Analysis IV. Walter Bergweiler. Sommersemester 2014 Fassung vom 18. Juli Überblick 1. 1 Komplexe Differenzierbarkeit 2

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1 Analysis IV Walter Bergweiler Sommersemester 204 Fassung vom 8. Juli 204 Inhaltsverzeichnis Überblick Komplexe Differenzierbarkeit 2 2 Kurven, Zusammenhang und Wegzusammenhang 5 3 Kurvenintegrale 9 4 Stammfunktionen 5 Das Lemma von Goursat 5 6 Die Cauchy-Integralformel 9 7 Der Identitätssatz 25 8 Der Satz von Liouville 28 9 Das Maximumprinzip 3 0 Die Windungszahl 33 Der allgemeine Cauchy-Integralsatz 4 2 Laurentreihen und isolierte Singularitäten 46 3 Der Residuensatz 53 4 Einige funktionentheoretische Anwendungen des Residuensatzes 63 5 Die Riemannsche Zahlenkugel und meromorphe Funktionen 69 6 Normale Familien und der Riemannsche Abbildungssatz 75 i

2 Literatur Die folgenden Bücher sind nur eine kleine Auswahl aus der umfangreichen Literatur zum Thema: Lars V. Ahlfors, Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. 3. Auflage, McGraw-Hill, New York, 978. Folkmar Bornemann, Funktionentheorie, Birkhäuser, Basel, 203; im CAU- Netz als E-Book verfügbar: John B. Conway, Functions of one complex variable. 2. Auflage. Springer, New York-Berlin, 978. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb, Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig, Wiesbaden, 980. Wolfgang Fischer, Ingo Lieb, Einführung in die komplexe Analysis: Elemente der Funktionentheorie. Vieweg+Teubner/Springer, 200; im CAU-Netz als E-Book verfügbar: Eberhard Freitag, Rolf Busam, Funktionentheorie. Springer, Berlin, 993; im CAU-Netz als E-Book verfügbar: Klaus Jänich, Funktionentheorie. Springer, Berlin, 993. Reinhold Remmert, Funktionentheorie. I. Springer, Berlin, 984. Dietmar A. Salamon, Funktionentheorie. Birkhäuser, Basel, 202; im CAU- Netz als E-Book verfügbar: Hermann Weyl, Einführung in die Funktionentheorie. Bearbeitet von Ralf Meyer und Samuel J. Patterson. Birkhäuser, Basel, 2008; im CAU-Netz als E-Book verfügbar: ii

3 Ein Überblick In Analysis I und II wurde zunächst die Differential- und Integralrechnung für Funktionen f : I R entwickelt, wobei I ein Intervall in R ist. Große Teile der Theorie gelten unverändert für Funktionen f : I C oder f : I R n, allgemeiner sogar f : I X mit einem Banachraum X. (Ein Unterschied ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung, der in der allgemeineren Situation zur Mittelwertungleichung wird.) In Analysis II betrachtet man die Differenzierbarkeit von Funktionen f : Ω R n, wobei Ω R m offen ist. In dieser Vorlesung betrachten wir Funktionen f : Ω C wobei Ω C offen ist. Für diese wird komplexe Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten definiert. Resultate wie Produktregel oder Kettenregel übertragen sich unmittelbar aus Analysis I. Ansonsten ergeben sich aber wesentliche Unterschiede zur dortigen Theorie. Einige Beispiele sind die folgenden: Einmal komplex differenzierbare Funktionen sind beliebig oft komplex differenzierbar. Komplex differenzierbare Funktionen können in Potenzreihen entwickelt werden. Der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge komplex differenzierbarer Funktionen ist komplex differenzierbar, und die Ableitung des Grenzwerts ist der Grenzwert der Ableitungen. Eine nützliche Übung ist, sich zu überlegen, dass die entsprechenden Resultate für Differenzierbarkeit im Sinne der Analysis I nicht gelten. Neben der Differentialrechnung werden wir auch wieder Integralrechnung betreiben. Das Integral über ein Intervall, wie wir es in Analysis II kennen gelernt haben, wird dabei durch ein Integral über Kurven in C ersetzt. Die Theorie der komplex differenzierbaren Funktionen heißt Funktionentheorie. Diese hat vielfältige Anwendungen, von denen wir auch einige behandeln. So geben wir einen kurzen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Als anderes Anwendungsbeispiel sei die Berechnung gewisser reeller Integrale genannt, beispielsweise 0 sin x x dx = π 2 oder 0 x log x π2 2 dx =. + x2 4 Schließlich sei gesagt, dass viele Ergebnisse der reellen Analysis erst durch die Betrachtung komplexer Funktionen verständlich werden. So ist etwa aus Sicht der reellen Analysis nicht klar, warum die Taylorreihen von auf ganz R definierten und beliebig oft differenzierbaren Funktionen wie x + x 2 oder x e x + nicht auch auf ganz R konvergieren. Die Funktionentheorie lässt die Gründe erkennen, warum der Konvergenzradius bzw. π ist: Die betrachteten Funktionen haben Singularitäten bei ±i bzw. ±iπ.

4 Komplexe Differenzierbarkeit Definition.. Sei Ω C offen, f : Ω C und z 0 Ω. Dann heißt f (komplex) differenzierbar in z 0, falls f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 existiert. Der Grenzwert heißt dann Ableitung von f in z 0. Ist f in jedem Punkt von Ω komplex differenzierbar, so heißt f holomorph. Weiter heißt f holomorph in z 0, falls z 0 eine offene Umgebung U hat, so dass f U holomorph ist. Beispiele.. Sei n N und f : C C, f(z) = z n. Dann gilt f(z) f(z 0 ) z z 0 = zn z n 0 z z 0 = z n + z n 2 z z0 n nz0 n für z z 0. Also ist f holomorph und es gilt f (z) = nz n. 2. Sei f : C C, f(z) = z, also f(x + iy) = x iy für x, y R. Sei z 0 C und h R. Dann gilt und f(z 0 + h) f(z 0 ) h f(z 0 + ih) f(z 0 ) ih = ih ih Damit existiert f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 nicht. Also ist f nicht komplex differenzierbar. = für h 0 Analog zu Analysis I gilt das folgende Resultat. = für h 0. Lemma.2. Sei Ω C offen, f : Ω C und z 0 C. Dann sind äquivalent: (i) f ist komplex differenzierbar in z 0. (ii) Es existiert m C, so dass wobei f(z) = f(z 0 ) + m(z z 0 ) + r(z) lim z z 0 r(z) z z 0 = 0. Gelten diese Aussagen, so gilt m = f (z 0 ). Wie in Analysis I gelten, mit den gleichen Beweisen, die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel. Ebenso gilt natürlich die Regel für die Ableitung einer Summe. Es folgt zum Beispiel, dass Polynome holomorph sind. Wie in Analysis I gilt auch: Differenzierbare Abbildungen sind stetig. 2

5 Wir fassen jetzt die Abbildung f : Ω C als Abbildung einer offenen Teilmenge des R 2 in den R 2 auf und betrachten Differenzierbarkeit im Sinne der Analysis II. (Es ist ja C = R 2!) Wir erinnern an den dortigen Differenzierbarkeitsbegriff: Die Abbildung f : Ω R 2 ist total differenzierbar in z 0 = (x 0, y 0 ), falls eine lineare Abbildung T : R 2 R 2 existiert, so dass wobei f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + T (x x 0, y y 0 ) + r(x, y) r(x, y) lim (x,y) (x 0,y 0 ) (x, y) (x 0, y 0 ) = 0. Die zur linearen Abbildung T gehörige Matrix ist die Jacobi-Matrix und wird mit J f bezeichnet. Mit ( ) u f = = u + iv v gilt also und Mit folgt u f x = x v = u x + i v x x u x J f = v x u y v y T (h, k) = J f (x 0, y 0 ) ( ) h. k u f und y = y v = u y + i v y y f(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) + r(x, y). Nun gilt x = Re z = 2 (z + z) = 2 z + 2 z und y = Im z = 2 i(z z) = 2 iz + 2 iz. Mit z = (x, y) = x + iy und z 0 = (x 0, y 0 ) = x 0 + iy 0 folgt f(z) = f(z 0 ) + f ( x (z 0) 2 (z z 0) + ) 2 (z z 0) + f ( y (z 0) 2 i(z z 0) + ) 2 i (z z 0) + r(z) = f(z 0 ) + ( f 2 x (z 0) i f ) y (z 0) (z z 0 ) + ( f 2 x (z 0) + i f ) y (z 0) (z z 0 ) + r(z). 3

