren auch Lebewesen mit Herz und umgekehrt. Beide Prädikate sind also von exakt denselben Gegenständen wahr, haben also dieselbe Extension. Trotzdem sind beide Eigenschaften sehr verschieden; jemand der beide Ausdrücke versteht, weiss nicht automatisch, dass der Satz Alle und nur die Lebewesen mit Herz sind Lebewesen mit Nieren wahr ist. Die beiden Prädikate haben also verschiedene Intension.

45 Ähnliche Beispiele gibt es auch für Singuläre Terme: Dazu man vergleiche etwa die Ausdrücke und 2 4 Dasselbe gilt offenbar auch für Sätze: Kreisky ist der Name einer Band und Die Erde ist der dritte Planet des Sonnensystems drücken offenbar ganz verschiedene Inhalte aus - bzgl. ihrer Wahrheitswerte (ihrer extensionalen Bedeutung) stimmen sie aber überein.

46 Semantik von AL Der zentrale semantische Begriff auf den bei der Gültigkeit von Argumenten ankommt, ist der Begriff der Wahrheit. Nach unseren Festlegungen zu Beginn der Vorlesung, soll ein Satz von AL genau einen von zwei Wahrheitswerten haben - wahr oder falsch. Das Ziel im folgenden wird es sein, Bedingungen anzugeben, unter denen ein beliebig komplexer Satz (eine beliebige WFF) von AL wahr ist, gegeben eine bestimmte Verteilung von Wahrheitswerten zu den atomaren Sätzen.

47 Beispiel Angenommen p und q stehen für bestimmte atomare Sätze (wie Martin spielt Gitarre ). Wir wollen nun den Wahrheitswert des komplexen AL-Satzes (p q) bestimmen, wenn p für einen wahren Satz steht, und q für einen falschen. Gegeben unsere informelle Festlegung, dass für und steht, so gilt: (p q) ist falsch. Ein Satz, der dadurch entsteht, dass zwei Sätze durch und verbunden werden, ist eben genau dann wahr, wenn beide Teilsätze wahr sind.

48 Andererseits gilt aufgrund unserer informellen Festlegung, dass für nicht steht: (p q) ist wahr. Ein Satz, der dadurch entsteht, indem ein anderer negiert wird, ist eben genau dann falsch (wahr), wenn der ursprüngliche Satz wahr (falsch) ist.

49 Man kann also den Wahrheitswert eines komplexen Satzes zurückführen auf die Wahrheitswerte seiner einfacheren Teilsätze - und zwar nach ganz bestimmten Regeln wie Eine Konjunktion (α β) ist wahr genau dann wenn sowohl α als auch β wahr sind Eine Negation α ist wahr genau dann wenn α falsch ist... Diese Grundidee werden wir im folgenden präzise machen. Wir entwickeln eine (extensionale) Semantik für AL.

50 Vorbereitungen Im folgenden werden wir für die beiden Wahrheitswerte (wahr und falsch) Buchstaben - w und f - verwenden. Ganz wichtig ist der Begriff einer Bewertungsfunktion: Definition Eine Bewertungsfunktion ist eine Funktion v : AT {w, f }

51 Bemerkungen Eine Bewertungsfunktion v ordnet eigentlich jedem atomaren Satzbuchstaben (also jedem der unendlich vielen Satzbuchstaben) einen der beiden Wahrheitswerte zu. Wenn es darum geht, mittels AL umgangssprachliche Argumente zu rekonstruieren, werden (in der Regel) aber nur endlich viele Satzbuchstaben gebraucht, d.h. es wird auf die Wahrheitswerte der restlichen (unendlich vielen) Satzbuchstaben nicht ankommen. Man nennt eine Bewertungsfunktion oft auch ein aussagenlogisches Modell, oder eine aussagenlogische Interpretation. Man kann sich eine Interpretation auch vorstellen wie eine mögliche Welt (die bzgl. der Wahrheitswertverteilungen von Sätzen nicht mit der realen Welt übereinstimmen muss)

52 Beispiel Eine Bewertungsfunktion v ist z.b. gegeben durch die Festlegungen: v(p) = w v(q) = f und v(α) = w für alle restlichen atomaren Satzbuchstaben α. Das bedeutet: Bezüglich der gegebenen Bewertungsfunktion v ist der atomare Satz p wahr (v(p) = w), q falsch (v(q) = f ) und alle anderen atomaren Sätze sind wahr.

