2 Der Cauchysche Integralsatz

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1 $Id: cauchy.tex,v /04/25 15:52:59 hk Exp hk $ 2 Der Cauchysche Integralsatz 2.2 Der Integralsatz von Cauchy Wir sind weiterhin mit der Untersuchung komplexer Kurvenintegrale beschäftigt und kennen bisher vier prinzipielle Methode diese zu berechnen: 1. Man kann direkt über die Definition des Kurvenintegrals gehen, also eine Parametrisierung des Integrationswegs einsetzen mit der Ableitung des Integrationswegs multiplizieren und das entstehende Integral berechnen. Da dies oft schnell zu sehr komplizierten Rechnungen führt ist diese Methode aber meist nicht empfehlenswert. 2. Man kann versuchen das Integral über eine Stammfunktion zu berechnen, mit diesem Zugang werden wir uns heute etwas weitergehend beschäftigen. Während dieser Weg für eindimensionale reelle Integrale, sagen wir stetiger Funktionen, zumindest im Prinzip immer zum Ziel führt, ist die Lage bei komplexen Funktionen komplizierter. Man muss aufpassen das die Stammfunktion wirklich längs des gesamten Integrationswegs definiert ist, Integrale wie dζ κ 0,1 ζ oder κ 2i,2 dζ 1 + ζ 2 lassen sich auf diesen Wege nicht berechnen da die offensichtlichen Stammfunktionen, also der Logarithmus und der Arcustangens nicht auf dem gesamten Integrationsweg definiert sind. Da diese Integrale beide von Null verschieden sind, kann es auch gar keine passende Stammfunktion geben. 3. Als spezielle Integrale kennen wir die Umlaufzahlen dζ ζ z = 2πiω z(), wobei ω z () die Zahl der Umläufe von um den nicht auf liegenden Punkt z ist. 4. Schließlich kennen wir noch den Cauchyschen Integralsatz, der besagt das 0 6-1

2 ist wenn die Funktion f in dem von eingeschlossenen Bereich definiert und holomorph ist. Dieser Bereich musste dabei ein einfaches Flächenstück sein auf das wir die Greensche Formel anwenden können und musste die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufene Randkurve dieses Bereichs sein. In den Aufgaben (7) und (8) haben wir auch schon gesehen wie man mit diesen Methoden und einigen algebraischen Umformungen auch etwas kompliziertere Integrale berechnen kann. Wir wollen jetzt den Cauchyschen Integralsatz auf allgemeinere Kurven ausdehnen, also solche die nicht mehr die Randkurven eines einfachen Flächenstücks sein müssen. Es stellt sich heraus das dies eng mit der Frage der Existenz von Stammfunktionen verknüpft ist. Das Beispiel f(z) = 1/z definiert auf U = C\{0} zeigt uns ja schon das holomorphe Funktionen im allgemeinen keine Stammfunktion haben müssen, den gäbe es eine solche so müsste κ 0,1 dζ/ζ = 0 sein, aber dieses Integral ist gleich 2πi 0. Ein ähnliches Problem kennen wir bereits aus dem letzten Semester in III. 7.4, dort hatten wir die Potentiale von Vektorfeldern untersucht und gesehen das es im allgemeinen kein solches geben muss selbst wenn das Vektorfeld das Potentialkriterium erfüllt. Man kann die Konstruktion von Stammfunktionen holomorpher Funktionen tatsächlich auf die Konstruktion von Potentialen zurückführen, wir wollen hier aber ein direktere Vorgehensweise wählen. Wir versuchen einfach dasselbe zu tun was schon beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung in II. 2.Satz 9 geklappt und definieren eine Stammfunktion als Funktion der oberen Grenze. Das folgende Lemma zeigt uns, dass