6 und Wir setzen f z (z 0 ) := f z (z 0) := ( f 2 x (z 0) i f ) y (z 0) f z (z 0 ) := f z (z 0) := ( f 2 x (z 0) + i f ) y (z 0) und nennen dies die Wirtinger-Ableitungen von f. Man beachte, dass dies keine wirklichen Ableitungen sind (da z und z keine unabhängigen Veränderlichen sind). Die obigen Überlegungen liefern folgendes Resultat. Lemma.3. Sei Ω C offen, f : Ω C (= R 2 ) und z 0 C. Dann sind äquivalent: (i) f ist total differenzierbar in z 0. (ii) Es existieren A, B C mit f(z) = f(z 0 ) + A(z z 0 ) + B(z z 0 ) + r(z) wobei lim z z 0 r(z) z z 0 = 0. Gelten diese Aussagen, so gilt A = f z (z 0) und B = f z (z 0). Es folgt aus Lemma.2 und.3, dass eine komplex differenzierbare Funktion auch total differenzierbar ist. (Man setze A = m und B = 0.) Umgekehrt folgt wegen z z 0 z z 0 0 für z z 0, dass eine total differenzierbare Funktion genau dann komplex differenzierbar ist, wenn B = 0 gilt. Wir erhalten damit folgendes Resultat. Satz.4. Sei Ω C offen, f : Ω C und z 0 Ω. Dann sind äquivalent: (i) f ist komplex differenzierbar in z 0. (ii) f ist total differenzierbar in z 0 und f z (z 0) = 0. Es gilt dann f (z 0 ) = f z (z 0). 4

7 Wir erinnern daran, dass f total differenzierbar in Ω ist, falls die partiellen Ableitungen von f existieren und stetig in Ω sind. Damit ist f holomorph, falls die partiellen Ableitungen existieren und stetig sind und außerdem f/ z = 0 gilt. Man nennt dies die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Wir schreiben diese für ( ) u f = = u + iv v auch noch in verschiedenen anderen Formen. Es gilt: f z = 0 f x = i f y u ( ) u x + i v x = i y + i v y u x = v und u y y = v x. Für eine in z 0 komplex differenzierbare Funktion f folgt dann f (z 0 ) = f z (z 0) = ( f 2 x (z 0) i f ) y (z 0) = f x (z 0) = i f y (z 0). Beispiel. Sei Ω = {(x, y) R 2 : x > 0} = {z C: Re z > 0} und f : Ω C, f(x, y) = 2 log( x 2 + y 2) + i arctan y x, also u(x, y) = 2 log( x 2 + y 2), v(x, y) = arctan y x. Es gilt u x = u y = x x 2 + y 2, y x 2 + y 2, v y = ( y ) 2 x = u x, + x ( ) v x = y ( y 2 x + x) 2 = u y. Damit ist f holomorph. 2 Kurven, Zusammenhang und Wegzusammenhang Obwohl wir weitgehend Kurven in C betrachten werden, sind die grundlegenden Definitionen allgemeiner gehalten. 5

8 Definition 2.. Eine stetige Abbildung : [a, b] R p, mit a, b R, a < b, und p N, heißt Weg oder Kurve in R p. Ein differenzierbarer Weg heißt glatt, falls (t) 0 für alle t [a, b]. Existiert eine Zerlegung {t 0, t,..., t n } von [a, b] (also a = t 0 < t < < t n = b), so dass [tj,t j ] für ale j {,..., n} glatt ist, so heißt stückweise glatt. Man nennt (a) den Anfangspunkt, (b) den Endpunkt und Sp() := ([a, b]) die Spur von. Man sagt auch, dass Weg von (a) nach (b) ist. Weiter heißt geschlossen, falls (a) = (b), und heißt Jordankurve, falls geschlossen ist und [a,b) injektiv ist. Ist M R p, so heißt ein Weg mit Sp() = M eine Parametrisierung von M. Beispiele.. Für x, y R p ist : [0, ] R p, (t) = x + t(y x) Parametrisierung der Strecke [x, y] = {x+t(y x): 0 t }. Auch : [0, ] R p, (t) = x + t 2 (y x), parametrisiert diese Strecke, aber wir werden im Allgemeinen die erste Parametrisierung bevorzugen und nennen diese die Standardparametrisierung der Strecke. 2. Durch : [0, 2π] R 2, (t) = (cos t, sin t) ist eine Parametrisierung von {(x, y) R 2 : (x, y) = } gegeben. Mit R 2 = C gilt in komplexer Schreibung (t) = e it, und ist eine Parametrisierung von {z C: z = }. Sei : [a, b] R p Kurve und ϕ: [c, d] [a, b] stetig, monoton steigend und bijektiv. Dann heißt die Kurve ϕ Umparametrisierung von. Ist ϕ stückweise glatt, so ist ϕ genau dann stückweise glatt, wenn dies für gilt. Durch : ist (stückweise glatte) Umparametrisierung von ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der (stückweise glatten) Kurven gegeben. - Abbildung : Die Kurve : [, ] R 2, t (t 3, t 2 ), ist stetig differenzierbar, aber nicht glatt. Die Kurve : [, ] R 2, t (sign(t) t 3/2, t ) ist eine stückweise glatte Umparametrisierung von. Sei : [a, b] R p Kurve. Dann heißt ( ): [ b, a] R p, ( )(t) = ( t) 6

9 die zu inverse Kurve. Für j {, 2} seien j : [a j, b j ] R p Kurven mit (b ) = 2 (a ). Dann ist die Summe + 2 definiert durch ( + 2 ): [a, b + b 2 a 2 ] R p, { (t), a t b, ( + 2 )(t) = 2 (t + a 2 b ), b < t b + b 2 a 2. Es ist also ( + 2 ) [a,b ] = und ( + 2 ) [b,b +b 2 a 2 ] ist eine Umparametrisierung von 2. Beispiel. Seien x 0, x, x 2 R p. Sei die Standardparametrisierung der Strecke [x 0, x ], also : [0, ] R p, (t) = x 0 + t(x x 0 ). Sei 2 die Standardparametrisierung von [x, x 2 ]. Dann ist + 2 eine Parametrisierung des Streckenzugs (oder Polygonzugs) [x 0, x, x 2 ] := [x 0, x ] [x, x 2 ]. Allgemeiner nennt man n [x 0,..., x n ] = [x j, x j ] Streckenzug (oder Polygonzug). Eine Parametrisierung, für die x 0 Anfangspunkt und x n Endpunkt ist, erhält man in offensichtlicher Weise. Definition 2.2. Eine Teilmenge M des R p heißt wegzusammenhängend, wenn für alle x, y M ein Weg in M mit Anfangspunkt x und Endpunkt y existiert. Eine offene, wegzusammenhängende Menge heißt Gebiet. Analog kann man Wegzusammenhang allgemeiner auch für Teilmengen metrischer Räume definieren. Ein anderer Zusammenhangsbegriff ist der Folgende. Definition 2.3. Ein metrischer Raum (X, d) heißt unzusammenhängend, falls nichtleere, offene Teilmengen U, V von X existieren, so dass X = U V und U V = gilt. Andernfalls heißt (X, d) zusammenhängend. Eine Teilmenge M von X heißt (un)zusammenhängend, falls dies für den metrischen Raum (M, d (M M) ) gilt. Wir werden im Folgenden nur den Fall X = R p benötigen. Dabei wird in R p die euklidische Metrik zu Grunde gelegt. Sei M X = R p. Es ist leicht zu sehen, dass eine Teilmenge U von M genau dann offen in M ist, wenn es eine offene Menge U R p gibt, so dass U = U M. Ist M selbst offen, so kann man U = U wählen. Eine offene Teilmenge M von R p ist also genau dann zusammenhängend, wenn man sie nicht als Vereinigung zweier offener, disjunkter, nichtleerer Teilmengen schreiben kann. Statt zu fordern, dass die Mengen U, V in Definition 2.3 beide offen sind, kann man auch fordern, dass U, V beide abgeschlossen sind. Denn sind U, V wie in Definition 2.3, so sind A := X\U und B := X\V abgeschlossen, nichtleer und es gilt A B = X und A B =. Entsprechend ist abgeschlossene Teilmenge M von R p ist genau dann zusammenhängend, wenn man sie nicht als Vereinigung zweier abgeschlossener, nichtleerer Teilmengen schreiben kann. Man beachte, dass aus U, V und U V = in Definition 2.3 folgt, dass U, V X. Die beiden folgenden Sätze klären den Zusammenhang zwischen den beiden Zusammenheitsbegriffen. 7 j=

