Semantik einiger Konjunktionen. Arnim von Stechow Einführung in die Semantik

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1 Semantik einiger Konjunktionen Arnim von Stechow Einführung in die Semantik

2 Programm Syntax und Semantik einiger AL-Junktoren Epistemisches müssen und können Strukturellen Mehrdeutigkeiten Extensionale AL 2

3 Intensionale Aussagenlogik Propositionen sind Mengen von möglichen Welten. Wir erhalten eine Boolesche Propositionsalgebra, wenn wir die Mengen unter Durchschnitt, Vereinigung und Komplement abschließen. Die Idee für die Deutung der Junktoren: und drückt Durchschnitt aus, oder die Vereinigung und nicht die Komplementbildung. 3

4 Wir schreiben einfache Sätze als Ganzes ins Lexikon. Es gibt also endlich viele Sätze φ1,...,φn vom Typ p im Lexikon, die atomare Sätze heißen. Atomare Sätze von AL (= A) a. Alla im Schrank ist (ais) b. Alla in der Küche ist (aik) c. Bertha im Schrank ist (bis) d. Bertha in der Küche ist (bik) e. Caroline im Schrank ist (cis) f. Caroline in der Küche ist (cik) Das Lexikon enthält ferner die Konjunktionen [pp nicht], [p (pp) oder], [p(pp) und], [p(pp) wenn]. 4

5 Mithilfe der Konjunktionen und Modale lassen sich aus den atomaren Sätzen komplexe Sätze bilden, zum Beispiel: [ pp nicht pp [ p Caroline im Schrank ist]] kurz: [nicht [cis]] [p [p Alla in der Küche ist] [pp undp(pp) [p Bertha in der Küche ist]]] kurz: [aik [und bik]] [p[pp wennp(pp) [p [p Alla in der Küche ist] [undp(pp) [p Bertha in der Küche ist]]]][p Caroline im Schrank ist]] kurz: [[wenn [aik [und bik]]] cis] 5

6 Scrambling Es ist eine Eigenart der deutschen Syntax, dass definite DPs in der SS niemals unter der Negation bleiben. Die Bewegungsregel, die eine Konstituente im Mittelfeld nach links verschiebt, heißt Scrambling: DS: [p nichtpp [p Caroline im Schrank ist]] SS: Caroline1 [nicht [t1 im Schrank ist]] 6

7 Noch ein Beispiel für Scrambling Das glaube ich nicht DS: nicht [ich das glaube] => ich das [nicht [ich das glaube]] (Bewegung von Subjekt und Objekt über nicht ) => glaube [ich das [nicht [ich das glaube]]] (V2-Bewegung) => das [glaube [ich das [nicht [ich das glaube]]]] (Topikalisierung) 7

8 SS von [[wenn [aik [und bik]]] cis] CP p pp C' p( pp) wenn p C ist C p Caroline in dem Schrank t ist S p Alla in der Küche ist p( pp) und pp S p Bertha in der Küche ist 8

9 Die Interpretation von AL Ein intensionales AL Modell M = (S, s 0,. M ) besteht aus einer Menge (von Situationen) S, einer ausgezeichneten Situation s0 S und einer Bedeutungsfunktion. M, welche den folgenden Bedingungen genügt: a. φ M S, für jeden Atomsatz von AL. b. nicht M = [λp: p Dp. S\p] c. oder M = [λp: p Dp.[ λq: q Dp. p q]] d. und M = [λp: p Dp.[ λq: q Dp. p q]] e. wenn M = [λp: p Dp.[ λq: q Dp.(S\p) q]] 9 Zurück

10 Wahrheit/Falschheit s 0 ist die wirkliche Situation. Deswegen lässt sich Wahrheit/Falschheit wie folgt einführen: φ ist wahr in dem Modell M gdw. s0 φ M. φ ist falsch in dem Modell M gdw. s 0 φ M. 10

