Diskrete Strukturen Endterm

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1 Technische Universität München Winter 016/17 Prof H J ungartz / Dr M Luttenberger, J räckle, K Röhner H- Diskrete Strukturen Endterm eachten Sie: Soweit nicht anders angegeben, ist stets eine egründung bzw der Rechenweg anzugeben! ufgabe 1 6P Wir betrachten die folgenden Formeln über den aussagenlogischen Variablen,, C: F 1 := ( ( )) F := ((( ) ( C)) (C )) (a) Zeichnen Sie zu den Formeln F 1 und F jeweils den entsprechenden Syntaxbaum (b) Stellen Sie Wahrheitstabellen für beide Formeln auf uf die Wiederholung der Wahrheitswerte unter den Variablen der Formel kann verzichtet werden Es müssen Teilformeln nur soweit ausgewertet werden, dass sich der Wahrheitswert der gegebenen Formel eindeutig aus der Wahrheitstabelle ergibt (entsprechend den Tutorübungen) Ihre Tabellen müssen dem Format aus den Übungen entsprechen: ( ( )) 0 0? 0 1? 1 1? bzw C ((( ) ( C)) (C )) 0 0 0? 0 0 1? 1 1 1? (c) Geben Sie zu beiden Formeln jeweils eine möglichst einfache semantisch äquivalente Formel in KNF an ( ( ))

2 C C C ((( ) ( C)) (C )) KNF: F 1 ( ) (nur eine Klausel) KNF: F C ufgabe 5P Gegeben sei die folgende aussagenlogische Formel als Klauselmenge: {{,, C}, {,, D}, {, C, D}, {, }, {, }} (a) Wenden Sie den DPLL-lgorithmus aus den Folien (mit OLR, aber ohne PLR) an, um eine erfüllende elegung für obige Formel zu berechnen (b) eschreiben Sie die PLR ( pure-literal rule, vgl Übungsblatt 6) und markieren Sie in Ihrer zu (a) den ersten Zeitpunkt, in welchem die PLR angewendet werden würde Erinnerung : Die OLR hat stets höchste Priorität, die Fallunterscheidung stets niedrigste Priorität eachten Sie : Hat der DPLL-lgorithmus die Wahl zwischen mehreren Literalen, so soll stets das Literal gewählt werden, das bzgl der Ordnung vor allen anderen zur uswahl stehenden Literalen kommt, wobei gelten soll: C C D D Fallunterscheidung nach : nnahme ist wahr OLR mit {} anwenden: OLR mit {}: also unerfüllbar, backtracking Fallunterscheidung nach nnahme ist falsch OLR mit {} anwenden: Fallunterscheidung nach nnahme ist wahr OLR mit {}: OLR mit {C} {{}, {}} {{}} {{, C}, {, D}, {C, D}} {{C}, {C, D}} also erfüllbar, gib elegung β() = 0, β() = 1, β(c) = 0, β(d) {0, 1} zurück PLR: Falls eine Variable entweder nur als positives oder nur als negatives Literal vorkommt, setze entsprechendes Literal auf wahr und entferne entsprechend alle Klauseln, welches das Literal enthalten Die PLR würde hier gleich zu eginn C auf 0 setzen und damit die Formel auf {{,, D}, {, }, {, }} reduzieren {}