10 Satz 2.4. Wegzusammenhängende Mengen sind zusammenhängend. Beweisskizze. Sei M R p wegzusammenhängend, aber nicht zusammenhängend. Seien U und V wie in Definition 2.3 und seien u U und v V. Dann existiert ein Weg in M mit Anfangspunkt u und Endpunkt v, etwa : [0, ] M mit (0) = u und () = v. Da stetig ist, sind I := (U) und J := (V ) offen (im Intervall [0, ]). Außerdem gilt I, J, I J = und I J = [0, ]. Mit anderen Worten, man erhält, dass [0, ] unzusammenhängend ist. Dies führt man leicht zum Widerspruch, etwa indem man zeigt, dass sup I weder in I noch in J sein kann, andererseits aber in [0, ] sein muss. Die Umkehrung gilt nicht; das heißt, im Allgemeinen sind zusammenhängende Mengen nicht wegzusammenhängend. Ein Beispiel ist in Abbildung 2 dargestellt. - Abbildung 2: Die Menge {(x, sin(/x)): 0 < x } {(0, y): y } ist zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend. Es gilt aber folgender Satz. Satz 2.5. Offene zusammenhängende Mengen sind wegzusammenhängend. Allgemeiner gilt sogar der folgende Satz, für dessen Beweis auf die Übung verwiesen sei. Satz 2.6. Sei G R p offen und zusammenhängend und seien x, y G. Dann existiert ein Polygonzug von x nach y; das heißt, es existieren x 0,..., x n G mit x 0 = x, x n = y und [x 0,..., x n ] G. Sei M R p. Eine bezüglich der Inklusion maximale (weg-)zusammenhängende Teilmenge von M heißt (Weg-)Zusammenhangskomponente. Alternativ kann man (Weg-)Zusammenhangskomponenten auch als die Äquivalenzklassen der durch beziehungsweise x y : Es existiert ein Weg von x nach y in M x y : Es existiert eine x und y enthaltende, zusammenhängende Teilmenge von M gegebenen Äquivalenzrelationen auf M definieren. 8

11 3 Kurvenintegrale Definition 3.. Sei : [a, b] R d stückweise glatte Kurve, f : Sp() R d stetig und g : Sp() R stetig. Dann heißt f(x), dx = b (orientiertes) Kurvenintegral von f über, g(x) dx = a b a f((t)), (t) dt g((t)) (t) 2 dt (nichtorientiertes) Kurvenintegral von g über und L() = dx = b a (t) 2 dt Länge von. Dabei ist, das Standardskalarprodukt. (Wenn das Skalarprodukt anders bezeichnet wird, ändert sich die Bezeichnung für das orientierte Kurvenintegral natürlich entsprechend.) Ist d = 2, also R d = R 2 = C, so heißt f(z)dz = b a f((t)) (t)dt (komplexes) Kurvenintegral von f über. Dabei ist f((t)) (t) das Produkt der komplexen Zahlen f((t)) und (t). Beispiele.. Sei z 0 C, r > 0 und : [0, 2π] C, (t) = z 0 + re it. Sei f : C\{z 0 } C, f(z) = z z 0. Dann gilt f(z)dz = 2π 0 2π ire it dt = i dt = 2πi. (t) z Sei k Z \ {}, und wie in Beispiel. Dann gilt f(z)dz = 2π 0 f : C\{z 0 } C, f(z) = (re it ) k ireit dt = (z z 0 ) k i 2π e i( k)t dt = r k 0 Statt f(z)dz schreiben wir auch z z 0 =r f(z)dz. i r k e i( k)t i( k) t=2π t=0 = 0. 9

12 Bemerkungen.. Für = (,..., d ) ist natürlich durch = (,..., d ) definiert. Eventuell ist an endlich vielen Stellen nicht definiert (da nur stückweise glatt ist). Dies ist für die auftretenden Integrale irrelevant. Man könnte die Voraussetzungen an und f noch deutlich abschwächen, etwa für f nur fordern, dass die Integrale in Lebesgueschem Sinne existieren. Auch die Voraussetzungen für können abgeschwächt werden. Wir werden aber nur über stückweise glatte Kurven integrieren und nennen solche Kurven Integrationswege. 2. Die Länge stimmt mit der in Analysis II definierten Länge überein. Dort wurde der Fall d = 2 und (t) = (t, h(t)) mit h C [a, b] betrachtet. Es ist dann (t) 2 = + h (t) Die oben definierten Kurvenintegrale sowie die Länge einer Kurve sind normiert unter stückweise glatten Umparametrisierungen. Dies folgt direkt aus der Substitutionsregel. Ist M eine Menge, die in offensichtlicher Weise als Spur einer stückweise glatten Kurve dargestellt werden kann, so schreibt man auch... statt.... Man M beachte aber, dass Sp( ) = Sp() ist, nach Substitutionsregel aber f(z)dz = f(z)dz, und f(x), dx = f(x), dx g(x) dx = g(x) dx gilt. Bei der Schreibweise... muss also auch klar sein, wie die Kurve mit M Sp() = M orientiert ist. Außerdem gilt f(z)dz = + 2 f(z)dz + f(z)dz, 2 wobei f,, 2 so seien, dass die obigen Integrale definiert sind. Entsprechendes gilt für orientierte und nichtorientierte Kurvenintegrale. 4. Orientierte Kurvenintegrale können physikalisch zum Beispiel wie folgt gedeutet werden: Wird ein Massenpunkt entlang einer Kurve in einem Kraftfeld f bewegt, so ist f(x), dx die dabei verrichtete Arbeit. Den folgenden Hilfssatz werden wir des Öfteren benutzen. Lemma 3.2. Seien, f, g wie in Definition 3.. Dann gilt f(x), dx f 2 dx L() max f(x) 2, x Sp() g(x) dx L() max g(x) x Sp() 0

13 und f(z)dz f(z) dz L() max z Sp() f(z). Beweis. Die Behauptung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung f((t)), (t) f((t)) 2 (t) 2 sowie Standardabschätzungen für Integrale. 4 Stammfunktionen Nach Hauptsatz der Differentialrechnung reduziert sich die Berechnung eines Integrals einer stetigen Funktion über ein Intervall in R auf die Auswertung einer Stammfunktion an den Endpunkten des Intervalls. Entsprechendes gilt für orientierte und komplexe Kurvenintegrale. Sei Ω R d offen, f : Ω R d stetig und U : Ω R stetig differenzierbar. Gilt f = grad U, so heißt U Potential von f, vgl. Analysis III. Der Gradient grad U von U ist dabei definiert durch ( U grad U =,..., U ). x x d Satz 4.. Sei Ω R d offen, f : Ω R d stetig und : [a, b] Ω Integrationsweg. Hat f ein Potential U, so gilt f(x), dx = U((b)) U((a)). Beweis. Mit f = (f,..., f d ) gilt f j = U/ x j. Mit = (,..., d ) folgt f(x), dx = = b a b f((t)), (t) dt d a j= b U x j ((t)) (t)dt du((t)) = dt a dt = U((b)) U((a)) nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Für das komplexe Kurvenintegral erhalten wir Entsprechendes. Definition 4.2. Sei Ω C offen und f : Ω C stetig. Sei F : Ω C holomorph mit F = f. Dann heißt F Stammfunktion von f.