11 Bedeutungsbeziehungen Die Bedeutungsbeziehungen zwischen Sätzen definiert man in der bereits bekannten Weise, z.b. der Satz φ impliziert den Satz ψ logisch (bezüglich des Modells M), falls φ M ψ M. Analoges gilt für den Widerspruch, die Unverträglichkeit usw. Ein Satz φ ist eine Tautologie im Modell M gdw. φ M = S. φ ist eine Tautologie schlechthin, wenn für jedes Modell M gilt: φ M = S. 11

12 Termmodell Ein Termmodell für AL über den atomaren Sätzen A von AL ist ein Paar (S,. ), wobei S die Potenzmenge von A ist, also (A), und. ist eine Funktion, so dass für jedes φ A und s S gilt: s φ M gdw. φ s. 12

13 Versteck Szenarien: Modell M Alla, Bertha und Caroline verstecken sich in meiner Wohnung, die sehr klein ist. Die einzigen Orte, wo man sich verstecken kann, sind der Schrank, in den nur eine Person passt, und die Küche, in die zwei Personen rein gehen. S = {s0, s1, s2} s0 = {ais, bik, cik} s1 = {aik, bis, cik} s2 = {aik, bik, cis} 13 Zurück

14 Wir können nun zum Beispiel Folgendes beweisen: Alla ist im Schrank ist wahr in M. Alla ist in der Küche ist falsch in M. Alla ist im Schrank und Bertha ist nicht im Schrank ist wahr in M. Wenn Alla im Schrank ist, ist Caroline nicht im Schrank ist wahr in M. Wenn Alla nicht im Schrank ist, ist Bertha im Schrank oder Caroline ist im Schrank wahr in M. 14 Szenario

15 Die Bedeutungen einiger atomarer Sätze ais = die Menge der Situationen, welche ais als Element enthalten = {s0} aik = die Menge der Situationen, welche aik als Element enthalten = {s 1, s 2 } bis = die Menge der Situationen, welche bis als Element enthalten = {s 1 } cis = die Menge der Situationen, welche cis als Element enthalten= {s2} u.s.w. 15 Szenario

16 Wir zeigen nun einige der Behauptungen: Alla ist im Schrank ist wahr in M. Zu zeigen: s 0 ais Das gilt, denn ais = {s 0 }. Alla ist in der Küche ist falsch in M. Zu zeigen: Nicht s0 aik Das gilt, denn aik = {s1, s2} enthält s0 nicht. 16 Szenario

17 Alla ist im Schrank und Bertha ist nicht im Schrank ist wahr in M. Zu zeigen: s0 ais und nicht bis s0 ais und nicht bis gdw. s0 und nicht bis ( ais ) FA gdw. s0 ( und ( nicht bis ))( ais ) FA gdw. s0 ([λp: p Dp.[ λq: q Dp. p q]] ( nicht bis )) ( ais ) Bedeutung von und gdw. s0 [ λq: q Dp. nicht bis q] ( ais ) λ-konversion gdw. s0 ( nicht bis ais ) 17 λ-konversion Szenario

18 gdw. s0 (( nicht ( bis )) ais ) FA gdw. s0 (([[λp: p Dp. S\p] ( bis )) ais ) Bedeutung von nicht gdw. s0 ( (S\ bis ) ais ) λ-konversion gdw. s0 ( ({s0, s1, s2}\{s1}) {s0} ) Def. von S, bis und ais gdw. s0 ( ({s0, s2}) {s0} ) mengentheoretische Differenz gdw. s0 {s0} Q.E.D. 18 Szenario

19 Wenn Alla im Schrank ist, ist Caroline nicht im Schrank ist wahr in M. Zu zeigen: s0 wenn ais nicht cis wenn bringt die beiden Teilsätze ais und nicht cis zusammen, wobei ais = {s0} und nicht cis = {s0,s1}. wenn ({s0})({s0,s1}) = (S\{s0}) {s0,s1} = {s1,s2} {s0,s1} = {s0, s1, s2}. Also s0 {s0, s1, s2}. Q.E.D. 19 Szenario

