Musterlösung Übungsblatt 1 ( )

Transkript

1 Seminar: Formale Semantik Modul : Grammatiktheorie Seminarleiter: Anke Assmann Musterlösung Übungsblatt 1 ( ) Abgabe bis Institut für Linguistik Universität Leipzig 1 Funktionen und Mengen (20+3 Punkte) (a) Sind folgende Mengen gleich, wobei a b? Begründe. (8 Punkte) (1) a. {a} = {a, } ein, weil die rechte Menge mehr Elemente als die linke enthält. b. {x : a = b} = Ja, weil die Aussage a=b falsch ist. Das bedeutet, dass die linke Menge die leere Menge ist, genauso wie die rechte. c. = { } ein, nur die linke Menge ist leer. Die rechte Menge hat ein Element, nämlich die leere Menge. d. {x : x } = Ja, da kein Element in der leeren Menge ist, gibt es kein x, für das die Aussage x gilt. Damit ist die linke Menge leer, genau wie die rechte. e. {x : x schläft} = {x : x {x : b schläft}} Die linke Menge enthält alle Schlafenden. Die rechte Menge lässt sich zu {x : b schläft} vereinfachen. un ist b schläft entweder wahr oder falsch. Das heißt die rechte Menge beschreibt entweder die gesamte Menge der Individuen (falls b schläft wahr ist) oder die leere Menge (falls b schläft falsch ist). Die Mengen sind also nur dann gleich, wenn die Welt so beschaffen ist, dass alle Individuen schlafen oder kein Individuum schläft. f. {a} - {b} = {b} - {a} ein. Die Differenzmenge von {a} und {b} ist {a}. Die Differenzmenge von {b} und {a} ist {b}. Da ab, ist auch {a}{b}. g. {x : {x} P({x})} = {x : {a} P({a})} ( P(M) steht für Potenzmenge von M: die Menge aller Teilmengen von M) Ja. Jede Menge M ist eine Teilmenge von sich selbst, und somit ist sie ein Element von P(M). Sie ist aber keine Teilmenge von P(M). Damit sind die Aussagen {x} P({x}) und {a} P({a}) beide falsch. Daraus folgt, dass sowohl die linke als auch die rechte Menge die leere Menge beschreibt. Somit sind sie gleich. h. {x : x {y : y {a,b}}} = {y : x {a,b} } ein. Die Mengen lassen sich wie folgt vereinfachen: {y : y {a,b}} = {a,b}. Damit beschreibt auch die gesamte linke Menge {a,b}. In der rechten Menge wurde x nicht als Variable deklariert, daher muss es eine Konstante sein. Dann ist die Aussage x {a,b} falsch, woraus man 1

2 schließen kann dass die rechte Menge die leere Menge ist und somit nicht gleich {a,b} ist. (b) Ermittle die Funktionswerte. (6 Punkte+ 3 Zusatzpunkte) (2) Sei F die Funktion f so dass f : I I, und für jedes x I gilt: f(x) = x 2 a. F(5) = 25 b. F(300) = c. F( 5) = Kein Funktionswert, weil 5 keine natürliche Zahl ist. (3) Sei L {x : x ist ein Land}. Sei H {x : x ist eine Hauptstadt}. Sei F die Funktion f so dass f : L H, und für jedes x L gilt: f(x) = Hauptstadt von x a. F(Deutschland) = Berlin b. F(Osttimor) = Dili c. F(Luxemburg) = Luxemburg (4) 3 Zusatzpunkte wegen Fehler in der Aufgabe Korrigierte Aufgabe: Sei I {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}}. Sei F die Funktion f so dass f : I {0,1}, und für jedes g I gilt: f(g) = 1 gdw y D, so dass g(y) = 1. a. F(g Frau ) = 1 (es gibt ja Frauen) b. F(g Einhorn ) = 0 (es gibt leider keine Einhörner) c. F(g speu ) = 0 (Es gibt keine Entität, der man die Eigenschaft speu zuordnen könnte. Das Wort gibt es nämlich nicht.) g Frau : D {0,1} und für jedes x D gilt, g Frau (x) = 1 gdw x eine Frau ist. g Einhorn : D {0,1} und für jedes x D gilt, g Einhorn (x) = 1 gdw x ein Einhorn ist. g speu : D {0,1} und für jedes x D gilt, g speu (x) = 1 gdw x speu ist. (c) Ermittle die Funktion anhand von Argument und Funktionswert. enne sie in Prosa und beschreibe sie formal. (6 Punkte) (5) a. f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 4, f(5) = 5, f(6) = 6, f(7) = 7, f(8) = 8, f(9) = 9, f(10) = 10,... Die Identitätsfunktion. f : I I : x I.f(x) = x. [λx I. x] b. f(0) = 0, f(1) =1, f(2) = 1, f(3) = 2, f(4) = 3, f(5) = 5, f(6) = 8, f(7) = 13, f(8) = 21, f(9) = 34, f(10) = 55,... Die Fibonacci-Funktion. f : I I : x I.f(x) = f(x 1) + f(x 2) c. f(charles) = Elisabeth, f(william) = Charles, f(victoria) = Silvia, f(hakon) = Harald,... Die Elternteil-von -Funktion. f : {x : x ist ein Prinz oder eine Prinzessin} {x : x ist ein König oder 2

