Musterlösung Übungszettel 8 (Probeklausur 1)

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Anneliese Glöckner
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1 Sommersemester 2005 Seite 1 von 5 Musterlösung Übungszettel 8 (Probeklausur 1) (1) Zeigen Sie mit Hilfe der Wahrheitstafelmethode, dass a) der Satz (p q) (q p) (p q) eine Tautologie ist (5 Punkte); p q (p q) (q p) (p q) W W W W W W W W F F F W W F F W W F F W F F F W W W W W b) der Satz (p q) logisch aus dem Satz (( p q) q) (p q) folgt (9 Punkte). p q ((( p q) q) (p q)) (p q) W W F W W F F F W W W F F W F F W F W W F F W W W W F W W W W F F W F W F W F F F W F F F W W F W F W W Bewertung: Es gibt einen Punkt für jedes richtig ausgewertete Zeichen. (2) Man kann mit der Wahrheitstafelmethode von einem Satz A in AL zeigen, dass er aus zwei anderen Sätzen A1 und A2 in AL logisch folgt. Erläutern Sie, wie dabei vorzugehen ist und welche Idee dieser Vorgehensweise zugrunde liegt. (Sie haben in der Vorlesung zwei Verfahren kennen gelernt; es reicht an dieser Stelle eines der beiden anzugeben.) (3 Punkte) Die beiden möglichen Verfahren, nach denen man mithilfe der Wahrheitstafelmethode überprüfen kann, ob ein Satz A aus zwei Sätzen A1 und A2 logisch folgt, sind: 1. Es wird mithilfe der Wahrheitstafel gezeigt, dass in allen Zeilen, in denen sowohl A1 als auch A2 wahr ist, der Satz A ebenfalls wahr ist. 2. Es wird eine Subjunktion aufgestellt, deren Vorderglied aus einer Konjunktion der Sätze A1 und A2 und deren Hinterglied aus dem Satz A besteht. Mit einer Wahrheitstafel wird dann gezeigt, dass diese Subjunktion logisch (d.h. in allen möglichen Fällen) wahr ist. Diesen Verfahren liegt folgende Idee zugrunde: Nach der Definition des Begriffes der logischen Folgerung folgt ein Satz A von AL genau dann logisch aus zwei Sätzen A1 und A2, wenn es keine Bewertung gibt, bzgl. deren die Sätze A1 und A2 wahr sind, der Satz A aber falsch. Ob diese Bedingung erfüllt ist, lässt sich direkt durch die erste der oben genannten Methoden überprüfen. Denn die Sätze A1, A2 und A enthalten nur endlich viele Satzbuchstaben, und deshalb zerfällt die Menge aller Bewertungen in eine

2 Sommersemester 2005 Seite 2 von 5 ebenfalls endlich Anzahl von Teilmengen je nachdem, welche Wahrheitswerte die in den Sätzen A1, A2 und A vorkommenden Satzbuchstaben bzgl. dieser Bewertungen haben. Jede Zeile in einer Wahrheitstafel entspricht einer solchen Teilmenge. Wenn nun gezeigt ist, dass in allen Zeilen, in denen die Sätze A1 und A2 den Wahrheitswert W haben, auch der Satz A den Wert W hat, heißt das daher, dass A bzgl. aller Bewertungen wahr ist, bzgl. deren die Sätze A1 und A2 beide wahr sind. Die zweite Methode zeigt dies indirekt und zwar deshalb, weil eine Subjunktion per Definition genau dann logisch wahr ist, wenn es keinen Fall gibt, in dem das Vorderglied (hier A1 und A2) wahr und das Hinterglied (hier A) falsch ist. Bewertung: Es gibt einen Punkt für die richtige Nennung einer Vorgehensweise und zwei Punkte für die richtige Erläuterung der zugrunde liegenden Idee. (3) Handelt es sich bei dem Satz p q (( t q) ( p s)) in AL um eine Tautologie, Kontradiktion oder keines von beidem? Prüfen Sie dies mithilfe der Wahrheitsbaummethode. (8 Punkte) Bei dem Satz p q (( t q) ( p s)) handelt es sich um eine Tautologie: 1. (p q (( t q) ( p s))) A 2. p q (1) 3. (( t q) ( p s)) (1) 4. p (2) 5. q (2) 6. ( t q) ( p s) (3) 7. t q 8. ( p s) (6) 9. t (7) 10. q (7) 11. p (8) 12. s (8) Bewertung: Je 1 Punkt für die richtige Antwort Tautologie und den richtigen Ansatz, bis zu 6 Punkte für die richtige Entwicklung des Baumes.