20 Epistemische Modale: Überblick Wir werden hier zeigen, wie modales Denken funktioniert. Die Einführung von Modalverben wird sofort zu strukturellen Mehrdeutigen führen, d.h., derselbe Oberflächensatz kann eine unterschiedliche Syntax haben und damit auch zwei Bedeutungen. kann wird bedeuten es ist mit meinem Wissen verträglich und muss wird bedeuten aus meinem Wissen folgt. Dazu modifizieren wir den Modellbegriff. 20

21 Strukturelle Mehrdeutigkeit Alla muss nicht in der Küche sein. LF1: [p nichtpp [p musspp [p Alla in der Küche sein]]] SS1: CP e Alla C' C muss S t Alla VP p pp nicht VP p VP p V pp t muss e t Alla V ep in der Küche sein 21

22 Strukturelle Mehrdeutigkeit LF2: [musspp [nichtpp [p Alla in der Küche sein]]] SS2: CP e Alla C' C muss S t Alla VP p pp nicht p VP p V pp t muss e t Alla 22 V ep in der Küche sein

23 AL-Modelle mit Redehintergrund Ein epistemisches Modell M = (S, c, s 0,. M ) für die Sprache AL besteht aus einer Menge von möglichen Situationen/Welten und einer Interpretationsfunktion, die alle Bedingungen erfüllt, welche das AL-Modell erfüllt und zusätzlich noch die folgenden Bedingungen: c S muss M = die Funktion f Dpp:( p Dp) f(p) = S, falls c p & f(p) =, falls nicht c p. kann M = die Funktion f Dpp:( p Dp) f(p) = S, falls c p & f(p) =, falls c p =. 23

24 Redehintergrund Die Proposition c common ground ist ein Redehintergrund, der den Informationsstand des Sprechers oder der Diskussionspartner enthält. Der Begriff geht auf (Stalnaker, 1973) zurück. Wenn der Sprecher bzw. die Diskussionspartner etwas Neues erfahren und akzeptieren, nehmen sie das zum Redehintergrund hinzu. c ist also unser momentanes Wissen. 24

25 Erweitertes Versteck Modell Wir spielen wieder Versteck und ich bin der Sucher. Die Küche ist durch einen Vorhang abgeteilt. Ich kann nur eine Person von den beiden sehen, die sich dort verstecken. Im Unterschied zum ersten AL- Modell, gibt es diesmal unterschiedliche Szenarien, die meinen jeweiligen Wissensstand beschreiben. Wenn ich eine Person gefunden habe, ändert sich c. Genau wie früher haben wir es mit drei möglichen Situationen zu tun: S = {s0, s1, s2} s 0 = {ais, bik, cik} s 1 = {aik, bis, cik} s 2 = {aik, bik, cis} 25 Zurück

26 Modell M1 Ich weiß noch gar nichts, d.h. c = S. In dem Modell M1, das diesem Szenario entspricht, sind unter anderen die folgenden Aussagen wahr: Alla kann in der Küche sein Alla kann im Schrank sein Alla kann im Schrank sein und Bertha kann im Schrank sein Alla ist im Schrank oder sie ist in der Küche Falsch sind dagegen die Folgenden: Alla muss in der Küche sein Alla kann nicht in der Küche sein 26 Zurück

27 Alla kann in der Küche sein ist wahr in M1 Begründung: Mein Wissen c ist S. Damit muss die Aussage aik verträglich sein. Mit S ist aber jede unserer Aussagen verträglich. Alla muss in der Küche sein ist falsch in M1 Begründung: aik = {s1,s2}, und das ist keine Obermenge von S Alla muss nicht im Schrank sein und Bertha muss nicht in der Küche sein und Caroline muss auch nicht in der Küche sein sind falsch in M1 Begründung: In dem M1 sind die folgenden Aussagen wahr: Alla ist im Schrank Bertha ist in der Küche und Caroline ist in der Küche Keine von diesen Aussagen weiß ich jedoch 27 Szenario