14 Satz 4.3. Sei Ω C offen, f : Ω C stetig und : [a, b] Ω Integrationsweg. Hat f eine Stammfunktion F, so gilt f(z)dz = F ((b)) F ((a)). Beweis. Es gilt f(z)dz = = = b a b a b a f((t)) (t)dt F ((t)) (t)dt (F ) (t)dt = F ((b)) F ((a)), nach Kettenregel und Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Folgerung 4.4. Sei Ω C Gebiet und f : Ω C holomorph. Gilt f (z) = 0 für alle z Ω, so ist f konstant. Beweis. Seien p, q Ω. Zu zeigen ist, dass f(p) = f(q). Da Ω zusammenhängend ist, existiert ein Integrationsweg in Ω mit Anfangspunkt p und Endpunkt q, etwa : [a, b] Ω mit (a) = p und (b) = q. Da f Stammfunktion von f ist, folgt f(q) f(p) = f (z)dz = 0 dz = 0. Bemerkung. Ist Ω offen, aber kein Gebiet (also nicht zusammenhängend), so folgt unter den Voraussetzungen von Folgerung 4.4, dass f auf jeder Wegzusammenhangskomponente von Ω konstant ist. Häufig betrachtet man in der Funktionentheorie der Einfachheit halber nur auf Gebieten definierte Funktionen. Die entsprechenden Aussagen für den Fall, dass der Definitionsbereich offen, aber nicht zusammenhängend ist, enthält man dann in der Regel wieder sehr leicht. Ist f = (f,..., f d ): Ω R d stetig differenzierbar, so folgt aus der Existenz eines Potentials, dass f j = f k x k x j für alle j, k {,..., d}, denn ist U ein Potential, so gilt mit dem Satz von Schwarz f j = ( ) U = ( ) U = f k. x k x k x j x j x k x j Ist Ω sternförmig, das heißt, existiert x 0 Ω so dass [x 0, x] Ω für alle x Ω, so folgt umgekehrt aus den so genannten Integrabilitätsbedingungen f j x k = f k x j für alle j, k {,..., n} 2

15 die Existenz eines Potentials. In der Tat ist durch U(x) = f(w), dw = f(ξ + t(x x 0 ), x x 0 dt [x 0,x] ein Potential gegeben. (Dies war eine Übungsaufgabe der Analysis III.) 0 Sei nun f = (u, v) = u + iv : Ω C holomorph. Weiter sei f stetig. Wir setzen g = f = (u, v) = u iv und h = if = (v, u) = v + iu. Dann erfüllen g und h auf Grund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen die Integrabilitätsbedingungen, also u y = ( v) x und v y = u x. Ist Ω sternförmig, so existieren Potentiale U und V von g und h, das heißt, es gilt g = grad U und h = grad V. Sei nun F = (U, V ) = U + iv. Dann ist F total differenzierbar und es gilt U x = u = V y und U y = v = V x. Damit ist F holomorph und es gilt F = F x = U x + i V x Also ist F Stammfunktion von f. Wir haben folgenden Satz bewiesen. = u + iv = f. Satz 4.5. Sei Ω C sternförmiges Gebiet und f : Ω C holomorph. Weiter sei f stetig. Dann hat f eine Stammfunktion. Alternativ hätte man zum Beweis des Satzes analog zum oben angegebenen Integral für das Potential eine Stammfunktion F auch direkt durch F (z) = f(ξ)dξ [z 0,z] definieren können, falls Ω sternförmig bezüglich z 0 ist. Dabei wird [z 0, z] durch : [0, ] Ω, (t) = z 0 + t(z z 0 ), parametrisiert, also mit F (z) = f(z 0 + t(z z 0 ))(z z 0 )dt = 0 0 g(z, t) = f(z 0 + t(z z 0 ))(z z 0 ). g(z, t)dt 3

16 Mit dem Satz über Parameterintegrale aus Analysis III (vgl. Satz 6.3 unten) folgt F (z) z = 0 g(z, t) dt = z 0 0 dt = 0 und F (z) z = = = = f(z). g(z, t) dt z f (z 0 + t(z z 0 ))t(z z 0 ) + f(z 0 + t(z z 0 ))dt = 0 d dt (f(z 0 + t(z z 0 ))t)dt Hieraus folgt, dass F holomorph ist und F = f gilt. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, dass in Satz 4.5 auf die Voraussetzung der Stetigkeit von f verzichtet werden kann. Insofern ist Satz 4.5 für den Aufbau der Funktionentheorie entbehrlich. Die obigen Argumente zeigen aber den Zusammenhang zu Sätzen der reellen Analysis über die Existenz von Potentialen. Zunächst halten wir aber noch einige Resultate über Stammfunktionen fest. Satz 4.6. Sei Ω C offen und f : Ω C stetig. Dann hat f genau dann eine Stammfunktion, wenn f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Integrationsweg in Ω. Beweis. Ist : [a, b] C geschlossener Integrationsweg, also (a) = (b), und ist F Stammfunktion von f, so gilt nach Satz 4.3 f(z)dz = F ((b)) F ((a)) = 0. Sei umgekehrt f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Integrationsweg. Wir nehmen ohne Einschränkung an, dass Ω wegzusammenhängend ist. (Sonst betrachten wir jede Wegzusammenhangskomponente separat.) Sei z 0 Ω fest. Wir definieren F : Ω C durch F (z) = f(ζ)dζ, z wobei z ein Integrationsweg in Ω mit Anfangspunkt z 0 und Endpunkt z ist. Dies ist wohldefiniert, denn ist z ein weiterer Integrationsweg mit dieser Eigenschaft, so ist z z ein geschlossener Integrationsweg, also 0 = f(ζ)dζ = f(ζ)dζ f(ζ)dζ z z z z und damit f(ζ)dζ = f(ζ)dζ. z z 4

17 Sei nun z Ω und r > 0 mit D(z, r) := {ζ C: ζ z < r} Ω. Für h C mit h < r gilt dann [z, z+h] Ω. Durch σ : [0, ] Ω, σ(t) = z+th, ist eine Parametrisierung der Strecke [z, z +h] gegeben. Da z+h σ z geschlossener Integrationsweg ist, folgt 0 = f(ζ)dζ z+h σ f(ζ)dζ f(ζ)dζ = F (z + h) h z 0 f(z + th)dt F (z) und damit F (z + h) F (z) h f(z) = = 0 0 max ζ [z,z+h] f(z + th)dt f(z) (f(z + th) f(z))dt f(ζ) f(z). Da f stetig ist, folgt F (z + h) F (z) lim h 0 h = f(z), das heißt, F ist komplex differenzierbar und F = f. Also ist F Stammfunktion von f. Ist Ω sternförmig bezüglich z 0, so kann man z als (Parametrisierung der) Verbindungsstrecke von z 0 nach z wählen. Der Beweis zeigt, dass es reicht, die Voraussetzung f(z)dz = 0 für die Kurven zu machen, die Ränder von in Ω enthaltenen Dreiecken sind. Damit erhalten wir folgendes Resultat. Satz 4.7. Sei Ω C sternförmiges Gebiet und sei f : Ω C stetig. Dann hat f genau dann eine Stammfunktion, wenn f(z)dz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck in Ω gilt. Ein abgeschlossenes Dreieck ist dabei die konvexe Hülle dreier Punkte in C. Während im obigen Satz die Orientierung des Randes keine Rolle spielt, werden wir im Folgenden bei (nicht zu einer Strecke degenerierten) Dreiecken die Parametrisierung des Randes immer mit positiver Orientierung wählen, also gegen den Uhrzeigersinn. 5 Das Lemma von Goursat Wir wollen zeigen, dass in Satz 5.4 auf die Stetigkeit der Ableitung verzichtet werden kann. Wesentliches Hilfsmittel dabei ist folgendes Resultat. 5

18 Satz 5. (Lemma von Goursat). Sei Ω C offen und sei f : Ω C holomorph. Dann gilt f(z)dz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck in Ω. Beweis. Wir zerlegen durch Verbinden der Seitenmittelpunkte in vier Dreiecke, 2, 3, 4 ; vgl. Abbildung also Abbildung 3: Unterteilung eines Dreiecks in Dreiecke, 2, 3, 4. Es gilt dann 4 f(z)dz = f(z)dz, k f(z)dz k= 4 f(z)dz 4 max k k= Damit existiert k {,..., 4} mit f(z)dz 4 k k=,...,4 f(z)dz. f(z)dz. k Wir setzen = k und zerlege in vier Dreiecke, 2, 3, 4. Eines dieser vier Dreiecke, welches wir mit 2 bezeichnen, erfüllt f(z)dz 4 f(z)dz. 2 Wir erhalten induktiv eine Folge ( k ) von Dreiecken mit 2... und f(z)dz 4n f(z)dz, n wobei die Länge L( n ) des Randes L( n ) = 2 L( n ) = = 2 L( ) n erfüllt. 6

19 Da die n kompakt sind und n+ n für alle n N gilt, ist n N n nicht leer. Wegen L( n ) 0 besteht der Schnitt nur aus einem Punkt, das heißt, es gilt n = {z 0 } n N für ein z 0 Ω. Nach Definition der komplexen Differenzierbarkeit (siehe Lemma.2) existiert nun r : Ω C mit f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + r(z) und r(z) = o( z z 0 ) für z z 0. Damit hat r die Form r(z) = (z z 0 )η(z) wobei lim z z0 η(z) = 0 = η(z 0 ). Nun gilt n (f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ))dz = 0, denn z f(z 0 )z + 2 f (z 0 )(z z 0 ) 2 ist Stammfunktion des Integranden. Es folgt, dass f(z)dz = r(z)dz, n n also f(z)dz = n (z z 0 )η(z)dz n L( n ) max (z z 0 )η(z) z n L( n ) 2 max η(z). z n Dies liefert f(z)dz 4 n f(z)dz n 4 n L( n ) 2 max η(z) z n = L( ) 2 max η(z). z n Mit n folgt f(z)dz = 0. Eine einfache Folgerung ist nun das nächste Resultat. Satz 5.2 (Cauchyscher Integralsatz für sternförmige Gebiete). Sei Ω C sternförmiges Gebiet und sei f : Ω C holomorph. Dann gilt f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Integrationsweg in Ω. 7