dies zu funktionieren scheint. Lemma 2.7: Seien z C, r > 0 und f : B r (z) C eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion F : B r (z) C; w f(ζ) dζ τ zw in z komplex differenzierbar mit F (z) = f(z). Beweis: Sei ɛ > 0. Da f insbesondere in z stetig ist, existiert ein δ > 0 mit f(w) f(z) ɛ für alle w B r (z) mit w z δ. Sei jetzt h C mit 0 < h < min{r, δ} gegeben und setze w := z + h B r (z). Für jedes t [0, 1] gilt dann τ zw (t) z = t w z = t h < min{r, δ}, also τ zw (t) B r (z) und f(τ zw (t)) f(z) ɛ. Mit der Dreiecksungleichung Lemma 3.(e) für komplexe Kurvenintegrale folgt F (z + h) F (z) f(z) h = 1 f(ζ) dζ 1 f(z) dζ h τ zw h τ zw = 1 (f(ζ) f(z)) dζ h ɛl(τ zw) = ɛ. τ zw h Dies beweist die Existenz von F (z) = lim h 0 F (z + h) F (z) h 6-2 = f(z),

3 d.h. die Funktion F ist in z komplex differenzierbar mit der Ableitung f(z). Diese Funktion F ist aber noch nicht als Stammfunktion von f nachgewiesen, da sich die Differenzierbarkeitsaussage im Lemma nur auf den Mittelpunkt z bezieht. Ist f nur als stetig vorausgesetzt, so ist F im Allgemeinen tatsächlich keine Stammfunktion von f, dies wird nur der Fall sein wenn f sogar holomorph ist. Wir überlegen uns jetzt wie eine Stammfunktion aussehen muss, wenn es denn überhaupt eine gibt. Angenommen wir haben eine offene Menge U C, eine stetige Funktion f : U C und eine Stammfunktion F von f. Wähle einen Ursprung z 0 U. Ist dann z U und gibt es eine stückweise C 1 -Kurve in U mit Startpunkt z 0 und Anfangspunkt z, so ist F (z) F (z 0 ), also F (z) = F (z 0 ) + f(ζ) dζ. Die Werte F (z) der Stammfunktion sind also für alle Punkte z U die wir durch eine von z 0 ausgehende, stückweise C 1 -Kurve in U erreichen können festgelegt sobald F (z 0 ) bekannt ist. Nach II. 8.Lemma 10.(b) trifft dies genau dann auf jeden Punkt z von U zu wenn U zusammenhängend ist, d.h. ist U zusammenhängend so unterscheiden sich je zwei Stammfunktionen von f nur um eine additive Konstante. Da viele der kommenden Aussagen ebenfalls nur auf offenen, zusammenhängenden Teilmengen von C wahr sind, geben wir diesen erst einmal einen Namen. Definition 2.5 (Gebiete in C) Eine Teilmenge U C heißt ein Gebiet wenn U offen und zusammenhängend ist. Auf Gebieten können wir nun ein erstes Kriterium für die Existenz von Stammfunktionen einer stetigen Funktion angeben. Dieses Lemma dient hauptsächlich theoretischen Zwecken, bei der Behandlung konkreter Beispiele wird die Bedingung des Lemmas meist nicht vernünftig zu überprüfen sein. Weiter wird die Integration über den Rand von Dreiecken eine Rolle spielen, so das wir hierfür erst einmal die notwendigen Bezeichnungen einführen wollen. Man nennt drei Punkte a, b, c C nicht kollinear wenn sie nicht auf einer Geraden liegen, wenn also b a und c a als Vektoren im R 2 linear unabhängig sind. Das Dreieck mit den Ecken a, b, c ist in diesem Fall die kleinste konvexe Menge die die drei Punkte a, b, c enthält, nach III. 4.5 ist konkret := (a, b, c) = {αa + βb + c α, β, [0, 1], α + β + = 1}. Dann ist ein einfaches Flächenstück in C. Der Rand von ist die Vereinigung der drei Seiten Bild(τ ab ) Bild(τ bc ) Bild(τ ca ). Streng genommen müsste man diese Behauptungen natürlich beweisen, da dies aber eher lineare Algebra ist und anschaulich völlig unproblematisch ist, wollen wir darauf an dieser Stelle verzichten. Betrachten sie das ruhig als eine optionale Übungsaufgabe. Weiter sagen wir das a, b, c positiv orientiert sind wenn det(b a, c a) > 0 ist. In diesem Fall können a τ ca τ c ab τ bc b 6-3