3 ufgabe 3 5P Die nzahl n der Zwuggelmeerschweinchen zum Zeitpunkt n N 0 ist durch folgende Rekursionsgleichung gegeben: Zeigen Sie mittels geeigneter Induktion, dass für alle n N 0 gilt: 0 = 1 1 = n+ = n+1 n + 1 n = 1 (n + n + ) Hinweis : Geben Sie explizit die Induktionsbasis an und gliedern Sie den Induktionsschritt in Induktionsannahme, Induktionsbehauptung und eweis der Induktionsbehauptung Werten Sie jeweils linke und rechte Seite unabhängig voneinander aus Iasis: n {0, 1} n = 0: linke Seite: 0 = 1; rechte Seite 1 ( ) = 1 n = 1: linke Seite: 1 = ; rechte Seite: 1 ( ) = ISchritt: Sei n N 0 beliebig fixiert Innahme: Es gilt für das fixierte n: n = 1 (n + n + ) und n+1 = 1 ((n + 1) + (n + 1) + ) Iehauptung: Es gilt für das fixierte n: n+ = 1 ((n + ) + (n + ) + ) eweis: Rechte Seite ausmultiplizieren: 1 ((n + ) + n + + ) = 1 n + 5 n + 4 Linke Seite nach Definition: n+ Def = n+1 n + 1 Inn = ((n + 1) + n ) 1 (n + n + ) + 1 = n + n n n 1 n = 1 n + 5 n + 4 Damit gilt n = 1 (n + n + ) für alle n N 0, was zu zeigen war ufgabe 4 3P Mit Graph sei im Weiteren ein Tupel G = (V, E) mit V < und E ( V ) gemeint Wir nehmen weiterhin an, dass die Knoten V = {v 1, v,, v n} nach aufsteigendem Knotengrad aufgezählt werden, dh deg(v i) deg(v j) für 1 i < j n Dann ist die Gradfolge von G gerade die Sequenz (deg(v 1), deg(v ),, deg(v n)) egründen Sie jeweils kurz, ob (a) jeder Graph mit Gradfolge (,,,, 4, 4, 4, 4, 4) einen Euler-Kreis enthält (b) es einen planaren zusammenhängenden Graphen mit Gradfolge (1, 1,,, 3, 3, 4) gibt, der die Ebene in genau (umschließende und eingeschlossene) Flächen unterteilt (c) es einen -färbbaren Graphen mit Gradfolge (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 4, 4) (1 Knoten vom Grad 1, 5 Knoten vom Grad 4) gibt (a) Nein, z die disjunkte Vereinigung des C 4 mit dem K 5, welche nicht zusammenhängend ist (b) Sollte es einen planaren Graphen mit dieser Gradfolge geben, dann müsste F E + V = 1 + k gelten (mit k die nzahl der Zusammenhangskompenten) Mit der nnahme F = und den gegebenen Werten V = 7 und E = 8 müsste also = 1 + k, also k = 0 gelten Jeder Graph hat aber mindestens eine Zusammenhangskomponente lso kann es keinen solchen planaren Graphen geben (inbesondere keinen zusammenhängenden, für den dann k = 1 gesetzt werden darf) (c) Z

4 ufgabe 5 6P Wir betrachten den Graphen G n = (V n, E n) mit V n = [n] und E n = {{, } [n], [n], =, } (a) Zeichnen Sie G 3 (b) Welchen Grad hat in G n? (c) Zeigen Sie: Ist eine k-elementige, nicht leere Teilmenge von [n], dann gilt deg() = n k in G n (d) estimmen Sie E n Geben Sie einen möglichst einfachen usdruck an Hinweis : Sie dürfen für diese Teilaufgabe 3 n = n k) n k ohne eweis verwenden (e) eweisen Sie den Hinweis zu (d), dh zeigen Sie, dass 3 n = n k) n k für belieibges n N 0 (a) Graph (oder so ähnlich): {1, } {, 3} {1, 3} {1,, 3} {1} {} {3} (b) deg( ) = n 1: ist disjunkt zu jeder anderen Teilmenge von [n], also zu allen n 1 Teilmengen benachbart (c) Sei [n] eine Menge mit k > 0 Elementen Dann ist ein Nachbar von, falls [n] \ Damit hat Grad n k (d) Nach Vorlesung: E = [n] ( ) ( ) n deg() = n n n 1 + n k n = k n k = 3 n 1 k k k=1 lso E = 3n 1 lternativ: Sei {, } eine Kante von G n Dann gilt = und [n] Dh definiert eine bbildung f : [n] {a, b, c} Von diesen bbildungen gibt es 3 n Die bbildung, die jedes Element aus [n] auf c abbildet, beschreibt dabei keine Kante, da es in einem ungerichteten Graphen keine Schleifen gibt Die verbleibenden 3 n 1 bbildung beschreiben jede Kante doppelt (Vertauschen von a und b verändert Kante nicht) Insofern gibt es 3n 1 Kanten (e) Nach der binomischen Formel gilt: (x + y) n = n y) x k y n k Mit x = 1 und y = folgt die ehauptung ufgabe 6 8P (a) estimmen Sie ϕ(83) = Z 83 Hinweis : 83 ist eine Primzahl (b) erechnen Sie (c) Zeigen Sie, dass 5 ein Erzeuger von Z 83, 83, 1, dh zeigen Sie, dass 5 = Z 83 gilt Hinweis : Verwenden Sie geeignet, dass 5 10 mod 83 = 11 gilt (nicht zu zeigen) (d) estimmen Sie das Inverse von 15 in Z 83, 83, 1 mittels des erweiterten euklidischen lgorithmus (EE) Hinweis : Halten Sie sich an das in den Übungen und der Vorlesung verwendete Format für die Tabellierung des EE: (e) erechnen Sie (64 45 ) mod 83 a b b/a α β????? p := 83 (a) ϕ(p) = p 1 = 8, da p = 83 prim (b) p p p 7 19 p 133 p 33 (c) Die möglichen Ordnungen von 5 sind die Teiler von 8 = 41, also 1,, 41, 8 Man muss daher zeigen, dass 5 k 83 1 für k {1,, 41}, was für k = 1, offensichtlich ist leibt 5 41 p (5 10 ) 4 5 p p p p 33 5 p 186 p 1 p 8 (d) a b b/a α β lso ist das multiplikative Inverse von 15 modulo 83 (e) p (64 mod p) 45 mod p 1 p 15 1 p 7