3 Sommersemester 2005 Seite 3 von 5 (4) Übersetzen Sie die folgenden Sätze möglichst adäquat und strukturreich in die Sprache AL. (Vergessen Sie nicht, die entsprechenden Bewertungen anzugeben.) (7 Punkte) a) Die Erde kreist um die Sonne, aber der Papst glaubt das nicht. p: Die Erde kreist um die Sonne. q: Der Papst glaubt, dass die Erde um die Sonne kreist. p q b) Klaus kommt genau dann zur Party, wenn Anna nicht kommt oder wenn Olaf die Drinks mixt. p: Klaus kommt zur Party. q: Anna kommt zur Party. r: Olaf mixt die Drinks. p q r c) Wenn Sofie einen Witz macht, dann lachen Hans und Erna, es sei denn, dass entweder Klaus oder Peter die Stimmung verdirbt. p: Sofie macht einen Witz. q: Hans lacht. r: Erna lacht. s: Klaus verdirbt die Stimmung. t: Peter verdirbt die Stimmung. p (q r (s t)) Bewertung: Bei den Aufgabenteilen a) und b) gibt es jeweils einen Punkt für die richtige Bewertung der Satzbuchstaben und einen Punkt für die richtige Übersetzung. Bei dem Aufgabenteil c) gibt es einen Punkt für die richtige Bewertung der Satzbuchstaben und zwei Punkte für die richtige Übersetzung. (5) Übersetzen Sie folgendes Argument in AL (Bewertung nicht vergessen!), und überprüfen Sie mit Hilfe des Wahrheitsbaumverfahrens, ob die Konklusion aussagenlogisch aus den Prämissen folgt: Die Schüler sind dann und nur dann glücklich, wenn kein Test geschrieben wird. Wenn die Schüler glücklich sind, fühlt der Lehrer sich wohl. Aber wenn der Lehrer sich wohl fühlt, hat er keine Lust, Unterricht zu machen, und wenn er keine Lust hat, Unterricht zu machen, wird ein Test geschrieben. Also sind die Schüler nicht glücklich. (10 Punkte)

4 Sommersemester 2005 Seite 4 von 5 p: Die Schüler sind glücklich. q: Es wird ein Test geschrieben. r: Der Lehrer fühlt sich wohl. s: Der Lehrer hat Lust, Unterricht zu machen. (P1) p q (P2) p r (P3) r s (P4) s q (K) p 1. p q A 2. p r A 3. r s A 4. s q A 5. p A 6. p 7. q 8. p (1) 9. q (1) 10. p 11. r (2) 12. r 13. s (3) 14. s 15. q (4) Der Wahrheitsbaum lässt sich in allen Ästen schließen. Also folgt (K) aus (P1)-(P4); also ist das umgangssprachliche Argument aussagenlogisch gültig. Bewertung: Je 2 Punkte für die angemessene Bewertung und die richtig erkannte logische Form des Argumentes. 1 Punkt für den richtigen Ansatz des Baumes, bis zu 5 Punkte für die richtige Entwicklung.

5 Sommersemester 2005 Seite 5 von 5 (6) Führen Sie den Junktor auf die Junktoren und zurück. D.h. geben Sie einen Satz in AL an, der nur die Junktoren und enthält und zeigen Sie, dass dieser denselben Wahrheitswertverlauf wie der Satz p q hat. (4 Punkte) Ein Satz in AL, der den gleichen Wahrheitswertverlauf wie p q besitzt und nur die Junktoren und enthält ist z.b. ( p q). Das kann mithilfe einer Wahrheitstafel gezeigt werden: p q p q ( p q) W W W W F F F W F F F F W W F W F F W W F F F F F W W W Bewertung: Es gibt einen Punkt für die Nennung eines passenden Satzes und drei Punkte für den Nachweis, dass dieser den gleichen Wahrheitswertverlauf wie p q besitzt.

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