4 wir die Randkurve von als := τ ab + τ bc + τ ca schreiben. Da a, b, c positiv orientiert sind, durchläuft die Kurve den Rand von in positiver Umlaufrichtung, also im Gegenuhrzeigersinn. Damit ist die Notation geklärt, und wir kommen zu unserem angekündigten Lemma über die Existenz von Stammfunktionen. Lemma 2.8 (Kriterium für die Existenz von Stammfunktionen) Seien U C ein Gebiet und f : U C eine stetige Funktion. (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. Es gibt eine Stammfunktion von f in U. 2. Für alle stückweisen C 1 -Kurven, δ in U mit gleichen Start- und Endpunkt ist f(ζ) dζ. δ 3. Für jede geschlossene, stückweise C 1 -Kurve in U gilt 0. (b) Ist U sternförmig bezüglich eines Punktes z 0 U, so existiert genau dann eine Stammfunktion von f wenn für jedes Dreieck U mit Ecke z 0 stets 0 gilt. Beweis: In Teil (a) sind die Implikationen von (1) nach (2) und von (2) nach (3) klar. Weiter impliziert (3) auch (2), denn ist (3) vorausgesetzt und sind, δ zwei stückweise C 1 -Kurven in U mit gleichen Start- und Endpunkt, so ist die Kurve +δ geschlossen, also gilt f(ζ) dζ 0. δ +δ Insbesondere gilt auch die Implikation von links nach rechts in (b). Die beiden verbleibenden Implikationen, also (2) nach (1) in (a) und von rechts nach links in (b), zeigen wir gemeinsam. In (a) ist der Fall U = trivial, wir können also U annehmen und wählen dann einen beliebigen Punkt z 0 U sowie für jedes z U eine stückweise C 1 -Kurve z in U mit Startpunkt z 0 und Endpunkt z. In Teil (b) verwende dagegen den gegebenen Punkt z 0 U und setze für jedes z U dann z := τ z0 z, da U sternförmig zum Zentrum z 0 ist, ist z dann eine Kurve in U. Definiere hiermit die Funktion F : U C; z f(ζ) dζ, z und diese ist in beiden Fällen wohldefiniert. Wir behaupten das F eine Stammfunktion von f ist. Sei z U gegeben. Da U offen ist, existiert ein r > 0 mit B r (z) U und nach Lemma 7 ist die Funktion G : B r (z) C; w f(ζ) dζ τ zw 6-4

5 in z komplex differenzierbar mit G (z) = f(z). Wir behaupten jetzt das für jedes w B r (z) stets F (w) = F (z) + G(w) gilt. Sei also w B r (z) gegeben. r z τ zw w U r z τ zw w U z w z w z 0 z 0 Teil (a) Teil (b) In Teil (a) beachte das z + τ zw und w beides von z 0 nach w laufende, stückweise C 1 -Kurven in U sind, also liefert das vorausgesetzte (2) auch F (w) = w z+τ zw f(ζ) dζ + z F (z) + G(w). τ zw Kommen wir zu Teil (b). Dann sind die drei Punkte z 0, z, w entweder nicht kollinear oder sie liegen auf einer Geraden und in diesem Fall liegt einer der drei Punkte zwischen den anderen beiden, wobei Gleichheit hier mit zu zwischen zählen soll. Es ergeben sich vier verschiedene Fälle: Fall 1. Die Punkte z 0, z, w sind kollinear und z liegt zwischen z 0 und w. Dann ist w = τ z0 w eine Umparametrisierung von τ z0 z + τ zw = z + τ zw, also ist F (w) = f(ζ) dζ + F (z) + G(w). w z+τ zw z τ zw Fall 2. Die Punkte z 0, z, w sind kollinear und w liegt zwischen z 0 und z. Dann ist z = τ z0 z eine Umparametrisierung von τ z0 w + τ wz = w + τzw, also haben wir F (z) = f(ζ) dζ F (w) G(w), z w τ zw w+τ zw also haben wir wieder F (w) = F (z) + G(w). Fall 3. Die Punkte z 0, z, w sind kollinear und z 0 liegt zwischen z und w. Dann ist τ zw eine Umparametrisierung von τ zz0 + τ z0 w = τz 0 z + τ z0 w = z + w, also haben wir G(w) = τ zw z + w f(ζ) dζ + z F (w) F (z), w 6-5