3 eine Königin} : x D.f(x) = ein Elternteil von x [λx: x ist ein Prinz oder eine Prinzessin. Ein Elternteil y von x, wobei y {x : x ist ein König oder eine Königin} ] 2 Wahrheitsbedingungen (24 Punkte) (a) Beweise die folgende Behauptung. utze für den Beweis die Regeln (S1)-(S6) aus den Folien zu Heim & Kratzer 1998:Kapitel 2 (Folie 11, 32; Heim & Kratzer 1998:S.16, 27). (14 Punkte) (6) helps. = 1 gdw hilft. Weise dem Satz helps. zunächst den richtigen Phrasenstrukturbaum zu gemäß den ahmen von Heim & Kratzer 1998:Kapitel 2. otiere dann die Denotationen der terminalen Knoten und berechne anhand der Regeln (S1)-(S6) die Denotationen der nicht-terminale Knoten. S VP V = 1 gdw hilft. helps Denotationen: = = helps = f : D {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}}: x D. f(x) = g x : D {0,1} : y D. g x (y) = 1 gdw y hilft x [λx D. [λy D. y hilft x]] Beweis: Aus den Regeln (S2), (S4) für und folgt, dass = und =. Aus der Regel (S5) folgt, dass 3

4 V helps = helps. Dann ist nach Regel (S1) S V helps VP = V helps VP = helps()() (wegen Regel (S6)) f : D {g : g ist eine Funktion von D in {0, 1}} : = x D f(x) = g x : D {0, 1} : y D g x (y) = 1 gdw y hilft x [ ] g : D {0, 1} : = () y D g (y) = 1 gdw y hilft = 1 gdw hilft. () ()() (b) Erweitere/ändere das Regelinventar (S1) - (S6) so ab, dass folgende Struktur interpretiert werden kann. Gib den Lexikoneintrag für will an. Von welchem semantischen Typ ist will? (10 Punkte) (7) S Aux AuxP VP will V help eues Regelinventar: (S1) Wenn α die Form S hat, dann α = γ(β). β γ (S2) Wenn α die Form hat, dann α = β. β (S3) Wenn α die Form hat, dann α = β. β 4

5 AuxP (S4) Wenn α die Form hat, dann α = β(γ). β γ (S5) Wenn α die Form Aux hat, dann α = β. β (S6) Wenn α die Form VP hat, dann α = β(γ). β γ (S7) Wenn α die Form V β hat, dann α = β. Lexikoneintrag will: Sei D <e,t> {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}} will = f : D <e,t> D <e,t> : g D <e,t>. f(g) = h g : D {0,1}: x D. h g (x) = 1 gdw es eine zukünftige Welt gibt, in der g(x) = 1. Alternativ in λ-otation: will = [λg D <e,t>. [λx D. es gibt eine zukünftige Welt, in der g(x) = 1]] will ist vom Typ << e, t >, < e, t >>. 3 Semantische Typen (6 Punkte) (a) Sind folgende Ausdrücke semantische Typen gemäß der Definition aus Heim & Kratzer 1998:Kapitel 2, S. 28? (5 Punkte) (8) a. < t, e > ja b. < p, e > nein c. << e, < e, t >>, << e, t >, e >> ja d. <<< e, t >, t >> nein e. << e, t >, < e, t >, < e, t >> nein (b) Gebe zu folgender Funktion den semantischen Typ an. (1 Punkt) (9) give = f : D {g : g ist eine Funktion von D in {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}}}, so dass x D, f(x) = g x : D {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}}, so dass y D. g x (y) = h x,y : D {0,1}, so dass z D. h x,y (z) = 1 gdw z gibt an y x. < e, < e, < e, t >>> 5

6 4 Charakteristische Funktionen (7 Punkte) (a) Schreibe zu folgenden Mengen die charakteristischen Funktionen. (3 Punkte) (10) a. {x : x ist ein Schwein} f : D {0,1} : x D. f(x) = 1 gdw x ist ein Schwein [λx D. x ist ein Schwein] b. {x : {y : y likes x} = } f : D {0,1} : x D. f(x) = 1 gdw {y : y likes x} = (x wird von niemandem gemocht) [λx D. {y : y likes x} = ] c. {x : y I. x = y 2 } f : I {0,1} : x I. f(x) = 1 gdw y I. x = y 2 (x eine Quadratzahl ist) [λx I. y I[x = y 2 ]] (b) Schreibe zu folgenden Funktionen die Mengen, die sie charakterisieren und beschreibe die Mengen in Prosa. (4 Punkte) (11) a. f : I I für jedes x I, f(x) = 1 gdw x mod 2 = 0 mod steht für modulo, also für den Rest der bei der Division von natürlichen Zahlen durch natürliche Zahlen entsteht. {x I : x mod 2 = 0} (die Menge aller geraden Zahlen) b. f: D {0, 1} für jedes x D, f(x) = 1 gdw Delphine sind Fische. {x : Delphine sind Fische} = (die leere Menge) 5 Currying (6 Punkte) (a) Sei D = {,, Maria}. Schreibe zu folgenden Mengen die charakteristischen Funktionen (in Tabellennotation). Wende Currying darauf an. Beachte dabei die Richtung. (6 Punkte) (12) a. Links-nach-Rechts: R dislikes = {<, >, <, >, <Maria, Maria>} <, > 0 <, > 1 <, Maria > 0 <, > 1 f dislikes = <, > 0 <, Maria > 0 < Maria, > 0 < Maria, > 0 < Maria, Maria > 1 6