20 Beweis. Nach Satz 5. gilt f(z)dz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck in Ω. Nach Satz 4.7 hat f damit eine Stammfunktion. Hieraus folgt aber die Behauptung mit Satz 4.6. Wir werden noch die folgende, geringfügig stärkere Version des Lemmas von Goursat benötigen. Satz 5.3. Sei Ω C offen und z 0 Ω. Es sei f : Ω C stetig. Weiter sei f holomorph in Ω \ {z 0 }. Dann gilt f(z)dz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck in Ω. Ist Ω sternförmig, so gilt auch f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Integrationsweg in Ω. Beweis. Die zweite Behauptung folgt wie in Beweis von Satz 5.2 aus der ersten. Sei abgeschlossenes Dreieck in Ω. Die Behauptung f(z)dz = 0 folgt aus dem Lemma von Goursat, falls z 0. Sei im Folgenden also z 0. Wir betrachten zunächst den Fall, dass z 0 Eckpunkt von ist. Wir zerlegen in drei Teildreiecke, 2 und 3, wobei z 0 Eckpunkt von ist, und für ein gegebenes ε > 0 die Seitenlängen von kleiner als ε sind; vgl. Abbildung 4. z Abbildung 4: Unterteilung eines Dreiecks, dass z 0 als Eckpunkt hat. Es gilt nach Lemma von Goursat dann f(z)dz = f(z)dz = Damit gilt 3 f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz. j j= 8

21 Nun gilt f(z)dz L( ) max f(z) 3ε max f(z). z z Da so eine Unterteilung von für jedes ε > 0 gefunden werden kann, folgt f(z)dz = f(z)dz = 0. Ist z 0, aber z 0 kein Eckpunkt von, so unterteilt man in Dreiecke, die z 0 als Eckpunkt haben (vgl. Abbildung 5), und wendet das bereits Bewiesene auf diese an. z 0 z 0 Abbildung 5: Unterteilung eines Dreiecks, welches z 0 enthält, in kleinere Dreiecke, welche z 0 als Eckpunkt haben. 6 Die Cauchy-Integralformel Satz 6. (Cauchy-Integralformel). Sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Weiter sei z 0 Ω und r > 0 mit D(z 0, r) Ω. Für z D(z 0, r) gilt dann f(z) = f(ζ) 2πi ζ z 0 =r ζ z dζ. Beweis. Zunächst existiert R > r mit D(z 0, R) Ω. Sei z D(z 0, r) fest und sei g : D(z 0, R) C, f(ζ) f(z), ζ z, g(ζ) = ζ z f (z), ζ = z. Dann ist g stetig in D(z 0, R) und holomorph in D(z 0, R)\{z}. Satz 5.3 liefert 0 = = = ζ z 0 =r ζ z 0 =r ζ z 0 =r g(ζ)dζ f(ζ) f(z) dζ ζ z f(ζ) ζ z f(z) 9 ζ z 0 =r dζ ζ z.

22 Nun gilt wegen z z 0 < r = ζ z 0, dass ζ z = = = = ζ z 0 + z 0 z k=0 ζ z 0 z z 0 ζ z 0 ( ) k z z0 ζ z 0 ζ z 0 k=0 (z z 0 ) k (ζ z 0 ), k+ wobei die Reihe gleichmäßig konvergiert. Die Integrale dζ (ζ z 0 ) m ζ z 0 =r wurden bereits berechnet. Sie haben den Wert 0 für m Z\{} und den Wert 2πi für m =. Es folgt dζ ζ z = (z z 0 ) k dζ = 2πi. (ζ z 0 ) k+ ζ z 0 =r Die Behauptung folgt. k=0 ζ z 0 =r Wir ziehen einige wichtige Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel. Satz 6.2. Sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Weiter sei z 0 Ω und R > 0 mit D(z 0, R) Ω. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Folge (a n ) n 0, so dass f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 für alle z D(z 0, R). Für n N 0 und 0 < r < R gilt a n = f(ζ) dζ. 2πi (ζ z 0 ) n+ Beweis. Für 0 z z 0 < r gilt f(z) = 2πi = 2πi ( = 2πi n=0 ζ z 0 =r ζ z 0 =r ζ z 0 =r f(ζ) ζ z dζ f(ζ) ζ z 0 =r (z z 0 ) n (ζ z 0 ) n=0 f(ζ) (ζ z 0 ) n+ n+ dζ ) (z z 0 ) n. Die Eindeutigkeit folgt aus dem Identitätssatz für Potenzreihen (oder auch aus Folgerung 6.5 unten). 20

23 Als Nächstes halten wir fest, dass der Satz aus Analysis III über die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen auch für komplexe Differenzierbarkeit gilt. Wir benötigen dieses Ergebnis in der folgenden Form. Satz 6.3. Sei Ω C offen, Integrationsweg in C und f : Ω Sp() C stetig. Für alle ζ Sp() sei die durch z f(z, ζ) gegebene Funktion holomorph in Ω und (z, ζ) f(z, ζ) z sei stetig in Ω Sp(). Dann ist F : Ω C, F (z) = f(z, ζ)dζ holomorph und es gilt F (z) = f(z, ζ)dζ. z Beweis. Es reicht zu zeigen, dass F in jeder Kreisscheibe D mit D Ω holomorph ist und dort die Formel für F gilt. Sei D so eine Kreisscheibe. Da D Sp() kompakt ist, ist f dort beschränkt. Damit ist F nach dem Satz aus Analysis III über Stetigkeit von Parameterintegralen stetig in D. Wegen f(z, ζ) = 0 z für (z, ζ) Ω Sp() sind auch die partiellen Ableitungen f x = f z + f z und f ( f y = i z f ) z stetig in Ω Sp(), also ebenfalls beschränkt in D Sp(). Nach dem Satz über Differentiation von Parameterintegralen ist F damit partiell differenzierbar in D mit F x (z) = f F (z, ζ)dζ und x y = f (z, ζ)dζ. y Außerdem sind die partiellen Ableitungen von F stetig in D und es gilt F z (z) = ( ) F (z) + i F 2 x y (z) ( ) f = (z, ζ) + i f (z, ζ) dζ 2 x y f = (z, ζ)dζ z = 0 dζ = 0. Damit ist F holomorph in D. Die angegebene Formel für F ergibt sich analog. 2

24 Satz 6.4. Sei Ω C offen und f : Ω C holomorph. Dann ist f beliebig oft komplex differenzierbar und alle Ableitungen sind ebenfalls holomorph. Sind z 0 Ω und r > 0 mit D(z 0, r) Ω, so gilt für z D(z 0, r) und n N 0. f (n) (z) = n! f(ζ) dζ 2πi ζ z 0 =r (ζ z) n+ Beweis. Wir führen den Beweis durch Induktion über n. Der Fall n = 0 ist gerade die Cauchysche Integralformel. Sei also n N 0 und f sei n-mal komplex differenzierbar, mit der angegebenen Formel für f (n). Da z (ζ z) n+ für alle ζ D(z 0, r) holomorph in D(z 0, r) ist, mit ( ) d = n + dz (ζ z) n+ (ζ z), n+2 folgt aus Satz 6.3, dass f (n) komplex differenzierbar ist, mit f (n+) (z) = n! f(ζ) d ( ) (n + )! dζ = 2πi dz (ζ z) n+ 2πi f(ζ) dζ (ζ z) n+2 für z D(z 0, r). Folgerung 6.5. Die Koeffizienten a n in Satz 6.2 haben die Form a n = n! f (n) (z 0 ). Der folgende Satz ist eine Umkehrung des Lemmas von Goursat. Satz 6.6 (Satz von Morera). Sei Ω C offen und f : Ω C stetig. Gilt f(z)dz = 0 für jedes abgeschlossene Dreieck in Ω, so ist f holomorph. Beweis. Es reicht zu zeigen, dass für jede Kreisscheibe D in Ω die Funktion f D holomorph ist. Nach Satz 4.7 hat f D eine Stammfunktion F. Nach Satz 6.4 ist f D = F holomorph. Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 5.3 und Satz 6.6 ist der folgende Satz. Satz 6.7. Sei Ω C offen, z 0 Ω und f : Ω C stetig. Ist f holomorph in Ω\{z 0 }, so ist f holomorph in Ω. 22