6 und es ergibt sich erneut F (w) = F (z) + G(w). Fall 4. Im verbleibenden Hauptfall sind z 0, z, w nicht kollinear. Dann betrachten wir das Dreieck mit den Ecken z 0, z, w und da U sternförmig zu z 0 ist, gilt U. Die Voraussetzung in (b) liefert damit 0 = ± f(ζ) dζ + f(ζ) dζ F (z) + G(w) F (w), τ z0 z τ zw τ z0 w wobei das Vorzeichen durch die Orientierung von z 0, z, w bestimmt ist. Somit ist auch in diesem Fall F (w) = F (z) + G(w). Somit ist diese Hilfsaussage in beiden Fällen bewiesen. Damit ist dann auch F in z komplex differenzierbar mit F (z) = G (z) = f(z). Also ist die Funktion F komplex differenzierbar mit F = f und da f stetig ist, ist F auch holomorph. Damit können wir die Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen erst einmal auf sternförmigen Mengen beweisen. Wie schon beim inhomogenen Cauchyschen Integralsatz Satz 5 lassen wir auch hier wieder eine potentielle singuläre Stelle zu in der die Funktion nicht komplex differenzierbar ist. Dies wird sich später noch als nützlich herausstellen. Lemma 2.9 (Stammfunktionen auf sternförmigen Gebieten) Sei U C offen und sternförmig bezüglich eines Punktes z 0 U. Weiter sei f : U C eine stetige Funktion die in U\{z 0 } holomorph ist. Dann hat f auf U eine Stammfunktion. Beweis: Nach Lemma 8.(b) müssen wir zeigen, dass für jedes Dreieck U mit Ecke z 0 stets 0 gilt. Sei also U ein Dreieck und bezeichne z 1, z 2 die beiden anderen Ecken von. Da f insbesondere z 1 in z 0 stetig gibt es r, C > 0 mit B r (z 0 ) U und f(w) C für alle w B r (z 0 ). Sei ɛ > 0 und wähle z 2 für i = 1, 2 einen Punkt w i zwischen z 0 und z i mit w i z 0 < δ := min{r, ɛ/(2πc)}. Dann zerteilen wir das Dreieck in das rechts gezeigte Viereck w 1 A mit den Ecken w 1, w 2, z 2, z 1 und das Restdreieck w2 ε z 0 := (z 0, z 1, z 2 ) B δ (z 0 ) B r (z 0 ) U. Da A U\{z 0 } ein einfaches Flächenstück ist und f in U\{z 0 } holomorph ist, gilt nach dem Cauchyschen Integralsatz Satz 6 zumindest 0. A 6-6

7 Da die Verbindungsstrecke τ w1 w 2 in den Randkurven von A und in unterschiedlicher Richtung durchlaufen wird, folgt weiter f(ζ) dζ + f(ζ) dζ. A Wegen B δ (z 0 ) ist l( ) l( B δ (z 0 )) = 2πδ und für alle w gilt f(w) C. Mit der Dreiecksungleichung Lemma 3.(e) folgt f(ζ) dζ = f(ζ) dζ Cl( ) 2πCδ < ɛ. Da dies für jedes ɛ > 0 gilt ist damit 0 und das Lemma ist vollständig bewiesen. Wie schon eingangs gesagt wollen wir den Cauchyschen Integralsatz auf allgemeinere Integrationswege ausdehnen. Jetzt sind wir auch soweit dies tatsächlich zu tun und werden jetzt auch sehen was dies mit Stammfunktionen zu tun hat. Wir haben im eben bewiesenen Lemma die Grundform des Cauchyschen Integralsatzes verwendet um die Existenz von Stammfunktionen holomorpher Funktionen auf sternförmigen Gebieten zu beweisen, und nun werden wir diese Existenzaussage verwenden um den Integralsatz zu erweitern. Dieses Wechselspiel wird sich fortsetzen, wir werden in der nächsten Sitzung die verbesserte Form des Integralsatzes benutzen um eine noch allgemeinere Aussage über Stammfunktionen zu beweisen, die dann wiederum zu einer weiteren Verbesserung des Integralsatzes führt. Korollar 2.10 (Allgemeiner Cauchyscher Integralsatz auf sternförmigen Mengen) Seien U C offen und sternförmig und f : U C holomorph. Dann gilt 0 für jede geschlossene, stückweise C 1 -Kurve in U. Beweis: Nach Lemma 9 gibt es eine Stammfunktion von f auf U und nach Lemma 8.