28 Modell M2 Ich habe in die Küche geschaut und dort Caroline gesehen. c = cik = {s0, s2} In M2 sind die folgenden Sätze wahr: Caroline muss in der Küche sein Alla kann in der Küche sein Bertha kann in der Küche sein oder sie kann im Schrank sein Alla muss in der Küche sein, oder sie muss im Schrank sein Falsch dagegen sind die folgenden: Alla muss in der Küche sein Alla muss im Schrank sein Der folgende Satz ist in M2 in einer Lesart wahr, in einer anderen falsch: Alla kann nicht in der Küche sein (Übungsaufgabe) Szenario 28

29 Modell M3 Ich habe nun im Schrank nachgeschaut und dort Bertha gefunden. c = cik und bis = {s1} Damit habe ich ein Maximum an Information erreicht. Ich weiß, wo jeder ist. Ich weiß nun auch, dass Alla in der Küche hinter dem Vorhang ist, obwohl ich da nicht nachgeschaut habe. Damit ist die erste Runde des Versteckspiels zu Ende. 29 Szenario

30 Extensionale Aussagenlogik Ein extensionales Modell ordnet jedem Satz der Sprache einen der beiden Wahrheitswerte {0,1} zu. Wir können die drei möglichen Situationen unseres Versteckszenarios durch drei verschiedene extensionale Modelle beschreiben. Extensionales Modell für s0: ais = 1, bis = 0, cis = 0, aik = 0, bik = 1, cik = 1 Extensionales Modell für s1: ais = 0, bis = 1, cis = 0, aik = 1, bik = 0, cik = 1 Extensionales Modell für s2: ais = 0, bis = 0, cis = 1, aik = 1, bik = 1, cik = 0 30 Szenario

31 Extensionale AL-Typen t ist der Typ der Wahrheitswerte. Wenn a und b Typen sind, dann ist (ab) ein Typ. Nur was aufgrund von (a) oder (b) gebildet ist, ist ein Typ. 31

32 Extensionale AL-Typen Die Atomsätze ais, bis, cis, aik, bik, cik haben also alle den Typ t. Die Typen für die AL-Junktoren änderen wir in analoger Weise: [ tt nicht], [ t(tt) oder], [ t(tt) und], [ t(tt) wenn] Der Satz Wenn Alla nicht in der Küche ist, dann ist sie im Schrank hat also die folgende LF: [t[tt wennt(tt) [t nichttt aikt ]] aist ] 32

33 Ein (extensionales) Modell M = ({0,1},. M ) für AL besteht aus einer Menge {0,1} und einer Bedeutungsfunktion. M, welche den folgenden Bedingungen genügt: φ M D t, für jeden Atomsatz von AL. [ tt nicht] M = das f D tt : ( x D t )[f(x) = 0, falls x = 1 & f(x) = 1, falls x = 0]. [t(tt) oder] M = das f Dt(tt)[ x Dt : f(x) = [das g Dtt: ( y Dt)[(g(y) = 1, falls x = 1 oder y = 1) & (g(y) = 0, falls (x = 0 & y = 0)) ]]]. [t(tt) und] M = das f Dt(tt)[ x Dt : f(x) = [das g Dtt: ( y Dt)[(g(y) = 1, falls x = 1 und y = 1) & (g(y) = 0, falls (x = 0 oder y = 0)) ]]]. [ t(tt) wenn] M = das f D t(tt) [ x D t : f(x) = [das g D tt : ( y D t ) [(g(y) = 1, falls (x = 0 oder y = 1)) & (g(y) = 0, falls (x = 1 und y = 0)) ]]] 33