25 Satz 6.8 (Satz von Weierstraß). Sei Ω C offen und sei (f k ) eine Folge in Ω holomorpher Funktionen, die auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichmäßig gegen eine Funktion f : Ω C konvergiert. Dann ist f holomorph und für alle n N konvergiert (f (n) k ) auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichmäßig gegen f (n). Beweis. Nach Analysis I/II ist der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen stetig. Es folgt, dass die Einschränkung von f auf jede kompakte Teilmenge von Ω stetig ist. Damit ist f aber auch stetig in Ω. Die Holomorphie von f zeigen wir mit Hilfe des Satzes von Morera. Sei dazu abgeschlossenens Dreieck in Ω. Da kompakt ist, konvergiert (f k ) gleichmäßig gegen f. Es folgt, dass f k (z)dz f(z)dz. Da f k(z)dz = 0 nach Lemma von Goursat, folgt schließlich f(z)dz = 0. Der Satz von Morera liefert jetzt, dass f holomorph ist. Sei nun z 0 Ω und r > 0 mit D(z 0, r) Ω. Nach Satz 6.4 gilt f (n) (z) = n! 2πi ζ z 0 =r f(ζ) (n) dζ und f (ζ z) n+ k (z) = n! 2πi für z D(z 0, r). Für z D(z 0, r/2) folgt f (n) k (z) f (n) (z) = n! 2πi ζ z 0 =r n! 2πr max 2π ζ z 0 =r 2n+ n! r n ζ z 0 =r f k (ζ) f(ζ) (ζ z) n+ dζ f k (ζ) f(ζ) ζ z n+ max f k(ζ) f(ζ). ζ z 0 =r f k (ζ) dζ (ζ z) n+ Es folgt, dass (f (n) k ) auf D(z 0, r/2) für k gleichmäßig gegen f (n) konvergiert. Da eine kompakte Teilmenge von Ω durch endlich viele Kreisscheiben D(z j, r j ), j =,..., N, mit D(z j, r j ) Ω überdeckt werden kann, folgt die Behauptung. In Satz 6.3 haben wir gezeigt, dass holomorphe Funktionen in Potenzreihen entwickelt werden können. Aus dem Satz von Weierstraß folgt unmittelbar, dass umgekehrt durch Potenzreihen gegebene Funktionen auch holomorph sind, das heißt, wir erhalten folgendes Resultat. Folgerung 6.9. Sei a k (z z 0 ) k k=0 eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r, wobei 0 < r. Dann ist die Funktion f : D(z 0, r) C, f(z) = 23 a k (z z 0 ) k, k=0

26 holomorph und es gilt f (z) = ka k (z z 0 ) k k= für z D(z 0, r). (Dabei ist D(z 0, ) = C.) Folgerung 6.9 zeigt insbesondere, dass die Exponentialfunktion exp: C C, exp z = e z = k=0 k! zk, holomorph ist und exp = exp gilt. Dies sieht man aber auch leicht anders ein, etwa mit Hilfe der Funktionalgleichung e z+h = e z e h, welche e z+h e z lim h 0 h = e z lim h 0 e h h = e z liefert, oder auch mit der Darstellung e x+iy = e x (cos y + i sin y) und den Cauchy- Riemannschen Differentialgleichungen. Ebenso sind und holomorph in C. cos z = eiz + e iz 2 sin z = eiz e iz 2i = = k=0 k=0 ( ) k (2k)! z2k ( ) k (2k + )! z2k+ Wir fassen die bisherigen Ergebnisse zusammen. Dabei sagen wir, dass eine Eigenschaft einer Funktion f lokal gilt, falls jeder Punkt des Definitionsbereichs eine Umgebung U hat, so dass die Eigenschaft für f U gilt. Für Ω C und stetiges f : Ω C sind dann die folgenden Aussagen äquivalent: (a) f ist holomorph; (b) jeder Punkt von Ω hat eine Umgebung U, so dass f(z)dz = 0 für jeden geschlossenen Integrationsweg in U; (c) f hat lokal eine Stammfunktion; (d) f ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar; (e) f ist stetig partiell differenzierbar und genügt den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen. Es ist eine nützliche Übung, sich zu überlegen, aus welchen Sätzen die einzelnen Implikationen folgen. 24

27 7 Der Identitätssatz Häufig werden wir uns auf holomorphe Funktionen auf Gebieten, also (weg-)zusammenhängenden offenen Teilmengen beschränken. Ein Grund dafür ist Folgerung 4.4, welche besagt, dass eine in einem Gebiet holomorphe Funktion konstant ist, wenn die Ableitung verschwindet. Auch im folgenden Satz wird benötigt, dass der Definitionsbereich zusammenhängend ist. Satz 7.. Sei G C Gebiet und f : G C holomorph. Gilt f(z) = 0 für alle z aus einer nichtleeren, offenen Teilmenge von G, so gilt f(z) 0. Beweis. Sei W eine nichtleere, offene Teilmenge von G mit f(z) = 0 für alle z W und sei U = { z G: f (k) (z) = 0 für alle k N 0 }. Dann ist U, da W U, und U ist abgeschlossen, da alle f (k) stetig sind. Andererseits ist U offen, da für z 0 U und r > 0 mit D(z 0, r) G in D(z 0, r) eine Potenzreihenentwicklung existiert, wobei sämtliche Koeffizienten 0 sind, also f(z) = 0 für alle z D(z 0, r) gilt. Da G zusammenhängend ist, folgt wegen U, dass U = G. Folgerung 4.4 und Satz 7. gelten natürlich nicht in unzusammenhängenden offenen Mengen, man betrachte etwa das Beispiel G = C\R und die Funktion f : G C, f(z) = für Im z > 0 und f(z) = 0 für Im z < 0. Satz 7.2. Sei G C Gebiet, f : G C holomorph und z 0 G. Es sei f(z) 0. Dann existiert n N 0 mit f (n) (z 0 ) 0. Ist N = min{n N 0 : f (n) (z 0 ) 0}, so existiert eine holomorphe Funktion g : G C mit f(z) = (z z 0 ) N g(z) für z G und g(z 0 ) 0. Beweis. Sei r > 0 mit D(z 0, r) G. Dann gilt f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 für z D(z 0, r), mit a n = f (n) (z 0 )/n!. Wäre a n = 0 für alle n N 0, so wäre f(z) = 0 für z D(z 0, r), nach Satz 7. also f(z) 0. Also gilt f (n) (z 0 ) 0 für ein n N 0. Mit N wie im Satz definiert folgt f(z) = (z z 0 ) N n=n a n (z z 0 ) n N = (z z 0 ) N k=0 a N+k (z z 0 ) k. Die Reihe rechts konvergiert in D(z 0, r) und ihre Summe ist dort eine holomorphe Funktion von z. Für z D(z 0, r)\{z 0 } gilt also f(z) (z z 0 ) = a N N+k (z z 0 ) k. k=0 25

28 Damit ist durch a N+k (z z 0 ) k, z D(z 0, r) k=0 g(z) = f(z), z G\D(z (z z 0 ) N 0, r) eine holomorphe Funktion g : G C definiert, die wegen g(z 0 ) = a N = N! f (N) (z 0 ) 0 die verlangten Eigenschaften hat. Bemerkung. Seien f, G, z 0 wie in Satz 7.2. Gilt N, so ist f(z 0 ) = 0. Dann heißt z 0 Nullstelle und N heißt Ordnung oder Vielfachheit der Nullstelle. Allgemeiner heißt für a C der Punkt z 0 G eine a-stelle der Ordnung N, falls z 0 eine N-fache Nullstelle von f a ist. Satz 7.3 (Isoliertheit der a-stellen). Sei G C Gebiet, f : G C holomorph und a C. Ist f(z) a, so hat die Menge der a-stellen von f keinen Häufungspunkt in G. Beweis. Ohne Einschränkung sei a = 0. Sei f(z) 0 und sei z 0 G Häufungspunkt der Nullstellen von f. Da f stetig ist, gilt auch f(z 0 ) = 0. Nach Satz 7.2 existieren eine holomorphe Funktion g : G C und N N mit f(z) = (z z 0 ) N g(z) für z G und g(z 0 ) 0. Da g stetig ist, existiert eine Umgebung U von z 0 mit g(z) 0 für z U. Es folgt f(z) 0 für z U\{z 0 }. Damit ist z 0 kein Häufungspunkt der Nullstellen. Das ist ein Widerspruch. Bemerkungen.. Sei M eine Teilmenge eines metrischen Raumes X und x M. Dann heißt x isoliert (oder isolierter Punkt von M), falls x kein Häufungspunkt von M\{x} ist. Besteht M nur aus isolierten Punkten, so heißt M diskret. Dabei kann M durchaus Häufungspunkte in X\M haben; vgl. auch die folgende Bemerkung. Satz 7.3 besagt, dass die a-stellen eine diskrete Teilmenge von G bilden, außer wenn f(z) a gilt. 2. Die a-stellen können sich durchaus in G häufen, etwa für G = C\{0}, f(z) = sin(π/z) gilt f(/k) = 0, und es gilt /k 0 G. Satz 7.4 (Identitätssatz). Sei G C Gebiet und seien f, g : G C holomorph. Hat {z G: f(z) = g(z)} einen Häufungspunkt in G, so gilt f = g. Beweis. Man wende Satz 7.4 auf f g und a = 0 an. Bemerkung. Satz 7.4 zeigt, dass eine Gleichung zwischen holomorphen Funktionen (z.b. eine Funktionalgleichung oder Differentialgleichung), die auf einer kleinen Menge gilt, auch in einem größeren Gebiet gilt. 26