(i)st 0 für jede geschlossene, stückweise C1 -Kurve in U. Als nächsten Schritt wollen wir unsere bisherigen vier Methoden zur Berechnung von Kurvenintegralen eine weitere Methode hinzufügen. Um diese zu illustrieren erinnern wir erst einmal an Aufgabe (7), dort waren zwei komplexe Zahlen a, b C mit a < b und ein r > 0 mit r a, b gegeben und es wurde das Kurvenintegral κ 0,r { dζ 2πi (ζ a)(ζ b) = a b, a < r < b, 0, r < a oder r > b 6-7

8 berechnet. Das Integral hängt hier also zwar vom Radius r des Integrationswegs ab, aber in vergleichsweise schwacher Form, es kommt darauf an wo r zwischen a und b fällt. Variieren wir r beispielsweise nur zwischen a und b, so bleibt das Integral konstant. Für dieses Phänomen gibt es tatsächlich eine Erklärung, die Kreise mit diesen Radien lassen sich alle stetig ineinander deformieren, und wir werden sehen das sich Kurvenintegrale unter solchen stetigen Deformationen des Integrationswegs nicht ändern. Dabei muss allerdings die ganze Deformation innerhalb des Definitionsbereichs des Integranden erfolgen, im Beispiel gehören a und b nicht zu diesem Definitionsbereich und tatsächlich ändert sich das Integral wenn Kreise mit einem Radius kleiner als a in Kreise mit einem Radius größer als a deformieren. Ein zweites Beispiel für diesen Sachverhalt hatten wir auch zu Beginn dieser Sitzung gesehen, wir hatten die Funktion f(z) = 1/z über den Rand eines Quadrats integriert und genau dasselbe Ergebnis erhalten das auch bei der Integration über einen Kreis entstanden ist. Da man einen Kreis aber leicht stetig in den Rand eines Quadrates deformieren kann, bestätigt auch dieses Beispiel die Möglich zur Deformation des Integrationswegs. Um einen entsprechenden Satz zu formulieren benötigen wir allerdings noch eine genauere Definition was mit diesem stetigen Deformieren einer Kurve gemeint ist. Sagen wir etwa wir haben zwei Kurven, δ definiert auf demselben Intervall [a, b]. Dass sich in δ deformieren läßt soll bedeuten das es eine stetige Familie ( t ) 0 t 1 von Kurven parametrisiert durch 0 t 1 gibt, so dass 0 = und 1 = δ ist. Leider ist auch der Begriff einer solchen Familie noch nicht wirklich definiert. Um dies zu tun, beschränken wir uns auf den Fall das auch jedes t auf [a, b] parametrisiert ist. Dann können wir durch H : [a, b] [0, 1] C; (s, t) t (s) eine Funktion H zweier Variablen definieren, die nach C abbildet, und für solche Funktionen wissen wir schon was Stetigkeit bedeuten. Dies führt auf die folgende Definition für stetige Deformationen, wobei wir gleich das übliche Wort Homotopien für derartige Definitionen verwenden. Definition 2.6 (Homotopie von Kurven) Seien a, b R mit a < b, U C offen und, δ : [a, b] U zwei stückweise C 1 -Kurven. (a) Ist (a) = δ(a) und (b) = δ(b), so heißen und δ homotop relativ {a, b} wenn es eine stetige Abbildung H : [a, b] [0, 1] U mit H(a, t) = (a) und H(b, t) = (b) für alle t [0, 1] und H(t, 0) = (t), H(t, 1) = δ(t) für alle t [a, b] gibt. (b) Sind und δ geschlossen, so heißen und δ frei homotop wenn es eine stetige Abbildung H : [a, b] [0, 1] U mit H(a, t) = H(b, t) für alle t [0, 1] und H(t, 0) = (t), H(t, 1) = δ(t) für alle t [a, b] gibt. Zu dieser Definition sind noch einige Kommentare angebracht. Man nennt die in der Definition vorkommenden Abbildungen H dann Homotopien von nach δ, genauer 6-8