53 Ausgehend von einer gegebenen Bewertungsfunktion v wollen wir nun definieren, wann eine beliebig komplexe WFF von AL wahr (oder falsch) ist. Wir definieren deshalb für jede gegebene Bewertungsfunktion v (die ja nur atomaren WFF s Wahrheitswerte zuordnet) die Erweiterung v : WFF {w, f } durch die folgenden rekursiven Klauseln:

54 Semantik von AL Definition 1 Falls α ein atomarer Satzbuchstabe ist, so gilt v(α) = v(α) 2 v( α) = w gdw. v(α) = f 3 v((α β)) = w gdw. v(α) = w und v(β) = w 4 v((α β)) = w gdw. v(α) = w oder v(β) = w (oder beides) 5 v((α β)) = w gdw. v(α) = f oder v(β) = w (oder beides)

55 Bei der Definition handelt es sich - wieder - um eine rekursive Definition; sie gibt uns eine Methode an die Hand, wie man die Wahrheitswerte von komplexen WFF s auf die Wahrheitswerte ihrer einfacheren Bestandteile zurückführen kann Diesen Aspekt der Semantik unserer Sprache AL nennt man auch Wahrheitsfunktionalität Insbesondere kann man durch wiederholte Anwendung der Klauseln in der Definition den Wahrheitswert eines beliebig komplexen Satzes von AL zurückführen auf die Wahrheitswerte der beteiligten atomaren Sätze (deren Wahrheitswerte durch eine Bewertungsfunktion v festgelegt sind) Durch Angabe einer Bewertungsfunktion v (eines Modells, einer Interpretation), sind also die Wahrheitswerte ALLER Sätze unserer Sprache eindeutig festgelegt!

56 Man kann sich das semantische Verhalten der Junktoren,,, auch durch Wahrheitstafeln veranschaulichen: α α w f f w α β (α β) w w w w f f f w f f f f

57 α β (α β) w w w w f w f w w f f f α β (α β) w w w w f f f w w f f w

58 Exkurs: das materiale Konditional Begriff materiales Konditional stammt von Bertrand Russell (In den principia mathematica - im Gegensatz zum formalen Konditional) In einer Formel (α β) nennt man α Vorderglied oder Antezedens und β Hinterglied oder Konsequens

59 Kritik am materialen Konditional Nach unseren semantischen Festlegungen ist ein Konditional (α β) nur dann falsch, wenn das Antezedens wahr und das Konsequens falsch ist. Dass sich diese Festlegung bzgl. Wenn-Dann-Aussagen mit der Semantik von umgangssprachlichen Wenn-Dann-Aussagen verträgt ist oftmals bezweifelt worden. Einer der Hauptgründe liegt in den sogenannten Paradoxien des materialen Konditionals.

60 Paradoxien des materialen Konditionals Man beachte etwa folgende Sätze: Wenn Berlin die Hauptstadt von Deutschland ist, dann ist 2 kleiner als 3. Wenn Berlin die Hauptstadt von Österreich ist, dann ist die kleinste Primzahl 2. Wenn die kleinste Primzahl 5 ist, dann ist die Hauptstadt von Österreich Zagreb. Nach unserer semantischen Festlegung bzgl. Wenn-Dann-Aussagen gelten alle diese Aussagen als wahr. Die erste und die dritte Aussage sind wahr, weil ein Konditional mit falschem Antezedens wahr ist, und die zweite, weil ein Konditional mit wahrem Konsequens wahr ist.

61 Paradoxien des materialen Konditionals Intuitiv würde man aber vielleicht sagen wollen, dass diese Aussagen falsch sind, da kein inhaltlicher Zusammenhang zwischen Antezedens und Konsequens besteht. In umgangssprachlichen Wenn-Dann-Sätzen soll aber genau so ein inhaltlicher Zusammenhang behauptet werden. das materiale Konditional ist inadäquat zur Repräsentation von umgangssprachlichen Wenn-Dann-Aussagen.