29 Beispiele.. Für x [, ] gilt arctan x = k=0 ( ) k 2k + x2k+. Wir betrachten nun die durch z k=0 ( ) k 2k + z2k+ definierte Funktion f : D(0, ) C. Es gilt tan f(x) = tan(arctan x)) = x für x (, ). Sei P = {(2k + )π/2: k Z}. Nach Identitätssatz ist {z D(0, ) : f(z) = (2k + )π/2} für alle k Z diskrete Teilmenge von D(0, ). Hieraus folgt mit der Stetigkeit von f leicht, dass auch f (P ) = {z D(0, ) : f(z) P } diskrete Teilmenge von D(0, ) ist. Insbesondere ist D(0, )\f (P ) zusammenhängend. Da tan: C\P C holomorph ist, folgt mit Identitätssatz tan f(z) = z für z D(0, )\f (P ). Die linke Seite ist in der Umgebung von Punkten von f (P ) unbeschränkt, während die rechte beschränkt ist. Es folgt, dass f (P ) =, also tan f(z) = z für z D(0, ). 2. Wir hatten (als Beispiel zu den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen) gesehen, dass die durch f(x + iy) = 2 log(x2 + y 2 ) + i arctan y x definierte Funktion f : {z C: Re z > 0} C holomorph ist. Für x > 0 gilt f(x) = 2 log(x2 ) = log x und daher exp f(x) = x. Nach Identitätssatz folgt exp f(z) = z für Re z > 0. In Polarkoordinaten hat f die Form f(re iϕ ) = 2 log(r2 ) + iϕ = log r + iϕ, für r > 0 und ϕ < π/2. Tatsächlich kann man f so für ϕ < π, also in C\(, 0] definieren. Die so erhaltene Funktion f : C\(, 0] C heißt Hauptzweig des Logarithmus und wird mit Log bezeichnet. Es ist also Log(re iϕ ) = log r + iϕ für r > 0 und π < ϕ < π. Es gilt dann exp(log z) = z für z C\(, 0], 27

30 wie man zum einen wieder mit dem Identitätssatz sieht, zum andern aber auch direkt nachrechnen kann. Umgekehrt findet man Log(exp z) = z für Im z < π. Für andere z C gilt diese Gleichung aber nicht, beispielsweise ist Log(exp(2πi)) = log = 0 2πi. Ist k Z und g(z) = Log z + 2πik, so gilt ebenfalls exp(g(z)) = z. Man nennt solche Funktionen g auch Zweige des Logarithmus. Der Hauptzweig ist der mit k = 0. 8 Der Satz von Liouville Satz 8. (Cauchy-Ungleichung). Sei G C Gebiet, f : G C holomorph, D(z 0, r) G, M 0 und f(z) M für z D(z 0, r). Dann gilt für alle n 0. f (n) (z 0 ) n!m r n Beweis. Es gilt nach Cauchy-Integralformel f (n) (z 0 ) = n! 2πi also ζ z 0 =r f (n) (z 0 ) n! 2π 2πr f(ζ) dζ, (ζ z 0 ) n+ M n!m = rn+ r. n Bemerkungen.. Für die Koeffizienten a n der Potenzreihenentwicklung f(z) = a n (z z 0 ) n n=0 folgt unter den Voraussetzungen von Satz 8. a n = f n (z 0 ) M n! r. n 2. Allgemeiner folgt unter den Voraussetzungen von Satz 8. für z D(z 0, r), dass f (n) (z) = n! 2π ζ z 0 =r gilt, für z D(z 0, r/2) etwa f(ζ) (ζ z) n+ dζ n! 2π f (n) (z) n! 2n+ M r n. 2πrM (r z z 0 ) n+ = n!rm (r z z 0 ) n+ Auch die obigen Abschätzungen von a n und f (n) (z) werden als Cauchy-Ungleichung bezeichnet. 28

31 Definition 8.2. Eine in C holomorphe Funktion heißt ganze Funktion. Sie heißt transzendent, wenn sie kein Polynom ist. Ist f ganz, so hat f eine in ganz C konvergente Potenzreihenentwicklung f(z) = a k z k. k=0 Beispiele sind die Exponentialfunktion sowie Cosinus und Sinus. Offensichtlich ist eine ganze Funktion genau dann transzendent, wenn in der Potenzreihenentwicklung unendlich viele Koeffizienten von Null verschieden sind. Satz 8.3. Sei f ganz. Es gebe A, B, C 0 mit f(z) A + B z C für alle z C. Dann ist f ein Polynom und es gilt Grad(f) C. Beweis. Sei f(z) = a k z k k=0 die Potenzreihenentwicklung von f. Sei r > 0 und Dann gilt M(r) = max z =r f(z). M(r) A + Br C. Aufgrund der Cauchy-Ungleichung (und der darauf folgenden Bemerkung) gilt a k M(r) r k A + BrC r k für alle r. Für k > C gilt nun A + Br C lim = 0. r r k Es folgt a k = 0 für k > C. Die Behauptung folgt. Folgerung 8.4 (Satz von Liouville). Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant. Eine Anwendung des Satzes von Liouville ist das folgende Resultat. Satz 8.5 (Fundamentalsatz der Algebra). Sei p: C C ein nichtkonstantes Polynom. Dann hat p eine Nullstelle (in C). Zum Beweis benötigen wir folgendes Resultat. 29

32 Lemma 8.6. Sei p ein Polynom vom Grad n N, also p(z) = n a k z k für z C, k=0 mit a 0,..., a n C und a n 0. Sei ε > 0. Dann existiert R > 0 mit ( ε) a n z n p(z) ( + ε) a n z n für z R. Beweis. Für z gilt p(z) a n z n p(z) a n z n = n a n k z k a n k=0 k=0 Für { z R := max, n ε k=0 a k a n a k a n z k n n z } ist die rechte Seite kleiner als ε, und die Behauptung folgt. Beweis von Satz 8.5. Sei n = Grad(p), also k=0 a k a n. p(z) = n a k z k, wobei a n 0, n. k=0 Wir nehmen an, dass p keine Nullstelle hat. Dann ist f = /p ganz. Mit ε = 2 und R wie im Hilfssatz gilt f(z) = p(z) a 2 n z 2 n a n R n für z R. Als stetige Funktion ist f auch auf D(0, R) beschränkt, also ist f beschränkt auf C. Nach dem Satz von Liouville ist f also konstant. Damit ist auch p konstant, im Widerspruch zur Voraussetzung. Bemerkung. Ist p ein Polynom vom Grad n und z eine Nullstelle von p, so existiert nach Satz 7.2 eine ganze Funktion p mit p(z) = (z z )p (z) für z C. Es ist leicht zu sehen, dass p ein Polynom ist, und zwar vom Grad n. Induktiv erhält man so, dass z,..., z n, c C existieren, so dass p(z) = c(z z )(z z 2 ) (z z n ) für z C. Die z j müssen dabei nicht voneinander verschieden sein. 30