9 Homotopien relativ {a, b} in (a) und freie Homotopien in (b). Haben wir eine solche, so können wir für jeden Parameterwert 0 t 1 die stetige Kurve H t : [a, b] U; s H(s, t) betrachten, dies sind die Kurven die wir oben t genannt haben. Beachte das wir von diesen nur verlangen das sie stetig, aber nicht unbedingt stückweise stetig differenzierbar, sind. Dies ist zur Konstruktion von Homotopien ein bequemer Standpunkt da man sich keine Gedanken über Differenzierbarkeitsfragen machen muss. Die Bedingung relativ {a, b} in (a) bedeutet das Anfangs- und Endpunkt der Kurve während der gesamten Deformation fixiert bleiben. Dies ist tatsächlich nötig damit sich Kurvenintegrale nicht ändern, ohne diese Bedingung wäre überhaupt jede stückweise C 1 -Kurve über H(s, t) := ((1 t)s + tb) zu einer konstanten Kurve deformierbar, was natürlich nicht besonders sinnvoll wäre. Bei der freien Homotopie geschlossener Kurven in (b) dürfen sich Start- und Endpunkte während der Deformation ändern, daher nennen wir diese auch freie Homotopien, es wird aber gefordert das die Kurven H t für alle 0 t 1 geschlossen bleiben. Um die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals bequem beweisen zu können, brauchen wir noch ein recht abstraktes Lemma zur Vorbereitung, den sogenannten Lebesgueschen Überdeckungssatz. Lemma 2.11 (Lebesguesches Überdeckungslemma) Seien E ein normierter Raum und M E eine kompakte Teilmenge von E. Weiter sei (U i ) i I eine Familie offener Teilmengen von E mit M i I U i. Dann existiert ein λ > 0 so, dass es für jede Teilmenge A M mit Durchmesser d(a) λ stets ein i I mit A U i gibt. Beweis: Wir beweisen diese Behauptung durch einen Widerspruchsbeweis, nehme also an das es für jedes n N mit n 1 stets eine Teilmenge A n M mit d(a n ) 1/n gibt, die für kein i I in U i enthalten ist. Für jedes n N ist insbesondere A n und wir wählen ein x n A n. Da M kompakt ist, existiert direkt nach unserer Definition der Kompaktheit in II. 8.1 eine in M konvergente Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N und es bezeichne x M ihren Grenzwert. Wähle ein i I mit x U i und ein ɛ > 0 mit B ɛ (x) U i. Weiter existiert ein k N mit 1/n k < ɛ/2 und d(x nk, x) < ɛ/2. Für jedes y A nk ist dann auch y x y x nk + x nk x d(a nk ) + x nk x 1/n k + x nk x < ɛ, d.h. es gilt A nk B ɛ (x) U i, ein Widerspruch. Eine Zahl λ > 0 mit der im Lemma genannten Eigenschaft nennt man auch eine Lebesguezahl der Familie (U i ) i I. Mit dem Überdeckungslemma ausgerüstet können wir jetzt an den Beweis der Homotopieinvarianz von Kurvenintegralen einer holomorphen Funktion gehen. Lemma 2.12 (Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals) Seien U C eine offene Menge, f : U C eine holomorphe Funktion, a, b R mit a < b und, δ : [a, b] U zwei stückweise C 1 -Kurven in U. Es gelte: 6-9