62 Paradoxien des materialen Konditionals Dennoch gibt es gute Gründe, Wenn-Dann-Aussagen dennoch mit Hilfe des materialen Konditionals zu modellieren: Einfachheit ist ein starker Grund beim wahrheitsfunktionalen materialen Konditional zu bleiben: andere Varianten die Semantik von umgangssprachlichen Wenn-Dann-Aussagen zu modellieren, sind in der Regel kompliziert. Um logische Implikationen zu behaupten, kann man den metatheoretischen Folgerungsbegriff verwenden (den wir uns später genauer ansehen werden) Bei den Gegenbeispielen handelt es sich um entartete Fälle, die in der Umgangssprache sowieso niemals behauptet werden. In den Fällen, auf die es ankommt, liefert das materiale Konditional richtige Ergebnisse. Man betrachte etwa das folgende Beispiel:

63 Beispiel Mia sagt zu ihrem Sohn Max: Wenn du auf die nächste Mathe-Schularbeit einen Einser bekommst, dann kriegst du 10 Euro. Wir stellen uns nun vor, unter welchen Umständen Max seine Mutter der Lüge zeihen kann, d.h. unter welchen Umständen die Aussage der Mutter falsch war. (Für den Moment wollen wir lügen mit die Unwahrheit sagen gleichsetzen, obwohl das streng genommen nicht korrekt ist; eine Lüge setzt ja auch die Absicht voraus, die Unwahrheit zu sagen.)

64 Beispiel Fall 1: Max hat tatsächlich einen Einser bekommen und bekommt auch tatsächlich 10 Euro. Unter diesen Umständen sind sowohl Antezedens als auch Konsequens wahr. Max wird seine Mutter nicht der Lüge bezichtigen: er hat einen Einser bekommen und 10 Euro bekommen, so wie es die Mutter versprochen hat. Das materiale Konditioal liefert den richtigen Wahrheitswert, nämlich wahr. Fall 2: Max hat tatsächlich einen Einser bekommen, bekommt aber die 10 Euro nicht. Das Antezedens der Aussage ist also wahr, das Konsequens aber falsch. Die Aussage der Mutter sollte in diesem Fall als falsch gelten - genauso wie es das materiale Konditional sagt.

65 Beispiel Fall 3: Max hat keinen Einser bekommen, bekommt aber trotztdem 10 Euro. Das Antezedens ist also falsch, das Konsequens wahr. Max wird aber die Mutter nicht der Lüge zeihen, denn dass Max einen Einser bekommt ist eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung dafür, dass er die 10 Euro bekommt. Das materiale Konditional liefert also wieder den richtigen Wahrheitswert - wahr. Fall 4: Max keinen Einser bekommen und bekommt auch die 10 Euro nicht. Sowohl Antezedens als auch Konsequens sind also falsch. Die Aussage der Mutter sollte in diesem Fall als wahr gelten - genauso wie es das materiale Konditional verlangt. Die Bedingung wurde nicht erfüllt, also ist die Mutter auch nicht darauf festgelegt ihrem Sohn 10 Euro zu geben.

66 In vielen Fällen liefert also das materiale Konditional genau das, was man will. Auch wenn (nach Ansicht Vieler) bestimmte Probleme bestehen bleiben, bleiben wir also dabei, umgangssprachliche Wenn-Dann-Aussagen mit Hilfe des materialen Konditionals zu formalisieren. Leute, die das materiale Konditional dennoch als inadäquat empfinden, müssen - vorerst - damit leben lernen.

67 Beispiel zu den Wahrheitsbedinungen Wir wollen nun - unter Anwendung der Klauseln in der Defintion den Wahrheitswert der WFF ((p q) r) bestimmen, unter der Voraussetzung, dass v(p) = w, v(q) = w und v(r) = w. (Die restlichen Werte von v interessieren uns nicht.)

68 Beispiel Es gilt (wegen der ersten Klausel bzgl. atomarer Sätze): v(p) = v(p) = w, v(q) = v(q) = w sowie v(r) = v(r) = w Wegen der -Klausel und der - Klausel gilt weiters: v(p q) = w, sowie v( r) = f Insgesamt gilt also, wegen der -Klausel: v((p q) r) = f

69 Semantische Folgerung Wir sind nun in der Lage, den zentralen Begriff dieser Vorlesung zu definieren, den der semantischen Folgerung: Definition Wenn Σ eine beliebige Menge von AL-Sätzen (den Prämissen) ist, und β ein einzelner AL-Satz (die Konklusion), so nennt man β eine semantische Folgerung aus Σ genau dann wenn für alle Bewertungsfunktionen (Modelle, Interpretationen) v gilt: Wenn für alle Sätze α in Σ gilt v(α) = w, dann auch v(β) = w.