5 ufgabe 7 7P Wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 Studenten 8 Tutoren zuzuordnen, wenn jedem Tutor mindestens fünf Studenten zugeordnet werden sollen und weiterhin (a) Studenten nicht unterschieden werden, (i) Tutoren ebenfalls nicht unterschieden werden (ii) Tutoren jedoch unterschieden werden (b) Studenten unterschieden werden, (i) Tutoren jedoch nicht unterschieden werden (ii) Tutoren ebenfalls unterschieden werden Erinnerung : In den Tutorübungen haben Sie gesehen, dass die nzahl aller Äquivalenzrelationen über [n], welche genau λ i Äquivalenzklassen der Größe i besitzen, gerade durch gegeben ist n! λ 1!λ! λ n!(1!) λ 1 (!) λ (n!) λn In (b) reicht es, das Ergebnis als arithmetisch usdruck unter Verwendung der in Vorlesung behandelten Zählkoeffizienten anzugeben Der arithmetische usdruck muss jedoch begründet werden! Für (a) muss entsprechend (b) verfahren werden, es ist aber zusätzlich der explizite Zahlenwert anzugeben (a) (i) Man ist an der nzahl der ungeordneten Partitionen von 4 in 8 Summanden, jeder davon größer gleich 5, interessiert: x 1 + x + + x 7 + x 8 = 4 mit 5 x 1 x x 8 Subtrahiert man von jedem x i genau 4, dann erhält man genau die ungeordneten Partition von = 10 in 8 positive ganze Zahlen, wovon es gerade P 10,8 = viel gibt, nämlich (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3) und (1, 1, 1, 1, 1, 1,, ) (ii) Man ist an den Zählvektoren (n 1,, n 8) N 8 0 mit i ni = 4 und ni 5 interessiert (ni nzahl der Studenten, die Tutor i zugeordnet werden), dh an der nzahl der Zählvektoren (n 1,, n 8) N 8 0 und i ni =, also ( ) +8 1 = 9! = 36!7! (b) (i) (Siehe T 101) Man muss [4] in 8 Mengen partitionieren, wobei jede Menge mindestens 5 Elemente enthält Dh man ist an den Äquivalenzrelationen über [4] interessiert, die nur Äquivalenzklassen mit mindestens 5 Elementen besitzen, also den Typ (λ 1, λ,, λ 4) mit λ 1 = = λ 4 = 0, i λi = 8 und i iλi = 4 haben (siehe Hinweis) von diesen Vektoren λ gibt es nach (a) gerade P 10,8 = viele, konkret λ 5 = 7, λ 7 = 1 (was in (a) (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7) entspricht) und λ 5 = 6, λ 6 = (in (a) (5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6)) Damit ergibt sich 4! 7!(5!) 7 (7!) + 4! 6!!(5!) 6 (6!) (ii) Wie in (b), nur muss man jeder Teilmenge noch einen Tutor zuordnen, also (siehe auch H 113) ( ) 4! 7!(5!) 7 (7!) + 4! 8! 6!!(5!) 6 (6!)