10 1. es sind (a) = δ(a) sowie (b) = δ(b) und, δ sind homotop relativ {a, b} 2. oder und δ sind zwei frei homotope geschlossene Kurven. Dann ist f(ζ) dζ. δ Beweis: Wähle eine Homotopie beziehungsweise eine freie Homotopie von nach δ. Wir schreiben I := [a, b] [0, 1]. Ist dann (s, t) I, so ist H(s, t) U und da U C offen ist, existiert eine offene Kugel W st C mit Mittelpunkt H(s, t) und W st U. Da H in (s, t) stetig ist, gibt es weiter eine offene Kugel V st R 2 mit Mittelpunkt (s, t) und H(V st ) W st. Damit ist (V i ) i I eine Familie offener Teilmengen des R 2 mit [a, b] [0, 1] i I V i und nach dem Lebesgueschen Überdeckungslemma Lemma 11 gibt es eine Lebesguezahl λ > 0 dieser Familie. Wähle weiter Zerlegungen α = (s 0,..., s n ) von [a, b] und β = (t 0,..., t m ) von [0, 1] mit δ(α) 2 + δ(β) 2 λ 2. Für alle 1 i n, 1 j m ist dann d([s i 1, s i ] [t j 1, t j ]) = (s i s i 1 ) 2 + (t j t j 1 ) 2 δ(α) 2 + δ(β) 2 λ, also existiert ein k I mit [s i 1, s i ] [t j 1, t j ] V k. Somit ist U ij := W k eine offene, konvexe Teilmenge U ij U mit H([s i 1, s i ] [t j 1, t j ]) H(V k ) W k = U ij. Sei 1 i n. Dann setzen wir τ i0 := [s i 1, s i ], τ im := δ [s i 1, s i ] und für jedes 1 j < m sei τ ij := τ H(si 1,t j ),H(s i,t j ), d.h. wegen H(s i 1, t 0 ) = H(s i 1, 0) = (s i 1 ), H(s i, t 0 ) = H(s i, 0) = (s i ), H(s i 1, t m ) = H(s i 1, 1) = δ(s i 1 ) und H(s i, t m ) = H(s i, 1) = δ(s i ) ist τ ij für jedes 0 j m eine stückweise C 1 -Kurve von H(s i 1, t j ) nach H(s i, t j ). Weiter setzen wir für jedes 0 j m auch τ j := τ 1j + + τ nj, also insbesondere τ 0 = und τ m = δ. Für 0 i n, 1 j m setzen wir weiter η ij := τ H(si,t j 1 ),H(s i,t j ) und dies ist eine stetig differenzierbare Kurve von H(s i, t j 1 ) nach H(s i, t j ). Sei 1 j m. Sei 1 i n. Dann ist η ij + τ ij + η i 1,j + τ i,j 1 eine geschlossene, stückweise C 1 -Kurve und wir behaupten das diese Kurve ganz in U ij verläuft. Zunächst beachte H(s i 1, t j 1 ), H(s i, t j 1 ), H(s i, t j ), H(s i 1, t j ) H([s i 1, s i ] [t j 1, t j ]) U ij, und da U ij konvex ist sind damit auch Bild(η i 1,j ), Bild(η ij ) U ij. Für j > 1 ist ebenso Bild(τ i,j 1 ) U ij und im Fall j = 1 haben wir ebenfalls Bild(τ i,j 1 ) = Bild(τ i0 ) = ([s i 1, s i ]) = H([s i 1, s i ] {t 0 }) U ij. Für j < m haben wir ebenso Bild(τ ij ) U ij und für j = m ist schließlich Bild(τ ij ) = Bild(τ im ) = δ([s i 1, s i ]) = H([s i 1, s i ] {t m }) U ij. Nach dem Cauchyschen Integralsatz für sternförmige Gebiete Korollar 10 ist damit f(ζ) dζ η ij f(ζ) dζ τ ij f(ζ) dζ + η i 1,j 0. τ i,j

11 Summieren wir diese Gleichung über i = 1,..., n, so ergibt sich f(ζ) dζ η nj f(ζ) dζ η 0j f(ζ) dζ + τ j 0. τ j 1 Weiter behaupten wir das f(ζ) dζ η nj η 0j ist, und hierzu müssen wir unsere beiden Fälle unterscheiden. Im ersten Fall ist H eine Homotopie relativ {a, b} also gilt H(a, t) = (a) und H(b, t) = (b) für alle t [0, 1] und somit sind auch H(s 0, t j 1 ) = H(a, t j 1 ) = (a), H(s 0, t j ) = H(a, t j ) = (a) sowie H(s n, t j 1 ) = H(b, t j 1 ) = (b) und H(s n, t j ) = H(b, t j ) = (b), d.h. η 0j, η nj sind konstant und wir haben sogar η 0j η nj 0. Im zweiten Fall ist H eine freie Homotopie, also H(a, t) = H(b, t) für alle t [0, 1]. Insbesondere sind damit H(s 0, t j 1 ) = H(a, t j 1 ) = H(b, t j 1 ) = H(s n, t j 1 ) und H(s 0, t j ) = H(a, t j ) = H(b, t j ) = H(s n, t j ), also ist η 0j = η nj und damit auch η 0j η nj f(ζ) dζ. Folglich haben wir f(ζ) dζ. τ j 1 τ j Iterierte Anwendung dieser Gleichung liefert schließlich τ 0 τ m δ f(ζ) dζ. Damit haben wir die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals bewiesen. 6-11