70 Bemerkungen Die Definition sagt also: Ein Satz folgt semantisch aus bestimmten Prämissen, wenn immer dann wenn alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist. Anders formuliert: Ein Satz folgt semantisch aus bestimmten Prämissen, wenn es nicht möglich ist, dass alle Prämissen wahr sind, während die Konklusion falsch ist. Das es ist nicht möglich, dass... heißt bei uns nichts anderes als es gibt keine Bewertungsfunktion v (kein Modell, keine Interpretation) bzgl. der... Man beachte auch, dass die Prämissenmenge Σ nicht endlich sein muss - auch unendlich viele Prämissen sind zugelassen! (Obwohl wir uns in der Regel nur für Argumente mit endlich vielen Prämissen interessieren.)

71 Bemerkungen Statt zu sagen Der Satz β folgt semantisch aus den Prämissen Σ schreiben wir auch kurz: Σ β Falls Σ β, so sagen wir auch: Das Argument Σ, β ist (semantisch) gültig (valid). Man beachte, dass ein gültiges Argument weder wahre Prämissen noch eine wahre Konklusion haben muss! Sie sagt nur: WENN die Prämissen wahr sind, so muss es auch die Konklusion sein. Ein gültiges Argument, das tatsächlich wahre Prämissen hat heißt schlüssig (sound)

72 Problem Wir haben hier zunächst nur definiert, was es heißt dass ein Satz semantisch aus einer Menge von Sätzen folgt. Aber wie können wir konkret entscheiden, ob ein gegebenes Argument semantisch gültig ist. Eine brute-force-methode bieten Wahrheitstafeln, bei der systematisch einfach alle relevanten Bewertungsfunktionen (Modelle, Interpretationen) durchprobiert werden.

73 Beispiel Wir wollen z.b. herausfinden, ob das AL-Argument mit den Prämissen Σ := {(p q), p} und der Konklusion β := q gültig ist.

74 Beispiel Dazu probieren wir einfach - unter Anwendung der rekursiven Klauseln in der Wahrheitsdefinition - alle möglichen Bewertungsfunktionen durch!

75 Beispiel p q (p q) p q v 1 w w w f w v 2 w f w f f v 3 f w w w w v 4 f f f w f

76 Erläuterungen In den ersten beiden stehen die atomaren Sätze, die im Argument vorkommen In den nächsten beiden Spalten stehen die Prämissen des Arguments In der letzten Spalte steht die Konklusion Man geht dann einfach Zeile für Zeile alle relevanten Interpretationen durch In der ersten Zeile behandelt man etwa die Bewertungsfunktion v 1, für die gilt: v 1 (p) = v 1 (q) = w

77 Erläuterungen Unter Anwendung der rekursiven Klauseln für die Wahrheitswerte von komplexen Sätzen schreibt man nun in der jeweiligen Zeile immer den Wahrheitswert des Satzes in der jeweiligen Spalte. Bzgl. der ersten Interpretation z.b. haben sowohl p als auch q den Wahrheitswert w. Also hat auch (p q) den Wahrheitswert w. Bzgl. der dritten Interpretation hat p den Wahrheitswert f. Also hat p den Wahrheitswert w.

78 Erläuterungen Um nun entscheiden zu können, ob das in Frage stehende Argument nun tatsächlich gültig ist oder nicht, müssen wir nur die Zeilen, wo alle Prämissen wahr sind durchchecken und mit den entsprechenden Wahrheitswerten der Konklusion abgleichen. Per definitionem ist ein Argument ja genau dann gültig, wenn die Konklusion in jedem Fall wahr ist, wo auch alle Prämissen wahr sind.

79 p q (p q) p q w w w f w w f w f f f w w w w f f f w f Die einzige Zeile, in der alle Prämissen wahr sind, ist die dritte Zeile - und dort ist auch die Konklusion wahr. Das Argument ist gültig! Man schreibt auch: {(p q), p} q

80 Beispiel p q (p q) p q w w w f w w f f f f f w w w w f f w w f Hier gibt es zwei Interpretationen, bzgl. der alle Prämissen wahr sind (dritte und vierte Zeile) - aber in der vierten Zeile ist die Konklusion falsch. Das Argument ist nicht gültig! Man schreibt auch: {(p q), p} q

81 Bemerkung: Um ein Argument, dessen Sätze insgesamt n atomare Satzbuchstaben enthalten mittels Wahrheitstafelmethode auf semantische Gültigkeit zu überprüfen, muss man 2 n Interpretationen durchchecken! sehr aufwändig! Wir werden deshalb später effektivere Methoden kennenlernen, um nachzuweisen, dass ein Argument gültig ist.