7 f dislikes = Maria 0 1 Maria Maria Maria 1 b. Rechts-nach-Links: R dislikes = {<, >, <, >, <Maria, Maria>} <, > 0 <, > 1 <, Maria > 0 <, > 1 f dislikes = <, > 0 <, Maria > 0 < Maria, > 0 < Maria, > 0 < Maria, Maria > Maria 0 1 f dislikes = 0 Maria 0 0 Maria 0 Maria 1 c. Rechts-nach-Links: R introduces to = {<,, Maria>, <,, Maria>, <Maria,, >} 7

8 f introduces to = <,, > 0 <,, > 0 <,, Maria > 1 <,, > 0 <,, > 0 <,, Maria > 0 <, Maria, > 0 <, Maria, > 0 <, Maria, Maria > 0 <,, > 0 <,, > 0 <,, Maria > 1 <,, > 0 <,, > 0 <,, Maria > 0 <, Maria, > 0 <, Maria, > 0 <, Maria, Maria > 0 < Maria,, > 0 < Maria,, > 0 < Maria,, Maria > 0 < Maria,, > 1 < Maria,, > 0 < Maria,, Maria > 0 < Maria, Maria, > 0 < Maria, Maria, > 0 < Maria, Maria, Maria > 0 8

9 f introduces to = Maria Maria Maria Maria 0 0 Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria Maria 0 6 λ-otation (18+1 Punkte) (a) Schreibe folgende Funktionen in λ-otation um. (2 Punkte + 1 Zusatzpunkt) (13) a. f : I I: x I. f(x) = x 2 [λx I. x 2 ] b. f : D {g : g ist eine Funktion von D in {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}}} x D. f(x) = g x : D {h: h ist eine Funktion von D in {0,1}} y D. g x (y) = h x,y : D {0,1} z D. h x,y (z) = 1 gdw z gibt an y x. [λx D. [λy D. [λz D. z gibt an y x]]] c. 1 Zusatzpunkt wegen Fehler in der Aufgabenstellung: Korrigierte Aufgabenstellung: Sei I {g : g ist eine Funktion von D in {0,1}}. f : I {0,1} g I. f(g) = 1 gdw y D. so dass g(y) = 1. [λg D <e,t>. y D, so dass g(y) = 1] 9

10 (b) Vereinfache folgende Ausdrücke. (10 Punkte) (14) a. [λx D e. [λy D e. y hasst x]]()() = [λy D e. y hasst ]() = 1 gdw hasst b. [λx D e. [λy D e. y hasst x]()]() = [λx D e. hasst x]() = 1 gdw hasst c. [λ f D <e,t>. [λx D e. f(x) = 1 und x ist groß ]]([λx D e. x ist ein Elefant])(Dumbo) = [λx D e. [λx D e. x ist ein Elefant](x) = 1 und x ist groß ](Dumbo) = [λx D e. x ist ein Elefant und x ist groß ](Dumbo) = 1 gdw Dumbo ist ein Elefant und Dumbo ist groß d. [λ f D <e,<e,t>>. [λx D e. f(x)() = 1]] ([λx D e. [λy D e. y mag x]]) = [λx D e. [λx D e. [λy D e. y mag x]](x)() = 1] = [λx D e. [λy D e. y mag x]() = 1] = [λx D e. mag x] (c) Beschreibe folgende Funktionen in Prosa. (6 Punkte) (15) a. [λx I. x mod 2 = 0] Die charakteristische Funktion der Menge aller geraden natürlichen Zahlen: Die kleinste Funktion, die jedes x, für das gilt x ist eine natürliche Zahl, abbildet auf den Wahrheitswert 1 gdw x gerade ist b. [λx : x ist ein Tier. x s natürlicher Feind] Die Funktion die jedem Tier die Menge seiner natürlichen Feinde zuordnet: Die kleinste Funktion, die jedes x, für das gilt x ist ein Tier, abbildet auf den natürlichen Feind von x c. [λx I. [λy I. y X]] Die charakteristische Funktion von I - X: Die kleinste Funktion, die jede Menge X, für die gilt X ist eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen, abbildet auf die kleinste Funktion, die jedes y, für das gilt y ist eine natürliche Zahl, abbildet auf den Wahrheitswert 1 gdw y nicht in der Menge X enthalten ist 10