33 9 Das Maximumprinzip Satz 9. (Mittelwerteigenschaft). Sei G C Gebiet, f : G C holomorph und D(z 0, r) G. Dann gilt f(z 0 ) = 2π 2π Beweis. Nach Cauchy-Integralformel gilt f(z 0 ) = 2πi = 2πi = 2π 0 ζ z 0 =r 2π 0 2π 0 f(z 0 + re iθ )dθ. f(ζ) ζ z 0 dζ f(z 0 + re iθ ) ire iθ dθ re iθ f(z 0 + re iθ )dθ. Satz 9.2 (Maximumprinzip). Sei G C Gebiet, f : G C holomorph und z 0 G. Es gelte f(z) f(z 0 ) für alle z G, also f(z 0 ) = max z G f(z). Dann gilt f(z) = f(z 0 ) für alle z G, das heißt, f ist konstant. Beweis. Sei R > 0 mit D(z 0, R) G. Wir nehmen an, dass z D(z 0, R) mit f(z ) < f(z 0 ) existiert. Sei etwa z = z 0 + re iθ 0. Dann existieren δ, ε > 0 mit δ < π, so dass f(z 0 + re iθ ) < f(z 0 ) ε für θ θ 0 < δ. Es folgt mit der Mittelwerteigenschaft, dass f(z 0 ) = θ0 +2π 2π f(z 0 + re iθ )dθ 2π θ θ0 +δ θ 0 f(z 0 + re iθ ) dθ + 2π θ0 +2π θ 0 +δ 2π δ( f(z 0) ε) + 2π (2π δ) f(z 0) = f(z 0 ) δε 2π. f(z 0 + re iθ ) dθ Dies ist ein Widerspruch. Es folgt f(z) = f(z 0 ) für z D(z 0, R). Hieraus folgt f(z) = f(z 0 ) für z D(z 0, R) nach Übung. Mit Satz 7. folgt die Behauptung. Folgerung 9.3. Sei G C beschränktes Gebiet, f : G C stetig und f G holomorph. Dann gilt max f(z) = max f(z), z G z G also f(z) max f(ζ) für alle z G. ζ G 3

34 Bemerkungen.. Man beachte, dass die Maxima existieren, da G und G kompakt sind und f stetig ist. 2. Die Folgerung gilt nicht für unbeschränkte Gebiete. Man betrachte etwa G = {z C: Re z > 0} und f = exp G. Dann gilt f(z) = für alle z G, aber f ist unbeschränkt. Satz 9.4 (Minimumprinzip). Sei G C Gebiet, f : G C holomorph und z 0 G. Es gelte f(z 0 ) f(z) für alle z G, also f(z 0 ) = min z G (f(z). Dann gilt f(z) = f(z 0 ) für alle z G oder f(z 0 ) = 0. Beweis. Ist f(z 0 ) 0, so gilt f(z) 0 für alle z G. Damit ist /f holomorph. Die Anwendung des Maximumprinzips auf /f liefert die Behauptung. Folgerung 9.5. Sei G C beschränktes Gebiet, f : G C stetig und f G holomorph. Existiert z 0 G mit so hat f eine Nullstelle in G. f(z 0 ) < min z G f(z), Bemerkung. Diese Folgerung liefert auch einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Beispiel. Die durch z z 4 + e z gegebene Funktion f : C C hat eine Nullstelle in D(0, 2), denn für z = 2 gilt z 4 + e z z 4 e z 6 e 2 > = f(0). Spätere Sätze werden zeigen, dass f genau 4 Nullstellen in D(0, 2) hat. Satz 9.6 (Prinzip der Gebietstreue). Sei G C Gebiet und sei f : G C holomorph und nicht konstant. Dann ist f(g) ein Gebiet. Beweis. Da G (weg)zusammenhängend und f stetig ist, ist f(g) (weg)zusammenhängend. Zu zeigen ist, dass f(g) offen ist. Sei dazu w 0 = f(z 0 ) f(g), mit z 0 G. Wegen der Isoliertheit der w 0 -Stellen existiert r > 0 mit D(z 0, r) G und f(z) w 0 für z D(z 0, r) \ {z 0 }. Sei ε = 2 Für w D(w 0, ε) und z z 0 = r gilt dann min f(z). z z 0 =r f(z) w = f(z) w 0 + w w 0 f(z) w 0 w w 0 = ε 2ε ε > f(z 0 ) w. Das Minimumprinzip (bzw. die Folgerung daraus) liefert jetzt, dass die durch z f(z) w definierte Funktion eine Nullstelle in D(z 0, r) hat. Also hat f eine w-stelle dort. Dies liefert D(w 0, ε) f(g). Also ist f(g) offen. 32

35 Bemerkungen.. Wir haben das Prinzip der Gebietstreue aus dem Maximumbzw. Minimumprinzip hergeleitet. Es geht auch umgekehrt (siehe etwa das Buch von Fischer-Lieb). 2. Sofort folgt aus dem Prinzip der Gebietstreue auch dass f konstant ist, falls Re f, Im f oder f konstant ist. 3. Seien X und Y metrische Räume und sei f : X Y. Dann heißt f offen, falls für jede offene Teilmenge U von X auch f(u) offen ist. Aus dem Satz über Gebietstreue folgt, dass holomorphe Funktionen offene Abbildungen sind. Zum Vergleich sei daran erinnert, dass f : X Y stetig ist, wenn für jedes offene V in Y auch f (V ) offen ist. 0 Die Windungszahl Ist G sternförmiges Gebiet und f : G C holomorph, so gilt nach Cauchy- Integralsatz f(z)dz = 0. für jeden geschlossener Integrationsweg in G. Nach Satz 4.6 ist dies äquivalent zur Existenz einer Stammfunktion. Wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen an G und obige Gleichung gilt. Ganz ohne Voraussetzungen gilt dies nicht, wie das bereits zu Beginn von Abschnitt 3 diskutierte Beispiel G = C\{0}, f(z) = /z und : [0, 2π] C, (t) = e it, zeigt. Hier gilt f(z)dz = z = dz 2π z = ie it = 2πi 0. 0 e it Die entscheidende Voraussetzung wird sein, dass das Innere der Kurve im G liegt. Um dies zu präzisieren, benötigen wir zunächst eine Definition. Definition 0.. Sei geschlossener Integrationsweg und z C\Sp(). Dann heißt n(, z) = dζ 2πi ζ z Windungszahl (oder Umlaufzahl oder Index) der Kurve bezüglich des Punktes z. Wir werden später sehen, dass n(, z) Z gilt. Zur Interpretation der Windungszahl betrachten wir eine geschlossene Kurve : [a, b] C, die in der Form (t) = z + ϱ(t)e iϕ(t) mit stückweise glatten Funktionen ϱ: [a, b] (0, ) und ϕ: [a, b] R gegeben ist. Aus (a) = (b) folgt ϱ(a) = ϱ(b) und ϕ(b) = ϕ(a)+2πm mit m Z. Es folgt 33

36 n(, z) = 2πi = 2πi = 2πi = 2πi = b a b a b a dζ ζ z (t) (t) z dt ϱ (t)e iϕ(t) + iϕ (t)ϱ(t)e iϕ(t) dt ϱ(t)e iϕ(t) ( ) ϱ (t) ϱ(t) + iϕ (t) dt [ log ϱ(t) + 2πi 2π ϕ(t) = (ϕ(b) ϕ(a)) 2π = m. Die Windungszahl n(, z) zählt also, um welches Vielfache von 2π das Argument von ζ z zu- oder abnimmt, wenn ζ die Kurve durchläuft. Insbesondere folgt aus obiger Rechnung: Ist die Standardparametrisierung von D(z, r), so gilt n(, z) =. Satz 0.2. Sei geschlossener Integrationsweg. Dann gilt n(, z) Z für alle z C\Sp(). Weiter ist z n(, z) auf jeder Komponente von C\Sp() konstant und es gibt n(, z) = 0 für alle z aus der unbeschränkten Komponente von C\Sp(). Beweis. Ohne Einschränkung sei : [0, ] C. Wir definieren h: [0, ] C, dζ h(t) = [0,t] z ζ = t (s) 2πi 0 (s) z ds. Es folgt Dies liefert also d dt h (t) = 2πi (t) (t) z. ] t=b t=a e 2πih(t) (t) z = 2πih (t)e 2πih(t) (t)e 2πih(t) = 0, (t) z ((t) z) 2 e 2πih() () z = e2πih(0) (0) z. Wegen () = (0), h(0) = 0 und h() = n(, z) folgt e 2πin(,z) = e 2πi0 =, also n(, z) Z. Es ist leicht zu sehen, dass z n(, z) stetig (in C\Sp()) ist. Da n(, z) nur ganzzahlige Werte annimmt, ist n(, z) auf jeder Zusammenhangskomponente von C\Sp() konstant. 34