82 Beispiel p q r (p q) q p r w w w w f w w w w f w f w f w f w f w w w w f f f w w f f w w w f f w f w f w f f f f f w w w f w f f f w w f f Es gibt keine Interpretation bzgl. der alle Prämissen wahr sind - also auch keine bzgl. der alle Prämissen wahr und die Konklusion falsch wäre Das Argument ist gültig!

83 Im vorigen Argument waren die Prämissen widersprüchlich - es gab keine Bewertungsfunktion, die alle Prämissen gemeinsam wahr gemacht hätte. Damit ist die Definition von semantischer Gültigkeit automatisch erfüllt! Denn wenn es keine Interpretation gibt, die alle Prämissen wahr macht, gibt es erst Recht keine Interpretation, die alle Prämissen wahr macht und die Konklusion falsch. Aus widersprüchlichen Prämissen folgt semantisch alles! Ex contradictione quodlibet

84 Tautologien und Kontraditktionen Wahrheitstafeln kann man auch benutzen, um zu entscheiden, ob ein AL-Satz eine Tautologie oder eine Kontradiktion ist. Definition Eine AL-Formel α heißt Tautologie, falls für alle Interpretationen v gilt: v(α) = w Definition Eine AL-Formel α heißt Kontradiktion, falls für keine Interpretation v gilt: v(α) = w

85 Bemerkungen Eine Tautologie ist also definitionsgemäßeine Satz, der immer wahr ist. Beispiele aus der Umgangssprache sind Sätze wie Wenn es regnet, dann regnet es oder Markus geht ins Kino oder Markus geht nicht ins Kino. Tautologien sind also Sätze, die wahr sind aufgrund ihrer logischen Form. Weder ist der erste Satz wahr aufgrund irgendwelcher Fakten bezüglich des Wetters, noch ist der zweite wahr aufgrund irgendwelcher Tatsachen bzgl. Markus Freizeitverhalten. Eine Kontradiktion auf der anderen Seite ist ein Satz, der niemals wahr ist, z.b. Es regnet und es regnet nicht.

86 Um zu entscheiden, ob ein AL-Satz eine Tautologie bzw. Kontradiktion ist, kann man wieder eine Wahrheitstafel machen: p q p (q p) w w w w f w f w w f f w

87 Erfüllbarkeit Ein weiterer wichtiger semantischer Begriff ist der der Erfüllbarkeit: Definition Eine Menge von AL-Sätzen Σ heisst erfüllbar, wenn es mindestens eine Interpretation v gibt, sodass für alle Sätze α in Σ gilt: v(α) = w Wir nennen auch einzelne Sätze α erfüllbar, nämlich dann wenn es mindestens eine Interpretation gibt, bzgl. der α wahr ist. Wieder kann man Wahrheitstafeln benutzen, um zu entscheiden ob eine Satzmenge erfüllbar ist (zumindest wenn es sich um endliche Satzmengen handelt)

88 p q p q q w w w f w f f w f w w f f f w w {(p q), q} ist erfüllbar.

89 Bemerkungen Man beachte, dass eine endliche Menge von Sätzen, etwa {α 1, α 2,...α n }, genau dann erfüllbar ist, wenn die Konjunktion dieser Sätze (α 1 α 2... α n ) erfüllbar ist.

90 p q (p q) q w w f w f f f w f f f w

91 Erfüllbarkeit von endlichen Satzmengen kann also zurückgeführt werden auf Erfüllbarkeit von einzelnen Sätzen. Man beachte jedoch, dass der allgemeine Begriff der Erfüllbarkeit auch für unendliche Satzmengen definiert ist!

92 Für endliche Prämissenmengen Σ kann auch der Begriff der semantischen Folgerung zurückgeführt werden - nämlich auf den Begriff der Tautologie. Angenommen etwa man hat die endliche Prämissenmenge Σ := {α 1, α 2,...α n } und die Konklusion β. Will man das Argument auf Gültigkeit untersuchen, so kann man einfach den Satz (α 1 α 2... α n ) β darauf überprüfen, ob es sich um eine Tautologie handelt. Der Grund dafür liegt einerseits in unserer Definition des semantischen Folgerungsbegriffes, andererseits in den semantischen Festlegungen bzgl. der Junktoren und.

