Tutorium Algebra. Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert. Bearbeitet von Florian Modler, Martin Kreh, Marco Daniel

Transkript

1 Tutorium Algebra Mathematik von Studenten für Studenten erklärt und kommentiert Bearbeitet von Florian Modler, Martin Kreh, Marco Daniel 2. Auflage Buch. XIII, 315 S. Softcover ISBN Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht: 504 g Weitere Fachgebiete > Mathematik > Algebra schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Vorwort zur 2. Auflage Inzwischen ist es auch bei unserem dritten Band Tutorium Algebra soweit: Es gibt eine zweite Auflage. Es freut uns sehr, dass wir auch mit diesem Buch schon vielen Algebra-Interessierten helfen konnten. Für die zweite Auflage haben wir einige Fehler ausgebessert (vielen Dank an dieser Stelle an diejenigen, die uns auf Fehler aufmerksam gemacht haben) und auch einiges Neues hinzugefügt. So haben wir das alte Kapitel über den Einstieg in die Galoistheorie durch zwei Kapitel ersetzt, in denen wir uns nun intensiver mit normalen beziehungsweise separablen Körpererweiterungen beschäftigen. Wir hoffen, euch damit diese Konzepte noch besser näher bringen zu können. Nun aber genug der großen Rede. Wir wünschen euch viel Spaß mit der 2. Auflage des Buches! Hannover und Hildesheim, Mai 2015 Florian Modler und Martin Kreh V

3 Vorwort Glückwunsch, in euren Händen haltet ihr nun schon unseren dritten Band. Schnell vorweg: Nach diesem dritten Band wird auch noch ein vierter Band, Tutorium höhere Analysis, in dem es (wie der Name schon sagt) im Wesentlichen um Analysis 3 und Funktionentheorie gehen wird, erscheinen; allerdings erst im Jahr Und hier wollen wir euch gleich dazu raten, neben Algebra auch Analysis 3 zu hören, da dies einfach zu der Mathematikausbildung gehört. Welches Buch ihr dafür nehmt, ist natürlich euch überlassen ;-) In diesem Buch werden wir natürlich des Öfteren Sachen verwenden, die in den ersten beiden Semestern behandelt wurden. All diese Dinge könnt ihr in unseren ersten beiden Büchern [MK11] bzw. [MK12] oder auch in jedem anderen Analysisoder Lineare-Algebra-Buch nachlesen. Um was soll es hier gehen? Wie der Titel schon sagt: Um Algebra ;-) Genauer wird das sein: Erinnerung an Gruppen, Ringe, Körper, Ringe, Gruppen, Galoistheorie, transzendente Zahlen. Dabei wird die Galoistheorie, eine Art Standard im dritten Semester, den weitaus größten Teil einnehmen. Da jedoch ab dem dritten Semester die Vorlesungen immer mehr voneinander abweichen, solltet ihr (vor allem, wenn euch eines der Themen hier interessiert) noch in den Büchern unserer Literaturliste blättern. Da ihr nun auch schon etwas fortgeschrittener seid, werden wir euch ein paar Übungen mehr als sonst überlassen. Dies solltet ihr als Chance sehen, eure mathematischen Fähigkeiten noch weiter zu verbessern. Das Konzept bleibt wieder das bewährte Das Konzept wird wieder wie in unseren ersten Büchern sein (falls ihr diese schon kennt, alles wie gewohnt ;-)) Für diejenigen, die unsere Bücher nicht kennen sollten, eine kurze Erläuterung: Im ersten Teil jedes Kapitels werdet ihr jeweils die Definitionen und Sätze inklusive Beweise finden. Im zweiten Teil stehen dann VII