34 Bedeutungen von Junktoren in der λ-schreibweise [tt nicht] M = λx: x Dt. x = 0 [t(tt) oder] M = λx: Dt.[λy: y Dt. x = 1 oder y = 1] [t(tt) und] M = λx: Dt.[λy: y Dt. x = 1 und y = 1] [t(tt) wenn] M = λx: Dt.[λy: y Dt. x = 0 oder y = 1] 34

35 Beispiel: Negation nicht (1) soll 0 sein und nicht (0) soll 1 sein. nicht (1) = [λx: x Dt.x = 0](1) = (1 = 0) λ-konversion Diese Gleichung ist falsch und steht deshalb für das Falsche 0. Ebenso erhalten wir für nicht (0) die Gleichung (0 = 0). Diese steht für das Wahre 1. 35

36 Einige Definitionen Der Satz φ ist in M wahr ist, falls φ M = 1. Eine AL-Tautologie ist ein Satz φ, der in jedem Modell wahr ist. Eine AL-Kontradiktion ist nun ein Satz φ, der in keinem Modell wahr ist, d.h. φ M = 0 für jedes solche M. Ein Satz φ ist AL-kontingent, wenn er weder eine Tautologie noch eine Kontradiktion ist, d.h. φ ist in einigen Modellen wahr, in anderen falsch. Ein Satz φ impliziert logisch einen Satz ψ, wenn ψ in jedem Modell wahr ist, in dem φ wahr ist. 36

37 Intensionale vs. Extensionale Interpretation Extensionale Logik Die Atomsätze bedeuten nichts Bestimmtes und heißen deswegen auch Aussagenvariablen. Man interessiert sich nur für die Bedeutung der Junktoren, welche logische Konstanten heißen. Man kann die Wahrheitsbedingungen für die Sätze in einem solchen Modell nicht beschreiben. Wenn man mit den Sätzen bereits eine intuitiv gegebene Bedeutung verbindet, dann kann man jedes Modell als die Beschreibung einer Welt auffassen. Die durch einen Satz ausgedrückte Proposition wäre dann gerade die Menge der Modelle, in denen er wahr ist. Man kann die Bedeutung von Modalen offensichtlich nicht beschreiben. muss φ besagt in epistemischer Bedeutung ja, dass die φ eine Obermenge meines Wissens c ist. muss ist also eine Relation zwischen zwei Mengen von Situationen. 37

38 Intensionale vs. Extensionale Interpretation Wenn man sich auf Sätze beschränkt, die nur mit extensionalen Junktoren wie und, oder und nicht verknüpft sind, charakterisieren extensionale und intensionale Modelle genau dieselbe Menge von Tautologien. In dieser Hinsicht sind die beiden Zugänge zu Bedeutungsanalyse äquivalent. 38

39 Ein tertium non datur der Form φ oder nicht φ ist in jedem propositionalen Modell M wahr. Beweis: Sei M ein beliebiges intensionales Modell mit der Situationsmenge SM. Dann gilt: φ oder nicht φ M = φ M (SM \ φ M ) = SM Also ist φ oder nicht φ in jedem intensionalen Modell wahr und damit eine Tautologie. Betrachte nun ein beliebiges extensionales Modell M. 1. Fall: φ M = 1. Dann ist φ oder nicht φ M = 1 gdw. φ M = 1 oder φ M = 0 Das ist nach Voraussetzung wahr. 2. φ M = 0. Dann ist φ oder nicht φ M = 1 gdw. φ M = 0 oder φ M = 1 Das stimmt ebenfalls. Q.E.D. 39

40 Intensionale vs. Extensionale Interpretation Die Bedeutungen von Artikeln wie jeder oder ein kann man in einem extensionalen Modell ebenfalls beschreiben. Das geht sogar einfacher als in einem intensionalen Modell und wird in (Heim and Kratzer, 1998) so gemacht. Zu Komplementsätzen kann man allerdings mit der Methode nicht gelangen und Wahrheitsbedingungen lassen sich auch nicht formulieren. 40