93 Laut unserer Definition des semantischen Folgerungsbegriffs folgt nämlich β aus den Prämissen α 1,...α n genau dann, wenn es keine Interpretation gibt, bzgl. der alle Prämissen wahr, aber die Konklusion falsch ist. M.a.W.: β folgt aus den Prämissen α 1,...α n genau dann wenn es keine Interpretation gibt, bzgl. der die Konjunktion aller Prämissen wahr, aber die Konklusion falsch ist. M.a.W.: β folgt aus den Prämissen α 1,...α n genau dann wenn es keine Interpretation gibt, bzgl. der das Konditional, bestehend aus der Konjunktion aller Prämissen sowie der Konklusion β falsch ist. M.a.W.: β folgt aus den Prämissen α 1,...α n genau dann wenn das Konditional, bestehend aus der Konjunktion aller Prämissen und der Konklusion, bzgl. jeder Interpretation wahr - also eine Tautologie - ist.

94 Beispiel Wir wollen zeigen, dass das Argument {(p q), p} q gültig ist. Wir prüfen dazu, ob die Formel ((p q) p) q eine Tautologie ist. p q ((p q) p) q w w w w f w f w w f f w

95 Eine weitere Möglichkeit mit Hilfe von Wahrheitstafeln zu testen, ob ein Argument mit endlich vielen Prämissen α 1,...α n und der Konklusion β gültig ist, besteht darin zu testen, ob die Konjunktion (α 1... α n β) kontradiktorisch ist.

96 β folgt ja semantisch aus α 1,...α n genau dann wenn es keine Interpretation gibt in der alle Prämissen wahr aber die Konklusion falsch ist. M.a.W.: β folgt semantisch aus α 1,...α n genau dann wenn es keine Interpretation gibt in der alle Prämissen sowie die Negation der Konklusion wahr sind. M.a.W.: β folgt semantisch aus α 1,...α n genau dann wenn es keine Interpretation gibt, wo die Konjunktion aller Prämissen und der Negation der Konklusion wahr ist. M.a.W.: β folgt semantisch aus α 1,...α n genau dann wenn ((α 1... α n ) β) in jeder Interpretation falsch - also eine Kontradiktion - ist.

97 Beispiel Um zu testen, ob {(p q), p} q gilt, testen wir, ob die Formel ((p q) p) q kontradiktorisch ist. p q ((p q) p) q w w f w f f f w f f f f

98 Semantische Äquivalenz Definition Zwei AL-Formeln α heißen semantisch äquivalent wenn sowohl {α} β als auch {β} α Sind zwei Formeln semantisch äquivalent, so schreiben wir auch α β Zwei Formeln kann man wieder mittels Wahrheitstafeln auf semantische Äquivalenz hin überprüfen.

99 Beispiel Folgende Tafel zeigt etwa, dass die Formeln (p q) und (p q) semantisch äquivalent sind: p q (p q) (p q) w w w w w f f f f w f f f f f f

100 Weitere Äquivalenzen Allgemein gelten für beliebige Formeln α, β, γ die folgenden Äquivalenzen: α (β γ) α (β γ) (α β) (α γ) (α β) (α γ) (Distributivgesetze) (α β) (α β) α β α β (De Morgan sche Gesetze)

101 Funktionale Vollständigkeit Was das vorige Beispiel zeigt ist, dass es für jede Formel, die ein enthält, auch eine dazu semantisch äquivalente Formel gibt, die nicht enthält! Wir würden also nichts an Ausdrucksstärke verlieren, wenn wir auf den Junktor verzichtet hätten und jede Formel (α β) durch (α β) ersetzen würden.

102 Funktionale Vollständigkeit Folgende Äquivalenzen können ebenfalls zur Einsparung von Junktoren benutzt werden: α β α β α β α β α β (α β) α β α β ( α β) ( α β)

103 Funktionale Vollständigkeit Mengen von Junktoren, mittels derer man alle anderen Junktoren ausdrücken kann, nennt man funktional vollständig. (Nebenbemerkung: Genauer gesagt nennt man eine Menge von Junktoren funktional vollständig, wenn sich mit ihrer Hilfe alle Wahrheitswertfunktionen darstellen lassen Unter einer n-stelligen Wahrheitswertfunktion versteht man hier eine Funktion η : {w, f } n {w, f }, also eine Funktion, die jedem n-tupel von Wahrheitswerten einen Wahrheitswert zuordnet.)