4 VIII Vorwort die Erklärungen zu den Definitionen und Sätzen, zusammen mit vielen schönen Beispielen und Abbildungen. Der Inhalt Nun etwas genauer zum Inhalt: Im ersten Kapitel werden wir einige Tatsachen, die aus früheren Semestern bekannt sein sollten, wiederholen. Hier sollte euch also möglichst viel oder sogar alles noch bekannt vorkommen. Dann werden wir einige Tatsachen über Ringe behandeln. Dazu gehören spezielle Arten von Ringen genauso wie Ideale. Im Anschluss daran werden wir Polynomringe und den Zusammenhang zu den unterliegenden Ringen betrachten. Am Ende werden wir die wichtigen Irreduzibilitätskriterien kennenlernen. Ringe werden nicht nur in der Algebra, sondern auch in der Zahlentheorie sehr oft gebraucht. Wir haben versucht, eine gute Balance zu finden, verzichten dafür aber ab und an auf einige Resultate, die wir hier im Weiteren auch nicht brauchen. Im Anschluss an Ringe werden wir uns etwas näher mit Gruppen beschäftigen. Auch wenn Gruppen für sich selbst genommen sehr interessant sind, so werden wir hier doch nur solche Themen ansprechen, die wir später für die Galoistheorie brauchen. Konkret sind das Gruppenoperationen, der Satz von Frobenius, die Sylow-Sätze und etwas über die Erzeuger von symmetrischen Gruppen. Der dritte Teil ist der Hauptteil dieses Buches. Hier werden wir die Galoistheorie entwickeln. Angefangen von algebraischen Körpererweiterungen werden wir Galoisgruppen und -erweiterungen kennenlernen. Wir werden dann das Fortsetzungslemma und den Satz vom primitiven Element beweisen. Nach einem kurzen Einschub über endliche Körper werden wir dann auf den Hauptsatz der Galoistheorie hinarbeiten. Auch werden wir den wichtigen Fundamentalsatz der Algebra beweisen. Wir werden dann Gleichungen dritten und vierten Grades genauer mit Hilfe symmetrischer Polynome untersuchen. Das nächste Kapitel wird sich der Fragestellung widmen, wann man die Nullstellen eines Polynoms mit Wurzelausdrücken aufschreiben kann. Nach der Behandlung dieser sogenannten Auflösbarkeit werden wir auf eine weitere Anwendung der Galoistheorie hinarbeiten, der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Hierfür werden wir zunächst Kreisteilungskörper behandeln und zum Beispiel sehen, welche regulären n-ecke man konstruieren kann. In der Galoistheorie werden wir uns vor allem mit der Struktur hinter den Nullstellen von Polynomen beschäftigen. Auch wenn man bei vielen Polynomen die Nullstellen nicht so leicht sieht (oder sogar gar nicht durch Wurzelausdrücke aufschreiben kann), so kann man sehr einfach etwas über Rechenausdrücke dieser Nullstellen sagen. Zum Beispiel ist (bei einem normierten Polynom) das Produkt dieser Nullstellen genau der konstante Koeffizient des Polynoms, während die Summe (bis auf Vorzeichen) genau der Koeffizient vor dem x n 1 ist (wenn hier n den Grad des Poylnoms bezeichnet). Auch kompliziertere Ausdrücke in den Nullstellen, die Summen und Produkte enthalten, spielen eine Rolle. Durch Untersuchen dieser Ausdrücke lassen sich dann

5 Vorwort IX auch Informationen über die Nullstellen selbst gewinnen. Dabei sind jedoch meistens nicht (nur) die Nullstellen selbst für uns interessant, sondern vielmehr die Struktur die dahintersteht. Im vierten Teil werden wir uns dann kurz mit transzendenten, also nicht algebraischen Zahlen beschäftigen. Hierbei widmen wir uns im Wesentlichen solchen Sätzen, die uns sagen, dass es überhaupt transzendente Zahlen gibt. Das Highlight hier wird der Satz von Lindemann-Weierstraß sein. Danksagungen Wieder einmal gibt es viele Menschen, denen wir an dieser Stelle zu danken haben und ohne die dieses Buch nicht wäre, was es ist. Ein großer Dank gebührt natürlich all unseren Korrekturlesern, die uns auf Ungereimtheiten aufmerksam gemacht haben. Namentlich sind dies: Dr. Marco Soriano, Dr. Martin Stein, Dr. Florian Leydecker, Henry Wegener, Jelto Borgmann, Lisa Hegerhorst, Kim Weber, Susanne Hensel, Norbert Engbers und Maren Klingenhöfer. Auch das beste Buch wäre nichts ohne ein schönes Cover. Wie schon bei den ersten beiden Bänden war hier wieder Carolyn Hall aktiv und hat uns dieses tolle Cover gestaltet. Danke :-) Ein kleines Detail des Covers wurde diesmal außerdem von Mark Hunter designt, auch hierfür möchten wir danken. Bei den Grafiken und anderen LaTeX-Fragen hatten wir diesmal gar zwei kompetente Helfer. Vielen Dank hierfür an Marco Daniel und Matthias Linden. Auch unseren beiden Lektoren von Springer Spektrum, Dr. Andreas Rüdinger und Anja Groth gebührt wieder ein großer Dank für die tolle Zusammenarbeit. Zuletzt sei noch unseren Familien, Freunden und Freundinnen gedankt, die auch dieses Mal wieder einige Zeit auf uns verzichten mussten. Nun aber genug der Reden, genießt das Buch, und für Fehlerhinweise sind wir, wie immer, sehr dankbar! Hannover und Göttingen, Juli 2012 Florian Modler und Martin Kreh

6